CC BY
7
Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 3. С. 365-373.
УДК 530.145 Б01: 10.47475/2500-0101-2022-17310
ЭЛЕКТРОН В КВАНТОВОЙ ЯМЕ С ЗАРЯДАМИ НА СТЕНКАХ
С. Ш. Рехвиашвили
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия rsergo@mail.ru
Рассматривается электрон в одномерной квантовой яме, на стенках которой расположены экранированные положительные заряды. Путём численного решения краевой задачи для уравнения Шрёдингера находятся волновые функции и собственные значения энергии электрона. Показано, что при различных сочетаниях ширины квантовой ямы и радиуса экранирования возможны как положительные, так и отрицательные дискретные значения энергии электрона. Вследствие размерного квантования и кулоновского взаимодействия возможны нулевые значения импульса электрона, что связывается с конденсацией Ферми — Дирака.
Ключевые слова: квантовая яма, кулоновское взаимодействие, экранирование, волновые функции, энергетический спектр электрона.
Введение
Изучение физических свойств квантовых ям, формируемых на основе твердотельных структур, представляет значительный интерес с точки зрения развития нано- и оптоэлектроники [1]. Как правило, квантовые ямы изготавливаются методом последовательного нанесения полупроводниковых слоёв с различной шириной запрещённой зоны и различными положениями краёв валентной зоны и зоны проводимости. Ширина квантовой ямы обычно не превышает единицы нанометров. Полупроводниковая квантовая яма может быть заполнена электронами или дырками в зависимости от легирования соответствующего слоя донорными или акцепторными примесями. Металлическая квантовая яма всегда обладает электронным типом проводимости.
Квантовые ямы обладают весьма разнообразными физическими свойствами. Так, например, в структурах на квантовых ямах наблюдается целочисленный и дробный квантовый эффект Холла. Особенности двумерных плотностей электронных состояний в квантовых ямах позволяют использовать их для усовершенствования многих полупроводниковых приборов. Структуры с квантовыми ямами широко используются в фотодетекторах, лазерных и туннельных диодах. Полевые транзисторы с высокой подвижностью электронов, используемые в малошумящей и быстродействующей электронике, также основаны на применении квантовых ям в области затвора.
Простейшая физическая модель квантовой ямы — это прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими (непроницаемыми) стенками. В рамках этой модели получаются простые формулы для волновой функции и энергии электрона, которые полезны для теоретических и практических приложений [2], однако во многих случаях пригодны лишь для качественного анализа. Выход за рамки
этой модели требует, в частности, учёта пространственных распределений плотностей зарядов и электростатического потенциала вблизи границ квантовой ямы, что приводит к достаточно сложной задаче о совместном решении уравнений Шрёдин-гера и Пуассона [3-5]. Существенно упростить такую задачу можно, если вместо уравнения Пуассона использовать заданный в аналитическом виде потенциал взаимодействия электрона с зарядами.
Целью настоящей работы является исследование свойств электрона в квантовой яме, которая представляет собой одномерную потенциальную яму с бесконечно высокими стенками и с сосредоточенными на них положительными зарядами. При этом предлагается учесть эффект экранировки кулоновского взаимодействия, играющий заметную роль в металлических и сильно легированных полупроводниковых структурах.
Теоретическая модель
Будем предполагать, что электрон находится в одномерной квантовой яме, которая образована в пространстве между двумя неподвижными положительными зарядами (рис. 1). Такими зарядами могут быть, например, ионы в твёрдом теле.
Потенциал экранированного ку-лоновского взаимодействия (притяжения) двух зарядов имеет вид [6, с. 20]
0 а
Рис. 1. Квантовая яма с положительными зарядами на стенках
и (г) = -
4 пег
г
гд
ехР--, (1
где г — расстояние между зарядами, q — заряд электрона, е — диэлектрическая проницаемость материала, Гд — дебаевский радиус экранирования. Потенциальная энергия электрона в квантовой яме с учётом (1) равна
иа(х) = и (х) + и (а - х) = -
q2
4пе
1 / х N 1
- ехр--+--
х \ гд / а - х
ехр
ах
гд
где а — ширина квантовой ямы. Уравнение Шрёдингера и граничные условия для электрона в квантовой яме имеют вид
(Ф + 2? [Е - иа(х)] Ф = 0, (2)
ф(0) = ф(а) = 0, (3)
где т — эффективная масса электрона. Существование решения задачи (2), (3) следует из общих свойств уравнения Шрёдингера [7, с. 77-81]. Для решения этой краевой задачи удобно перейти к безразмерной координате у = х/гд. Таким образом, получаем
(2ф (у2
+ [к2 - р2Г(у)] ф = 0,
(4)
^(0) = ^Ы = 0, (5)
р(У) = 1 ехР (-У) + —1— ехР (У - У0), У Уо - У
. 2 2тЕт2и 2 шти Я2 (ти \
к =-Ц2-, р = ъй? к 2Ча^У> ,
где У0 = а/ти — безразмерная ширина квантовой ямы, а — постоянная тонкой структуры, Ас — приведённая комптоновская длина волны. Типичные значения параметра р для металлов и сильно легированных полупроводниковых материалов находятся в интервале от 1 до 10.
Решение краевой задачи (4), (5) не может быть представлено в явном аналитическом виде, поэтому для её решения требуются приближённые или численные методы. Расчёты проводились согласно следующей схеме. Уравнение (4) представлялось в виде системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка. Данная система вместе с условиями (5) решалась методом стрельбы [8, с. 1-19]. Суть этого метода заключается в сведении краевой задачи к эквивалентной начальной задаче для той же системы уравнений и дальнейшем её численном решении с «пристрелкой» по собственному значению. Численное решение начальной задачи находилось методом Рунге — Кутты 4-го порядка с фиксированным шагом. Для всех решений обеспечивалась точность не хуже, чем до второго знака после запятой включительно.
Примеры численных расчётов показаны на рис. 2, 3. Значения к2, получаемые при решении спектральной задачи, являются непрерывными функциями ширины квантовой ямы У0. Как и должно быть, увеличение ширины квантовой ямы приводит к уменьшению абсолютных значений энергии электрона. Рост радиуса экранирования сопровождается изменением знака энергии основного состояния электрона с положительного на отрицательный. Физически это интерпретируется как возникновение связанных (водородоподобных) состояний электрона в квантовой яме вследствие увеличения величины кулоновского взаимодействия.
При определённых сочетаниях р и У0 получаются нулевые значения к2, т. е. импульс электрона в данном случае равен нулю. По аналогии с конденсацией Бозе — Эйнштейна можно предположить, что данное свойство решения задачи имеет отношение к такому необычному явлению, как конденсация Ферми — Дирака, которая проявляется в сильно коррелированных системах зарядов. Были найдены численные решения задачи (4), (5) при к2 = 0. Спектральным параметром здесь уже выступает р2. Результаты расчётов представлены на рис.4, 5. Кружки на рис.4 относятся к численному решению задачи, сплошная кривая — расчёт по формуле р2 = 1 + 2/у0. С увеличением ширины ямы (у0 > 3) точность указанной формулы заметно ухудшается. При у0 ^ то для низшего квантового состояния получается предельное значение р2 = 1.68.
Отметим, что примерами конденсации Ферми — Дирака служат куперовские пары в теории сверхпроводимости [9], киральный конденсат в квантовой хромо-динамике [10], конденсат с аномалией Вейля в присутствии скалярных полей [11], конденсат из фермионных атомов [12]. В нашем случае причиной этого явления выступает одновременное присутствие размерного квантования и кулоновского взаимодействия; в квантовой яме возникает специфическая конкуренция между динамикой электрона в условиях конфайнмента и его взаимодействием с положительными зарядами. В рассматриваемой модели параметры а и ти контролируют режимы слабого и сильного конфайнмента электрона. В режиме слабого конфайнмента энергия электрона имеет отрицательное значение, что аналогично атому водорода
или экситону Ванье — Мотта и означает связанное состояние зарядов. В режиме сильного конфайнмента возрастает неопределённость импульса электрона, приводящая к возрастанию его кинетической энергии. В результате в достаточно узкой квантовой яме энергия электрона приобретает положительный знак.
Заключение
В настоящей статье рассмотрен электрон в квантовой яме с непроницаемыми стенками, на которых имеются неподвижные положительные заряды. Применительно к различным задачам физики твёрдого тела неподвижность зарядов (ионов) соответствует низким температурам или адиабатическому приближению. В модели не учитывались релятивистские поправки, спин электрона и высшие приближения квантовой электродинамики. Численно решена краевая задача для уравнения Шрёдингера с экранированным кулоновским потенциалом. Показано, что энергия электрона в квантовой яме может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Причём спектр в обоих случаях является дискретным. При определённых значениях ширины ямы и радиуса экранирования возможны нулевые значения энергии электрона, что трактуется как конденсация Ферми — Дирака. Данное свойство решения указывает на возможность существования сверхпроводимости в квантовых ямах со встроенными зарядами. Косвенно в пользу данного вывода свидетельствует барическая зависимость температуры сверхпроводящего перехода, которая наблюдается экспериментально в различных материалах со сложной атомной структурой (см., например, [13]).
Автор искренне признателен А. В. Псху за обсуждение данной работы и ценные замечания.
Список литературы
1. Шик А. Я., БакуеваЛ.Г., МусихинС.Ф., Рыков С. А. Физика низкоразмерных систем. СПб. : Наука, 2001.
2. Rekhviashvili S., Boyko A. Investigation of factors affecting the radiation intensity of quantum wells // Journal of Russian Laser Research. 2021. Vol. 42, no. 1. P. 20-24.
3. Stern F., SarmaS.D. Electron energy levels in GaAs-Gai-xAlxAs heterojunctions // Physical Review B. 1984. Vol. 30, no. 2. P. 840-848.
4. Moon C. R., Choe B.-D., Kwon S. D., Lim H. Electron distribution and capacitance-voltage profiles of multiple quantum well structure from self-consistent simulations // Applied Physics Letters. 1997. Vol. 70, no. 22. P. 2987-2989.
5. Зубков В. И. Моделирование вольт-фарадных характеристик гетероструктур с квантовыми ямами с помощью самосогласованного решения уравнений Шрёдингера и Пуассона // Физика и техника полупроводников. 2006. Т. 40, № 10. С. 1236-1240.
6. КрефтВ. Д., КремпД., ЭбелингВ., Рёпке Г. Квантовая статистика систем заряженных частиц. М. : Мир, 1988.
7. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ.М. Квантовая механика. М. : Физматлит, 2002.
8. Keller H.B. Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems. New York : Dover Publ., 2018.
9. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. Microscopic theory of superconductivity // Physical Review. 1957. Vol. 106, no. 1. P. 162-164.
10. Hagler Ph. Hadron structure from lattice quantum chromodynamics // Physical Reports. 2010. Vol. 490. P. 49-175.
11. Chong-Sun Chu, Rong-Xin Miao. Fermion condensation induced by the Weyl anomaly // Physical Review D. 2020. Vol. 102, no. 4. P. 046011.
>0
Рис.2. Результаты численного решения задачи (4), (5) — собственные значения для основного состояния
У
Рис.3. Результаты численного решения задачи (4), (5) — волновые функции первых трёх состояний при p = yo = 1
12. Regal C. A., Greiner M., Jin D. S. Observation of resonance condensation of fermionic atom pairs // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92, no. 4. P. 040403.
13. DrozdovA.P., Kong P. P., Minkov V. S. et al. Superconductivity at 250 K in lanthanum hydride under high pressures // Nature. 2019. Vol. 569. P. 528-531.
1000
Рис.4. Результаты численного решения задачи (4), (5) при к2 собственные значения для низшего состояния
Рис.5. Результаты численного решения задачи (4), (5) при к2 =0 волновые функции первых трёх состояний при уо = 1
0
Поступила в редакцию 04-07.2022. После переработки 05.08.2022
Сведения об авторе
Рехвиашвили Серго ШШотович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом теоретической и математической физики, Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Нальчик, Россия; e-mail: rsergo@mail.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 3. P. 365-373.
DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17310
ELECTRON IN A QUANTUM WELL WITH CHARGES ON THE WALLS S.Sh. Rekhviashvili
Institute of Applied Mathematics and Automation of KBSC RAS, Nalchik, Russia rsergo@mail.ru
An electron is considered in a one-dimensional quantum well, on the walls of which screened positive charges are located. By numerically solving the boundary value problem for the Schrodinger equation, the wave functions and eigenvalues of the electron energy are found. It is shown that both positive and negative discrete values of the electron energy are possible for various combinations of the quantum well width and screening radius. Due to size quantization and Coulomb interaction, zero values of the electron momentum are possible, which is associated with Fermi — Dirac condensation.
Keywords: quantum well, Coulomb interaction, screening, wave functions, electron energy spectrum.
References
1. ShikA.Ya., BakuevaL.G., Musikhin S.F., RykovS.A. Fizika nizkorazmernykh sistem [Physics of low-dimensional systems]. St. Petersburg, Nauka Publ., 2001. (In Russ.).
2. Rekhviashvili S., Boyko A. Investigation of factors affecting the radiation intensity of quantum wells. Journal of Russian Laser Research, 2021, vol. 42, no. 1, pp. 20-24.
3. Stern F., SarmaS.D. Electron energy levels in GaAs-Ga1-xAlxAs heterojunctions. Physical Review B, 1984, vol. 30, no. 2, pp. 840-848.
4. MoonC.R., ChoeB.-D., KwonS.D., LimH. Electron distribution and capacitance-voltage profiles of multiple quantum well structure from self-consistent simulations. Applied Physics Letters, 1997, vol. 70, no. 22, pp. 2987-2989.
5. Zubkov V.I. Modelirovaniye vol't-faradnykh kharakteristik geterostruktur s kvantovymi yamami s pomoshch'yu samosoglasovannogo resheniya uravneniy Shryodingera i Puassona [Simulation of capacitance-voltage characteristics of heterostructures with quantum wells using a self-consistent solution of the Schrodinger and Poisson equations]. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics and technics of semiconductors], 2006, vol. 40, no. 10, pp. 1236-1240. (In Russ.).
6. KraeftW.-D., KrempD., EbelingW., RopkeG. Quantum Statistics of Charged Particle Systems. New York, Springer, 1986.
7. Landau L.D., LifshitsE.M. Quantum Mechanics. New York, Pergamon Press Inc., 1977.
8. KellerH.B. Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems. New York, Dover Publ., 2018.
9. BardeenJ., Cooper L.N., Schrieffer J.R. Microscopic theory of superconductivity. Physical Review, 1957, vol. 106, no. 1, pp. 162-164.
10. Hagler Ph. Hadron structure from lattice quantum chromodynamics. Physical Reports, 2010, vol. 490, pp. 49-175.
11. Chong-Sun Chu, Rong-Xin Miao. Fermion condensation induced by the Weyl anomaly. Physical Review D, 2020, vol. 102, no. 4, p. 046011.
12. Regal C.A., Greiner M., Jin D.S. Observation of resonance condensation of fermionic atom pairs. Physical Review Letters, 2004, vol. 92, no. 4, p. 040403.
13. DrozdovA.P., Kong P.P., Minkov V.S. et al. Superconductivity at 250 K in
lanthanum hydride under high pressures. Nature, 2019, vol. 569, p. 528-531.
Article received 04.07.2022. Corrections received 05.08.2022.
