Электромеханические модели нанорезонаторов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1

Электромеханические модели нанорезонаторов

Л.В. Штукин1,2, И.Е. Беринский1,2, Д.А. Индейцев1,2, Н.Ф. Морозов23, Д.Ю. Скубов1,2

1 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, 195251, Россия 2 Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия 3 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия

Основной целью исследования является построение достаточно простыж электромеханических моделей нанорезонаторов — детекторов массы. Одним из основныж препятствий для получения достаточной точности измерения резонансной частоты, связанной с прилипанием дополнительной массы к графеновому слою, является низкая добротность колебательной системы, содержащей графеновый слой. Графеновый резонатор может рассматриваться как упругая система с распределенными параметрами. Применение метода Галеркина при рассмотрении режимов движения, близких к резонансным, позволяет свести задачу к рассмотрению колебательной системы с небольшим числом степеней свободы с ярко выраженными нелинейными свойствами. Эти свойства обусловлены, во-первых, нелинейной зависимостью сил, создаваемых электрическим полем, от прогиба графена и, во-вторыж, нелинейной зависимостью натяжения графенового слоя от его прогиба. Учет нелинейныж свойств приводит к появлению характерных срывов на резонансной кривой, позволяющих более точно определять резонансную частоту. На демонстрационной экспериментальной макромодели резонатора можно получить резонансные кривые с такими характерными срывами. Предложены две принципиально новые схемы — дифференциальный резонатор и резонатор с параметрическим возбуждением. В дифференциальном резонаторе, содержащем два графеновых слоя, возбуждаются колебания типа биений. При этом малым изменениям массы основного слоя соответствует значительное изменение частоты огибающей. Этот эффект иллюстрируется осциллограммами, полученными на соответствующей экспериментальной макромодели дифференциального резонатора. Параметрический резонатор имеет один графеновый слой между двумя проводящими поверхностями. В таком резонаторе возможно параметрическое возбуждение установившихся колебаний большой амплитуды, причем только в узкой полосе частот вблизи собственной частоты. Ширина этой полосы уменьшается при снижении добротности колебательной системы. Последнее обстоятельство может быть полезно для увеличения точности измерения собственной частоты при низкой добротности колебательной системы.

Ключевые слова: нанорезонатор, детектор массы, ширина резонансной зоны, срыв колебаний, дифференциальный резонатор, биения, параметрический резонатор, параметрическое возбуждение

Electromechanical models of nanoresonators

L.V. Shtukin12, I.E. Berinskii12, D.A. Indeitsev12, N.F. Morozov2-3, and D.Yu. Skubov12

1 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, 195251, Russia

2 Institute of Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia

3 Saint Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia

The major goal of this study is to construct simple electromechanical models of nanoresonators such as mass detectors. One of the main obstacles for the achievement of sufficient accuracy in measuring the resonant frequency associated with the adhesion of additional mass to the graphene layer is a low quality factor of the resonant system containing the graphene layer. A graphene resonator can be considered as an elastic system with distributed parameters. The application of the Galerkin method to studying the motion modes close to resonant reduces the problem to the consideration of a resonant system with a few degrees of freedom with pronounced nonlinear properties. These properties are, first of all, due to a nonlinear dependence of the forces produced by the electric field on the graphene curvature and, second, due to a nonlinear dependence of the graphene layer tension on its curvature. Taking into account the nonlinear properties leads to the appearance of characteristic drops on the resonance curve which allow for a more accurate resonant frequency measurement. Resonance curves with such characteristic drops can be obtained using an experimental macromodel of the resonator. Two absolutely new schemes are proposed, such as a differential resonator and resonator with parametric excitation. The oscillations excited in the differential resonator containing two graphene layers resemble beats. In this case, small changes in the mass of the base layer correspond to significant changes in the frequency of the envelope. This effect is illustrated by oscillograms obtained for the experimental macromodel of the differential resonator. The parametric resonator has one graphene layer between two conducting surfaces. Parametric excitation of steady-state high frequency oscillations is possible in this resonator only in a narrow frequency band close to eigenfrequency. The band width reduces with a decrease in the quality factor of the resonant system. The latter fact can be useful for the improvement of eigenfrequency measurement accuracy at a low quality factor of the resonant system.

Keywords: nanoresonator, mass detector, resonance linewidth, quenching, differential resonator, beats, parametric resonator, parametric excitation

© Штукин Л.В., Беринский И.Е., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф., Скубов Д.Ю., 2016

1. Введение

Открытые в последнее время новые технологии и материалы способствуют разработке принципиально новых наноэлектромеханических систем, в частности нанорезонаторов. Резонатор — это колебательная система, в которой происходит накопление энергии колебаний за счет резонанса с периодическим внешним воздействием. Обзоры современного состояния наноэлектромеханических систем и их потенциальных приложений даны в [1, 2]. Одним из возможных применений графенового резонатора является использование его как детектора массы осажденной на нем частицы. В результате прилипания частицы, например клетки или молекулы, к гибкой поверхности резонансная частота колебательной системы изменяется. Этот эффект позволяет определить массу частицы. Ясно, что для вычисления сверхмалых масс требуется уменьшение геометрии резонатора до наноразмеров. Однако существуют трудности в изготовлении тонких пластин с высокой степенью параллельности рабочих сторон и сверхтонких пленок из традиционно используемых материалов. К тому же увеличение доли поверхностных атомов по отношению к количеству атомов, находящихся в толще материала, не позволяет добиться высокой частоты и добротности. Поэтому внимание исследователей привлекают попытки создания тонкослойных резонаторов на базе углеродных наноструктур, в частности графена. Отличием гра-фена от других материалов является его высокая жесткость при относительно малой массе.

Среди наиболее успешных экспериментальных работ следует отметить [3], в которой получена система с частотой порядка 1-170 МГц и добротностью до 20850. В работе [4] представлены образцы резонаторов, содержащие несколько графеновых слоев. При этом получены частоты колебаний порядка 10 ГГц. В работе [5] также представлены эксперименты с однослойными резонаторами, при этом получена первая резонансная частота порядка 65 МГц и добротность 125. Однако в той же работе указано, что при уменьшении температуры до 5 К добротность возрастает. В работе [6] представлены полученные экспериментально массивы однослойных графеновых резонаторов, имеющих первые собственные частоты колебаний около 5-20 МГц и добротность порядка 100. При этом отмечается, что при охлаждении образцов до 9 К добротность увеличивается, а частоты колебаний возрастают до 75 МГц.

Механические свойства графена пока изучены мало. Одним из наиболее важных свойств графена в качестве элемента наноэлектромеханических систем является его высокая прочность на растяжение [7], что теоретически позволяет достичь терагерцовых частот колебаний [1]. В то же время изгибная жесткость графена изучена пока только теоретически, и в работах различных авторов приводятся ее различные оценки.

Механические свойства графена связаны с электрическими свойствами, и динамические процессы в общем случае электромеханические. В частности, в работе [8], основываясь на статье [9], показано, что приложение внешнего переменного электрического поля приводит к переменной деформации графенового слоя, рассматриваемого как мембрана, причем происходят изгиб и деформации в плоскости мембраны. Имеются также экспериментальные работы, указывающие на нелинейность упругих свойств графеновых резонаторов, в частности [10].

Предлагаемая работа является продолжением работ [10-13] и посвящена построению достаточно простых электромеханических моделей нанорезонаторов на основе графена с целью исследования возможного увеличения точности измерения собственной частоты резонатора с низкой добротностью.

2. Однослойный резонатор

Схема однослойного резонатора показана на рис. 1. Однослойный резонатор состоит из графенового слоя, закрепленного на изолирующих опорах. Под графено-вым слоем на некотором расстоянии расположена проводящая поверхность. В пространстве между графено-вым слоем и проводящей поверхностью создается электрическое поле с помощью источника ЭДС. Характерные размеры графенового резонатора: длина пролета 500-1000 нм, ширина графенового слоя 10-20 нм, расстояние от графенового слоя до проводящей поверхности 10-20 нм.

Рассмотрим процесс движения системы из двух слоев, между которыми имеется электрическое поле, создаваемое первым источником ЭДС (второй источник пока отключен). Могут быть приняты различные механические модели графенового слоя — струна, стержень, подвергаемый изгибу и одновременно продольному растяжению, мембрана, изгибаемая растянутая пластина и т.д. Эти модели могут быть как линейными, так и нелинейными, учитывающими геометрические и физические нелинейности. В общем случае эти уравнения могут быть записаны в виде

Ь(V) + = FQ(w, 0, (1)

где w — прогиб графенового слоя; Ь(м?) — дифференциальный оператор упругости; R — оператор инерции;

ь

Рис. 1. Однослойный резонатор

Fe (w, г) — нагрузка, обусловленная действием электрического поля.

При длительном действии источника постоянной ЭДС система придет в равновесие, которое может быть найдено из системы уравнений в отсутствии сил инерции:

Ц w0) = F (w0). (2)

Положение равновесия не совпадает с нулевым прогибом графенового слоя, т.к. при этом нагрузка, обусловленная действием электрического поля не равна нулю. При увеличении прогиба нагрузка возрастает неограниченно, тогда как упругая сила остается ограниченной. Положений равновесия может быть два, одно либо ни одного в зависимости от величины приложенного электрического напряжения. Из двух положений равновесия то, что соответствует меньшему прогибу — устойчиво, другое — неустойчиво.

Рассмотрим колебания графенового слоя около устойчивого положения равновесия при действии переменного во времени электрического напряжения. В этом случае решение уравнения (1) будем искать как отклонение от положения равновесия: V = w - w0. Тогда уравнение (1) приобретет вид

Ц( Wo + V) + Я V = Fe( Wo + V). (3)

Для получения уравнений движения графенового слоя в режимах, близких к резонансным, используется метод Галеркина. Решение представляется в виде разложения в ряд по некоторым координатным функциям ¥к с коэффициентами хк (г), зависящими от времени:

V = х1(г )Щ + х2(г )Щ2 +.... (4) В качестве координатных функций принимаются

собственные формы колебаний графенового слоя без учета его нелинейных упругих свойств и в отсутствие электрического поля, удовлетворяющие уравнению

ЦЩ-X2ЯУк = 0, к = 1, 2, ..., (5)

где Ц0(Щ) — линеаризированный оператор L(V).

В режиме близком к резонансному имеет смысл оставить в разложении только одно слагаемое, соответствующее резонансной частоте:

V = х(г Щ (6) Применение процедуры Галеркина к уравнению (3)

с учетом (6) приведет к уравнению колебаний графенового слоя вблизи резонансного режима:

тХ + вX + Р(х) - - % — = 0, 2 С2 ах

(7)

к которому следует добавить уравнение перезаряда конденсатора, образованного графеновым слоем и проводящей поверхностью: -

е+-

-О = и (г),

(8)

ЯС (х)

где Q(t) — мгновенное значение заряда конденсатора; С — емкость конденсатора; R — внутреннее сопротивление источника напряжения.

Уравнения (7) и (8) описывают движение электромеханической системы, представленной на рис. 2 и состоящей из колебательной механической системы с одной степенью свободы и электрической цепи последовательно включенных источника ЭДС, резистора и конденсатора. Взаимное влияние механической системы и электрической цепи обусловлено тем, что электрическое поле в конденсаторе создает механическую силу, действующую на колеблющуюся массу, а перемещение массы вызывает изменение емкости конденсатора.

В случае источника ЭДС с гармонически изменяющимся напряжением и (г) = и0 cos(шг) и малой постоянной времени электрической цепи по сравнению с периодом напряжения, т.е. при выполнении условия ЯС0 << 2п/ш, можно пренебречь первым слагаемым в уравнении (8), тогда заряд во времени будет изменяться по закону

О = С (х )и0со8( шг). (9)

Подставляя последнее выражение в уравнение (7), придем к уравнению колебаний графенового слоя в режиме близком к резонансному:

- си 2—60 2

тхх + рх + Р (х) - ^ С0и 02—-^

- 0.

(10)

(60 - х)2

Для анализа уравнение удобнее переписать в безразмерном виде, введя безразмерное время т = Xt, безразмерный прогиб 4 = х/6,0, частоту Й = ш/Х, где X — собственная частота линеаризированной колебательной системы в отсутствие электрического поля:

4 + 2 п4 + Р(4) -Ь

Л + С08(2 Йт)

(1 -4)2

= 0,

(11)

ь2 =

2 т2 .

2тХ 6

Эта величина имеет смысл отношения амплитудного значения энергии электрического поля к потенциальной энергии упругой деформации при перемещении, равном зазору в конденсаторе.

Уравнение (11) содержит два нелинейных слагаемых. Одно из них связано с нелинейной зависимостью силы, действующей при наличии электрического поля и неограниченно нарастающей при приближении прогиба графенового слоя к величине первоначального зазора. По существу, эта сила играет роль нелинейного

Рис. 2. Электромеханическая модель резонатора

Рис. 3. Поперечное деформирование струны

отрицательного упругого основания для графенового слоя. Второе слагаемое связано с нелинейной упругостью графенового слоя при его поперечном деформировании. Дело в том, что графеновый слой в силу технологии изготовления закреплен так, что его концы не могут перемещаться как в поперечном, так и в продольном направлениях. Жесткость графенового слоя на растяжение весьма велика, эквивалентный модуль Юнга для графена в 5 раз больше, чем у конструкционных сталей. При изгибе графенового слоя продольное натяжение будет возрастать вследствие его удлинения в продольном направлении, что будет приводить к увеличению поперечной жесткости. В этом нетрудно убедиться даже на самой простой модели графенового слоя.

Рассмотрим статическое деформирование струны, предварительно натянутой начальным натяжением Т0, закрепленной по концам так, что запрещены перемещения ее концов в поперечном и продольном направлениях, и нагруженной поперечной силой Р (рис. 3).

Текущее значение натяжения складывается из начального и дополнительного слагаемого, возникающего вследствие удлинения струны при ее поперечном нагру-жении:

Оз — Ох Т = Т + Т*е, е = —-ах

Подставляя последнее выражение в условия равновесия и используя очевидные геометрические соотношения между прогибом w и углом а, получим связь между приложенной продольной силой Р и прогибом w:

, _ 4 ъ/Ь [Т0 + Тф + (2 у/Ь)2 — 1)]

Линейное приближение в (13) дает классическое выражение для поперечной жесткости так называемой «нерастяжимой» струны, хотя правильнее было бы ее назвать бесконечно растяжимой. Следующее приближение дает кубическую зависимость

2

1 + tg2 а —1.

(12)

Р _-

(13)

Р _ 4Т0 У + (Т*

-То)

Ь

(14)

Влияние кубического слагаемого тем сильнее, чем меньше начальное натяжение Т0 и чем больше продоль-

ная жесткость струны Т*. С учетом (14) перепишем уравнение (11)

&& ^ & е. йз *21 + соэ(2йт)

З + 2 пЗ + З + УЗз —Ь х 7

- 0.

(15)

(1—З)2

Для уравнения (15) интересно получить резонансную кривую — зависимость размаха в установившемся режиме от частоты возбуждения. Ее можно получить, применяя к уравнению (15) метод гармонического баланса. Однако получаемые при этом алгебраические уравнения не могут быть решены аналитически. Поэтому по отношению к уравнению (15) проведен численный эксперимент со сканированием частоты возбуждения. В ходе численного эксперимента решалась задача Коши сначала для частоты возбуждения вблизи резонансной зоны при нулевых начальных условиях. При достижении установившегося режима снова решалась задача Коши для близкого значения частоты, но при начальных условиях, взятых из решения при предыдущем значении частоты в некоторый момент времени. Эта процедура повторялась при многих значениях частот. Соответствующие резонансные кривые показаны на рис. 4.

Приведенные здесь резонансные кривые имеют характерные срывы, обусловленные либо нелинейностью упругой характеристики (при малом начальном натяжении) либо нелинейностью силы, действующей со стороны электрического поля (при большом начальном натяжении и большой амплитуде колебаний). Резонансные кривые с характерными срывами наблюдались и в экспериментах, в частности, такие результаты приведены в работе [10].

Для исследования срывных резонансных кривых была изготовлена демонстрационная установка. В качестве колебательной системы использован отрезок стальной проволоки, зажатый по краям с возможностью предварительного натяжения. Колебания проволоки возбуждаются магнитной системой, состоящей из сталь-

0.00

0.49 0.50

0.51 0.52 Частота Г2

0.53 0.54

0.49

0.50 0.51

Частота Г2

0.52

Рис. 4. Резонансная кривая при малом (а) и большом начальном натяжении (б). В = 10 (а), 0 (б)

Рис. 5. Осциллограмма колебаний проволоки при частоте возбуждения 62 Гц

ного магнитопровода, постоянного магнита и катушки с переменным током. Питание катушки осуществляется от генератора стандартных сигналов с возможностью регулировки амплитуды и частоты. Колебания проволоки наблюдаются с помощью высокоскоростной видеокамеры. Зависимость силы, действующей со стороны магнитной системы на проволоку, от величины прогиба проволоки аналогична такой же зависимости силы, действующей со стороны электрического поля в графе-новом резонаторе, а именно: сила резко растет при увеличении прогиба. Уравнения, описывающие колебания проволоки при действии переменного магнитного поля, аналогичны уравнению (11). Наблюдение колебаний проводилось с помощью высокоскоростной видеокамеры. На рис. 5 и 6 приведены пример осциллограммы и резонансная кривая, полученные на демонстрационной установке.

Стрелками на рис. 6 показано направление сканирования частоты при проведении эксперимента. На резонансной кривой виден характерный срыв при сканировании частоты возбуждения сверху вниз.

3. Дифференциальный резонатор

В работах [12, 13] предложена схема дифференциального резонатора, содержащего два графеновых слоя. Схема такого резонатора представлена на рис. 7. Дифференциальный резонатор состоит из из двух параллельно расположенных графеновых слоев — основного и дополнительного. Дополнительный слой расположен под основным слоем, под которым расположена проводящая поверхность. Источник постоянной ЭДС (основной) служит для создания силовой связи между

основным и дополнительным слоями, дополнительный источник ЭДС служит для создания начальных условий.

Принцип работы дифференциального резонатора состоит в следующем. Один цикл измерений состоит в том, что при подаче напряжения от дополнительного источника в виде короткого импульса возбуждаются совместные свободные колебания графеновых слоев. Если парциальные собственные частоты каждого слоя (в отсутствие связи) близки друг к другу, а связь между ними достаточно слабая (по сравнению с собственной упругостью каждого из слоев), то система из двух слоев будет иметь две собственные частоты, мало отличающиеся друг от друга и близкие к парциальным частотам каждого из них. При этом свободные колебания будут иметь характер биений. Детектированием выделяется огибающая этого процесса. В работах [12, 13] показано, что характерная частота огибающей, равная половине разности собственных частот системы, гораздо меньше, чем парциальная частота каждого из слоев. При осаждении частицы на верхнем слое парциальная собственная частота этого слоя уменьшится. При этом характерная частота огибающей тоже изменится, причем малое изменение парциальной собственной частоты может привести к значительному изменению характерной частоты огибающей. По прошествии времени, в течение которого произойдет затухание свободных колебаний, цикл измерений может быть повторен.

Для наблюдения процесса биений использовали демонстрационную установку, состоящую из двух параллельно расположенных консольно закрепленных стальных полос. Взаимное влияние при поперечных колебаниях полос осуществляется с помощью постоянных магнитов, создающих взаимное притяжение полос. Эти же магниты использованы для индукционных датчиков. На рис. 8 показаны осциллограммы процесса свободных колебаний исходной системы (кривая 1) и свободных колебаний при установке на одной из полос дополнительной массы (кривые 2, 3).

На приведенных осциллограммах хорошо видно, что добавление даже небольшой массы (менее 1 % на осциллограмме 2) приводит к заметному изменению частоты огибающей.

Рис. 6. Резонансная кривая

Рис. 7. Схема дифференциального резонатора

Рис. 8. Осциллограммы биений, ц = 0 (1), 0.007 (2), 0.032 (3)

5. Параметрический резонатор

Предлагается новая схема графенового резонатора, в котором колебания создаются за счет только параметрического воздействия. Схема такого резонатора показана на рис. 9.

Параметрический резонатор состоит из одного графенового слоя, окруженного двумя проводящими поверхностями. Такое сочетание образует два конденсатора с одной общей обкладкой — графеновым слоем. К каждому из конденсаторов подключены источники переменной ЭДС синхронной частоты. Аналогично модели на рис. 2 можно предложить модель параметрического резонатора в соответствии с рис. 10.

В этой модели два конденсатора, причем уменьшение расстояния между обкладками в одном из них ведет к увеличению этого расстояния в другом. Аналогично уравнению (7) можно записать уравнение движения для модели параметрического резонатора:

1 ^ гл1

.. 0. Q2 dC1 Q22 dC2 Л

mx + ßx + ex--1 + ^--2 = 0.

2C1 dx 2C1 dx

(16)

Емкости конденсаторов изменяются при прогибе графенового слоя:

Проводящая поверхность Рис. 9. Параметрический резонатор

Рис. 10. Электромеханическая модель параметрического резонатора

Ci _Co-

d 0

C2 = C0

d 0

d 0 + x

где введены те же обозначения, что и в разделе 2.

Уравнение (16) с учетом соотношения между постоянной времени цепи заряда конденсаторов и частотой внешних источников RC0 << 2п/ш может быть записано в безразмерном виде

,2 З

4 + 2 n£ + £-b2

-(1 + cos(2Qx)) = 0.

(17)

(1 -42)2

Положение равновесия такого резонатора совпадает с недеформированным состоянием графенового слоя 4 = 0. При отсутствии внешнего напряжения оно устойчиво. Однако при наличии внешнего воздействия возможно, что положение равновесия станет неустойчивым. Линеаризированное уравнение (17)

4 + 2 «4 + (1 -b 2)

1 + -

1 - b

rcos(2ßx)4

= 0

(18)

2

является уравнением Матье, в котором от параметра Ь зависят коэффициент пульсации и собственная частота. Граница области неустойчивости показана на рис. 11.

Неустойчивому равновесию соответствует полоса частот между левой и правой ветвями, причем эта полоса тем уже, чем меньше добротность колебательной системы. Этим параметрический резонанс отличается от обычного. Этот факт может быть использован для повышения точности определения резонансной частоты при низкой добротности.

При параметрической раскачке колебаний около положения равновесия размах ограничивается нелинейностью в колебательной системе. Амплитуду установив-

0.7 0.8 0.9

Рис. 11. Граница области неустойчивости, Л = V1 -b2, добротность 100 (1), 70 (2), 50 (3)

Рис. 12. Амплитуда установившегося режима, ( = 0 (1), 0.010 (2), 0.025 (3), 0.050 (4)

шегося режима можно найти методом гармонического баланса, найдя решение уравнения (17) в виде гармонических колебаний частоты й. В результате получается резонансная кривая с характерным срывом, подобная резонансной кривой однослойного резонатора. Ее существенное отличие — отсутствие установившихся колебаний при частотах возбуждения вне зоны неустойчивости положения равновесия. На рис. 12 показана зависимость амплитуды установившегося режима от частоты внешнего воздействия резонатора без осажденной массы (кривая 1) и при наличии осажденной массы (кривые 2- 4).

Существенное отличие резонансной кривой при параметрическом возбуждении — отсутствие установившихся колебаний при частотах вне зоны неустойчивости положения равновесия.

6. Выводы

В работе предложена электромеханическая модель графенового нанорезонатора с учетом изменения емкости конденсатора, возникающим при деформировании графенового нанослоя (одной из обкладок) и с учетом нелинейных упругих свойств графенового листа при малом начальном натяжении.

Для однослойного резонатора показано, что при возбуждении колебаний гармоническим внешним напряжением в системе возникает как обычный резонанс, так и параметрический. В случае обычного резонанса, когда частота внешнего воздействия (прикладываемого электрического напряжения) близка к половине собственной механической частоты, система может иметь как «жесткую», так и «мягкую» резонансную кривую. Наличие срыва на резонансной кривой дает возможность более надежного определения изменения собственной частоты резонатора при осаждении на нем наночастицы.

Предложены две новых схемы графеновых нано-резонаторов — дифференциального и параметрического. В дифференциальном резонаторе измерение массы осажденной частицы достигается тем, что в наблюдаемом процессе биений частота огибающей сильно изменяется при добавлении малой массы. В параметрическом резонаторе установившиеся колебания наблюдаются только в узкой полосе частот вблизи собственной частоты резонатора. Ширина этой полосы сужается при уменьшении добротности, что может быть полезно для увеличения точности измерения собственной частоты при низкой добротности колебательной системы.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 14-01-00845.

Литература

1. Гринберг Я.С., Пашкин Ю.Я., Ильичев Е.В. Наномеханические резонаторы // УФН. - Т. 182. - C. 407-436.

2. Bom K., Park H.S., Yoon D.S., Kwon T. Nanomechanical resonators and their applications in biological/chemical detection: Nanome-chanics principles // Phys. Rep. - 2011. - V. 503. - P. 115-163.

3. Bunch S.J., van der Zande A.M., Verbridge S.S., Frank I.W., Tanen-baum D.M., CraigheadH.G., McEuen P.L. Electromechanical resonators from graphene sheets // Science. - 2007. - V. 315. - P. 490-493.

4. Poot M., van der Zant H.S.J. Nanomechanical properties of few-layer graphene membranes // Appl. Phys. Lett. - 2008. - V. 92. - P. 063111.

5. Chen C., Rosenblatt S., Bolotin K.I., Kall W., Kim P., Kymissis I. Performance of monolayer grapheme // Nat. Nanotech. - 2009. - V. 4. -P. 861-867.

6. van der Zande A.M., Barton R.A., Alden J.S., Ruiz-Vargas C.S., Whitney W.S., Pham P.H.Q., Park J. Large-scale arrays of single-layer graphene resonators // Nano Letters. - 2010. - V. 10. - P. 4869 -4873.

7. Lee C., Wei X., Kysar J. W., Hone J. Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene // Science. - 2010. -V. 321. - No. 5887. - P. 385-388.

8. Firsova N.E., Firsov Y.A. A new loss mechanism in graphene nanore-

sonators due to the synthetic electric fields caused by inherent out-of-plane membrane corrugations // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2012. -V. 45. - P. 435102.

9. Kim E.A., Castro Neto A.H. Graphene as an electronic membrane // Europhys. Lett. - 2008. - V. 84. - P. 57007.

10. Chen C., Hone J. Graphene nanoelectromechanical systems // Proc. IEEE. - V. 101. - No. 7. - P. 1766-1779.

11. Морозов Н.Ф., Беринский И.Е., Индейцев Д.А., Привалова О.В., Скубов Д.Ю., Штукин Л.В. Срыв колебаний графенового резонатора как способ определения его спектральных характеристик // ДАН. - 2014. - Т. 456. - № 5. - С. 537-540.

12. Морозов Н.Ф., Беринский И.Е., Индейцев Д.А., Скубов Д.Ю., Штукин Л.В. Дифференциальный графеновый резонатор характеристик // ДАН. - 2014. - Т. 457. - № 1. - С. 1-4.

13. Морозов Н.Ф., Беринский И.Е., Индейцев Д.А., Скубов Д.Ю., Штукин Л.В. Дифференциальный графеновый резонатор как детектор массы // МТТ. - 2015. - № 2. - С. 20-28.

Поступила в редакцию 15.12.2015 г.

Сведения об авторах

Штукин Лев Васильевич, к.ф.-м.н., доц. СПбПУ, зав. лаб. ИПМаш РАН, lvtvsh4749@gmail.com Беринский Игорь Ефимович, к.ф.-м.н., доц. СПбПУ, зав. отд. ИПМаш РАН, iberinsk@gmail.com

Индейцев Дмитрий Анатольевич, д.ф.-м.н., чл.-к. РАН, проф., зав. каф. СПбПУ, научн. рук. ИПМаш РАН, dmitry.indeitsev@gmail.com Морозов Никита Федорович, д.ф.-м.н., акад. РАН, проф., зав. каф. СПбГУ, научн. советн. РАН ИПМаш РАН, morozov@math.spbu.ru Скубов Дмитрий Юльевич, д.ф.-м.н., проф. СПбПУ, внс ИПМаш РАН, skubov.dsk@yandex.ru