CC BY
21
е е
е— 1 —е
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. К2 3-4. 2007. с. 101-106 101
ФИЗИКА
УДК 539.142
Электромагнитная структура состояния 1/7/2 ядер в реакциях е- + А — е- + А
Ю. П. Богданов
Кафедра физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье рассмотрено упругое рассеяние электронов на ядрах спина 7/2 на основе волновых функций Рариты—Швингера. Получены выражения для электромагнитного тока ядра и проекционного оператора (спиновая матрица плотности). На основе этих выражений с помощью мультипольного разложения найдены общие соотношения для мультипольных и инвариантных формфакторов. Полученные формулы могут быть особенно полезны при изучении асимптотических свойств формфактора, индуцированных кварковой структурой ядра.
Введение
Теоретическое и экспериментальное изучение электромагнитной структуры основного и возбужденных состояний ядер с высоким спином может служить источником информации о широком круге вопросов теории ядра и ядерной спектроскопии [1,2]. Сюда же следует отнести изучение простых оболочечных моделей, проблемы смешивания конфигураций, поляризацию кора, обменные токи и т. д. Особое место при этом занимает экспериментальное изучение упругого рассеяния электронов ядрами со спином 7/2 (49Т1, 51У, 58Со, 59Со, ...) и, в частности, магнитное рассеяние назад [2-4], которое непосредственно дает информацию о радиальном распределении высшего мультипольного момента М7. Очевидно, что в таких экспериментах можно измерить радиальное распределение нуклонных орбит. Возможность такого измерения обусловлена законом сохранения углового момента, согласно которому состояния с более высокими моментами соответствуют более чистым конфигурациям [2,5].
Рост энергии электронных пучков до десятков ГэВ требует релятивистского обобщения расчетов сечения, выполняемого в рамках импульсного приближения при мультипольном разложении ядерных матричных элементов электромагнитного тока [5]. Отмеченное обобщение достигается на основе ковариантного описания ядерных волновых функций и вершинных операторов электромагнитного тока. Получаемое при этом сечение упругого рассеяния электронов ядром массы М определяется структурными функциями, зависящими от инвариантных форм-факторов вершины:
(1)
С точки зрения соответствия выражения (1) сечению нерелятивистского импульсного приближения
I, четн.
1 + 2 (|
Е
1,нечетн.
(2)
ф-
ф
ф
102_Богданов Ю. П. Электромагнитная структура состояния 1/7/2 ядер в . . .
и наглядной физической интерпретации инвариантных формфакторов вершины надо найти для (1) представление, переходящее в (2) при малых т = —ц2/(4М2) (или при бесконечно большой массе ядра: М ^ то). Так в работе [6] ковари-антным методом исследовалось упругое рассеяние электронов ядрами со спином 3/2 и 5/2 и на основе мультипольных разложений [5,7] получены выражения для мультипольных формфакторов через инвариантные формфакторы вершины.
В данной работе, являющейся продолжением [6], рассматривается упругое рассеяние электронов ядрами со спином 7/2, описываемых волновыми функциями типа функций Рариты-Швингера. Получено выражение для электромагнитного тока ядра, содержащее восемь инвариантных формфакторов, а также найдено выражение для проекционного оператора частиц со спином 7/2. На их основе вычислено сечение рассеяния и с помощью мультипольного разложения [5] получены соотношения для мультипольных и инвариантных формфакторов.
1. Вершинный оператор электромагнитного тока и его симметризованное представление
Следуя [8,9], основное состояние ядра спина 7/2 будем описывать симметричной по всем трем индексам спин-тензорной волновой функцией иар8 (Р), которая удовлетворяет уравнениям:
(Р — М)иар5(Р) = 0, (3)
Ра иа135 (Р ) = 0, (4)
7 аиа1з5 (Р ) = 0, (5)
9ав иа135 (Р ) = 0. (6)
Согласно (3) «дираковские» свойства волновой функции факторизованы, поэтому вершинный оператор электромагнитного тока
J1 = иа136(Р')Г^^(Р', Р)Ц^(Р) (7)
можно искать в виде
4
Гц'авь&ш^_ ^ ^ р! (8)
п=1
Здесь в (8) каждая из матриц Г! является аналогом вершинного оператора электромагнитного тока нуклона и выбирается подобно [8,9] в форме
П = (9)
р(п] = р(п) + р(п); р(п) = р(п) -т^2(п), (10)
при этом
Р (п) = Р(п) , ],2
где ^1(п) и Р2(п) соответствуют дираковскому и паулиевскому формфакторам, а
— электрическому и магнитному саксовским формфакторам, и, наконец, величина Р равна сумме начального (р) и конечного (р') 4-импульсов ядра. В (8) величины являются симметричными по каждой тройке индексов
тензорами-однородными функциями порядка 2(п — 1) от компонент переданного импульса ц. Учитывая равенство нулю следа (6), получаем для них следующие выражения (несимметризованный вид):
= 9а'91ЗШ98' , (Па)
е—
Ф
—е
ф
ф
ф
ф-
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. К2 3-4. 2007. с. 101-106 103
QfЬаш1р _ tat7с/ш, (11b)
Qaf3Sa^ _ tatargSV , (11c)
Qa/35au(p _ tatat^t^t^t^
(11d)
Способ приведения (11а)-(11Ь) к полностью симметричному виду легко определить из данного ниже симметризованного представления (11с):
да/36*Ш<р = 1 | ga*tl3rt5t<p + g«u,tl3t5t*t<p + ga<ptl3t5t*r +
9
+ два tats Г tv + двш tats t7 tv + gev ta ts t7 Г + + gSa tate tШ tv + дЬш tate t7 tv + gs^tate t7r }.
(12)
В формулах (11a)-(12) t _ q/(2M), а gae — метрический тензор сигнатуры (+ ---).
-e
2. Матрица плотности неполяризованного состояния для частицы спина 7/2
Определим матрицу плотности (проекционный оператор) неполяризованного состояния для частицы спина 7/2 выражением
Л7а%аш1р(P) _ Е Uaes(P, m)Üaivip(P, m)
(13)
в котором суммирование идет по всем значениям спиновой проекции т. Очевидно, что оператор (13) должен удовлетворять уравнению (3), а по каждой тройке индексов — уравнениям (4)-(6). Кроме того, он должен также удовлетворять уравнениям
Аар5ргХ(Р)7/2Л7/2[РГхаш1р(Р) = 2МЛ7/Д^(Р), (14)
jSlP^JeSauю(Р) — 0AJi3au(P) '
(15)
9 -г1а13даси<рУ1 )
Для того, чтобы выполнялось равенство (3), достаточно представить (13) в виде
Л
7/2
(P)_ (P + М)\1%7Ш1, (P) .
Если теперь тензор Аовх7^ строить из поперечных величин
gpp _ g
(16)
(17)
то будет выполнено также условие (4). В силу того, что (5) является следствием (3) и (4), то остается три уравнения (6), (14) и (15), с помощью которых и фиксируется структура (16), представляемая первоначально в виде разложения с неопределенными коэффициентами по характерным тензорным комбинациям из величин (17). Выполнив соответствующие вычисления, получим, что в несиммет-ризованном (но вполне достаточном для дальнейших целей) виде проекционный оператор для частицы спина 7/2 дается формулой (16) при
\7/2 (р\ _ Р Р Р Зррр a[3S(Tív<p \ ) — 9aa9/3uj9Sip *j9af39s<r9ujip +
3
3
+ ^(РЫ(Р)9^ - ¥j9^s(P^(P))9P
(18)
ф-
ф
-е
ф
104
Богданов Ю. П. Электромагнитная структура состояния 1/7/2 ядер в. . .
3. Дифференциальное сечение упругого рассеяния
электронов
Дифференциальное сечение упругого рассеяния электронов высокой энергии (Е = ко ^ те) дается равенством
1 + Ш 8ш2 £
+ М 2 ,
(19)
где электронный тензор равен
= 2^Риг
= 2
к^ку + к цки+ Г)029^
(20)
Адронный тензор представим в виде
Ь^ = -Бриг
8
Л 7/2 (р') гМ^ш^ртА л7/2 (Р)г Ла135аш<р (Р )г ЛргХфхп (Р)Г
= РVр* А(т) - 4МВ(т), (21)
где структурные функции А(т) и В(т) вычисляются с помощью (8), (11) и (16). Не будем выписывать для них громоздких выражений, а воспользуемся тем, что после подстановки (20) и (21) в (19) дифференциальное сечение может быть представлено следующим образом:
<Ш
(У Мои
(1 +т)
[Р1{т) + \т
д
1 + 2(1 + т)1ё2-
РМ (т)
(22)
Для полных электрического Ре (т) и магнитного Рм (т) формфакторов справедливы мультипольные разложения:
р%{т) = ^со(^)+та^са(т)+г4 ^; ^; \IfUt) +
4 • 16 • 16 • 16
<23)
т^2 , ^ тп2 / ч 2 2 ■ 11 ■ 16 ^ , . 4 13 ■ 16 ■ 16 „2 , ,
Р2м(т) = ^(т) + т2 з3 52 ^ 7^мз(г) + г4з 5з ?2 ^ 92^5(т) +
4 16 16 16
+ <24)
Подставив (23) и (24) в (22) и воспользовавшись представлением сечения в виде (1), найдем связь мультипольных кулоновских Роь(т) и магнитных Рмь(т)
е—
ф
—ф
ф
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. К2 3-4. 2007. с. 101-106 105 формфакторов с инвариантными формфакторами вершин (9)
Рсо =
1 + 2г(1 + М1 + ^г
15
7
~\т{1+т)
83
1 + -Г (1 + -Г
2
35 (1 + т) е'
РС2 = 3
1+И1+г
2
7
4<1+т)
16 1 1 + уг 1 + -Т
^ = |(1 + Ат)р.в + |(1 + т)а(1+18т,яв-
РС6 =
45
- ¿(1 + т)Се + 1(1 + г)2Яе - ¿(1 + г)3Ле
(25)
Рм 1 =
12 6 8 1 + УГ(1+7Г(1+27Г
35
9
2
"^(1 + т)
12 4 1 + уг (1 + -т
8
Ст_105 (1 + т) Лт'
рмз — «
1 + 1г(1 + ^г
1 12 рт + -т(1+т)2 1 + —г)яго-
2
11
"1<1 + Г>
3
Рм 5 =
45
86 + зТ ( ТТт _
^ + ^(1 + г)2 Г1 + ^т ) Нт -
Ст-—т2(1 + тУКт,
8
13
315
РМ7 = —
Т)вт + 1(1 + 7")2Нт ~ ¿(1 + г)3Лт
(26)
Здесь в формулах (25) и (26) (см. также (10)):
Р=
Р е.т —
Не
Р(т
Р е,т Р(3)
л/ТТ~1
Ge.m —
Йе.т —
Р(2)
ТгТт'
Р(4)
УГТ7'
Заключение
Полученные здесь формулы (22)—(26) дают возможность реализовать релятивистское описание имеющихся экспериментальных данных по упругому рассеянию электронов ядрами спина 7/2. Эти формулы особенно полезны в области больших Их следует использовать, в частности, при анализе асимптотического поведения формфакторов, которое может определяться, например, кварковой структурой ядра.
4
2
ф"
ф
ф
ф
ф
е-
-е
106
Богданов Ю. П. Электромагнитная структура состояния I/7/2 ядер в .
Литература
1. Ricci R. A. On Electromagnetic Structure of I/7/2 nuclei // Proc. Topical Conf. on the Struct. of I/7/2 nuclei. — Legnaro: 1971.
2. Sick I. Radial Wave Functions of Valence Nucleons // Comments on Nuclear and Particle Physics. — Vol. 9, No 2. — 1980. — Pp. 55-66.
3. De Witt Huberts P. K. A. On the Radial Description of the I/7/2 Proton Orbit // Physics Letters. — Vol. 71B, No 2. — 1977. — P. 317.
4. Nascimento I. O. Elastic Electron Scattering from the M7 Magnetization Density of 51V // Physics Letters. — Vol. 53B, No 2. — 1974. — P. 168.
5. Donnelly T. W., Walecka J. D. On Nuclear Moments and Nuclear Structure // Ann. Rev. Nucl. Sci. — Vol. 25. — 1975. — P. 329.
Rand R. E. Elastic Electron Scattering from the Magnetic Multipole Distributions
6
7.
9.
of Li6, Li7, Be9, B10, B11 and N14 // Physical Review. - Vol. 144. - 1966. - P. 859. Griffy T. A., Yu D. V. L. Electron Scattering from Nuclear Magnetic Moments // Physical Review. - Vol. 139B. - 1965. - P. 880.
Богданов Ю. П., Керимов Б. К., Сафин М. Я. Упругое рассеяние электронов ядрами соспином 3/2 в формализме Рариты-Швингера // Известия АН СССР. - Т. 44, вып. Физ. - 1980. - С. 2337.
1981. — Тезисы докладов 31-го Совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. Ленинград: Наука.
8
UDC 539.142
Electromagnetic Structure of State 1f7/2 for Nuclei in reactions
e- + A ^ e- + A
Yu. P. Bogdanov
Department of Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
Elastic electron scattering on nuclei of spin 7/2 is considered on the base of RaritaSchwinger wave functions. The expressions for covariant electromagnetic vertex function and projection (spin density matrix) are derived. Furthermore these results with a help of the multipole resolution method yielded in general formulas for multipole and invariant form factors, the latter are useful in the analysis of its asymptotic properties induced by the quark structure of nuclei.
e— e
—e e
