CC BY
8
УДК 537.82
Электромагнитная модель многокомпонентного высокотемпературного
нагревателя
А.В. Юдин, канд. техн. наук
Получена матричная модель многокомпонентного высокотемпературного нагревателя, учитывающая электромагнитное взаимодействие элементов, представляющая собой аналог модели трансформатора с системой одновитковых обмоток, размещенных в различных плоскостях.
Ключевые слова: электромагнитное взаимодействие, высокотемпературный нагреватель, матричная модель.
Electromagnetic Model of Multicomponent High-Temperature Heater
A.V. Yudin, Candidate of Engineering
The author considers the matrix model of a multicomponent high-temperature heater with electromagnetic interaction of elements, representing the analog of transformer model with the system of single windings in various planes.
Key words: electromagnetic interaction, high-temperature heater, matrix model.
На формирование монокристалла сапфира существенное влияние оказывает форма фронта кристаллизации, так как рост кристалла всегда происходит в направлении, перпендикулярном фронту кристаллизации. Форма фронта кристаллизации зависит от способа нагрева и отвода тепла от растущего монокристалла. При вытягивании кристалла из расплава тепло отводится через растущий кристалл, фронт кристаллизации при этом имеет выпуклую форму. Качество фронта кристаллизации принято оценивать по ряду параметров: максимальному прогибу, степени кривизны фронта, величине аксиального и радиального градиентов. Идеальным случаем является плоский фронт кристаллизации, ему соответствует нулевое значение прогиба, нулевое значение радиального градиента, бесконечный радиус кривизны. Таким образом, оптимальные условия для получения монокристалла создаются в том случае, когда обеспечивается плоский фронт роста в макроскопическом масштабе [1].
При проектировании теплового узла в конструкцию закладываются характеристики, обеспечивающие плоский фронт кристаллизации. При этом искажение теплового поля, возникающее за счет разброса параметров отдельных секций нагревателя, не учитывается, хотя изменения радиальной составляющей фронта кристаллизации при этом могут быть весьма значительными. В связи с этим возникает необходимость в моделировании процессов, происходящих в высокотемпературном нагревателе при воздействии на него электромагнитных полей с различным спектральным составом.
Высокотемпературный нагреватель, как правило, представляет собой решетчатую конструкцию из вольфрамовых прутков (обычно 7 штук), расположенных по наружной поверхности цилиндрического вольфрамового тигля (рис. 1).
гревателя: 1- тигель; 2 - вольфрамовый пруток; 3 - медное полукольцо
Рассмотрим нагреватель, состоящий из п соосных П-образных вольфрамовых прутков, размещенных в различных плоскостях, образующих углы фц, ф2, ... фп .
Для учета взаимного влияния вольфрамовых прутков эту конструкцию можно представить в виде трансформатора с системой из N одновитковых обмоток, размещенных в различных плоскостях.
Электромагнитное взаимодействие обмоток между собой определяется их ориентацией относительно друг друга. Степень взаимодействия, характеризуемая уровнями наведенных ЭДС, пропорциональна косинусам углов между плоскостями этих обмоток.
Вследствие этого, с помощью метода объединенных матриц [1] может быть составлена следующая модель многокомпонентного высокотемпературного нагревателя:
М^Ш + Rl(t) = E(t),
(1)
где ЕЦ) и - вектор-столбец ЭДС, подводимых к пруткам нагревателя, и вектор токов, протекающих в них, соответственно; (Р 0 ... 0 ^
R =
0 R,
R
- матрица активных сопро-
тивлений контуров обмоток, включающая как сопротивления самих П-образных вольфрамовых прутков, так и сопротивления источников ЭДС;
М =
т.
11
т.
12
т-
21
т
22
т
n1
т
n 2
т
1n
т
2N
т
- матрица взаимных
индуктивностеи.
Если учесть, что все П-образные вольфрамовые прутки имеют практически одинаковые размеры, то для элементов матрицы взаимных индуктивностей можно записать
008(9--) С0Э(ф12) ... 008(ф1п) С0Э(ф21) 008(ф22) ... 008(ф2п)
М = Lo
(2)
_008(фп-) 008(ф„2) ... 008(фпп)_ где ^о - индуктивность одного витка; ф]к(У,к = 1,2,...,п) - углы между плоскостями витков.
Для регулярной структуры равномерного размещения прутков нагревателя
фук =ф0(к - У), где ф0 =п - шаг регулярной
структуры, определяющий угол между смежными плоскостями П-образных прутков.
В соответствии с этим, из (2) получим
М = Lo
1
соэ(фо) 1
С°5(фо) cos (n - 1)ф0 cos (n - 2)ф0
cos (n - 1)ф0 cos (n - 2) ф0
1
(3)
Воспользуемся принятым в MATLAB соглашением о расширении применимости функции cos для векторного и матричного аргументов (поэлементные операции), тогда из (3) получим
Г 0 ф0 0
М = L0 cos
ф0
(n - 1)ф0 ^ (n - 2)ф0
(4)
v(n - 1)ф0 (n -2)ф0 ... 0 Введем вспомогательный вектор N = (0 1 ... n -1) и преобразуем (4) к виду
М = L0 cos (To (N)), (5)
где To - функция построения матрицы Теплица.
Подставив (5) в уравнение (1), получим детализированную матричную модель нагревателя, учитывающую электромагнитное взаимодействие элементов:
L0 cos [ф0То (N)] ® + Rl (t) = E (t).
(6)
Для случая воздействия на нагреватель гармонического напряжения с частотой ю, представленного комплексной формой записи
E(t) = Eelwt, выражение (6) приобретает вид
(7)
(R + jmL0 cos[ф0То (N)]) / = E.
Из (7) следует / =(R + j roL0 cos [ф0То (N )]) E, (8)
где «-1» - функция обращения матрицы.
С помощью (8) можно произвести оценку влияния электромагнитного взаимодействия элементов нагревателя на различных гармониках спектра.
Токи k-й гармоники при учете взаимодействия определяются соотношением
ik = (R + jk »L0 cos [^To (N)]) E. (9)
Следует отметить, что при отсутствии учета взаимного влияния соотношения (8) и (9) вырождаются в соотношение ik = R-E , которое представляет собой закон Ома в матричной форме.
Оценим взаимодействие отдельных витков нагревателя для типовой конструкции. Индуктивность одного витка прямоугольной формы (рис. 2) может быть найдена согласно выражению [2]
b2+d/ 2 b2 ' J Jf
X1=0 X2-b2 ,
L0 z
pdx1dx2
V(x1 - x2 )2
Ьз+d/2 Ьз
■ J J
/1=0 /2-Ьз
Pdy1dy2
- (( - Pb3
\
■d/2)2
V(/1 - /2 )2 + (b2 - Pb2 + d/2)2
CM
Рис. 2. Геометрическая модель индуктивности одного витка
Примем высоту тигля равной 0,5 м, а диаметр 0,3 м при диаметре прутка 5 мм. В этом случае Ь3/Ь2 = 0,5/0,3 = 1,67, а
д/Ь2 = 0,005/0,15 = 0,033. Из таблицы [2], составленной на основании выше приведенной формулы, получим, что индуктивность одного витка, отнесенная к геометрическому размеру
Ь2, составляет около 10 мкГн/м, т. е. собственная индуктивность витка = 10 • 0,15 = 1,5 мкГн.
Для рассматриваемой конструкции, содержащей семь витков, вектор N содержит значения от 0 до 6. Примем напряжение на нагревателе равным 8 В при величине активного сопротивления одиночного П-образного нагревателя 0,0112 Ом. Такие параметры характерны для установок для выращивания лейкосапфира класса Апекс-М.
Листинг программы на внутреннем языке системы инженерных расчетов МаМаЬ приведен в таблице.
Листинг программы анализа токов высокотемпературного нагревателя_
N=0:6;
1_0=1.5е-6;
Р=50;
П0=р1/7;
Отеда=2*р1*Р;
Е=8*опеэ(7,1);
Р=сПад([0.0112 0.0112 0.0112 0.0112 0.0112 0.0112 0.0112]);
Ипу^+ГОтедаЮ^оБ^ЮПоер!^^))^; р!о1(аЬБ(!),'-*');дг1С_
Полученная в результате расчетов по данной программе матрица токов имеет вид
709,953911024593 - 29,41559046438441 702,148271264297 - 82,42065294313961 696,746600950362 - 119,1012942835331 694,818767135603 - 132,1924636095561 696,746600950362 - 119,1012942835331 702,148271264297 - 82,42065294313961 709,953911024593 - 29,41559046438441.
На рис. 3 приведено распределение модуля тока по пруткам одиночного П-образного нагревателя.
Рис. 3. Распределение токов по пруткам нагревателя
Заключение
Наличие электромагнитной связи искажает равномерность распределения токов. И хотя искажение не велико и не превышает 0,4 %, оно способно исказить тепловое поле внутри тигля с расплавом. Подобное обстоятельство необходимо учитывать при проектировании высокотемпературных нагревателей. Необходимость этого обусловлена тем, что процесс формирования монокристалла крайне чувствителен к изменению температуры и изменение на 0,5 градуса (при температуре порядка 2000 градусов) способно привести к появлению дефектов.
Список литературы
1. Монокристаллы никелевых жаропрочных сплавов / Р.Е. Шалин, И.Л. Светлов, Е.Б. Качанов и др. - М.: Машиностроение, 1997. - 336 с.
2. Немцов М.В. Справочник по расчету параметров катушек индуктивности. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 192 с.
Публикация выполнена по итогам научно-исследовательской работы в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
Юдин Алексей Викторович,
Рыбинская государственная авиационная технологическая академия,
кандидат технических наук, доцент кафедры электротехники и промышленной электроники,
е-таП: ииС1пАУ@таН.ги
