CC BY
47
УДК 537.874.6
Г. С. Макеева, О. А. Голованов
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ВОЛН И КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ФЕРРИТОВЫХ СТРУКТУРАХ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
Разработана методика бифуркационного анализа параметрических нестабильностей электромагнитных волн и «длинноволновых» безобменных магнитостатических волн (МСВ) в трехмерных электродинамических структурах с нелинейными пленочными ферритовыми включениями.
Проведен бифуркационный анализ параметрического возбуждения МСВ в пленочных ферритовых включениях в резонаторной структуре и рассчитаны пороговые значения амплитуды волны накачки с помощью специального вычислительного алгоритма, позволяющего определять точки бифуркации нелинейного оператора Максвелла с учетом ограничивающих геометрий.
Введение
Нелинейность уравнения движения вектора намагниченности приводит, как известно, к связи различных типов колебаний и волн в ферритовых структурах и вызывает ряд новых нелинейных явлений, важнейшим из которых является параметрическое возбуждение одних типов колебаний или волн под воздействием других, когда амплитуды волны последних превышают определенное пороговое значение [1].
Параметрическая неустойчивость возникает при периодическом изменении во времени параметров нелинейной гиромагнитной среды заполнения при распространении в электродинамических структурах монохроматических волн большой амплитуды. Характер волновой турбулентности, возникающей в результате развития параметрической неустойчивости в нелинейной среде, существенно зависит от вида закона дисперсии волн, нелинейных и диссипативных свойств среды, так что вряд ли можно надеяться построить общую нелинейную теорию [2]. Класс задач о параметрической турбулентности, к которым применим общий подход, объединяет те случаи, когда волна накачки имеет пространственно-однородное распределение поля или большую длину волны (по сравнению с размерами системы) [2]. Именно такая ситуация осуществляется в большинстве экспериментальных и теоретических исследований по параметрическому возбуждению спиновых волн (СВ) в ферромагнетиках и ферритовых пленках [3-15]. В рамках 5-теории анализ параметрического возбуждения дипольно-обменных СВ и возникающих при этом нелинейных явлений проводится методом классического гамильтонова формализма [2]; при этом вся «линейная» информация, необходимая для изучения нелинейных проблем, заключена в законе дисперсии СВ.
Допущение физических теорий параметрической нестабильности «коротких» дипольно-обменных СВ [3-8, 12-14], базирующихся на решении уравнения Ландау-Лифщица и упрощенных уравнений Максвелла, заключается в использовании разложения по плоским однородным СВ. Это предположение перестает быть справедливым, когда значения волнового числа СВ
порядка или меньше обратных размеров структуры, т.к. в этом случае плоские СВ не удовлетворяют электродинамическим граничным условиям на поверхностях ферритовых структур и, следовательно, не являются собственными функциями задачи.
Задачи параметрического возбуждения «длинноволновых» безобменных магнитостатических волн (МСВ) под действием однородной и локальнооднородной плоской волны накачки решены для одномерных и двухмерных ферритовых структур [см., например, 1, 4, 15]; при этом в магнитостатическом приближении, если пренебречь вкладом обменного взаимодействия, в качестве собственных функций приняты неоднородные магнитостатические колебания.
В этой связи значительный интерес представляет построение методами теории бифуркаций адекватных математических моделей, базирующихся на нелинейных уравнениях Максвелла совместно с уравнением движения вектора намагниченности (без каких-либо упрощений уравнений и граничных условий), и численное исследование на моделях высокого уровня нелинейных и параметрических взаимодействий электромагнитных волн и МСВ, СВ в трехмерных нелинейных ферритовых структурах с учетом ограничивающих геометрий.
В данной работе разработана методика бифуркационного анализа и проведено математическое моделирование на электродинамическом уровне строгости параметрического взаимодействия электромагнитных волн и «длинноволновых» безобменных МСВ в пленочных ферритовых включениях в волноведущих и резонаторных электродинамических структурах (обменное взаимодействие в уравнении Ландау-Лифшица и дополнительные граничные условия и, соответственно, «короткие» дипольно-обменные СВ не учитываются в этом приближении).
Математическое моделирование базируется на решении трехмерной нелинейной задачи дифракции для уравнений Максвелла совместно с уравнением движения вектора намагниченности с помощью вычислительного алгоритма, построенного в [16] на основе метода поперечных сечений. Однако зачастую понять физический смысл полученных численных решений весьма затруднительно. Вот почему для качественного анализа явлений, связанных с параметрической нестабильностью (параметрическое возбуждение МСВ), проводится бифуркационный анализ с помощью разработанного специального вычислительного алгоритма [17], позволяющего определять точки бифуркации нелинейного оператора Максвелла с учетом ограничивающих геометрий.
1. Метод численного анализа параметрической нестабильности
Систему обыкновенных дифференциальных уравнений, совместно с системой нелинейных алгебраических уравнений, полученную в [16], запишем в символическом виде:
(1)
г = 1,2,..., т, 7 = т +1, т + 2,..., п, где уг = У1 (г) - неизвестные функции продольной координаты г , составленные из функций, определяемых методом поперечных сечений [16].
При уг = 0 (г = 1,2,..., п) функции ^ и Vу (г = 1,2,..., т; у = т +1, т + 2,..., п) тождественно обращаются в нуль, следовательно, решение у г = 0 (г = 1,2,..., п) системы (1) является неподвижным относительно
продольной координаты г.
Линеаризуем систему уравнений (1), заменив ее системой линейных дифференциальных уравнений первого приближения. Для этого необходимо функции ^ и Vу разложить в обобщенный ряд Тейлора в окрестности точки
У1 = 0 и учесть частные производные до первого порядка включительно. Тогда полученная система линейных дифференциальных уравнений имеет вид
йУі = йг
П
I
к=1
к=1
дУк
у (0,0,...,0)
дУк
(2)
і = 1,2,..., т; ] = т +1, т + 2,..., п.
Запишем систему дифференциальных уравнений (2) в развернутом виде: ап (г)У1 + ап (г) У2 +... + аи (г) Уп = у1, а21 (г) У1 + а22 (г) У2 + ... + а2п (г) Уп = У2,
ат1 (г) У1 + ат2 (г) У2 + ". + атп (г) Уп Ут, ат+1,1 (г) У1 + ат+1,2 (г) У2 + - + ат+1,п (г) Уп = 0 ат+2,1 (г) У1 + ат+2,2 (г) У2 + - + ат+2,п (г)Уп = 0
(3)
ап1 (г) У1 + ап2 (г) У2 + ... + апп (г) Уп = 0, где коэффициенты агу (г) (г, у = 1,2,..., п) составлены из частных производных в (2).
Исключая неизвестные ут+х, Ут+2, ..., Уп , запишем систему дифференциальных уравнений (3) в матричной форме:
А > У = І •
(4)
йУ
где У ,------вектор-функции с компонентами, соответственно, У1, У2, ..., Ут
йг
и
y1, y2,..., Ут; А (г ) = А11 (г)- а12 (г )А22 (г )Аи (г), здесь
А11(г) =
а11 (г) а12 (г) ... а1т (г)Л
а21(г) а22 (г) ... а2т (г)
ат1 (г) ат2 (г) ... атт (г)
А12(г) =
А21(г)=
а1 т+1 (г) а1 т+2 (г)
а2 т+1(г) а2 т+2(г)
чат т+1 (г) ат т+2 (г)
ат+1 1 (г) ат+1 2 (г) .
ат+2 1 (г) ат+2 2 (г) .
а1п (г) ^
а2п(г)
а
1тп
(г)
ат+1 т (г) ат+2 т(г)
ап1 (г )
а
т2
(г )
а
пт
(г )
А22 (г) =
ат+1 т+1 (г) ат+1 т+2 (г) ". ат+1 п (г)
ат+2 т+1 (г) ат+2 т+2 (г) ". ат+2 п (г)
ап1 (г )
ап2(г)
<(г )
Частные решения системы линейных дифференциальных уравнений (3) будем искать в виде
Ут ат ' ехР^тг ,
где а^, а2,...,ат - компоненты вектора а .
Подставляя (5) в (4), получаем матричное уравнение
А • а = X • а ,
(5)
(6)
из которого следует, что X и а являются соответственно собственными числами и собственными векторами матрицы А (т.е. собственными числами и собственными векторами линеаризованного оператора Максвелла). Решая уравнение (6) численным методом ^И-алгоритм), находим собственные числа Xт и собственные векторы а матрицы А. Собственные числа Хт являются постоянными распространения «слабонелинейных» волн. Собственные векторы а являются численными аналогами поперечных и продольных компонентов электромагнитных полей «слабонелинейных» волн, зависящих от геометрии волноведущей структуры. Значения 1/Хт определяют точки бифуркации ц нелинейного оператора Максвелла.
Методика исследования параметрических нестабильностей в резона-торных электродинамических структурах с распределенными включениями нелинейных сред аналогична. Собственные числа шт резонаторной краевой задачи являются собственными частотами «слабонелинейных» колебаний. Значения 1/ шт определяют точки бифуркации ц нелинейного оператора Максвелла. Компоненты собственных векторов а являются компонентами электромагнитных полей «слабонелинейных» колебаний, зависящих от геометрии резонаторной структуры.
В отличие от известных теорий нестабильности СВ [3-6] в данной работе электромагнитные поля в волноведущих и резонаторных электродина-
мических структурах, содержащих нелинейные ферритовые включения, представляются в виде разложения в ряд по «слабонелинейным» волнам («слабонелинейным» колебаниям), которые удовлетворяют электродинамическим граничным условиям и, следовательно, образуют полную систему собственных функций рассматриваемой задачи.
Согласно критерию Ляпунова [18], если действительные части комплексных собственных чисел Хт матрицы А отрицательны, то решения системы дифференциальных уравнений (3) асимптотически устойчивы. Если действительные части (хотя бы одно) комплексных собственных чисел Хт матрицы А положительны, то решения системы дифференциальных уравнений (3) являются неустойчивыми. Изменение знака действительной части комплексных собственных чисел Хт происходит в окрестностях точек бифуркации. Поэтому для того, чтобы провести бифуркационный анализ возникновения параметрических нестабильностей в ферритовых включениях в трехмерных электродинамических структурах, необходимо найти точки бифуркации нелинейного оператора Максвелла с помощью специального вычислительного алгоритма [17] и проследить за изменением точек бифуркации и решений при изменении параметров.
2. Электродинамический анализ параметрического возбуждения магнитостатических волн и колебаний в трехмерных ферритовых структурах
Проведено численное моделирование нелинейных и параметрических взаимодействий электромагнитных волн и МСВ в пленочном ферритовом включении в резонаторной структуре (рис. 1) в зависимости от толщины фер-ритовой пленки при ее изменении от 1 мм до 1 мкм (в отличие от резонаторной структуры с планарным ферритом, исследованной в [17]).
Параметрический генератор СВЧ (рис. 1) состоит из полуволнового полоскового резонатора 5 и намагниченной ферритовой пленки 6, помещенной в пучность магнитного поля резонатора. На входное сечение 51 резонатора (рис. 1) падают две электромагнитные волны низшего типа связанной полосковой линии (СПЛ) с ортогонально ориентированными поперечными компонентами: в СПЛ с проводниками 1,2 распространяется волна сигнала с частотой
(/ = ю1/2л = 5 ГГц) и амплитудой Сщ^о^) ; в СПЛ с проводниками 3, 4 -
волна накачки с частотой Ю2 (/2 = Ю2 /2к = 10 ГГц ) и амплитудой С+щ (Ю2).
Интенсивная прецессия намагниченности с частотой накачки Ю2 приводит вследствие нелинейности электродинамической системы - ферритово-го генератора с распределенными параметрами - к появлению связи между собственными колебаниями системы и возникновению нестабильности. В рассматриваемом случае (как и в ферритовом генераторе при полустатиче-ском режиме работы [1]) нестабильность возникает вследствие возрастания некоторых низших неоднородных типов прецессии, которые зависят от граничных условий. Этот случай является противоположным рассмотренному в теории нелинейного поглощения, разработанной Сулом для малого (по сравнению с длиной электромагнитной волны) ферритового эллипсоида [3], где нестабильными становятся высшие неоднородные типы прецессии с боль-
шими индексами, для которых электродинамические граничные условия не играют особой роли.
Рис. 1 Резонаторная структура с пленочным ферритовым включением: 1-4 - проводники СПЛ; 5 - полосковый резонатор; 6 - намагниченная ферритовая пленка (8 = 9;
Н0 = 278 А/мм; М 0/ ц0 = 160 А/мм; щ = 3 • 109 1/с); 7 - диэлектрическая подложка СПЛ (8 = 9; ц = 1); 8 - точка наблюдения поля
Определяющим в механизме взаимодействия является нестабильное возрастание амплитуд пар электромагнитных и магнитостатических колебаний, частоты которых удовлетворяют условию параметрического резонанса в непрерывной нелинейной среде [2]:
т&2 = Щ + Щр , (7)
где щ - частоты собственных электромагнитных колебаний полоскового резонатора; Ш2 - частота волны накачки; щр - частоты собственных магнитостатических типов колебаний (стоячих МСВ) пленочного ферритового резонатора; т - число, которое определяет порядок неустойчивостей.
Главный вклад в это взаимодействие вносят нелинейные процессы, удовлетворяющие условию (7) и не выводящие волны из параметрического резонанса. Это приводит к определенному правилу отбора пар параметрически взаимодействующих электромагнитных мод полоскового резонатора и низших магнитостатических мод пленочного ферритового включения. При этом возбужденными оказываются как раз те типы волн и колебаний, частоты которых в точности удовлетворяют условию параметрического резонанса (7).
Проведен электродинамический расчет относительной амплитуды
отраженной (на сечении 5Х) волны сигнала по от-
С 1(1) (®1) / С+2(1) (®2 )
ношению к амплитуде С^^^) падающей (на сечение 5х) волны накачки основного (нечетного) типа СПЛ в зависимости от толщины ферритовой пленки и направления поля подмагничивания Но. Результаты математического моделирования, полученные численным методом нелинейных универсальных автономных блоков с каналами Флоке [19], приведены на рисунке 2. Эти результаты показывают, что при изменении толщины ферритовой пленки от 1 мм до 1 мкм имеются максимумы (1-5 на рис. 2) относительной амплитуды
С 1(1) (©1) / С+
2(1) (©2) , обусловленные параметрическим возбуждением
низших толщинных магнитостатических мод. Максимумы (1-5 на рис. 2) соответствуют определенным значениям толщины ферритовой пленки, при которых собственные частоты юр параметрически возбуждаемых магнитостатических типов колебаний в пленочном ферритовом включении, зависящие от толщины ферритовой пленки и направления поля подмагничивания Я0, удовлетворяют условию (7).
электромагнитной волны сигнала по отношению к амплитуде С+(1) (Ю2)
падающей электромагнитной волны накачки в зависимости от толщины ферритовой пленки в резонаторной структуре для различных направлений
поля подмагничивания Н0: — Р = 45°,----Р = 75°; Н0 = 278 А/мм, С+ ) (ю) = 7 А/мм
2(1)
Результаты получены для различных ориентаций вектора поля подмагничивания Но под углом Р по отношению к плоскости ферритовой пленки (подмагничивание поперечное по отношению к волноводной оси г СПЛ). Как следует из численного эксперимента, параметрическое возбуждение МСВ наиболее эффективно при ориентации вектора поля подмагничивания Но под углом Р = 45° по отношению к плоскости ферритовой пленки. При этом вектор Но перпендикулярен поперечной компоненте вектора переменного
магнитного поля Н волны сигнала (основной тип электромагнитной волны в СПЛ с полосками 1, 2) и параллелен поперечной компоненте вектора переменного магнитного поля Н волны накачки (основной тип электромагнитной волны в СПЛ с полосками 3, 4).
В области, пограничной между электродинамическим и магнитостатическим приближениями, проведен электродинамический анализ реального спектра параметрически возбуждаемых мод в пленочном ферритовом включении на электродинамическом уровне строгости (без упрощения уравнений Максвелла и граничных условий). Результаты численного моделирования распределения переменного магнитного поля Н низших толщинных магнитостатических мод для значений толщин ферритовой пленки I, соответствующих максимумам 1-5 (рис. 2), представлены на рисунке 3. Параметрически возбуждае-
мые магнитостатические колебания различаются друг от друга распределением переменного магнитного поля Н по толщине ферритовой пленки, которое симметрично относительно середины пленки и существенно зависит от граничных условий (больший размер пленочного ферритового включения, как и в [9], не оказывает влияния на формирование спектра собственных колебаний, т.к. этот размер существенно больше длины волны МСВ).
Рис. 3 Распределение магнитного поля параметрически возбуждаемых низших толщинных мод в трехмерной пленочной ферритовой структуре для толщин ферритовой пленки I, соответствующих максимумам 1-5 на рисунке 2:
Н0 = 278 А/тт; Р = 45°, |С+ад(ю2)| = 7 А/мм: а - I = 0,025 мм; б - I = -0,015 мм; в - I = -0,01 мм; г - I = -0,0069 мм; д - I = -0,0045 мм
Эти результаты (рис. 3) строгого математического моделирования переменного магнитного поля Н , удовлетворяющего электродинамическим граничным условиям, существенно отличаются от результатов моделирования в магнитостатическом приближении с граничным условием «магнитной» стенки [1]. Наименьшее различие - для низшей толщинной магнитостатической моды в ферритовой пленке с минимальной толщиной I = 0,0045 мм (рис. 3).
3. Бифуркационный анализ параметрического возбуждения волн и колебаний
Нестабильность процесса параметрического возбуждения МСВ в зависимости от бифуркационных параметров моделировалась с помощью специального вычислительного алгоритма определения точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла [17]. Результаты математического моделирования областей нестабильности при параметрическом возбуждении МСВ в зависимости от бифуркационного значения параметров (амплитуды С2(1)(Ю2) падающей волны накачки и нормализованной частоты) приведены на рисунке 4. Рассчитаны пороговые значения амплитуды С2(1) (ю2) волны накачки (сплошные кривые на рис. 4),
при которых начинаются нелинейные процессы и возникает параметрическое возбуждение МСВ в пленочном ферритовом включении (толщиной I = 0,1 мм) в резонаторной структуре. Для сравнения на рисунке 4 приведены также результаты расчета пороговых амплитуд С2(1)(Ю2) (прерывистые кривые на рис. 4) параметрического возбуждения электромагнитных колебаний в резонаторной структуре с планарным ферритом толщиной I = 0,1 мм. Эти пороговые значения
амплитуды С2(1)(Ю2) вычислялись по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла с помощью специального алгоритма [17].
С2(1)(с02 )■ А/мм
100 / / / / / ✓
75 І ч ч_/
50 1 1/7 /
25 и V
0 1 2 3
Рис. 4 Области нестабильности параметрического возбуждения магнитостатических колебаний в пленочном ферритовом включении в резонаторной структуре в зависимости от амплитуды С-щ) (^) волны накачки и нормализованной частоты:
ю0 - частота собственных электромагнитных колебаний полоскового резонатора (резонатор полуволновый на частоте сигнала /1 = 5 ГГц); ю2 - частота волны накачки, I = 0,1 мм; ориентация поля подмагничивания Н 0 в = 45°
(кривая - - параметрическое возбуждение электромагнитных колебаний для I = 0,3 мм)
Качественный анализ устойчивости полученного численного решения проводился в соответствии с критерием Ляпунова [18] с использованием комплексных собственных чисел Хт матрицы A . Кривые на графике (рис. 4) разделяют области нестабильности и устойчивости полученного решения. В областях неустойчивости (эти области нестабильности расположены над кривыми на рис. 4) некоторые из комплексных собственных чисел Хт матрицы A имеют положительные действительные части. В окрестностях точек на этих кривых происходит изменение знака действительной части комплексных собственных чисел Xт. В областях устойчивости (эти области расположены под кривыми рис. 4) действительные части комплексных собственных чисел Хт матрицы A отрицательны.
Сплошные кривые (рис. 4) разделяют неустойчивый режим параметрического возбуждения магнитостатических колебаний от устойчивого режима параметрической регенерации. При переходе через бифуркационные значения параметра С2(1)(Ю2) в точках бифуркации происходят скачкообразные
переходы исследуемой нелинейной электродинамической системы в режим параметрического возбуждения магнитостатических колебаний. Если амплитуда С2(1)(Ю2) волны накачки превышает определенное пороговое значение,
то в нелинейной системе возникают магнитостатические колебания с частотами, удовлетворяющими условию (7).
Области нестабильности при параметрическом возбуждении находятся вблизи значений частоты, удовлетворяющих известному условию параметрического резонанса для осциллятора [1]: ю0 = тю2 /2 , где т = 1, 2, 3, ...
Важным результатом математического моделирования является понижение порога параметрической неустойчивости в условиях параметрического возбуждения магнитостатических колебаний (сплошные кривые на рис. 4) в пленочной ферритовой электродинамической структуре в сравнении с параметрическим возбуждением только электромагнитных колебаний (прерывистые кривые на рис. 4) в резонаторной структуре с планарным ферритом.
Различие в пороговых значениях амплитуд С2(1)(Ю2) (рис. 4) является наименьшим для неустойчивости первого порядка ю0 =Ю2/2 при т = 1 и резко возрастает для неустойчивостей более высокого порядка Юо = тю2/2 с увеличением т. Это уменьшение порога нелинейности первичных волн (электромагнитных волн), участвующих в параметрическом взамодействии, происходит вследствие уменьшения оттока энергии вторичных волн (возбуждаемых МСВ) из области накачки [20].
Заключение
Разработанная методика позволяет, используя собственные числа и собственные векторы линеаризованного оператора Максвелла, выяснить условия параметрической нестабильности, т.е. возможности возникновения параметрической неустойчивости электромагнитных и магнитостатических волн и колебаний в трехмерных волноведущих и резонаторных электродинамических структурах с распределенными включениями нелинейных гиромагнитных сред в зависимости от закона дисперсии волн, нелинейных и диссипативных свойств среды и ограничивающих геометрий.
Математическое моделирование электродинамического уровня строгости нелинейных и параметрических взаимодействий в сочетании с бифуркационным анализом явлений, связанных с параметрической нестабильностью (параметрическое возбуждение МСВ) по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла открывает возможности численного анализа нелинейной динамики МСВ и возникающих эффектов в пленочных ферритовых электродинамических структурах различной геометрии.
Список литературы
1. Гуревич, А. Г. Ферриты на сверхвысоких частотах / А. Г. Гуревич. - М. : Физматиз, 1970.
2. Захаров В. E., Львов В. С., Старобинец О. С. // Успехи физических наук. - 1974. - 114 т. - Вып. 4. - С. 609-653.
3. Suhl H. // J. Phys. Chem. Solids. - 1957. - V. 1. - Р. 209-227.
4. Schlomann E., Green J. J., Milano U. // J. Appl. Phys. 1960. - № 31. -S. 395.
5. Slavin A. N., Rojdestvenskii I. N. // IEEE Trans. Magn. - 1994. - V. 30. -№ 1. - P. 37-45.
6. Kostylev M. P., Kalinikos B. A., Dotsch H. // J. Magn. Mater. - 1995. -V. 145. - P. 93-110.
7. Kalinikos B. A., Kostylev M. P. // IEEE Trans. Magn. - 1997. - V. 33. -№ 5. - P. 3445-3447.
8. Калиникос Б. А., Ковшиков Н. Г., Костылев М. П. [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 1997. - Вып. 4. - 114 т. - С. 346-350.
9. Калиникос Б. А., Ковшиков Н. Г., Оспанов Е. А. // Письма в ЖТФ. -1997. - Вып. 16. - С. 82-87.
10. Kolodin P. A., Kabos P., Patton C. E. [et al.] // Phys. Rev. Lett. - 1998. -V. 80. - № 9. - P. 1976-1979.
11. Костылев М. П., Калиникос Б. А. // ЖТФ. - 2000. - Вып. 2. - 70 т. -С. 136-138.
12. Nazarov A. V., Cox R. E., Patton C. // IEEE Trans. Magn. - 2001. - № 37. -С. 2380-2382.
13. Sung Y. An., Krivosik P., Kraemer M. A. [et al.] // IEEE Trans. Magn. -2004. - V. 96. - № 31. - Aug. - Р. 1572-1580.
14. Scotta M. M., Patton C. E. // Journal of Applied Physics. - 2004. - V. 95. -№ 11 (1). - June. - Р. 6294-6301.
15. MarcellilR., Nikitov S. A. // Europhys. Lett. - 2001. - № 54 (1). - April. -Р. 91-97.
16. Макеева Г. С., Голованов О. А. // Радиотехника и электроника. - 2006. -№ 3. - 51 т. - С. 261-267.
17. Макеева Г. С., Голованов О. А. // Радиотехника и электроника. - 2007. -№ 1. - 52 т. - С. 106-113.
18. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. -М. ; Л., 1950.
19. Голованов О. А. // Радиотехника и электроника. - 2006. - № 12. - 51 т. -С. 1423-1430.
20. Бугаев А. С., Горский В. Б. // ФТТ. - 2002. - 44 т. - Вып. 44. - С. 1285-1289.
