CC BY
32
УДК 537.874.6
Г. С. Макеева, О. А. Голованов
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПОРОГОВ НЕЛИНЕЙНОСТИ МИКРОВОЛНОВЫХ МАГНИТНЫХ НАНОРЕШЕТОК ПО ТОЧКАМ БИФУРКАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА МАКСВЕЛЛА1
На электродинамическом уровне строгости проведено математическое моделирование нестабильности процесса параметрического возбуждения магнитных колебаний и волн в решетках магнитных наночастиц в микроволновом диапазоне частот с помощью вычислительного алгоритма определения точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла.
Введение
Магнитные нанокомпозиты, состоящие из изолированных друг от друга наноразмерных магнитных частиц в немагнитной твердой диэлектрической матрице, являются новым решением в создании микроволновых материалов с низкими потерями. Электромагнитные свойства магнитных материалов радикально изменяются при сокращении размеров до нанообласти, в особенности характерно раннее появление нелинейных эффектов.
В течение последнего десятилетия исследовалось распространение электромагнитных волн в перспективных фотонных кристаллах [1] на основе решения линейных краевых задач электродинамики. Исследование на математических моделях высокого уровня нелинейных свойств наноматериалов и нелинейной дифракции при волноводном распространении электромагнитного излучения в наноструктурах и фотонно-кристаллических структурах требует решения двух- и трехмерных нелинейных электродинамических задач дифракции на нанообъектах.
1 Нелинейная дифракция микроволнового излучения в магнитных нанорешетках
В нелинейном режиме при больших амплитудах падающей волны накачки, в отличие от работы [2], исследуется нелинейная дифракция электромагнитной волны на решетке магнитных наночастиц (ферритовых сфер), которые находятся между сечениями ^ ^ (рис. 1). На входное сечение ^ падают две плоских однородных электромагнитных волны ТЕМ-типа: волна сигнала с амплитудой Сщ)(юо), частотой ю0 и волна накачки с амплитудой
0(1) (“И), частотой юн, которые распространяются поперечно по отношению к направлению постоянного поля подмагничивания Но.
Нелинейная трехмерная задача дифракции для уравнений Максвелла совместно с уравнением движения вектора намагниченности в форме Лан-дау-Лифшица (без каких-либо упрощений уравнений и граничных условий) решается с помощью вычислительного алгоритма на основе нелинейных автономных блоков с каналами Флоке (НУБФ) [3].
1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 05-08-33503а.
Е
Н
Рис. 1 Геометрия решетки из магнитных наночастиц
Проведено математическое моделирование нелинейных и параметрических взаимодействий электромагнитных волн и диполь-дипольных магнитостатических волн (МСВ), а также дипольно-обменных спиновых волн (колебаний) в решетках магнитных частиц с различными размерами частиц (мик-ро- и наноразмерами) в зависимости от расстояния между частицами (периода решетки).
Математическое моделирование дифракции электромагнитной волны на решетке из ферритовых сфер проведено с учетом обменного члена в уравнении Ландау-Лифшица и, следовательно, не только для «длинноволновых» диполь-дипольных магнитостатических волн (колебаний), но и «коротких» дипольно-обменных спиновых волн (СВ) [4].
Результаты расчета зависимости модуля коэффициента прохождения (элемента многомодовой многоканальной матрицы рассеяния) через решетку из ферритовых сфер (рис. 1) в зависимости от нормированной частоты ю/у волны сигнала при различных расстояниях между частицами при сокращении их вплоть до порядка длины обменного взаимодействия приведены на рис. 2, 3.
1^12
0,2
0
2 800
3 200
3 600
------Н = 0,550 мм ..............Н = 0,35 мм --------------Н = 0,215 мм
Рис. 2 Зависимости модуля коэффициента прохождения через решетку
из ферритовых сфер при различных расстояниях Н между частицами (без учета обменного взаимодействия): радиус сфер Я = 0,1 мм;
Н0 =ю/у; М0 = 0,026 Тл ; Сщ)(ю) = 0,01 А/мм
Рис. 3 Зависимости модуля коэффициента прохождения через решетку
из ферритовых сфер при различных расстояниях Н между частицами (с учетом обменного взаимодействия): радиус сфер Я = 0,1 мм;
Н0 =ю/у; М0 = 0,026 Тл ; Сщ)(ю) = 0,01 А/мм ;
а - Н = 0,210 мкм; б - Н = 0,205 мм; в - Н = 0,202 мм; г - Н = 0,2005 мм
Как показывают результаты математического моделирования для решетки из ферритовых сфер, при изменении расстояния между частицами для h = 0,55 мм имеется сначала единственный минимум в (1 на рис. 2), а
затем вследствие магнитостатического диполь-дипольного взаимодействия между частицами (связи магнитных диполей) появляется несколько минимумов в |Si21 (1-4 для h = 0,35 мм и h = 0,215 мм на рис. 2). Эти минимумы соответствуют коллективным модам на собственных частотах магнитостатических типов колебаний ферритовой сферы [4]: 1 - низший однородный тип прецессии с индексами (1,1,0); 2-4 - неоднородные типы прецессии с индексами (2,2,0) и (2,2,1), (3,2,0) и (3,3,0) соответственно.
Результаты математического моделирования (рис. 3) для решетки из ферритовых сфер показывают, что при значительном уменьшении расстояния между частицами (от h = 0,210 мм до h = 0,2005 мм) интенсивность минимумов (2, 3, рис. 3) в 1^1^ уменьшается вследствие перекачки энергии из этих
магнитостатических типов колебаний другим (спиновым) классам колебаний. Наличие сильной связи между магнитными частицами, обусловленной не только диполь-дипольным взаимодействием, но и обменными силами, приводит к расширению центрального минимума в для h = 0, 2005 мм
(рис. 3) из-за дополнительных потерь, связанный с возбуждением СВ.
2 Бифуркационный анализ параметрической неустойчивости магнитостатических и спиновых волн (колебаний) в магнитных наночастицах
С помощью специального вычислительного алгоритма определения точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла [5] численно исследована нестабильность процесса параметрического возбуждения магнитных колебаний и волн в решетках магнитных наночастиц в зависимости от значения бифуркационных параметров: амплитуды волны накачки Сщ^Юд) и нормированной частоты ю2 /юД .
Рассчитаны пороговые значения амплитуды С+(1)(Ю2) волны накачки,
при которых начинаются нелинейные процессы и возникает параметрическое возбуждение диполь-дипольных магнитостатических, а также дипольно-обменных спиновых волн (колебаний) в решетках магнитных частиц с различными размерами частиц (микро- и наноразмерами) в зависимости от расстояния между частицами в микроволновом диапазоне частот. Качественный анализ устойчивости полученного численного решения проводился в соответствии с критерием Ляпунова [6].
Результаты электродинамического расчета областей нестабильности при параметрическом возбуждении диполь-дипольных магнитостатических и дипольно-обменные спиновых волн (колебаний) в магнитных нанорешетках (250 нм) на частоте волны сигнала /0 = 9,330 ГГц в зависимости от амплитуды Сщ)(юн) падающей электромагнитной волны накачки и нормированной частоты ю2/юД для различных расстояний между наночастицами приведены на рис. 4.
Рис. 4 Пороги параметрической нестабильности магнитостатических и спиновых колебаний в магнитных нанорешетках при различных расстояниях h между
частицами: R = 250 нм, Сщ) (Юд ) - амплитуда падающей электромагнитной волны накачки; Ю0 = 2л/ - частота волны сигнала /0 = 9,330 ГГц;
Юд - частота волны накачки
Для сравнения на рис. 5, 6 приведены также результаты электродинамического расчета пороговых амплитуд Сщ) (юн ) параметрической неустойчивости диполь-дипольных магнитостатических и дипольно-обменных спиновых волн (колебаний) в решетках магнитных частиц (R = 0,1 мм) при уменьшении расстояния между частицами от микрон до нанометров. Эти пороговые значения амплитуды Сщ^Юд) падающей электромагнитной волны
вычислялись с помощью специального алгоритма [5] по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла с учетом обменного взаимодействия.
Кривые (рис. 4-6) разделяют неустойчивый режим параметрической генерации магнитных колебаний в магнитных наночастицах от устойчивого
режима. При переходе через бифуркационные значения параметра Сщ)(Юн)
в точках бифуркации происходят скачкообразные переходы исследуемой системы магнитных наночастиц в режим параметрического возбуждения
магнитных колебаний (коллективных мод). Если амплитуда Сщ)(юн) волны
накачки превышает определенное пороговое значение, то в магнитных нанорешетках возникает параметрическая генерация диполь-дипольных магнитостатических и дипольно-обменных спиновых колебаний (различных коллективных мод в зависимости от расстояний между наночастицами).
СЩ) (юн), А/мм
0,15 0,25 0,35 0,15 0,25 0,35 0,15 0,25 0,35 ю2/юН
-----Н = 0,550 мм .........Н = 0,35 мм ----------Н = 0,215 мм
Рис. 5 Пороги параметрической нестабильности магнитостатических и спиновых колебаний в магнитных решетках при различных расстояниях Н между частицами:
Я = 0,1 мм, Сщ)(Юн) - амплитуда падающей электромагнитной волны накачки; ю>0 = 2п/0 - частота волны сигнала /0 = 9,330 ГГц; Юн - частота волны накачки
С+1) (Юн), А/мм
Рис. 6 Пороги параметрической нестабильности магнитостатических и спиновых колебаний в магнитных решетках при различных расстояниях Н между частицами:
Я = 0,1 мм, Сщ)(Юн) - амплитуда падающей электромагнитной волны накачки;
ю>0 = 2п/0 - частота волны сигнала /0 = 9,330 ГГц; Юн - частота волны накачки;
1 - Н = 0,210 мм; 2 - Н=0,205 мм; 3 - Н = 0,205 мм; 4 - Н = 0,2005 мм
Из результатов математического моделирования областей нестабильности (рис. 4-6) следует, что порог нелинейности магнитных наноматериалов зависит от размеров магнитных наночастиц и расстояний между ними. Порог параметрической неустойчивости в магнитных нанорешетках понижается при сокращении размеров частиц (от микро- к наноразмерам), а также расстояния между частицами вплоть до длины обменного взаимодействия в условиях параметрического возбуждения «коротких» дипольно-обменных спиновых волн (колебаний) в сравнении с возбуждением диполь-дипольных магнитостатических колебаний. Это уменьшение порога нелинейности первичных волн (амплитуды падающей электромагнитной волны накачки), участвующих в параметрическом взаимодействии, происходит вследствие уменьшения оттока из области накачки энергии вторичных волн (возбуждаемых диполь-дипольных магнитостатических и дипольно-обменных спиновых волн (колебаний) в магнитных наночастицах).
Заключение
Использование достижений математики в области теории бифуркации и мощных численных методов вычислительной электродинамики открывает новые возможности в исследовании нелинейного волноводного распространения в структурах с включениями магнитных наночастиц, обладающих сильной степенью нелинейности. Это численное моделирование свойств ультрадисперсных композитных наноматериалов в микроволновом и тера-герцовом диапазонах, электродинамический расчет магнитного поля структурированных ансамблей магнитных наночастиц, а также мезоскопических магнитов и поведения системы таких малых частиц в магнитном поле.
Дальнейшее развитие метода открывает перспективы компьютерного анализа нелинейных наноустройств микроволнового диапазона на основе магнитных наноматериалов. Это прогнозирование новых физических явлений и эффектов методами строгого математического моделирования, организация эксперимента на основе математических исследований с целью создания новых наноустройств и наноматериалов в индустрии наносистем.
Список литературы
1. Белов, П. А. Аналитический расчет дисперсионных кривых для трехмерных фотонных кристаллов / П. А. Белов, К. Р. Симовский // Оптические и лазерные технологии. - Вып. 1. - СПб. : СПбГИТМО(ТУ), 2001. - С. 58-62.
2. Макеева, Г. С. Анализ распространения и дифракции электромагнитных волн
в микроволновых магнитных наноструктурах / Г. С. Макеева,
О. А. Голованов // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 1. - С. 110-121.
3. Голованов, О. А. Математическое моделирование нелинейных устройств СВЧ методом нелинейных универсальных автономных блоков с каналами Флоке / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, А. А. Туманов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2007. - Т. 10. - № 4. - С. 63-72.
4. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. - М. : Наука, 1994.
5. Макеева, Г. С. Численное исследование нестабильностей волн и колебаний в нелинейных гиромагнитных структурах по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. -2007. - Т. 52. - № 1. - С. 106-113.
6. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. -М. ; Л., 1950.
