CC BY
16
Научни трудове на Съюза на учените в България-Пловдив. Серия В. Техника и технологии, т. XV, ISSN 1311 -9419 (Print), ISSN 2534-9384 (On- line), 2017. Scientific Works of the Union of Scientists in Bulgaria-Plovdiv, series C. Technics and Technologies, Vol. XV., ISSN 1311 -9419 (Print), ISSN 2534-9384 (On- line), 2017.
ЕЛЕКТРОСТАТИЧНО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ДВЕ
ПРОВОДЯЩИСФЕРИ С РАВНИ РАДИУСИ И ТОЧКОВ ЗАРЯД ВЪРХУ ЦЕНТРВВНВЯВ НЕВ ОТИОЧДВ Димитър Дойч ева, Стефан Божковь*, Йордан Епитр опова,
Кирил Коликова Университет "Паисий Хилендарски" ьУииверситет по Хранителни Технологии - Пловдив
ELECTROSTATIC INTERACTION BETWEEN TWO CONDUCTING SPHERES WITH EQUAL RADII AND A POINT CHARGEONTHEIR
CENTERLINE
Dimitar Doicheva, Stefan Bozhkovb*, Yordin Epitropov", КИгПКоНкоу"
"Paisii Hilendarski", bUmversity of Food Technologies - Plovdiv,Bulgaria
Abstract
In this work we solve i particular case of the three body problem in the electrostatics. Let two conducting spheres of equal radii and arbitrary electric charges Qi and Qi and one point charge q lying on the line through the centers of the two spheres. We determinate the electrostatic force of interaction between the spheres and the point charge, using the image charges method and the exact analytical formulas found by us for the electrostatic force of interaction between two spheres.
Keywords: three body problem in the electrostatics; electrostatic force of interaction; Coulomb's law; method of image charges.
§1. Въведение.
Тричастичната задача за тела, които си взаимодействат електростатично в тримерно пространство, е стар класически проблем и е едно от най-големите предизвикателства в математическата физика. Решението на задачата в общия случай, при произволни начални условия за телата, не е намерено и до днес. Това налага търсенето на нови стратегии, изискващи качествено нови подходи.
Ние получаваме точно аналитично решение на тази задача в частен случай при относително прости начални условия - именно, когато две от телата са сфери с равни радиуси, но с произволни заряди, а третото тяло е точков заряд, лежащ на централата на двете сфери. Съществено новото в нашия подход са изведените от нас (Kolikov et. al, 2012) точни аналитични формули за силата на електростатичното взаимодействие между две сфери при произволни начални условия.
Нека q е точков заряд, а S1 и S2 са две незаземени наелектризирани проводящи сфери, съответно, със заряди Q1, Q2 и равни радиуси r.
В резултат на електростатичното взаимодействие между сферите и точковия заряд по
повърхнините на ^ и се появяват индуцирани заряди съответно Q1 и (52, които са свързани помежду си. Тогава по повърхнините на сферите остават равномерно разпределени заряди Q1 и Q2, като от закона за съхранение на електричния заряд са в сила равенствата
Ql = Ql - й и Q2 = Q2 - Q2 Ако ц лежи върху правата 002, то формално можем да приемем, че (?1 и Q2 са разположени върху същата права, а Q1 и Q2 са съсредоточени в центровете 01 и 02 на сферите.
§2. Електростатично взаимодействие между две заредени проводящи сфери
Нека и Б2 са две незаземени наелектризирани проводящи сфери, съответно, със заряди Q1, Q2 и равни радиуси г . Ако К е разстоянието между центровете им 01, 02, то в (КоИкоу в1 а1. 2012) полагаме 8 = г/К и к = Q2/Q1 и за 1 = 0,1,2,... въвеждаме означенията
1+1 I !-\_/+1
II 2 1
(1 + 71 - (28)21 -(1 1- (28) 1 21+^1- (28)2 ,
« 82т „ 82и-1 - 1 + х + к¥ - 1 + X + к-1 У
х = > —, у = у —, а Q, = Q,--—-, а = а--—-.
¿1Ст т=1 с^' ^ ^(1+X)2-У2^2(1+Х)2-У2
■ 81 -
При / = 1,2 и 1 = 0,1,2,... полагаме още Q¡1 = (-1)1 —Q¡.
С1
Тогава получаваме разстоянията на зарядите образи до центровете на сферите и £2
2 С(1 Ви = 021 = 52 К-^.
С1
Ако всички заряди образи, намиращи се в , и разстоянията им до центъра 01 означим съответно с Q'j и В ., а намиращите се в 82 и разстоянията им до 02 - съответно с Q"j и В" ., то съгласно закона на Кулон, за големината Г на проекцията на силата на взаимодействие върху 0102, действаща на тези две сфери, получаваме
Г = Л- уу
4п?0 1=0 ¡=0 (К - В1 - В")
§3. Електростатично взаимодействие между две заредени проводящи сфери и точков заряд намиращ се на централата между двете сфери
Нека ц е точков заряд, лежащ между центровете 01 и 02 на сферите и Б2 с равни
радиуси г. Ако К1 е разстоянието от ц до 01, а К2 - разстоянието от ц до 02, то разстоянието между 01 и 02 е К = К1 + К2.
Означаваме 8= г/К и Х.= К/К (. = 1,2). Ако й.1 е разстоянието от центъра до заряда образ ц 1, породен от заряда ц в сферата , то (Биёак а1., 1988)
г2 , К , й., = — = 82К— = 8 КХ.. ,д К К
Фиг. 1. Електростатично взаимодействие между две проводящи сфери и точков заряд разположен на централната им отсечка
Зарядите дп индуцират редица образи qij (1 = 1,2 ; у = 1,2,3,...) в двете сфери. Ако й,] са разстоянията между зарядите образи q¡ у и центровете на сферите, в които те лежат, то е в сила
(1)
я - й
ЛИ--
я
От (1) получаваме й, 2 = г2/(Я - йц) = г2/(я - 82 (я2/^)). Нека
(2)
йа = 8я
я я.
й'п =^ = — = 82Л1, й\„ =
8
Да положим
(3)
й' =
)
Ь п (82)
Я 1 - й' ,
п = 2,3,4,...,
п = 2,3,4,...
където а1 п = а,п (82) и Ь1п = Ь1 п (82) са полиноми на 82. Тогава
-2 г2 82Ь„,
й' =-
8
8
1 -й' , , а., Ь. .-а. ,
1,п-1 1 _ 1,п 1 1 ,п-1 1,п-1
Оттук и от (3) получаваме системата
(4)
Ь
а. = 8 Ь,
/,п-1
Ь. = Ь. , - а. , откъдето следва
(5) Ь,,п+1 - К +8\п-1 = 0.
Уравнението (5) е рекурентно хомогенно и съгласно (Кючуков и др., 1995) има характеристично уравнение
(6) у2 - у + 82 = 0.
Понеже Я > 2г , то 8 = г/Я < 1/2 , т.е. 82 < 1/4. Тогава уравнението (6) има два различни
а
1W1 - 4S2 1-V 1-4S2 реални корена y1 =--- и y1 =---. Следователно решението на (5)
съгласно (Кючуков и др., 1995) е
(7) b,„ = cM y; + c.2yn2, n = ид....
От (2) и (3) следва d'n = anjbn = Xfi2 и an = Xfî2, bi1 = 1. Тогава от (4) получаваме
bi ,2 = bi ,1 - ai ,1 =1 -Л<52.
От (7) за bt 1 и bt2 получаваме системата
(8)
Ci ,1 + С i ,2 = 1
Ci ,1 y1 + Ci ,2 у 2 = 1
Решаваме системата (8) относно ct 1 и ci2 и като вземем предвид, че y1 и y2 са корени на уравнението (6), получаваме
(9)
(ЛУп -1) У1
У 2 - У1
(1 -ЛУ1 ) У2
У 2 - У1
От d,'„ = --—— и (4) следва, че d'n = S2 J±-L. Тогава
b. , - a. ,
i,n-1 i,n-1 (10)
Оттук и от (7) (11)
.bin-1
d„ = S2 R
2n bi,n-1
.n-1 I Л „ .n-1
d,_ =S2
ci,1 У1 + Ci,2 Уг
Тъй като Äi = R/Ri , то от (9) и (11) следва
d =S2R (Ry2 -R.)y-(Ry1 -R.)у;
i,n (Ry; - R,) yr-(Ry1 - R,) y;+1-Като имаме предвид и че y1 и y2 са корени на уравнението (6), получаваме
s2Ry;-1
i/ \n-1
y
d..„ = S R-
v
У;
-1
- R y;
V
-1
S2Ry"n
V
n
У v У;,
-1
(/ \n+1
- R,yT
\
f
V Уп,
-1
_ У1 1-2SW1 - 4S От (6) получаваме — =-—- и следователно
y2
2S2
S2 R
(r I-\n-1
-1
d. „ = S R-
1-2S2 W1- 4S2
2S
- Ry;
(( 2 I-ТУ ^
' 1 - 2S W1 - 4S -1
2S2
S;yn
1 - 2S2 W1 - 4S2
n
2S
-1
- Ry;2
((, „..2 . п—ттплn+1 ^
-1
1-2S2 W1- 4S2
2S
ci,1 =
Ще определим зарядите-образи qt j. Първо, в сила са рекурентните формули
d1, d1 j
qi i =--— qi j_1 =--— qi t_1, j = 1,2,3,... Чрез непосредствено последователно изразяване
SR r
на зарядите образи qt j получаваме израза
q.j = (d,jd,j_1 di,j_2...di,2 di,1)q .
Използвайки формула (10), за горния израз получаваме
(-1)* 8* К 1
Ч I =—■---Ч .
^ К, ь,/
Нека означим Ч'2т_1 = Ч1,2я_1 , Ч2т = Ч2,2т , Ч2т-1 = Ч2,2т-1 и Ч2'т = Ч1,2т . П° този начин с Ч'
сме означили всички заряди образи породени от ч и намиращи се в Б1, а с ч] - тези в Б2. По същия начин можем да означим и съответните им разстояния п.
Отчитайки закона за съхранение на електричния заряд за несвързаните заряди Q1 и Q2 получаваме
1 + X + кУ ^ , _ - _ 1 + X + к- У
Q0 = й = й
(1 + X )2_ У2 р
-Xq' и Q0 = Q2 = Q,
2(1 + X )2_ У2 -=1
-X q-.
Тогава съгласно принципа на суперпозицията и закона на Кулон, за големината на силата на взаимодействие F, действаща на тези две сфери и точковия заряд, получаваме
^ ад /О ' ад /О'' ад и А
Х^тт+X:
F = ■
1
4да?„
'(R_^;)2 (R2 -D,") 1=0 (R _ di)2 i=0 (R2-d)2
+XX
q'Q:
-XX
XX-
qjQf"
(R - Dj - Д") j=0 ;=o (R - dj - d,") j=o ;=o (R - dj - Д")
XX
Q'q;
(R - Dj - d;')
Заключение
Получените формули за електростатично взаимодействие между две сфери с равни радиуси и с произволни заряди и точков заряд, лежащ на централата на двете сфери, имат теоретичен принос. Тенденциите от последните години показват значението на детайлното познаване на класическото поведение на такива системи в анализа на много чисто квантови проблеми. Освен това, тези точни формули дават възможност за създаване на програма за числено симулиране и потвърждаване или отхвърляне на теоретични хипотези при електростатичното взаимодействие между три тела.
Литература
K. Kolikov, D. Ivanov, G. Krastev, Y. Epitropov, S. Bozhkov, Electrostatic interaction between two conductive spheres, J Electrostat, 70 (2012) 91-96.
B. Budak, A. Samarskii, A. Tikhonov, A Collection of Problems in Mathematical Physics. Dover Publications, 1988.
А. Кючуков, П. Недевски, Функционални и диференциални уравнения, Академично издателство "М. Дринов", София, 1995.
