ЭКСТРЕМУМЫ ОДНОРОДНЫХ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГАУССОВСКИХ ПОЛЕЙ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.218.7

ЭКСТРЕМУМЫ ОДНОРОДНЫХ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГАУССОВСКИХ ПОЛЕЙ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ

И. А. Козик1

Рассмотрены гауссовские однородные поля на двумерном евклидовом пространстве, корреляционные функции которых ведут себя в нуле степенным образом по каждой из координат. Найдены точные асимптотики вероятностей превышения неограниченно растущего уровня на решетках различной густоты по каждой из двух координат и при уменьшении шага дискретизации с ростом уровня. Обсуждается близость полученных асимптотик к соответствующим в непрерывном времени при различных скоростях сгущения решетки.

Ключевые слова: гауссовские поля от двух переменных, большие выбросы траекторий, дискретное время, непрерывное время.

Gaussian homogeneous fields on two-dimensional Euclidean space are considered, whose correlation functions behave at zero in a power-law manner along each of the coordinates. Exact asymptotics are evaluated for the exceedances probabilities above infinitely growing levels on lattices with different densities along each coordinates and with infinitely decreased lattice density. Relations between the evaluated asymptotic behavior and corresponding ones in continuous time at various rates of lattice densities are discussed.

Key words: two-dimensional Gaussian fields, high excursions of trajectories, discrete time, continuous time.

1. Введение. Настоящая работа является продолжением публикаций [1, 2], где рассмотрены вопросы выбора оптимального шага дискретизации при моделировании в дискретном времени высоких выбросов траекторий гауссовских процессов. Мы рассматриваем аналогичную задачу для гауссовских полей. К настоящему времени известны два подхода к исследованию асимптотического поведения вероятностей высоких выбросов траекторий гауссовских процессов и полей, основанные на спецификации локального поведения корреляционной функции процесса или поля в нуле. Это метод моментов Райса, в основе которого исследование асимптотического поведения моментов числа пересечений и который может быть применен только для процессов и полей с гладкими траекториями, и метод Пикандса [3], позволяющий изучать процессы и поля с негладкими траекториями, корреляционные функции которых ведут себя в нуле степенным образом. Эти методы описаны в [4, гл. 2, 3, введение D, Е], а также в [5, лекции 9, 10, 15]. Для случая процессов имеются обобщения условия степенного поведения корреляции до условия ее правильного поведения, однако для полей эти условия только разрабатываются. Из того и другого метода следует, что выбросы за высокий уровень становятся тем уже, чем выше уровень. А из метода Пикандса следует, что чем острее функция корреляции в нуле (меньше показатель степени), тем эти выбросы уже. То есть при моделировании траекторий, например при вычислении различных показателей процесса или поля, в которых важную роль играют высокие выбросы, следует брать шаг дискретизации времени меньше, причем зависимым от уровня, выбросы за который имеют значение, иначе некоторые выбросы будут пропущены. Подробно вопросы моделирования траекторий случайных полей рассмотрены в [6], там же (в гл. 10) как применение очень подробно исследована задача компьютерного вычисления констант Пикандса (определение см. ниже), где была замечена неустойчивость процесса вычисления для малых показателей степени поведения корреляции в нуле. В более ранней работе [7] эта неустойчивость также отмечена и показано, как скорректировать процедуру вычисления, учитывая высокие выбросы траекторий дробного броуновского движения, которое определяет константы Пикандса.

В настоящей работе исследуются асимптотики вероятностей высоких выбросов двумерного однородного гауссовского поля X(t), t € R2, по двумерной решетке R на замкнутом множестве T СR2 (см. определения решеток ниже) в зависимости от шага решетки по каждой из координат. То есть рассматривается вероятность

Px(T,u, R) := P( max X(t) > u) (1)

teTnR '

1 Козик Игорь Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: igor.kozikQmail.ru.

Kozik Igor' Aleksandrovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory.

для различных типов поведения корреляции поля X(t). Шаг двумерной решетки по каждой из координат также предполагается стремящимся к нулю с определеными ниже скоростями. Оказывается, что асимптотика вероятности (1) зависит от степени сгущения решетки по каждой из координат.

Методы исследований асимптотики вероятностей высоких выбросов гауссовских полей и гаус-совских процессов в целом аналогичны. Существенное отличие возникает при обобщении условия Пикандса [3] на степенное поведение корреляции в нуле, поскольку методы мало чем различаются, если поведение корреляции (показатели степени) в нуле по разным координатам разное. Возникает понятие структуры, описанное в [4, с. 97; 5, с. 107]. Это понятие удобно при исследовании высоких выбросов траекторий гауссовских полей с размерностью аргумента более двух, а в двумерном случае оно становится тривиальным: имеются всего две структуры (см. (2)).

Заметим, что прямое обобщение структуры корреляционной функции Г2(s, t) на многомерный случай не меняет практически ни доказательства, ни формулировки соответствующих результатов. Почти то же самое можно сказать и о прямом обобщении структуры функции ri(s,t). Для размерностей, больших двух, общая структура является некоторой комбинацией двух рассматриваемых здесь. Идейно ничего не меняется ни в доказательствах, ни в формулировках, но весьма существенно возрастает громоздкость формулировок и преобразований. Все основные идеи доказательств содержатся в [4, гл. 2, § 6, 7; 5, лекция 9], где приведены асимптотики вероятностей высоких выбросов и их подробные доказательства для гауссовских однородных полей в непрерывном времени. Доказательства занимают более двадцати страниц, и эта цифра существенно возросла бы при таком же подробном рассмотрении в настоящей работе полей на решетках различных типов и их комбинаций. Основные идеи перехода к различным типам решеток содержатся в [1]. Задача автора состояла в разработке способа объединения результатов и методов для полей в непрерывном времени с результатами и методами по исследованию дискретизации для стационарных процессов.

Результаты, полученные в работе, могут быть применены в задачах океанологии, например при исследовании высоты и формы волн, геологии, например при исследовании нефтяных пластов, где для вычислений необходим переход от непрерывной модели к дискретной с учетом высоких максимумов траекторий. Многочисленные примеры рассмотрены в уже упомянутой монографии [7] (см. также [8, 9]).

2. Постановка задачи. Формулировка основного результата. Пусть X(s,t), (s,t) € R2, — гауссовское однородное поле с нулевым средним и единичной дисперсией. Обозначим его ковариационную функцию через r(s, t). Предположим, что для некоторых а\, а2, а € (0, 2] в некоторой системе координат выполнено одно из двух соотношений (обобщение условий Пикандса на ковариационные функции от двух переменных):

n(M)=i-| . I -I « 1 а»+I s I -+ t г), м - (2)

Т2(s, t) = 1 - (s2 + t2)a/2(1 + o(1)), s, t ^ 0,

a также для некоторого T > 0 выполнено соответственно неравенство ri(s, t) < 1 ми T2(s, t) < 1 для

всех (s,t) € (0, T] x(0, T]. Другими словами, существует такая невырожденная матрица С, что кова-

r( )

одновременно обе корреляционные функции, будем использовать обозначение r(s,t), конкретизируя в случае необходимости, к какой из двух функций или к обеим относится утверждение. Введем случайные процессы:

Xi(s,t) = V2(Bai/2(s)+Ba2/2(t)) - " IАа2 и X2(s,t) = V2{Ba/2{s2 + t2)1'2) - (s2 + i2)a/2,

где Bh(s) — процесс дробного броуновского движения с показателем Хёрста H. Предположим, что процессы Bai/2(t) и B-2/2(t) независимы.

Для произвольного множества Tc [0,T] x [0,T], являющегося замыканием открытого, любых положительных b, c и целых k l введем константы Пикандса:

H- (T) = Eexp ( max Xi(s,t) ) < то; H-(T) = Eexp ( max X2(s,t) ) < то;

2 \(s,t)&T J \(s,t)eT J

H-1 -2((b,c), T) = Eexp ( max xi(kb,lc) < то; H-((b, c), T) = Eexp ( max X2(kMc)j < то; ^ 2 Tfc>i:(fcb,ic)eT J Tfc>i:(fcb,ic)eT J

H-i,-2((0,c)'T) = EexP( ,max^Xi(s,lc)) < то; H-((0,c),T) = EexP( ,ma^ X2(s,lc)) < то-

\s , l:(s ,ic)€T / \s,i:(s,ic)€T J

Конечность этих констант доказана в [4]. Как и с ковариационными функциями, для удобства изложения мы будем использовать для ж одно общее обозначение уточняя при необходимости, какое из двух полей имеется в виду. Первые две константы будем обозначать через Иаиа2(Т), третью и четвертую — через Иа1,а2((Ь,с), Т), пятую и шестую — через Иа1,а2((0,с), Т).

Необходимо отметить, что поскольку при а = а\ = а2 выполняются неравенства Г1(в,Ь) = Г2(в,Ь) И хЛ8^) = Х2(М), ТО и Иа,а(Т) = Иа(Т), И1а((Ь,с), Т) = Иа((Ь,с), Т), а также И^^с), Т) = И2((0, с), Т).

Введем также константу Пикандса для гауссовских процессов, т.е. для замкнутых множеств Л С К, а именно

На>(Л) = Еехр (т&хл/2В'а//2(г) - <оо, а'е(0,2].

Введем в К2 преобразование гомотетии да1 ,а2: (s,í) ^ (п~2/а1 в,п~2/а2¿).

Рассмотрим четыре типа двумерных решеток на К2 при а% € (0, 2], % = 1, 2:

1) = ,72) = {(кп_2/71,1п~2/12), к,1 € Ъ}, где 71 < а1; 72 < а2, — плотные решетки по обеим координатам;

2) К2 = 'Яр,р((Ь, 71), (с, 72)) = {(кЬп_2/71,1сп~2/12), к,1 €Ъ}, где Ь,с> 0 71 = а1; 72 = а2, — решетки Пикандса по обеим координатам;

3) П3 = (71, (с, 72)) = {(кп_2/71,1сп~2/12), к,1 € Ъ}, где 71 < а1; с > 0 72 = а2, — плотная решетка и решетка Пикандса;

4) = (71,72) = {(кп_2/71,1п~2/12), к,1 € Ъ}, где 71 < а1; 72 > а2, — плотная решетка и разреженная решетка.

Обозначения % = 1, 2, 3, 4, введены для краткости и удобства изложения.

Заметим, что эти двумерные решетки являются естественным обобщением одномерных, рассмотренных в [1, 2]. Заметим также, что, как нетрудно видеть, возможны и другие комбинации плотной, разреженной решеток и решетки Пикандса. Их рассмотрение ничем не отличается от приведенного здесь, но сильно увеличивает объем изложения.

Обозначим через Ф(п) = ехр(—п2 асимптотику хвоста стандартного нормального рас-

пределения.

Теорема. Пусть для ковариационной функции двумерного однородного гауссовского поля выполняются, первое из условий (2) и другие вышеприведенные условия на т1(в,1). Тогда, для, любого измеримого по Жордану множества А С [0,Т]2 ненулевой меры, являющегося замыканием открытого, выполняется следующее асимптотическое соотношение:

iai,a2

Р max X (s,t) > и = mes(A)Hi^(u)(1 + o(1)) при и -го. \(s,i)eAnR )

В случае плотных решеток по обеим координатам, R = Rd,d, U = и2/а1+2/а\ H = Ha lim 'a2 f'T]2) и 0<Hai OC2 <oo.

Т^те

В случае решеток Пикандса, по обеим координатам, R = U = и2/а1+2/а2, H = Hai ,a2 (b, c) = lim и 0<Hai a2(b, c) < oo.

Т^те T

В случае плотной решетки по одной координате и решетки Пикандса, по другой, R = Rd,p,

й = и2/"1+2/а2>Я = Я (0,с)= lim Н°1.°2((М.[0,Т]2) и 0<_f/" (0, с) <оо.

Т^те Т

В случае плотной решетки по одной координате и разреженной по другой R = U =

u2/ai+2/12 Н = Н Um ([°'Т]) „ 0<Яа, <00.

ai Т^те Т ai

При выполнении второго условия из (2), т.е. при наличии гауссовского поля с ковариационной функцией r2(s, t), имеют место эти же утверждения, если выполнить замену а = а\ = а2 и взять соответствующий набор констант Пикандса из приведенных выше для поля X2(s, t). Заметим также, что для гауссовских однородных полей на пространстве Rd с прямым обобщением условий (2) и одинаковыми а{,т.е. r(t) = 1 — |t|a(1 + o(1)) ми r(t) = 1 — ^ |ti|a(1 + o(1)), доказательства вообще ничем не отличаются, как и формулировки с соответствующими тривиальными заменами. Константы тоже, конечно, будут тривиальным обобщением приведенных для рассматриваемого двумерного случая. Рассмотрение же всех структур корреляционных функций с различными показателями ai в рамках журнальной статьи невозможно и по сути не требуется. Достаточно понимать доказательства

рассмотренных здесь случаев — вывод соответствующих асимптотик также практически повторяет приведенные здесь рассуждения. Заметим также, что автору неизвестны практические примеры полей, когда одни направления координат в параметрическом множестве имеют большее значение, чем другие, что влечет выбор различных шагов дискретизации при исследовании наблюдаемого явления. Как ив [4], автор руководствовался охватом всех возможных случаев.

Доказательство теоремы приведено в п. 4 лишь для одного случая двумерных решеток — плотной решетки и решетки Пикандса, схема доказательства для второго и третьего случая идентична. Схема доказательства четвертого случая — для плотной решетки и разреженной решетки — такая же, но с одной особенностью: рассуждение для разреженной решетки такое же, как в [1, лемма 2]. Заметим также, что метод Пикандса предполагает наличие окрестности у каждой точки рассматриваемого параметрического множества, т.е. множество А должно обладать свойствами открытого. Замыкание же позволяет рассматривать максимум непрерывной функции на нем без дополнительных разъяснений. Кроме того, довольно часто в приложениях для качественного описания явления достаточно лишь грубых логарифмических асимптотик — их вывод гораздо проще — или же асимптотик с точностью до констант.

3. Вспомогательные результаты.

Лемма 1 (локальная лемма). В вышеприведенных условиях для любого замкнутого множества Тс [0, Т] х [0,Т]; Т> 0; имеет место следующее асимптотическое соотношение:

Р max X(s, t) >и = H(TWu)(1 + o(1)) при и ^ то.

V(s,t)e(Sa1,a2 T)nR )

Для плотных решеток no обеим координатам, R = Rd,d(7 ъ72); H (T) = Hai,a2 (T). Для решеток Пикандса, no обеим координатам, R = Rp,p((b, 71), (c, y2)); H(T) = Hai,a2 ((b, c), T). Для плотной решетки no одной координате и решетки Пикандса по другой, R = Rdp(71, (c, 72))> H (T) = Hai

,«2 ((0, c), T).

Для плотной решетки no одной, координате и разреженной по другой, и для, T = [0, T1 ] x [0, T2]; где T1 ,T2 ^ T, имеем R = Rd,s(71,72), H(T) = H«([0,T1]).

Доказательство. Проведем доказательство для одного случая двумерной решетки — плотной решетки и решетки Пикандса, схема доказательства для оставшихся трех случаев идентична. По формуле полной вероятности будем иметь

Р[ max X(s,t) > и ) = —= [ e~v2/2p( max X(s,t) > и

TnRd,p ) V2n J— те \(s,i)€(Sa1 ,a2 T)nRd.

p

X (0,0) = v dv =

/•те

e-u2/2 ew-w2/2«2p/ max x(s,t) >U

л/27ГU J — те \(s,t)^(Sa1,a2 T)nRd

1

p

w

X(0,0 )=u--)dw =

\/27Г u

/те /

ew-w2/2u2 p max x„(s,t) >w

-те \(s,í)6TnRd,p

u w

X(0,0)=u--\dw, (3)

u

где второе равенство получено заменой переменной v = u — w/u, а третье — заменой процесса Хи(s,t) = u(X(u"2/ais,u-2/a2t) — u) + w. Через Rd p обозначена растянутая в u2/ai раз по первой координате и в u2/a2 раз по второй координате решетка Rd ,p:

Rd>P(7i, (c,Y2)) = u2/aiRd(Yi) x u2/a2Rp(0,72) = u2/aiRd(7i) x u2/Y2Rp(c, 72) =

= u2/ai |fcu"2/Yl € Z} x u2/Y2 {1cu"2/Y2,1 € Z} = |fcu"2/Yl u2/ai € Z} x {1cu"2/Y2u2/Y2,1 € Z} =

= {ku~2í-lhl~l/ai),k € Z} x {Zc,Z € Z} = € Z} x {lc,l € Z} = Rd„ ( "l71 , (c,0) ) ,

' \ai — Yi J

где 0 в аргументе шага решетки обозначает, что шаг решетки по этой координате (или по обеим

u

то после растягивания прямой по этой координате в u2/ai раз, i € {1, 2}, для процесса Xu(s,t) мы получаем, что аргумент решетки ^--у- меньше нуля, а значит, длина шага новой решетки по этой

uu

Для условного математического ожидания и дисперсии получаем

E(xu(s,t) |Х(0,0) =u[e (x(u-2/ais,u~2/a4) |Х(0,0) = u-^-u)+w =

= -u2(1 - r(u-2/ai s,u-2/a2t)) + w(1 - r(u-2/ai s,u-2/a2t)), var ^xu(s2,t2) — xu(,s\,ti)\ X(0,0) = и - =

= u2(var[X (u-2/ai S2, u-2/a212 )-X (u-2/ai si, u-2/a2 ii)]-[r(u-2/ai S2, u-2/a2 t2)-r(u-2/a1 si, u-2/a2 ti)]2), кроме того,

Д (x„(0,0)|X(0,0) = u — = E (xlio, 0)|X(0,0) = u - -) = 0. \ u / V u /

Теперь, применив соотношения (2) для условного математического ожидания и дисперсии приращений, получаем, что при u — то выполнено для первой ковариационной функции

Д (x„(S,i)|X(0,0) = и - = -|вГ - КГ2 +гУ0(1),

var (xu(s2,t2) ~ xu(si,t\)\X(0,0) = и - = 2|s2 - ^П + 2|t2 - tip + o(l); для второй ковариационной функции

Е (xu(s, t) |Х(0, 0) = и - = (s2 + i2)"/2 + wo{ 1),

var (xu(s2,t2) ~ xu(si,t\)\X(0,0) = и - = 2 ((s2 - si)2 + (t2 - h)2)a/2 + o(l).

Также для всех положительных и, всех и> из некоторого ограниченного множества Ш и некоторой константы С

в случае первой ковариационной функции

E (xu(s, t) |Х(0, 0) = и - I < Г*1 + Т«2 + -w, E [(Xu(s2,t2) - XvXsi,ti))2 |Х(0,0) = и - < C\s2 - Sl|ai + C\t2 - ill"2; в случае второй ковариационной функции

E {(Xu(s2,t2) - Хи(зъ h))2 |х(0, 0) = и - ^ ) < 2 ((s2 - Sl)2 + (t2 - h)2)a/2 .

Таким образом, используя рассуждение, изложенное в [2, лекция 9], и тот факт, что условные гаус-совские распределения также являются гауссовскими (см., например, [5]), по теоремам Прохорова и Арцела-Асколи получаем, что семейство условных распределений процесса х«^, ') слабо компактно в В(С (Т)) и имеет место слабая сходим ость при и ^ то условных распределений процесса Х«^,') к (безусловным) распределениям процесса х(з,')-

В силу слабой сходимости и непрерывности траекторий при любом и> для двумерных сеток имеем

lim Р I max x«(s, t) > w\X(0, 0) = и—— )=p( max y (s, le) > w)

Далее, для достаточно больших u заключаем, что Р max Xu(s, t) > w

v(s,i)eTnR'd,p 7 ВМУ, математика, механика, №5

X(0, 0) = и - - < P ( max vu(s, i) > w

u / V(s,i)eT

X(0,0) =u - - ) < u

max {Xu{s,t) - Exu(s,t)) > w - ^И \(s,í)eT 2

X(0,0) =u-~ u

Для гауссовского поля хи(в, ¿) — Ехи(в, ¿), рассматриваемого при условии X(0, 0) = и — ш/и, выполнены условия предложения 9.2.2 работы [5]. Откуда по теореме Лебега вытекает мажорированная сходимость интегралов в (3). И поскольку для неотрицательной случайной величины со свойством ехР(£ > х) ^ 0 при х ^ го имеет место равенство Ее^ = / ехР(£ > х)йх, лемма доказана. Для разреженной решетки мы используем очевидное равенство ¿шIw<оdw = 1, где 1ад<о — индикаторная функция множества {ш : ш < 0}.□

Следующая лемма конкретизирует для рассматриваемых здесь полей лемму 6.2 из [4]. Лемма 2. Для ковариационных функций г1(в,Ь) и г2(в, ¿) найдется константа С, такая, что для любого компактного множества Т, содержащего единичный квадрат,, и для, любой определенной выше двумерной решетки выполняется неравенство На1а2 (Т) ^ С шея(Т), где На1а2 (Т)

1

Обозначим через В(е) "шар" В\(е) = ^ : |в|^1 + |^а2 ^ е} для первой ковариационной функции и "шар" В2(е) = ^ : (в2 + ¿2)а/2 ^ е} для второй, а через а(А, С) "а-расстояние" между множествами А и С: а1 (А, С) = т^ 1£Л,ь2ес (|вх — в2|а1 + — ^21а2) для первой ковариационной функции и

а2(А, С) = т^ 1^л,ь2&с ((в1 — в2)2 + (¿1 — ¿2)2)а/2 для второй ковариационной функции.

Лемма 3. Пусть гауссовское поле Xt = (в, t) € М2; удовлетворяет всем, вышеприведенным, условиям. Пусть е, 1/2 > е > 0 такое, что для, всех В(е) выполнены, соотношения: 1 — \ (|з|а1 + Ща2) ^ г1 (•§,£) ^ 1 — 2{\з\а1 + Ща2) для, первой ковариационной функции, 1 ~~ \ ((,§2 + ¿2)а^2) ^1 — 2 ((,§2 + ¿2)а/2) для, второй ковариационной функции.

Тогда, существует такая константа Е, что для двумерной решетки обозначающей для краткости любую двумерную решетку изПЛу(1(ъ,ъ), Щ>,р((Ъ,Ъ), (с, 72)) ^р (71, (с,72)) ил иПЛ^ (71,72), выполняется неравенство

Х(Ь) ^ и, тах Х(Ь) ^ и ) < А?А^Ф(и) ехр (-1а(К(Л), to + К(Х))

Уа1 ,а2 (%0+К(\))ОЯ2 ) \ 2

Р [ max

K (\)ОЯ.2

для, всех прямоугольников K(Л) = [0, Ai] х [0, Л2], Ai,A2 ^ 1, любого вектора to € M2, m,а,кого, что K (Л) П {to + K (Л)} = 0, и любо го u > u,0, где

uo = inf {u : gai ¡a2 K (Л) С В (e/4),gai ,а2 (to + K (Л)) С В (e/4)}.

Доказательство напрямую следует из леммы 6.3 [4]: вероятность достижения максимума на решетке, пересеченной с замкнутым множеством, меньше либо равна вероятности достижения максимума на этом множестве, а для этой вероятности уже есть оценка в указанной выше лемме.

Следующие две леммы конкретизируют леммы 6.4 и 6.7 работы [4] для случая ковариационной функции ri (s, t). Доказательство первой из них очевидно следует из независимости процессов Bai/2

и Ва2/2-

Ki K2

причем K = K1 х K2, выполнено соотношение

Hli,^ (K ) = Hai (Ki)Ha2 (K2).

Такие же соотношения имеют место и для констант Hai,a2 ((b, c), K) и Haia2 ((0, c), K) с заменой правой части на одномерные константы Пикандса по соответствующим одномерным решеткам. Эти константы для одномерных решеток изучены в работе [2].

Лемма 5. Для любой из определенных выше констант Пикандса, обозначим их для краткости Hai,a2(T), имеет место соотношение

liminf«WMW>0

T T 2

4. Доказательство теоремы. Проведем доказательство для одного случая двумерных решеток — плотной решетки и решетки Пикандса, схема доказательства для двух случаев — плотной или решетки Пикандса — по обеим координатам идентична. Схема доказательства четвертого случая — плотной решетки и разреженной решетки — такая же, но с особенностью — рассуждения для разреженной решетки аналогичны [1].

В основном доказательство соответствует доказательствам леммы 7.1 работы [4] для однородных гауссовских полей и теоремы 1 работы [2] для гауссовского процесса на решетке. Пусть k = {ki,k2}€Z2 — целочисленный вектор. Для T>0 обозначим

До = gai,«2 [0,T]2 и Дк = д«ьа2к + До.

Также обозначим через N_ количество прямоугольников Д^, полностью помещают,ихся в A, и через N+ количество прямоугольников Д^, покрывающих A. По условию множество A измеримо по Жордану, а значит,

lim N+T2u_2/aiu_2/a = lim N_T2u_2/aiu_2/a2 = mes(A). (4)

«^■те «^-те

Используя свойство однородности поля, имеем

Р max X (s, t) >и ^ N+Р max X (s,t) >и ,

V(s,t)eAnRd,p(7i,(c,72)) J V(s,t)eAonRd,p(7i,(c,72)) J

а также согласно лемме 3 и соотношению (4) для плотной решетки по первой координате и решетки Пикандса по второй выполнено неравенство

«Р и^и^Щи) ^meS(A) Т2 • (5)

Далее, в силу неравенства Бонферрони

Р max X(s, t) > и ^ N_P max X(s, t) > и -

V(s,t)eAnRd,p (yi ,(c,72)) J V(s,t)eAonRd,p(7i,(c,72)) J

— > Р1 max X (s,t) > и, max X (s,t) >и),

V(s,t)eAinRd,p(7i,(c,72)) (s,t)eAj nRd,p(7i,(c,72)) J

где последняя сумма берется по всем парам неравных прямоугольников, v которых пересечение с A непусто. Как и в монографиях [3, 4], назовем эту сумму "двойной суммой" и обозначим ее через E2. Однородность поля влечет следующую цепочку неравенств:

E2 ^ N+У^ Р( max X(s,t) > и, max X(s,t) >и) ^

V(s,t)eAonRd,p (7i,(c,72)) (s,t)eAfc nRd,p(7i,(c,72)) J

^ N+ ( X] P L s _ л X(s, t) > u, ч _ л ma^ X(s, t) > u ) +

\AonAfc=0

(s,i)eAonRd,p(7i ,(c,72)) (s,i)eAfc nRd,p(7i,(c,72))

+ V Р( max X(s,t) > и, max X(s,t) > и J) =: N+ (E'2 + E2) . (6)

Ao nAk=0 V(s,t)eAonRd,p (7i,(c,72)^ (s,t)eAfc nRd,p (7i,(c,72)) // V 2 27

Две суммы в (6) справа оцениваются двумя разными способами. Пусть ¿о ^ /2 положительное, где берется из леммы 3. Тогда вторая сумма, обозначенная E^, оценивается при помощи леммы 3, поскольку для всех достаточно больших и все пары прямоугольпиков Д& удовлетворяют условиям

T > 1

limsup ^ < Р^2322Т4 V ехр(-|А;Т|(в>а)/8) < СТ4 ехр(-Т«78) (7)

™ N+^(u) fceN2, fc=o

для некоторой константы C, не зависящей от T. Здесь а' = mini а^ и N2 — пространство пар натуральных чисел. Строгий знак неравенства в первом неравенстве имеет место, поскольку к сумме соседних прямоугольников добавились и не соседние прямоугольники.

Теперь рассмотрим первую сумму Х2 из неравенства (6). Вероятность для соседних прямоугольников может быть оценена по той же самой схеме. Эта схема является обобщением схемы доказательства леммы 7.1 [4] для непрерывного времени и схемы доказательства теоремы 1 [2] для дискретного времени. Рассмотрим второе слагаемое:

Р max X(s,t) > u, max X(s,t) > u , где ki = (1, 0).

y(s,i)eAonRd,p(7i,(c,72)) (s,i)€Akl nRd,p(7i ,(c, 72)) J

Используя свойство однородности поля и свойство монотонности вероятности в зависимости от расширяющегося множества, мы получаем следующее неравенство:

Р max X(s,t) > u, max X(s,t) > u ^

y(s,t)€Aonnd!P(Yi,(c,Y2)) (s,t)eAk 1 nRd,p (л,(с,ъ)) J

^ P max X(s,t) > u, max X(s,t) > и +

\v(s,i)eA0nKd,p(7b(c,72)) (s,i)€(flu([T+VT,2T] x [0,T]))nKd>p(71,(0,72)) J

+P ( max X(s,t) >и ^

\(«.i)e(ö«([T,T+^]x[0,T]))nKd,p(7b(c,72)) J

^ P max X(s,t) > u, max X(s,t) > и +

\v(s,i)eA0nKd,p(7b(c,72)) (s,i)e(ö„(T+VT)ki+Ao)nKd,p(7b(c,72)) J

+P max X(s,t) > и .

V(«.i)e(ö«([0,^]x[0,T]))nKd,p(7b(c,72)) J

Первое слагаемое справа в последнем неравенстве оценивается по лемме 3, второе — по лемме 1.

u

пиков имеем для плотной решетки и решетки Пикандса

Р max X(s,t) > u, max X(s,t) > u ^

\v(s,t)eAonRd,p(7i,(c,72)) (s,t)€Akl nRd,p (7i,(c,72)) J

^ Р max X(s,t) > u, max X(s,t) > u ^ y(s,t)eAo (s,t)eAfci J

< 2-1FT4-u-1 exp (-u2/2 - Г'/2/s) + 2Hai>a2 ((0, c), [0, Vf] x [0, Г]) Щи), где a' = mini О,- Применяя также лемму 2, приходим к оценке

limsup дг+ф2(ц) < PÄ23T4exp (у/Т/8^ + 2Яаь«2 ((0, с), [0, VT] х [0,Т]) <

< PÄ23T4 exp (ут)а /8^ + 2GT3/2. (8)

Используя теперь неравенство (5) для оценки вероятности сверху, неравенство Бонферрони для оценки снизу с заменой T > 0 на S > 0и оценки сверху (7) и (8) двойной суммы, а также соотношение (4), заключаем, что

Иал а2 ((0, с), [0, T]2) Р (max(s,t)eAnRd,p(7i,(c,72))X(s,t) > u) _£2_£_______.__ птп япп_-_—

T2 " mes(A)u2/^u2/a24>(u)

Р i max(s,t)eAnRd,p(yi,(c,Y2))X(s,t) > u

^ lim inf —--—,-—;-

mes(A)u2/ai u2/a2 Ф(u)

Нд1уа2((0, с), [0, S] S2

2

- CS4 exp(-Sa'/8) - FV2^23S4exp (v^)* /8^ - 2GS3/2.

Применяя к полученному неравенству результаты лемм 2 и 5 и устремляя S и T к бесконечности, для плотной решетки по первой координате и решетки Пикандса по второй будем иметь

. f Haiq2((0, с), [0, Т]2) На1 д2((0, с), [0, б*]2) ^ п

оо > lim mf-:-—z- ^ lim sup-:-- > 0,

т ^ T2 S2

откуда следует утверждение теоремы. □

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю В. И. Питербаргу за внимание к работе. Также автор выражает искреннюю признательность рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Piterbarg V.I. Discrete and continuous time extremes of Gaussian processes // Extremes. 2004. 7, N 2. 161-177.

2. Козик И.А., Питербарг В.И. Большие выбросы гауссовских нестационарных процессов в дискретном времени // Фунд. и прикл. матем. 2018. 22, № 2. 159-169.

3. Pickands J. III. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. 145. 51-73.

4. Piterbarg V.I. Asymptotic Methods in the Theory of Gaussian Processes and Fields // Trans. Math. Monogr. Vol. 1. Amer. Math. Soc., 1996.

5. Питербарг В.И. Двадцать лекций о гауссовских процессах. М.: МЦНМО, 2015.

6. Yakir В. Extremes in Random Fields — A Theory and its Applications. Wiley, 2013.

7. Debicki K., Michna Z., Rolski T. Simulation of the asymptotic constant in some fluid models // Stoch. Models. 2003. 19. 407-423.

8. Vanem E. Literature survey on stochastic wave models // Bayesian hierarchical space-time models with application to significant wave height. Ocean Engineering & Oceanography Vol. 2. Berlin; Heidelberg: Springer, 2013.

9. Krogstad H. Analysis of ocean wave measurements — Some recent studies // Norwegian University of Science and Technology Trondheim, 2011.

Поступила в редакцию 07.04.2021

УДК 517.518.36

СХОДИМОСТЬ СЛАБОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ЖАДНОГО АЛГОРИТМА ПРИ ДОБАВЛЕНИИ ОДНОГО ВЕКТОРА К ОРТОГОНАЛЬНОМУ СЛОВАРЮ

А. С. Орлова1

В работе изучается сходимость слабых жадных алгоритмов и слабых ортогональных жадных алгоритмов на подпространстве Ii С , когда словарь получен из ортогонального добавлением одного вектора. Показано, что условие на ослабляющую последовательность, гарантирующее сходимость слабого ортогонального жадного алгоритма по ортогональному словарю, в этом случае уже не является достаточным для сходимости, но при добавлении финитного вектора достаточность сохраняется. Для слабого жадного алгоритма получены аналогичные результаты. Показано также, что добавление к ортогональному словарю вектора класса 11 может значительно ухудшить скорость сходимости даже чисто жадного алгоритма.

Ключевые слова: слабый ортогональный жадный алгоритм, слабый жадный алгоритм, ортогональная система, сходимость, расширение словаря.

Convergence of Weak Greedy Algorithms (WGA) and Weak Orthogonal Greedy Algorithms (WOGA) is studied for the subspace l1 С l2 and dictionaries obtained from the standard

1 Орлова Анастасия Сергеевна — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anastasia-orlovalQya.ru.

Orlova Anastasiia Sergeema — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis.