CC BY
43
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.972.8 © А. Г. Ченцов
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МАРШРУТИЗАЦИИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ 1
Рассматривается маршрутная задача последовательного обхода множеств с ограничениями в виде условий предшествования (см. [1, 2]). Данная задача — обобщение известной задачи курьера [3], которая, в свою очередь, является усложненным вариантом задачи коммивояжера (ЗК). Обзор предлагаемых методов дан в [4]. Смысл условий предшествования состоит в следующем. Указан конечный набор пар индексов целевых множеств, соответствующих парам «отправитель-получатель». Множество, имеющее индекс «отправителя», должно посещаться раньше множества с индексом «получателя». Данный порядок посещений должен выдерживаться для каждой из вышеупомянутых пар (ограничение на дискретную компоненту решения). Присутствует также потенциально непрерывная компонента решения, отвечающая трассе перемещений по множествам, занумерованным с соблюдением вышеупомянутых условий предшествования. Совокупное решение — пара маршрут-трасса.
Допускается случай перемещения по изменяющимся множествам, что соответствует более общей задаче последовательного обхода сечений заданных мультифункций при вышеупомянутом ограничении на дискретную компоненту решения. Построен вариант метода динамического программирования (МДП), обобщающий [1],[2] и предусматривающий эквивалентное преобразование к обобщенной ЗК с ограничениями на текущие перемещения.
Для решения обобщенной задачи курьера (имеется в виду задача о посещении множеств) предлагается итерационный метод решения с использованием «обычной» задачи курьера. В основе метода — эквивалентное преобразование экстремальной задачи маршрутизации со связанными переменными в оптимизационную задачу реконструкции с независимыми переменными ( имеется в виду задача, предусматривающая размещение «городов» (терминология ЗК) на множествах для достижения лучшего качества при последующем решении задачи курьера).
Сейчас рассмотрим постановку более общей задачи [5]. Фиксируем непустое множество X, х0 € X, натуральное число N N ^ 2, а также кортеж (Л\) мультифункций, действующих в X (каждая из упомянутых мультифункций — отображение из X в семейство всех непустых подмножеств X); мы используем далее символику [5]. Через Р обозначаем множество всех перестановок в 1, N = {1,Ы}. Рассматриваем перемещения вида
(хо = х0) —► (XI € Лв(1)(хо)) -► (Х2 € Лв(2)(х 1) —► ... —►
--► (хИ-1 € Лв(М-1) (хМ—2)) -► (хИ € Лв(М)(хМ-1))
(здесь, конечно, имеется в виду случай, когда N > 3), где в € Р подлежит выбору, как и трасса (Хг)^ехдг вышеупомянутых перемещений. Выбор (3 может быть стеснен ограничениями. Для их определения введем конечное множество К С 1,Л^ х 1,7У (оно может быть пустым), а также соглашение: если в € Р, то в 1 € Р есть ёе£ перестановка, обратная к /3. Кроме того, при г € К через рг1(г) и рг2(г) обозначаем такие два числа из 1, АГ, что г = (рг^г), р^(г)). Аналогичные обозначения для компонент упорядоченных пар используем при необходимости и в других случаях. Пусть ( △ — равенство по определению)
А △ {в € Р | в 1(рг1(г)) < в 1(рг2(г)) ^г € К} — множество всех допустимых маршрутов (перестановки из Р называем маршрутами).
Для в € Р ВВОДИМ множество Х[(3\ всех кортежей (хг)^еУдГ • N —► X, для каждого из
которых (х\ € А^1^{хР)) & (хг+1 € \/г € 1, N — 1). Тем самым введено множество
всех трасс движения по заданному маршруту, определяемому фиксированной перестановкой
хРабота выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (06-0100414, 04-01-96093).
в- Любая из этих трасс может использоваться «в совокупности» с в- В результате получается совокупное решение — пара маршрут-трасса. Тогда
S = {(/3, (xi)ieXN) € А х XN | (хг)геТ>ц € т}-
Фиксируем функции ci, ---, Cn, действующие из X х X в полуось [0, то[, и f : X —> то. Качество решения (/3, (xi)iej^у) € S оцениваем числом
ce(1)(x0,xi) + ce(2) (Xi,X2) + --- + C0(N) (xn-1,XN) + f(®N)
(в данном выражении N > 3, при меньших N имеем еще более простую формулу). Более того, полагаем, что последнее выражение определяет отображение п на непустом множестве P х XN- Имеем основную маршрутную задачу (ОМЗ)
n(z) —> inf, z € S.
Постулируем, что VK € P;(K) Elz € K : pri(z) = p^2(h) Vh € K- Тогда, в частности,
pr^z) / pr2(z) Vz € K. ____
Через 91 обозначаем семейство всех непустых подмножеств 1 ,N. При Q € 91 полагаем, что £[Q] есть множество всех z € K таких, что pri(z) € Q и p^(z) € Q- Сопоставляя каждому множеству M € N множество M \ {pr2(z) : z € £[M]}, получаем оператор I,
действующий в N. Для множества P всех перестановок а € P таких, что
а(к) € 1({а:(7) : I € k,N} Ук € 1, iV,
имеем равенство A = P. В частности, A = 0. Как следствие, имеем свойство совместности системы ограничений ОМЗ. Стало быть, значение (экстремум) ОМЗ, обозначаемое далее через V , конечно, т.е. V € [0, го[.
По аналогии с представлением A в ОМЗ, мы используем аналогичные представления на основе оператора I в «укороченных» задачах (см. [5, с. 132]): речь идет о задачах последовательного обхода сечений мультифункций Ai, i € K, при начальном состоянии x € X и заданном множестве индексов К, К С 0,N. Каждой такой задаче сопоставляем значение
vs(x,K), где s — мощность К : s = \К\ € 0,N. При этом г?о(ж, 0) = {(х) Ух € X. Изменяя, при фиксированном s € 0, N, х € X и К, К С 0, N, \К\ = s, мы получаем слой vs функции Веллмана. В [5] установлено (см. также частные случаи ОМЗ в [1], [2]), что при s € 1, N, х € X и К, К С TpV, \К\ = s,
Vs(x,K)= min inf [cfc(x,y)+ vs-i(y,K \{k})]. fceI(K) y&Ak(x)
Получили аналог уравнения Веллмана; V = Vn(x°, 1, N). Последующее решение находится по традиционной для МДП схеме (см. [5]).
В основе итерационного метода решения — сведение ОМЗ (в ее частном случае) к эквивалентной задаче реконструкции (ЗР). При этом полагаем, что заданы непустые конечные попарно непересекающиеся множества Mi,..., Mn , содержащиеся в X и не содержащие каждое точку х°. Постулируем далее, что Aj(x) = Mj Vj Є 1, N Ух Є X. Итак, рассматриваем
△ N
задачу о посещении системы конечных множеств. Пусть M = Л Mj. Введем функцию w из
І=1
Ш х А в [0, оо[ по правилу: если z Є Ш х А, (хі)і€yn е а: Є А и z = ((жг)ієу^, а), то
N-1
w(z) = c(x°,xa(i)) + (J^ c(xa(j) ,Жа(і+і))} + f (xa(N)).
i=1
Задача реконструкции (ЗР): w(z) —> min, z Є M x A; ОМЗ и ЗР эквивалентны. Именно, V есть значение ЗР, а экстремальные множества (для ОМЗ и ЗР) «совпадают» с
точностью до взаимно однозначного преобразования. На этой основе конструируется метод итераций, обладающий аналогией с методом покоординатного спуска, но реализуемый в исходной ОМЗ со связанными переменными.
Введем оператор t : S —► Ш. Если г Є S, а = ргі(-г), (xí)í¿tñ = Рг2(^)? то ^(<г) =
(жа_1(г))геОГ ^ Определяем отображение Т : S —► ШІ х А по следующему правилу:
если z Є S, то T(z) = (t(z), pr^z)); тогда T есть биекция S на M x A. Кроме того, сужение (n|S) отображения п на множество S есть суперпозиция w и T, т.е. (n|S) = wоT. Допустимые множества ОМЗ и ЗР связаны равенством M x A = {T(s) : s Є S}. Отметим естественную аналогию с [6], где рассматривалась задача последовательного обхода множеств без ограничений, отвечающих условиям предшествования.
Метод итераций. Излагаемый далее метод подобен процедуре [7], но отвечает задаче, осложненной условиями предшествования. Рассмотрим начальную задачу курьера.
Введем Мо = {ж0}, получая расширенный кортеж (M¿)¿egнепустых конечных множеств. Пусть, при г Є О, N, j Є 1 ,N, Ai¿ есть def наименьшее из чисел с(z), z Є Мі х Mj.
Получили матрицу А = (A¿j; і Є 0, N, j Є 1 ,n). Если j Є 1 ,N, то полагаем, что — наименьшее из чисел f (x), x Є Mj. Задаче
N-1
Ао,а(1) + A«(i),«(i+1) + f(a(N)) —> min, а Є A
i=1
сопоставляем значение (экстремум) v и (непустое) экстремальное множество sol. При этом v ^ V. Начальная задача встраивается в итерационный алгоритм. Именно, выбираем Wo Є sol, после чего нумеруем целевые множества, получая кортеж (МШо^)і&ул- Далее, оптимизируем трассу последовательного обхода занумерованных таким образом множеств, решая задачу
(x¿)ieTiv) —► mm, (xí)ieTiv є ХМ
(разумеется, в нашем случае Х[(3\ есть произведение множеств Мр^, г € 1, ). Пусть
У[сс>о] — значение, а — решение последней задачи; у® € Мшо^, j € 1,Ж. Имеем
V ^ V ^ У[сс>о] и Ло = (сс>0, (у?)г€т^\г) € в. Для = *(Ло) решаем задачу минимизации ') на множестве А (задача курьера), получая значение (уа1)[(,г|0^еудг] и
решение € А (точка экстремума); упомянутое значение не превосходит V[со] и оценивает сверху V.
Далее решаем задачу о выборе трассы при заданном способе нумерации целевых множеств: оптимизируем посещение занумерованных множеств, образующих кортеж (МШ1^)^получаем наилучшую (при фиксации с) трассу и вновь «улучшаем» (точнее, не ухудшаем) верхнюю оценку для V, поскольку значение V [^1] возникающей задачи о посещении вышеупомянутых множеств не превосходит (уа1)[(,г!°^еудг]. Итак, выбираем оптимальную трассу (У^)^Тм ^ ^[^1] посещения множеств МШ1ф, г € 1, АГ, получая точку пространства решений ОМЗ А1 = (сс>1, € в, для которой 7Г(Л1) = У[сс>1]. Теперь для новой системы
«городов» {z<jl'>)i¿ГN = ^(Л1) € 9Л решаем «обычную» задачу курьера [3] (оптимизируем маршрут, т.е. перестановку индексов)
ги((-4^)геи\Г’ а) —*■ т1п> а е А’
определяя ее значение (уа1)[(^1^еуд^] и (оптимальное) решение Сс>2 € А. Далее снова оптимизируется трасса посещения занумерованных (по новому) множеств МШ2^, г € 1, N. Реализуется экстремум V[^2] получающейся экстремальной задачи. Итоговая цепочка оценок имеет (после двух итераций) следующий вид
V < V < У[и2] < М)[(41))^е1^] < УМ < (уа1)[(40))^е1^] < У[ш0].
Далее процедура повторяется (см. [8]). Мы получаем на каждом шаге двусторонние оценки
экстремума и способы их реализации в виде пары маршрут-трасса. Так, например, для по-
(2)
следней цепочки оценок мы, определяя оптимальную трассу (щ ^ и полагая
Аг = (^2, (уР)^т^у), имеем А2 € в и 7г(А2) = У[ш2].
В предлагаемой конструкции реализуется в итерационном режиме идея декомпозиции исходной задачи в совокупность двух характерных «подзадач»: задача курьера (обобщенная задача развозки [9]) и задача последовательного управления с дискретным временем.
Вычислительная реализация. Для решения вариантов ОМЗ, связанных с минимизацией длины ломаной в конечномерном пространстве, А. А. Ченцовым построены программы для ПЭВМ, в основе которых — МДП и метод итераций соответственно. В последнем случае вычислительный эксперимент показал, что итерационная процедура быстро стабилизируется (вторая—третья итерации).
Список литературы
1. Ченцов А. Г., Ченцов П. А. Метод динамического программирования в некоторых версиях задачи коммивояжера с ограничениями // Алгоритмы и програм. средства параллел. вычислений.— Екатеринбург: УрО РАН, 2003. № 7. С.217-242.
2. Ченцов А. Г., Ченцов П. А. Маршрутизация с условиями предшествования (задача курьера): метод динамического программирования // Вестник УГТУ-УПИ. На передовых рубежах науки и инженерного творчества. Екатеринбург: ГУО ВПО УГТУ-УПИ, 2004. № 15(45). Ч. 1. С. 148-152.
3. Меламед И. И., Сергеев С. И., Сигал И.Х. Задача коммивояжера. Вопросы теории // Автоматика и телемеханика. 1989. № 9. С. 3-34.
4. Ченцов А. Г. Экстремальные задачи маршрутизации. / Труды конференции «Модернизация образования в условиях глобализации» (круглый стол «Образование через науку и инновации»). Тюмень : Изд-во Тюменского ун-та, 2005. С. 106-110.
5. Ченцов А. Г. О структуре одной эксремальной задачи маршрутизации с ограничениями в виде условий предшествования // Вестник Удмуртского ун-та. Математика. 2006. № 1. С. 127-150.
6. Ченцов, А. А., Ченцов А. Г. Редукция задач маршрутной оптимизации // Автоматика и телемеханика, 2000. № 10. С. 136-150.
7. Ченцов А. А., Ченцов А. Г. К вопросу о решении задачи последовательного обхода множеств с использованием «незамкнутой» задачи коммивояжера // Автоматика и телемеханика. 2002. №11. С. 151-166.
8. Ченцов А. А., Ченцов А. Г., Ченцов П. А. Обобщенная версия задачи курьера / Прикладной и математический анализ. Тюмень: Изд-во Тюменского ун-та, 2005, вып.2. С. 238-280.
9. Меламед И. И., Плотинский Ю. М. Эвристический алгоритм решения обобщенной задачи развозки // Автоматика и телемеханика. 1979. №12. С. 167-172.
Ченцов Александр Георгиевич Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: chentsov@imm.uran.ru
