Экстремальное регулирование на основе рекуррентного метода наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.511.4

О. В. Авдеева, О. А. Горшкова, А. Д. Семенов

ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ РЕКУРРЕНТНОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Аннотация. Предложен такой алгоритм поиска экстремума (максимума) статической характеристики инерционного объекта по текущим измерениям сигнала его входа и выхода, в котором применяется рекуррентная процедура метода наименьших квадратов; ее результатом является оценка коэффициента передачи объекта. Потом с применением прямых методов поиска нуля функции ищется его нулевое значение.

Ключевые слова: система экстремального регулирования, коэффициент передачи, алгоритм поиска экстремума.

Введение

Быстродействующие защищенные от помех алгоритмы экстремального регулирования (ЭР) имеют крайне большое значение в теории систем поиска автоматической оптимизации. Такие системы применяют для регулирования инерционных объектов (ракетные двигатели, химические и энергетические установки и т.д.), значительно улучшая технические и экономические показатели [1].

Главной трудностью выполнения этих алгоритмов в настоящем времени является снабжение двойственных требований обеспечения устойчивости и точности операции поиска максимума (экстремума) его целевой функции. Шаговые или поисковые алгоритмы соответствуют этим запросам [2].

Трудность распознавания параметров целевой функции, которые не известны, является единственным недостатком алгоритма идентификации. Это может создать крупные ошибки в нахождении наилучшего значения управляющего воздействия и постоянному поиску системы экстремального регулирования (СЭР). При выполнении шаговых алгоритмов в настоящее время главной проблемой является снабжение устойчивости процесса поиска экстремума, которая сводится обычно к решению плохо определенной системы линейных алгебраических уравнений (САР) [3].

Вводится предложение о совмещении плюсов шаговых и идентификационных алгоритмов с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК). Первым достоинством является то, что этот метод можно применять при сравнительно высоких взаимосвязях полезных сигналов и интенсивности шума, т.е. имеет место высокая защищенность от помех. Вторым достоинством является то, что он обеспечивает отличную сходимость оценок при сравнительно малом количестве вычислений [4], что позволяет обеспечить хорошее быстродействие и устойчивость построенного на его основе алгоритма экстремального регулирования.

Постановка задачи

Проанализируем систему, которая состоит из экстремального регулятора и объекта управления (рис. 1). Объектом управления (ОУ) выступают последовательно соединенные нелинейное звено и линейное инерционное звено, имеющее передаточную функцию W(p). На рис. 1: е - случайная помеха, подобно белому шуму; х - сигнал на входе нелинейного элемента; V - сигнал на выходе нелинейного элемента; и - сигнал на входе (управляющее воздействие); у - сигнал на выходе (целевая функция, максимум, которой нужно найти).

Рис. 1. Структура экстремальной системы на выходе с инерционностью

Полагаем, что у нелинейного звена есть заранее неизвестная характеристика и = Дх). Тогда уравнение инерционного звена п-го порядка может быть описано следующим образом:

п т

У {к ) = I ау {к -1)+1 / {к - /) + е {к), (1)

1=1 / =0

где у (к) - выход модели (временного ряда) на к-м шаге; к = о, 1, 2, ...; N - шаг дискретизации; а{ - авторегрессионные коэффициенты, где I = 1, ..., п; п - число параметров авторегрессии; Ь - коэффициенты скользящего среднего, где/ = 1, ..., т; т - число коэффициентов скользящего среднего; и(к) - сигнал на входе; е(к) - помехи.

На каждом из шагов процедуры вычисления нужно удерживать значение экстремума целевой функции у(к), используя данный алгоритм экстремального регулирования:

1. Рассчитать сигналы на входе и(к) и выходе у(к) экстремального объекта.

2. Найти авторегрессионные коэффициенты а{ и коэффициенты скользящего среднего Ь по РМНК.

3. Найти коэффициент передачи объекта по рассчитанным коэффициентам а{ и Ь/.

4. Реализовать нахождение управляющего воздействия и(к), которое способно обеспечить значение нуля коэффициента передачи, используя прямые методы нахождения нуля функций.

При пересечении экстремума коэффициент передачи объекта поменяет знак. Таким образом, задача нахождения экстремума управляемого параметра переходит к задаче поиска нуля коэффициента передачи. Нахождение нуля ко может быть осуществлено любым из методов (дихотомии, Ньютона, золотого сечения) [5].

Определение коэффициента передачи объекта с использованием рекуррентной процедуры метода наименьших квадратов

Применяя рекуррентный метод наименьших квадратов, который выделяется гарантированной сходимостью оценок и нуждается в относительно малом объеме вычислений, можно определить коэффициент передачи.

Алгоритм РМНК [4]:

0 {к +1) = 0 {к) + у {к )е {к +1);

<у {к ) = ц {к +1 )Р {к )¥ {к +1); (2)

е {к +1) = у {к +1)-{к +1 )0 {к),

где 0(к -1) = [а1,..., ап, Ь1,...,Ьт ] - вектор параметров модели; —Т (к ) = [-у (к -1),...,

1

-у (к - п), и (к -1),...,+и(к - т)) - вектор данных; ц(к +1) тор коррекции; Р (к) =

- век-

1 + —Т (к +1 )Р (к )— (к +1) [ Т (к")—(-у - весовая матрица; Р (к +1 )= I - у (к )—Т (к +1) Р (к) -

весовая матрица, которая рассчитана на следующем этапе; 9(о) = о; Р(о) = а; I - начальные значения переменных; а - довольно большое число; I - единичная матрица соответствующей размерности.

Значение коэффициента передачи объекта ко находится по теореме о последнем значении дискретной передаточной функции:

т

ть

к = Пт Ьо + Ь1г-1 +... + Ьтг-т = 1=0

)

о -1 -п

г1 + а1 z 1 +... + апх п

п

1+т а

г=1

(3)

Для того, чтобы проверить предлагаемый алгоритм вычисления ко, была собрана БтиНпк-модель объекта с экстремальной характеристикой. Его структурная схема отвечает структурной схеме системы, которая представлена на рис. 1. Модель включает в себя экстремальный объект, который состоит из звена с экстремальной характеристикой и трех соединенных последовательно апериодических звеньев. Схема модели изображена на рис. 2. График экстремальной характеристики изображен на рис. 3.

Рис. 2. БтиПпк-модель объекта с экстремальной характеристикой

Г2735 I

0.5

-0.5

—— ]

. 2

ск

0 5

-0,5

0.5

1.5

Рис. 3. Экстремальная характеристика объекта управления (1) и ее производная (2)

88

При приближении в первый раз коэффициент передачи нелинейного звена будет равным производной от его статической характеристики (кривая 2) на рис. 3. Коэффициент передачи меняется при трансформации сигнала входа нелинейного звена х, это можно наблюдать на рис. 3.

Осциллограммы сигналов на входе и выходе объекта, а также его коэффициенты передачи, которые были рассчитаны по формулам (2) и (3) для устойчивых значений сигнала на входе нелинейного элемента х0, изображены на рис. 4. В качестве помехи был подан на вход случайный сигнал. Его уровень соизмерим с уровнем сигнала на входе хо.

а)

б)

Рис. 4. Осциллограммы входных, выходных сигналов и коэффициентов ко: а - рабочая точка системы до экстремума; б - рабочая точка в области экстремума;

в - рабочая точка после экстремума

Вычисленные коэффициенты передачи экстремального объекта в сравнении с их значениями, которые были получены в результате дифференцирования статической характеристики, показывают неплохую точность поиска коэффициента передачи по данному алгоритму. При нахождении коэффициента передачи объекта относительная приведенная погрешность менее 5 %.

Проверка алгоритма экстремального регулирования на основе РМНК

Для того, чтобы испытать предлагаемый алгоритм, к собранной БтиНпк-модели системы (см. рис. 2) была добавлена М-функция, которая выполняет данный алгоритм. Поиск нуля ко реализовывался.

Подавая на вход системы гармонический низкочастотный сигнал и добавляя высокочастотные помехи, удалось смоделировать дрейф характеристики экстремума, изображенный на рис. 5.

Метогу4

Рис. 5. Модель системы экстремального регулирования

Результаты моделирования показаны на рис. 6.

г)

Рис. 6. Осциллограммы входного сигнала (а), управляющего воздействия (б), сигнал на входе нелинейного элемента (в), сигнал на выходе нелинейного элемента (г)

Разбор осциллограмм, которые приведены на рис. 6, позволяет сделать заключение, что даже при действии сильных возмущений, сопоставимых с уровнем входного сигнала, система экстремального регулирования держит координаты объекта в зоне экстремальных значений его целевой функции.

На рис. 7 изображена фазовая траектория системы экстремального регулирования в пространстве координат нелинейного звена.

Рис. 7. Фазовая траектория системы экстремального регулирования

Фазовая траектория находится в области точки максимума целевой функции. Даже высокий уровень шума не мешает отклонению системы от точки максимума (экстремума) быть не более 24 %, что подтверждает результативность предложенного алгоритма.

Заключение

Предложен алгоритм поиска максимума свойств инерционного объекта по данным его текущих входных и выходных измерений с использованием рекуррентного процесса метода наименьших квадратов. Завершением данного процесса является оценка коэффициента передачи объекта; ищется нулевое значение с применением прямых методов поиска нуля функции.

Вследствие моделирования деятельности алгоритма определено, что он способен установить сходящиеся величины оценки коэффициента передачи, стабильно сохраняя объект в области точки экстремума (максимума) даже при действии сильных помех.

При нахождении коэффициента передачи объекта приведенная относительная погрешность не более 5 %, уклонение от точки максимума системы не превышает 24 %, при соотношении сигнал/шум приближенном к единице. Время поиска максимума соразмерно со временем переходного процесса регулируемого объекта.

Библиографический список

1. Егупов, Н. Д. Методы робастного, нейро нечеткого и адаптивного управления / Н. Д. Егупов. -М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 744 с.

2. Мандровский-Соколов, Б. Ю. Системы экстремального управления при случайных воздействиях / Б. Ю. Мандровский-Соколов, А. А. Туник. - Киев : Наукова думка, 1970. - 172 с.

3. Ariyur, K. Real-Time Optimization by Extremum-Seeking Control / B. K. Ariyur, M. Krstic. - New Jersey : Wiley-interscience, 2003. - 230 с.

4. Изерман, Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. - М. : Мир, 1984. - 541 с.

5. Хемди, А. Введение в исследование операций / А. Хемди, В. Таха. - 8 изд. - М. : Вильямс, 2007. -912 с.

Авдеева Ольга Викторовна

кандидат технических наук, доцент, кафедра автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]

Горшкова Ольга Александровна

студентка,

Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]

Семенов Анатолий Дмитриевич

доктор технических наук, профессор, кафедра автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет E-mail: [email protected]

Avdeeva Ol'ga Viktorovna

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of automatics and telemechanics, Penza State University

Gorshkova Ol'ga Aleksandrovna

student,

Penza State University

Semenov Anatoliy Dmitrievich

doctor of technical sciences, professor, sub-department of automatics and telemechanics, Penza State University

УДК 681.511.4 Авдеева, О. В.

Экстремальное регулирование на основе рекуррентного метода наименьших квадратов / О. В. Авдеева, О. А. Горшкова, А. Д. Семенов // Вестник Пензенского государственного университета. - 2016. -№ 4 (16). - С. 86-92.