Экспериментальное решение нелинейных задач механики трещин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Экспериментальное решение нелинейных задач механики трещин

Г.Н. Албаут, Н.В. Харинова, А.А. Романова

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск, 630008, Россия

Рассмотрены задачи упругого нелинейного деформирования при больших смещениях. Экспериментальные работы проводились методом нелинейной фотоупругости при исследовании плоских моделей на просвет. Целью настоящего исследования является определение напряженного состояния в пластинах, имеющих центральные трещины-разрезы. Все результаты получены в двух криволинейных системах координат (Эйлера и Лагранжа).

Experimental solution of nonlinear problems of fracture mechanics

G.N. Albaut, N.V Kharinova, and A.A. Romanova

Problems of nonlinear elastic deformation are considered at large strains. Experimental investigation are performed by a nonlinear photoelasticity method at direct transmission of transparent models by polarization light. The purpose of this study is stress state determination in plates with central crack-notches. All results have been obtained in two curvilinear coordinate systems (Euler and Lagrange).

1. Введение

При проектировании и эксплуатации строительных конструкций особенно опасны источники концентрации напряжений и дефекты в виде трещин, круглых отверстий, включений. Из-за сложности математического аппарата для подобных задач практически отсутствуют надежные и доступные инженерные методы расчета, а экспериментальные исследования усложняются вследствие необходимости учитывать изменение размеров элементов при деформировании.

Постановка представленных здесь задач принадлежит К.Ф. Черных. Нелинейная теория упругости и теоретические решения задач изложены в его работах [1, 2]. Данное исследование является продолжением работ [3, 4], выполненных ранее. Исследовались плоские элементы пневмонадувных оболочек и резинотехнических изделий с концентраторами. В качестве модельного материала использован полиуретановый каучук марки СКУ-6 с основными характеристиками: модуль упругости при малых деформациях Е = 4 МПа; коэффициент Пуассона при малых деформациях V = 0.5; цена полосы материала по напряжениям ст° = 0.0195 МПа • см; цена полосы материала по деформациям є°'° = 0.01 см.

2. Некоторые теоретические аспекты

При решении нелинейных задач при больших смещениях встает вопрос о выборе наиболее рациональной системы координат для обработки экспериментальных данных — Эйлера или Лагранжа.

При исследовании линейно-упругих задач методом фотоупругости обработка экспериментальных данных обычно ведется в декартовой системе координат, процесс деформирования описывается деформациями Коши, которые по физическому смыслу представляют собой относительные удлинения и сдвиги, и при малых деформациях являются тензором второго ранга с главными компонентами ег- = Лг- -1 (здесь и далее i = 1, 2,

3, Лг- — степени удлинения: Лг- = 1^10, то есть отношение длины деформированного элемента к недеформи-рованному, Х1 и X 2 — в плоскости образцов, Х3 — по толщине). В этом случае используются зависимости механики сплошной среды, известные как уравнения линейной, или классической, теории упругости. При возрастании деформаций, когда нельзя пренебречь изменениями геометрических размеров, уравнения механики, полученные в предположении малых деформаций, перестают быть справедливыми, а мера Коши не является

© Албаут Г.Н., Харинова Н.В., Романова A.A., 2004

тензорной величиной и становится неудобной для практического использования.

При исследовании нелинейных задач возможно использование двух криволинейных систем координат — Эйлера и Лагранжа, напряжения и деформации в которых описываются парой сопряженных тензоров [1]. В системе координат Эйлера — это тензор истинных напряжений Коши, отнесенных к деформированной площади (а1 и а 2 — главные компоненты в плоскости образцов, а3 — в перпендикулярном направлении, в большинстве задач а3 = 0, т.е. исследуется плоское напряженное состояние) и тензор деформаций Альманси-Гамеля (еА = 12(1 -1/X2)). В лагранжевой — тензор условных напряжений, отнесенных к начальной площади, и тензор деформаций Грина (ер = 1/2 (X2 -1)).

Для деформированного состояния в лагранжевом и эйлеровом представлениях можно записать все необходимые зависимости механики сплошной среды: уравнения связи деформаций и перемещений, уравнения совместности деформаций, уравнения равновесия и др. [4]. Эти зависимости в обеих криволинейных системах координат много сложнее, чем линейные, записываемые в декартовых координатах для линейно деформируемых упругих систем. Например, уравнения связи деформаций и перемещений имеют вид:

2 / Л2 / ^ \2

дх.

дх

ду*.

дх

дуу

дх

дх

дуу + дух дх ду

дух дух + Эуу ду^ + Эу^ Эу^ дх ду дх ду дх ду

(1)

Из-за сложности уравнений механики твердого деформируемого тела в криволинейных координатах для расшифровки оптических данных использовались только дифференциальные уравнения равновесия. Для плоского напряженного состояния учет толщины осуществляется введением Xз в этом направлении. Ниже приводятся эти уравнения при отсутствии объемных сил (2) и условие неизменяемости объема (3), записанное через степени удлинения:

д (А 3 в х ) + д(А 3 Т ху ) = °

дх ду ’

Э(АзТух) Э(ХзОу)

(2)

ду

= °,

Эх

Х1Х 2Х 3 = 1. (3)

Выбор меры деформаций обусловливается, прежде всего, системой координат, наиболее приемлемой для обработки данных конкретного исследования — теоретического или экспериментального, она же определяет меру напряжений, а также вид уравнений механики сплошной среды. Так, систему координат Лагранжа целесообразно использовать при теоретическом решении задач, когда известны начальные размеры тела и неиз-

вестен его деформированный вид. В экспериментальных исследованиях удобнее использовать систему координат Эйлера, поскольку после выполненных экспериментальных работ обычно имеются фотографии или графические файлы с изображением деформированных образцов.

3. Определение напряжений предразрушения

Приведены результаты количественного исследования напряжений в трех примерах при растяжении плоских пластин различной толщины с центральной трещиной. Модели изготавливались в виде крестообразных пластин (рис. 1). В результате поляризационно-оптического эксперимента для каждой модели получают картину полос, фактически представляющую собой поле разностей главных погонных усилий А 3( а1 - а 2), определяемую по формуле (4), и поле изоклин 0 — углов наклона главных напряжений

А 3(а1 -а 2) =

а°° п

(4)

Экспериментальные данные можно пересчитать для напряжений в плоскости модели X3(ах - ау) и тху, используя выражение

X3(ах -ау) ^3(а 1 -а2)cos2©,

X3Тху ^3 (а1-а2)»т2©-

Уравнения связи напряжений и деформаций получе ны при использовании упругого потенциала Бартенева-Хазановича и представлены в виде:

(5)

ві = А(Аі —А 3), а 2 = А (А 2 — А 3).

(6)

В выражениях (4)-(6) а1 и а 2 — главные истинные напряжения в плоскости модели; Н° — начальная толщина образца; А — константа упругого потенциала Бар-тенева-Хазановича.

Для трех пластин с трещинами выполнено полное разделение напряжений и деформаций методом численного интегрирования одного из дифференциальных уравнений равновесия (2) вдоль оси X или У [5], в результате которого получены раздельные значения вели-

Рис. 1. Схема нагружения при двухосном растяжении пластин с трещиной

+

+

Є

Є ху =

Рис. 2. Картины полос интерференции и эпюры истинных а1 и а2 (сплошные линии) и условных а^ и а^ (пунктирные линии) напряжений: при одноосном растяжении пластины с трещиной, имеющей небольшие круглые отверстия у вершин (а); при двухосном растяжении тонкой пластины с острой трещиной (б); при одноосном растяжении тонкой пластины с острой трещиной (в)

чин погонных усилий: X3ах, X3ау, X3тху, затем с их помощью вычислены главные компоненты X3а1 и X3а2. Добавив к ним (3) и (6) и решив полученную систему, можно получить раздельные значения пяти искомых величин а1, а2, X1, X2, X3 в каждой рассматриваемой точке.

Первоначально определялись истинные (эйлеровы координаты) напряжения, которые затем были переведены в условные (лагранжевы координаты).

На рис. 2 приведено несколько картин полос интерференции в пластинах разной толщины при различном уровне нагружения. Образцы были исследованы при разных соотношениях F2 : F1, но результаты расшифровки для двух из них приведены лишь для случая F2 = = 0, как наиболее интересные с точки зрения распреде-

ления напряжений а 2, и только для одного при нагружении с отношением F2 : F1 = 1:2.

В первом примере (рис. 2, а) получено распределение истинных напряжений при одноосном растяжении пластины с трещиной, имеющей небольшие круглые отверстия у вершин, номинальные деформации на удалении около 10 % относительных удлинений. Во втором случае (рис. 2, б) выполнено исследование двуосного растяжения тонкой пластины с острой трещиной при отношении растягивающих сил F1 = 2F2, номинальные деформации порядка 40 %. С помощью третьего образца (рис. 2, в) изучено одноосное растяжение тонкой пластины с острой трещиной, превратившейся в процессе деформирования в круг, номинальные деформации на удалении достигают 100 %.

На рис. 2 для всех трех исследуемых пластин в нескольких отмеченных вертикальных и горизонтальных сечениях представлены эпюры главных истинных напряжений а1 и а2 (эйлеровы координаты — сплошные линии) и условных а}' и а} (лагранжевы координаты — пунктирные линии). Как можно видеть, условные напряжения а} несколько меньше истинных а1, в то время как а} практически совпадают с а2, а иногда даже больше.

Анализируя графики напряжений, можно отметить некоторые особенности в их распределении, характерные для всех образцов. Большое значение для выявления механизма разрушения имеют напряжения а2. В вертикальных сечениях, параллельных основной растягивающей силе ^, они двузначны, имеют волнообразный характер, что обеспечивает возможность равновесия усилий в каждом сечении по сумме проекций всех сил на горизонтальную ось.

Характер распределения напряжений а1 в моделях несколько различается из-за различного оформления вершин трещин и разного уровня деформирования. В общем случае это растягивающие напряжения с увеличением значений вблизи вершин трещин. Однако для третьего образца, имеющего самый высокий уровень деформирования (номинальные деформации 100 % относительных удлинений), отмечается факт сдвижки максимума а1 (напряжение в направлении основного растяжения) от вершин трещины вглубь образца, сечение 1-1 на рис. 2, в. Максимальное значение а1 на этой эпюре составляет 5.16 МПа, а ближе к вершине оно равно 4.12 МПа, т.е. значительно меньше (для условных напряжений эти значения равны 2.309 и 2.011 МПа соответственно).

В монографии [5] также отмечается явление смещения максимума а1 от источника концентрации, полученное расчетными методами. Но в приведенном там

решении максимальные деформации составляли всего 1.5 %, а глубина смещения и величина максимума получились очень небольшими.

При анализе результатов отмечен следующий парадокс: смещение максимального значения контурных напряжений от геометрических контурных источников концентрации на некоторое расстояние вдоль контура отверстий, что можно наблюдать визуально по картинам полос на свободных контурах. На рис. 2 хорошо видно, что центры характерных двухлепестковых зон, где отмечается самый большой порядок полос, во всех случаях смещены от источников концентрации, которыми являются вершины трещин. Они перемещаются вдоль контуров, особенно вдоль наиболее нагруженной грани.

Можно отметить, что при деформировании элементов в области больших смещений происходит затупление трещин и разрезов, сглаживание концентраторов. Это особенно хорошо заметно по виду трансформации острых трещин в резиновых пластинах, которые при деформировании превращаются в эллипсы, при этом острые вершины трещин так затупляются, что на снимках совершенно не заметны (рис. 2).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 02-01-00222).

Литература

1. ЧерныхК.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. - М.: Наука. Физматлит, 1996. - 287 с.

2. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть I. Теория. -СПб., 1999. - 276 с.

3. Албаут Г.Н., Барышников В.Н. Напряженно-деформированное со-

стояние при растяжении резиновых пластин с трещиной // Изв. вузов. Строительство. - 1997. - № 9. - С. 101-106.

4. Албаут Г.Н. Нелинейная фотоупругость в приложении к задачам

механики разрушения: Учебное пособие. - Новосибирск: НГАСУ, 2002. - 106 с.

5. Экспериментальная механика. Кн. 2 / Под ред. А. Кобаяси. - М.: Мир, 1990. - 552 с.