Экспериментальное определение теплопроводности клинкерных гранул методом решения обратной задачи Текст научной статьи по специальности «Физика»

trubaev@mail.ru Трубаев П.А., д-р. техн. наук, доц.

Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КЛИНКЕРНЫХ ГРАНУЛ МЕТОДОМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Предлагается метод определения зависимости коэффициента теплопроводности гранулированного материала от температуры, основанный на измерении температур в двух точках гранулы при ее нагреве или охлаждении и моделировании температурного поля гранулы с использованием этих данных. Метод позволил определять коэффициент теплопроводности при температурах до 1000°С. Приводится методика проведения экспериментов и расчета коэффициента теплопроводности и результаты исследования теплопроводности цементных клинкерных гранул.

Условные обозначения

с - удельная теплоемкость, Дж/кг • К;/- функция зависимости коэффициента теплопроводности от температуры; Б- площадь поверхности сферического сечения гранулы, м2; Q - тепловой поток, проходящий через сферу радиусом гк, Вт; Ь - число шагов по времени в эксперименте и модели; N - номер узловой точки на поверхности гранулы; г - расстояние от центра гранулы, м; г' - расстояние от центра гранулы до границы контрольного объема, м; Я - радиус гранулы, м; Б - сумма квадратов разностей температур, полученных путем измерения и рассчитанных по математической модели; Т- температура, К; г - температура, °С; а - коэффициент теплоотдачи на поверхности гранулы, Вт/м2 • К; ф - коэффициент, учитывающий несферичность поверхности исследуемой гранулы; X - коэффициент теплопроводности, Вт/м • К; Ах -итерационный шаг по времени, с; Аг - шаг сетки, м; Аг -разность температур в двух узловых точках около второй термопары; р - плотность, кг/м3; т - время, с.

Верхние индексы: 1 - текущая итерация по времени; 0 - предыдущая итерация по времени; м - температура, рассчитанная по математической модели; э - температура, полученная экспериментальным измерением.

Нижние индексы: 0 - узловая точка, соответствующая центру гранулы (положение первой термопары); г - номер узловой точки; у - номер итерации по времени в математической модели; k - узловая точка, расположенная между центром и поверхностью гранулы (положение второй термопары); ш - номер экспериментального замера температуры; гр - коэффициенты дискретного аналога для контрольного объема на внешней границе области; изл - излучение (лучистый); конв - конвективный; ср - окружающая среда.

Описание методики исследования

В настоящее время для исследования теплопроводности наиболее часто применяются стационарные методы. Они характеризуются простой методикой проведения эксперимента, но имеют ряд недостатков, в част-

ности, низкие рабочие температуры и сложность экспериментальных установок [1]. Нестационарные методы и методы неравновесной термодинамики, основанные на исследовании изменяющихся во времени температурных полей, позволяют исследовать теплопроводность вещества при высоких температурах [2]. Основная трудность реализации нестационарных методов заключается в приближении используемой математической модели к экспериментальным процессам.

В работе предлагается метод определения зависимости коэффициента теплопроводности гранулированного материала от температуры, основанный на решении нестационарной обратной задачи теплопроводности. Суть метода заключается в экспериментальном определении температур в двух точках гранулы и 1эк (рис. 1) при ее нагреве или охлаждении и моделировании температурного поля гранулы с использованием этих данных.

температуры гранулы: 1 - внутренняя часть гранулы; 2 - термопары

Приближение температур ?„' и полученных в эксперименте, и температур /0' и рассчитанных по модели теплопроводности (рис. 2), достигается изменением граничных условий модели и других параметров (радиуса гранулы Я, начальной температуры), измерение которых связано с погрешностью. По изменению поля температуры производится расчет теплового потока, который равен изменению теплосодержания гранулы за

определенный промежуток времени. Расчет коэффициента теплопроводности производится по следующим параметрам: тепловому потоку 2, проходящему через сферу радиусом гк, которая ограничивает внутреннюю часть гранулы; площади поверхности сферы; разнице температуры в малом объеме у ее поверхности (рис. 2).

Рис. 2. Расчетное температурное поле гранулы: а) нагрев; б) охлаждение

Необходимо отметить отличие предлагаемого метода от обратной задачи. Общее термическое сопротивление при нагреве или охлаждении гранулы состоит из термических сопротивлений теплопроводности и теплоотдачи. Условия теплоотдачи на поверхности точно определить нельзя из-за известной погрешности расчета теплообмена излучением и неправильной формы и неровной поверхности гранулы. Следовательно, в обратной задаче погрешность в задании граничных условий будет влиять на получаемое значение коэффициента теплопроводности. Так, при обработке данных проведенных экспериментов решением обратной задачи значение коэффициента теплопроводности клинкера получалось от 1,6 до 2,2 Вт/(м-К), то есть более чем в два раза выше реального. В предлагаемой методике моделирование служит для точного расчета количества теплоты, получаемого или теряемого гранулой, по которому и определяется коэффициент теплопроводности.

Построение дискретного аналога

Температурное поле шарообразной гранулы определяется путем решения уравнения нестационарной одномерной теплопроводности в сферических координатах:

дТ дт

1 д

Р г2 дг

дТ

х г 2 дТ

дг

дТ

дг

= 0, при г = 0;

X— = аТр -Т), при г ■■

дг 4 '

R.

(1)

Дискретизация уравнения (1) произведена по методике, изложенной в работе [3]. Начало координат было расположено в центре гранулы, расчетная область разделена сеткой, содержащей Ы+1 узлов. Узел с номером 0 расположен в центре гранулы, с номером N - на ее поверхности (рис. 3).

Аг„

_

т ~~~~

Рис. 3. Контрольные объемы М Г. для внутренних и граничных точек

в сферических координатах ^

Около каждого узла выделен контрольный объем, представляющий шаровой слой, границами которого являются сферы с радиусами г. Каждый из узлов равноудален от границ соответствующего ему объема. Для обеспечения равенства масс, содержащихся в каждом контрольном объеме, применена неравномерная сетка. По условиям эксперимента одна из точек модели должна совпадать с местом закладки термопары, это сечение задается номером к и радиусом гк, задающим расстояние от точки до центра, по которому определяется радиус г' для границы контрольного объема. Сетка составляется с условием равенства между собой объемов, находящихся относительно этой границы снаружи и внутри гранулы. Границы разбиений рассчитываются следующим образом:

к +1 7+Т

1 ■ /*к ; г = 3(г;)3+((-(г;)3)) /> к;

2г.

1 +

к +1

В связи с симметрией области для левой границы (центра гранулы) задавалось граничное условие второго рода, заключающееся в равенстве нулю теплового потока. Для правой границы (поверхности гранулы) задавалось граничное условие третьего рода:

а = ф(аКо„+аизл), (2)

где ф - поправочный коэффициент, учитывающий неточность расчета теплообмена излучением и неправильную форму гранулы.

Как показали результаты экспериментального измерения температуры внутри исследуемых нагреваемых или охлаждаемых клинкерных гранул, изменение температур в исследуемых точках во времени близко к линейному. Поэтому наибольшую точность при дискретизации дифференциального уравнения должна обеспечить схема Кранка-Николсона. Но недостатком этой схемы является колебание решения при недостаточно малых значениях шагов по времени. В рассматриваемом случае колебание происходило для точки, лежащей на поверхности гранулы (рис. 4). Неявная схема свободна от этого недостатка, но обладает большей погрешностью результатов, приводящей к более быстрому охлаждению (рис. 4).

Для обеспечения требуемой точности и приемлемого времени расчета предлагается дискретизировать урав-

г

к

гк =

к

нения во всех узлах сетки по схеме Кранка-Николсона, а для последнего узла, расположенного на поверхности гранулы, использовать неявную схему. В результате сохраняется точность решения при увеличении шага по времени и ликвидируется колебание значений температур в граничной точке (рис. 4).

Схема Кранка-Нишлсона с неявным дискретным Схема аналогам Неяппая

Кранка-Нишпсона для последнего узла схема

1000 ^ 900 | 800 g 700

Он

| 600 f- 500

N

ч

Ч Л \ <7

\

0 20 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 Время, с

Рис. 4. Результаты моделирования охлаждения гранулы диаметром 1 см с использованием различных схем дискретизации:

1 - температура центра гранулы; 2 - температура поверхности

В результате дискретизации уравнения (1) на сетке, приведенной на рис. 3, получается система, содержащая N+1 уравнение:

K0 ( - T00) = k0 ( + T10 - T0' - T00);

K(t,' - T0 ) = k((+, + T+1 - T - T0)-kl ((1 + T0 - T- - T ). i = 1 ••• N -1;

L (3) Kn ( - TN0-1 ) = k„ ( - TN )-2k,,i (TN - TN-),

в которой использованы следующие коэффициенты:

AT, 3

K„ =

AT, 3

PCN R ~ rN-1 AT, 3

,i = 1 ... N- 1;

r2 X

k. = -i--, i = 0 ... N; kA = aR2

i 2 Ar aä

X = f

T1 + T + T1 + T Li+1 T 1i+1 T 1i

; c = f

T + t 0

Аг = 0,5(г - г ), I = 1 ... Ж- 2; Аг = 0,5(г + г );

I I + 1 I- 1 0 10

Аг = Я - 0,5(г + г ).

N - 1 N - 1 N - 2

Расчет коэффициента теплопроводности

Результатом экспериментального измерения температур гранулы при ее нагреве или охлаждении является Ьэ значений температур в центре гранулы (точка 0) и на расстоянии 1/2 радиуса от него (точка к), измеряемых через промежутки времени Атэ:

1 э,ш и Ч ш , ш = Ьэ-

В связи с затратами времени на извлечение гранулы из муфельной печи (или установки ее в печь) и подклю-

чение термопар, время первого замера т0 не соответствует времени начала охлаждения (нагрева), то есть т0 > 0.

Для исключения ошибок эксперимента и ступенчатости графика, вызванной градацией шкалы электронного милливольтметра в 0,1 В (что наблюдается при использовании термопар типа ПП с небольшой термо-ЭДС), экспериментальные данные сглаживаются путем их аппроксимации полиномом 2, 3 или 4 степени, в результате получаются Lэ значений температур

Ч, m и m , m = 1..Хэ.

Результатом решения системы уравнений дискретного аналога уравнения теплопроводности является распределение температур в грануле через заданные промежутки времени

^<, i = 0...N, j = 0...L .

., J ' ' J м

Для выбора числа шагов по времени L в математической модели используются условия:

- при охлаждении

(t0rr,м*)v(t"Ам*tu)(( ^min);

- при нагреве

( tf Ам * Оэ) £ Ам * П.Ь )(( ^ min);

Из полученного распределения температур модели выбираются температуры в точках с номерами 0 и k, соответствующие времени экспериментальных замеров, в результате из Lu остаются Lэ точек:

м , м 17-

t0, m и tk, m, m = 1...L,.

Для определения коэффициента теплопроводности необходимо произвести приближение температур эксперимента t0a, m, t£ m и модели m, t^ m. Критерием отклонения расчетных и экспериментальных температур является сумма квадратов разностей отклонений температур в каждой из точек и отклонений разностей температур центра и точки с номером k:

5 = Х

( tм -ta )2 +( tм -ta )2 + ^ 0, m 0, m ) Т \ k, m k, m ) T

+ [7 t0M - tk* )-( t0 -t? )

I \ 0, m k, m J 0, m k, m /

(4)

Основным способом минимизации значения Б является изменение коэффициента ф уравнения (2). Возможно уточнение и других параметров модели, измерение которых связано с определенной погрешностью: начальной температуры гранулы при охлаждении или температуры среды в муфельном шкафу при нагреве гранулы; промежутка времени до начала замеров т0; радиуса гранулы Я.

Так как даже после минимизации абсолютного совпадения температур эксперимента и модели добиться не удается, особенно в первых итерациях, для расчета коэффициента теплопроводности используется расчет-

m=1

ное поле температур, совпадающее с температурой эксперимента в точках 0 и к и соответствующее характеру изменению температуры по радиусу гранулы в модели для остальных точек:

- /4

, ,а м м \ 0, т к, т

К т = ¿0, т -((, т - т К"—м-> ' = к; т =

¿0, т ^к, т

Расчет коэффициентов теплопроводности X для каждого момента времени экспериментальных замеров производится по количеству теплоты, теряемого или получаемого внутренней частью гранулы:

х =(т-1 - Ят )(гк - г,-1 ) . = ¿к-1 + ¿к

Хт = Д/,„ (т -Тт-1 ) ' т = 2 ' т = ^^

где 2т-1, 2т - количество теплоты содержащееся в внутренней части гранулы (рис. 1) в моменты времени двух замеров Тт_1 и Тт; ^ - площадь поверхности, ограничивающая внутреннюю часть гранулы; гк и гк1 - радиус точек, между которыми берется разность температур Д г; гт - температура, соответствующая полученному коэффициенту Xm.

Разность температур Дг для расчета коэффициента теплопроводности берется в двух соседних точках расчетной сетки модели, одной из которых является точка с номером к, соответствующая месту закладки термопары, второй - соседняя с ней точка. Так как разность температур в точках к и к-1 за время Дт изменяется, Дг рассчитывается как логарифмическое среднее между промежутками времени т , и т .

1 у А т-1 т

Теплосодержание внутренней части гранулы определяется по ее температуре:

Ят =Х Р 4 - г3-1 ), т , 1=1 3

где теплоемкость с рассчитывается в зависимости от температуры по данным работы [4].

После определения коэффициента теплопроводности в каждый момент времени по полученной табличной зависимости X (г ), т = 1.. X , оцениваются коэффициенты х0, х1, х2 линейной или квадратичной зависимости:

X = ¡(г): X = х0 + х г V X = х0 + х г + х2 г2. (5)

Так как при моделировании охлаждения в уравнении (1) используется коэффициент теплопроводности материала, расчет производится итерационно с использованием полученной в предыдущей итерации зависимости (5).

Согласно изложенной методике разработано программное обеспечение для моделирования температурного поля гранулы, обработки результатов эксперимента и определения коэффициентов зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Алгоритм работы программы представлен на рис. 5.

Для тестирования программы в качестве исходных данных задавалось распределение температур, полученное аналитическим решением уравнения нестационарной теплопроводности [5]. Результаты расчета коэффициента теплопроводности при различных вариантах параметров процесса (плотности, теплоемкости, коэффициента теплоотдачи) не отличались от задаваемого при аналитическом решении более чем на 0,5%.

Результаты экспериментальных исследований*

Для определения теплопроводности использовались заводские клинкерные гранулы АО «Белгородский цемент» (БЦЗ), АО «Осколцемент» (СОЦЗ) диаметром 35.50 мм и гранулы, полученные в лабораторных условиях обжигом в высокотемпературной печи (Л) диаметром 25.40 мм. Лабораторные гранулы приготовлены из заводской сырьевой смеси АО «Белгородский це-

Считывание из файла экспериментальных данных: радиуса R, плотности гранулы р, времени от начала

э э

нагрева (охлаждения) до начала замеров Ат0, температур to т и t^ т , т = 1.--L'3.

_±_

Удаление экспериментальных точек , не входящий в заданный диапазон температур , сглаживание экспериментальных данных полином заданной степени , результат - температуры ¿0 т и т , т =

1-£э-_

_±_

Расчет температурного поля гранулы tjЛj , г = 0...М, j = 0...ЬК.

Минимизация отклонения 5 экспериментальных и расчетных температур рассчитанного по уравнению (4), изменением заданных параметров методом покоординатного спуска с дроблением шага_

_±_

Расчет коэффициента теплопроводности Xm(tm), т = 1...ЬЭ, и коэффициентов уравнения X = f(t)_

_±_:_

Итерационный расчет до стабилизации коэффициентов регрессионного уравнений X = f(i)_

Рис. 5. Алгоритм расчета коэффициента теплопроводности

* Экспериментальные измерения выполнены инж. А. С. Ивановым и А. А. Петровым

Теплопроводность клинкерных гранул на интервале температур 300.. .900°С, Вт/м-К

Таблица 1

Наименование гранул Диапазон изменения, Вт/м-К Среднее значение X, Вт/м-К Изменение X при увеличении температур ы1 на 100°С (100x0, Вт/м-К ^100% X с Корреляция между коэффициентами х0 и х1

БЦЗ 0,6.0,95 0,80 0,053 6,6 -0,56

СОЦЗ 0,7.1,0 0,84 0,054 6,4 -0,72

Лабораторные 0,5.0,75 0,60 0,042 7,0 -0,33

мент», в части из них сырьевая смесь была скорректирована известковым, глинистым и железистым компонентами для увеличения или уменьшения коэффициента насыщения при сохранении постоянными глиноземного и кремнеземного модулей. Пористость заводских гранул составляла 10,5.11,1%, лабораторных - 17%.

В гранулах просверливались два отверстия диаметром 3 или 4 мм, одно до центра гранулы, другое на глубину, равную половине радиуса (данное расстояние выбрано для предотвращения влияние канала термопары на процесс теплопроводности в ней). В полученные отверстия вставлялись термопары типа «ПП», помещенные в керамические трубки. Точное местоположение спаев термопар определялось графическим построением проекции гранулы и термопар на плоскость. Термо-ЭДС измерялась электронными милливольтметрами.

До экспериментов определялся объем и кажущаяся плотность гранулы, по которым рассчитывались эквивалентный радиус. Нагрев осуществлялся в муфельной печи с температурой 1000.. .1200°С, охлаждение - вне печи в естественных условиях. Эксперимент дублируется от двух до четырех раз (до разрушения гранул). После производился петрографический анализ гранул и пикнометри-ческим методом определялась их истинная плотность.

В экспериментальных исследованиях интервал времени между замерами составил Ах = 10 с, при численном моделировании количество точек сетки задавалось равным N = 75, шаг по времени Ат = 0,1с.

Зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, полученные в результате исследования, представлены на рис. 6. Для всех гранул наблюдается рост коэффициента теплопроводности с увеличением температуры. Теплопроводность гранул СОЦЗ выше, чем БЦЗ, а лабораторных ниже, чем заводских. Это связано с различной пористостью гранул. Анализ полученных зависимостей приведен в табл. 1.

Для исследуемых гранул выявлена зависимость роста коэффициента теплопроводности на 0,04.0,05 Вт/м-К при росте температуры на 100 °С. Несмотря на различие в абсолютных значениях коэффициента теплопроводности, отношение коэффициента х1 к среднему значению коэффициента теплопроводности для исследованных гранул одинаково. Следовательно, у исследованных гранул наблюдается одинаковый относительный рост коэффициента теплопроводности при увеличении температуры.

Между коэффициентами х0 и х1 имеется обратная корреляция. Это можно объяснить погрешностью эксперимента, которая вызывает поворот регрессионной прямой с центром вращения в середине диапазона температур, при которых определялся коэффициент теплопроводности. Но усреднение коэффициентов регрессионного уравнения позволяет избавиться от этой погрешности. Так, несмотря на довольно большой разброс в коэффициентах для гранул одного вида, средние значения коэффициентов близки между собой.

1,01

~0,6

БЦЗ СОЦЗ (нагред^

^Лаб БЦЗ (охла ораторные кдеиие)

300

500 700 Тсмпсрапура, "С

1А

Н

-Г

0,6

СОЦЗ

Лаб< 3 (нагрев) раторные

ЦЗ(охлаж (ение)

900 300

500 700 900 Температура, "С

Рис. 6. Средняя теплопроводность: а) клинкерных гранул; б) расчетная идеально плотного клинкера

В результате проведенных исследований можно сделать вывод, что разработанные методика исследования, алгоритм расчета коэффициента теплопроводности и программное обеспечение позволили с высокой степенью точности, при условии достаточного количества дублирования экспериментов, определять коэффициент теплопроводности гранулированного материала при температурах до 1000°С.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Осипова, В.А. Экспериментальное исследование процессов теплообмена / В. А. Осипова. - М.: Энергия, 1979. -320 с.

2. Бек, Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности: Пер. с англ. / Дж. Бек, Б. Блакуэл, Ч. Сент-Клэр - М.: Мир, 1989. - 312 с.

3. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкостей / С. Патанкар. - М.: Энерго-атомиздат, 1984. - 152 с.

4. Дешко, Ю. И. Наладка и теплотехнические испытания вращающихся печей на цементных заводах / Ю. И. Дешко, М. Б. Креймер, Т. А. Огаркова - М.: Стройиздат, 1962. - 244 с.

5. Кутателадзе, С. С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: Справочное пособие / С. С. Кутателадзе. -М.: Энергоатомиздат, 1990. - 367 с.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 08-08-00980