ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI: 10.47026/1810-1909-2022-1-73-87

УДК 621.31;004.94 ББК 32.859

Н.М. ЛАЗАРЕВА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Ключевые слова: имитационное моделирование, передаточная функция, Simulink MATLAB, Control Design, Linear Analysis, диаграмма нулей и полюсов, переходная характеристика, понижающий конвертор, кривая разгона.

Современное развитие систем компьютерной математики открывает перед исследователем возможности получить решение инженерной задачи на основе результатов имитационного моделирования. Использование инструментария интерактивной среды Simulink является перспективным для моделирования и анализа широкого класса динамических систем, так как позволяет моделировать очень быстро и без написания программного кода. Определение передаточной функции устройства силовой электроники является актуальной задачей, поскольку такой вид модели преобразователя позволяет не только выполнять анализ режимов его работы и проводить исследования для расчета силовой части, но и разрабатывать замкнутую систему управления, обеспечивающую требуемые динамические характеристики. В статье рассматриваются средства имитационного моделирования Simulink MATLAB, используемые для определения параметров моделей электрических цепей в виде передаточной функции. Показано, что передаточная функция устройства может быть синтезирована по модели его принципиальной электрической схемы без применения навыков программирования. Приведены примеры использования инструментария Simulink для построения передаточной функций RLC-цепи, заданной принципиальной схемой, и определения ее параметров. В статье анализируются недостатки имитационных инструментов при моделировании устройств преобразовательной техники. Рассматривается конкретный пример идентификации передаточной функции конвертора по кривой разгона напряжения нагрузки. Достоверность результата подтверждается вычислительным экспериментом.

Для удобства исследования режимов работы и решения задач синтеза элементов управления устройство силовой электроники может быть представлено в виде системы, состоящей из некоторых типовых звеньев, определенным образом соединенных между собой. Как правило, деление преобразователя на отдельные звенья выполняется в соответствии с физическим и/или функциональным разделением устройства на блоки или узлы. Например, некоторое звено источника питания может представлять собой как конвертор в целом, так и отдельный сглаживающий фильтр, установленный на выходе этого DС/DС преобразователя. Каждое звено может быть характеризовано передаточной функцией, в результате чего к устройству в целом можно применить хорошо развитый математический аппарат передаточных функций и большое число апробированных методов, позволяющих решать задачи анализа и синтеза, возникающие как при разработке силовой части преобразователя, так и при построении его системы управления [1, 2, 5].

При известной принципиальной схеме цепи передаточная функция звена, моделирующего некоторый блок, может быть получена в результате применения операторного метода. Такой подход является трудоемким, но позволяет

получить аналитическое выражение передаточной функции. Передаточная функция в виде формулы без относительно конкретных значений параметров электрической цепи дает возможность выполнять как анализ свойств самого звена, так и оценивать влияние значений его компонентов на режим работы устройства.

Для изучения характеристик электрических схем, в частности устройств силовой электроники, удобно использовать средства компьютерного имитационного моделирования. Такой подход не требует кропотливой работы по выводу формул, позволяет быстро определить параметры передаточной функции звена, но все коэффициенты модели при этом получаются в виде числовых значений, т.е. имитационное моделирование дает частное решение относительно конкретных значений параметров цепи. Изменение значений компонентов схемы потребует повторного моделирования.

Система МЛТЬЛБ совместно с приложением 81шиПпк предоставляет пользователю перечень инструментов для решения задачи идентификации передаточной функции звена, представленного имитационной моделью его принципиальной электрической схемы [3, 4, 7].

Пусть требуется определить передаточную функцию звена, схема которого приведена на рис. 1.

Вывод передаточной функции этого звена в аналитическом виде - довольно сложная задача. Получим передаточную функцию в численном виде, используя инструментарий MATLAB / Simulink. Построим имитационную модель звена (рис. 2). Зададим параметры элементов цепи: R\ = 2 Ом, L = 10 мГн, R2 = 300 Ом, C = 10 мкФ, R3 = 10 Ом.

Установим на входе модели блок DC Voltage Source, моделирующий источник постоянного напряжения 1 В, напряжение на выходном резисторе R3 будем измерять мультиметром Multimeter. Для отображения переходного процесса изменения выходного напряжения используем осциллограф Scope. Поскольку в блоке powergui интерфейса пользователя во вкладке Tools/Initial State установлен флажок To Zero, задающий нулевые начальные условия, то запуск модели будет инициировать моделирование динамической переходной характеристики звена.

г

C

Рис. 1. Звено второго порядка

Г

—»4 (—■—

R1 L м

R2

DC Voltage Source

R3

Scope

Рис. 2. Simulink-модель звена

В командном окне МЛТЬЛБ зададим на выполнение следующую последовательность команд:

S=power analyze('SPSmodel','ss');

SS=tf(sУ;

Первая из указанных команд рассчитывает в пространстве состояний математическую модель электрической цепи, имитационная 8тиПпк-модель которой сохранена в файле SPSmodel.slx. Если при вызове функции power_ana-1у2е в конце команды не поставить точку с запятой, то в командном окне МЛТЬЛБ можно увидеть элементы матриц А системы, В входа, С выхода и В обхода уравнений, описывающих модель в пространстве состояний:

«¿г(0

dt

• = Ax(t ) + Bu(t);

y (t) = Cx (t) + Du (t),

где x(t) - вектор-столбец переменных состояния; u(t) - вектор входных воздействий; v(t) - вектор выходных сигналов. Получим следующий результат:

Continuous-time state-space model

A =

Il_R1 Uc_C

B =

Il_R1 Uc_C -1200 -100 1e+05 -333.3

U Controlled Il_R1 100 Uc_C 0

C =

Il_R1 Uc_C Ub: R3 10 0

D =

U Controlled Ub: R3 0

Используемый во второй команде конструктор tf позволяет получить передаточную функцию звена в виде отношения двух полиномов комплексной переменной s

Continuous-time transfer function. SS =

From input "U_Controlled Voltage Source" to output "Ub: R3": 1000 s + 3.333e05

sA2 + 1533 s + 1.04e07

Последовательность из двух указанных выше команд можно свернуть в одну

SS=tf(power_analyze(,SPSmodel,,,ss'))

и тогда за одно нажатие на Enter получаем желаемый результат - передаточную функцию звена

W(p) = 2000 p + 3,333 .105 (1)

p2 +1533p +1,04 .107 По виду передаточной функции (1) можно сделать вывод о том, что рассматриваемое звено представляет собой последовательное соединение идеального форсирующего и колебательного звеньев. Достоверность результата можно проверить, добавив в модель на рис. 2 блоки Step единичного ступенчатого воздействия и Transfer Fcn передаточной функции, параметры которой соответствуют (1) (рис. 3).

Рис. 3. Проверка достоверности результата моделирования

На экране осциллографа наблюдается абсолютное совпадение кривых (рис. 4).

Параметры передаточной функции звена можно рассчитать и на основе корней полиномов ее числителя и знаменателя. Для определения значений нулей и полюсов неизвестной передаточной функции комфортно использовать блок powergui графического интерфейса пользователя, который автоматически применяется для хранения эквивалентной Simulink-модели в пространстве состояний. В результате двойного щелчка по блоку раскрывается окно параметров powergui, содержащее три вкладки: Solver, Tools и References. Во вкладке Tools расположено кнопочное меню, интерес в котором в данном случае представляет инструментарий анализа линейных систем Use Linear System Analyzer.

0ffset=0

Рис. 4. Переходные характеристики: пунктир - звено (1): сплошная линия - отклик модели на рис. 2 на функцию включения

При активации анализатора открывается окно связи Powergui link to Linear System Analyzer для исследуемой модели SPSmodel, в котором из предлагаемого списка необходимо указать вход и выход исследуемой системы (рис. 5). Для рассматриваемой модели входной величиной является напряжение блока DC Voltage Source, а выходной - напряжение на резисторе R3.

Рис. 5. Получение диаграммы нулей и полюсов передаточной функции звена на основе блока powergui

Для просмотра результатов линейного анализа следует открыть окно анализатора, нажав кнопку Open Linear System Analyzer, и выбрать вид графика -Pole-Zero Map для получения информации о нулях и полюсах передаточной функции. Анализируемое звено моделируется передаточной функцией с одним нулем -333 и парой комплексно-сопряженных полюсов -767±3,13-103/. Восстановить полиномы по их корням средствами MATLAB не представляет трудности.

Другим инструментом получения передаточной функции звена на основе его имитационной модели является Linear Analysis, активация которого из окна Simulink-модели показана на рис. 6.

SPSmodel * - Simulink File Edit View Display Diagram Simulation Analysis Code Tools Help Model Advisor

fS-a-BК3 ^ 1>

IS i

SPSmodel ©

SPSmodel

Metrics Dashboard Refactor Model Model Dependencies Compare To... Simscape Performance Tools Requirements_

10.01 I N<

Control Design > Steady State Manager...

Parameter Estimation- Linear Analysis-

Response Optimization- Frequency Response Estimation...

Sensitivity Analysis- Control System Designer...

Test Harness ► Control System Tuner...

Test Manager... Model Discretizer...

Design Verifier ► Linearize Block-

Coverage ► Specify Selected Block Linearization...

Data Type Design ► Linear Analysis Points ►

Рис. 6. Активация Linear Analysis

В этом случае не требуется в командном окне вводить какие-либо команды или восстанавливать полиномы, но перед использованием Linear Analysis необходимо внести в модель некоторые изменения и дополнения (рис. 7).

Рис. 7. Simulink-модель, подготовленная для линейного анализа

Источник постоянного напряжения DC Voltage Source, SPS-блок которого не имеет S-входа, следует заменить блоком управляемого источника напряжения

Controlled Voltage Source, который наряду с силовыми коммуникационными портами имеет информационный вход s. На s-вход источника необходимо подать единичное ступенчатое воздействие, генерируемое блоком Step в момент времени t = 0. На соединительной линии, нажав ПКМ, нужно разместить входную точку Open-loop Input (рис. 8), через которую в модель будет поступать управляющий сигнал от Linear Analysis. На модели точка входа без обратной связи отображается значком х^.

На линии выхода мультиметра, измеряющего напряжение на R3, необходимо разместить точку Open-loop Output, через которую информация от модели будет передаваться в Linear Analysis.

Рис. 8. Размещение входной точки

На модели точка выхода без обратной связи отображается значком х^. Точки входа и выхода можно располагать только на информационных линиях, именно поэтому необходимо было заменить источник напряжения. После установки точек входа и выхода модели Simulink готов к расчету характеристик звена.

При выборе из меню последовательности команд Analysis/Control Design/ Linear Analysis (см. рис. 6) открывается окно Linear Analysis Tool инструмента линейного анализа модели (рис. 9).

В окне инструмента Linear Analysis доступно построение различных динамических характеристик звена, а также диаграммы полюсов и нулей Pole-Zero Map на комплексной s-плоскости. Для каждой характеристики можно получить дополнительную информацию. Так, например, для переходной Step Response можно определить максимальное Peak amplitude и установившееся Final value значения, время окончания переходного процесса (вхождения в трубку) Setting time (рис. 9) и другие параметры.

Для получения передаточной функции звена по его Simulink-модели в окне Linear Analysis Tool необходимо открыть вкладку PLOTS AND RESULTS

и нажать кнопку Result Viewer (рис. 10) демонстрации результатов линеаризации. В развернувшемся окне Linearization result details из выпадающего меню можно выбрать способ представления результатов: в виде модели в пространстве состояний State Space, в виде нуль-полюсной передаточной функции Zero-Pole-Gain или в виде Transfer Function отношения полиномов по степеням комплексной переменной s. Последний вариант приведен на рис. 10 и, конечно же, результат совпадает с полученной ранее передаточной функцией (1).

Рис. 9. Окно Linear Analysis Tool с переходной характеристикой звена

1

Рис. 10. Результат линеаризации в виде передаточной функции

Как вариант запишем аналитическое выражение передаточной функции звена (см. рис. 1), применив операторный метод. Получим

W (p ) = ЦыхМ = ,

ивх(p) а0 p + а1 p +1

где

к =-R-; Т = R2C ;

Ri + R2 + R3

RLC (Ri + R3) RC + L a0 = -2- ; a = - .

0 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3

При принятых значениях компонентов анализируемой схемы будем иметь

K =-10-= 3,2051-10-2; т = 300-10-10-6 = 3-10-3;

2 + 300 +10

= 300-ю-Ю-3-10-10-6 = и a = ((1 + R3 )r2c+L,

0 2 + 300 +10 1 R + R2 + R3

следовательно,

W (p) = K (TP +1) = K (TP +1L = 1000p + 3,333 -105 KP) a0 p2 + a1 p +1 p2 + aLp + ^ p2 + 1533p + 10,4-106'

a0 a0

что совпадает с передаточными функциями, полученными в MATLAB Sim-ulink имитационным моделированием.

Рассмотренное звено является достаточно простым и не содержит элементов, характерных для устройств силовой электроники - транзисторов, диодов, трансформаторов, индуктивно связанных катушек, нет и системы управления. Наличие нелинейных элементов не только усложняет модель, но и затрудняет применение инструментов Linear Analysis.

В качестве примера рассмотрим Simulink-модель понижающего конвертора (рис. 11, а).

Схемотехника данного конвертора достаточно простая, разомкнутая система управления реализована на генераторе прямоугольных импульсов, следующих с частотой 100 кГц. Конвертор преобразует 100 В источника питания в 50 В на нагрузке (рис. 11, б).

Подавать на вход преобразователя единичный скачок напряжения нет смысла, поэтому входное напряжение изменяется с 0 до номинального напряжения питания 100 В. По виду полученной таким образом переходной характеристики (рис. 11, в) можно предположить, что конвертор по напряжению нагрузки представляет собой колебательное звено. Однако применение инструментов MATLAB, рассмотренных выше, в качестве результата выдает передаточную функцию апериодического звена второго порядка с вещественными полюсами. С учетом коэффициента передачи переходная характеристика этого звена показана на рис. 12 пунктирной линией.

I ювт

40-------

20-------

°1 Г 1 г '

3.95 3.955 3.96 3.965 3.97 3.975

I Оюс1е

I 1 "] 40-------

20-------

0-------

3.95 3.955 3.96 3.965 3.97 3.975

х10'3

Ун

б Ун

хЮ"3

в

Рис. 11. Понижающий конвертор:

а - ЗшиНпк-модель;

б - временные диаграммы работы; в - реакция на скачок напряжения питания

ин

* /

/ / /

1

1

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

х10'3

Рис. 12. Переходные характеристики: сплошная линия - конвертора; модель, полученная в результате линейного анализа, - пунктир

Получить модель преобразователя в виде передаточной функции можно по его кривой разгона - нормированному переходному процессу при скачке, возмущающем установившийся режим работы устройства. В зависимости от цели исследования скачок можно подавать не только по питающему напряжению, но и по системе управления, например мгновенно изменяя длительность включенного состояния транзистора, или по цепи нагрузки, как вариант осуществляя сброс нагрузки.

Кривые разгона понижающего конвертора, полученные в результате трех различных видов возмущений режима преобразователя, показаны на рис. 13. Один переходный процесс получен в результате изменения напряжения питания с 0 до 100 В, другой - при скачке напряжения питания с 90 до 100 В, когда конвертор после пуска вышел на установившийся режим работы. Третья кривая разгона получена в результате отработки конвертором, работавшем в установившемся режиме, скачкообразного изменения длительности включенного состояния транзистора с 45 до 51 %. В масштабе, принятом на рисунке, все три кривые совпадают. В подрисунке показан фрагмент кривых в увеличенном масштабе.

Про кривой разгона параметры передаточной функции колебательного

звена Ж (р) = —2—2—1- можно определить по одной из известных мето-

Т р + 2£,Тр +1

дик [7, 8]. Например, следующим образом (рис. 14).

Имеем 4 = 0,385; Л2 = 0,1512; Тк = 0,001476 - 0,0003373 = 1,1387-10-3 с. Тогда

2%

ю = 22%=

1,1387-10-

"13 1

-=5,5179-103

У =

= юк 1п (4/4 ) = 5,5179 1031п (0,385/0,1512) = 1

= 1,6416-103

%

1 = .

(1,64 1 6-103 )2 У2 ^ (5,5179-103 )2 +(1,6416-103 )2 0,2852

= 0,29;

Т = 1 =

у 1,6416-103

= 1,7371-10"

и н

Л п 1 \ А \

!) I \ 1 \ —^ 1

\ / \ \ /

\/ . >\/' \ М'

\ / ^ /

Рис. 13. Кривые разгона напряжения нагрузки конвертора: сплошная линия - при пуске преобразователя и Цит = 100 В; пунктирная линия - при скачке напряжения питания с 90 до 100 В; штрихпунктирная линия - при изменении длительности включенного состояния транзистора

2

У

0.5

1 1.5

2

1, с

2.5

3.5 4

хЮ"3

Рис. 14. К определению параметров передаточной функции колебательного звена

Вычислительный эксперимент по проверке достоверности модели конвертора в виде колебательного звена с передаточной функцией

К (Р) = ._______ 2 1_________7 (2)

3,017-10"8 p2 +1,008-10"4 p +1

представлен на рис. 15.

From Workspace

Step

т

1 □

1.737« - 4V + 2 « 0.29 » 1.737« - 4s + 1

Scope

/ д

/ \

\

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Рис. 15. Проверка достоверности представления понижающего конвертора колебательным звеном (2)

Кривая разгона напряжения нагрузки конвертора, показанная на рис. 15 сплошной линией, совпадает с переходной характеристикой звена (2), изображенной пунктирной линией. Понижающий конвертор может быть моделирован звеном с передаточной функцией (2).

Выводы. 1. Инструменты Simulink MATLAB при заданных параметрах электрической цепи позволяют получить ее передаточную функцию по имитационной модели, не прибегая к программированию.

2. Для определения передаточных функций устройств силовой электроники по их имитационным моделям комфортно использовать кривые разгона.

Литература

1. Антонов В.И., Лазарева Н.М. Математические методы теории электрических систем. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. 148 с.

2. Антонов В.И., Лазарева Н.М., Ильин А.А., Петров В. С., Наумов В.А., Лямец Ю.Я. Математические методы теории интеллектуальных электрических систем. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2021. 172 с.

3. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2001. 442 с.

4. Лазарева Н.М., Яров В.М. Компьютерное моделирование резонансных инверторов. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. 498 с.

5. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). М.: Машиностроение, 1982. 503 с.

6. Силовая электроника в электроэнергетике: сб. науч. статей, посвященный памяти Виктора Михайловича Ярова / под ред. Н.М. Лазаревой. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2021. 234 с.

7. Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSys-tems и Simulink. М.: ДМК Пресс; СПб.: Питер, 2008. 288 с.

8. BykovK. V., Lazareva N.M., Yarov V.M. Dynamic Conditions for a Three-level LLC Converter with a Phase-Pulse Control. In: Proceedings of the International Scientific and Technical Conference Smart Energy Systems 2019 (SES-2019), 2019, E3S Web Conf., vol. 124, pp. 1-4. DOI: 10.1051/e3sconf/201912401013.

ЛАЗАРЕВА НАДЕЖДА МИХАЙЛОВНА - кандидат технических наук, доцент кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (lana21lana21@mail.ru; ОКСГО: https://orcid.org/0000-0003-2122-089X).

Nadezhda M. LAZAREVA

EXPERIMENTAL DETERMINATION OF TRANSFER FUNCTIONS OF CONTROL OBJECTS

Key words: simulation modeling, transmission function, Simulink MATLAB, control Design, linear analysis, diagram ofzeros and poles, transient response, step-down converter, acceleration curve.

The modern development of computer mathematics systems opens up opportunities for the researcher to obtain a solution to an engineering problem based on the results ofsimulation modeling. The use of Simulink interactive environment tools is promising for modeling and analyzing a wide class of dynamic systems, as it allows modeling very quickly and without writing a program code. Determining the transferfunction of a power electronics device is an urgent task, since this type of converter model allows not only analyzing its operating modes and conducting research to calculate the power section, but also developing a closed-loop control system that provides the required dynamic characteristics. The article discusses Simulink MATLAB simulation tools used to determine the parameters of electrical circuit models in the form of a transfer function. It is shown that the transfer function of the device can be synthesized from the model of its circuit diagram without the use of programming skills. Examples of using the Simulink toolkit for constructing the transfer functions of an RLC circuit by a given circuit diagram and determining its parameters are given. The article analyzes the shortcomings of simulation tools when modeling converter technology devices. A specific example of identifying the transfer function of the converter from the load voltage acceleration curve is considered. The reliability of the result is confirmed by a computational experiment.

References

1. Antonov V.I., Lazareva N.M. Matematicheskie metody teorii elektricheskikh system [Mathematical methods of the theory of electrical systems]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2011, 148 p.

2. Antonov V.I., Lazareva N.M., Il'in A.A., Petrov V.S., Naumov V.A., Lyamets Yu.Ya. Matematicheskie metody teorii intellektual'nykh elektricheskikh system [Mathematical methods of the theory of intellectual electrical systems]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2021, 172 p.

3. D'yakonov V.P., Kruglov V.V. MATLAB. Analiz, identifikatsiya i modelirovanie sistem. Spetsi-al'nyi spravochnik [MATLAB. Analysis, identification and modeling of systems. Special Handbook]. St. Petersburg, Piter, 2001, 442 p.

4. Lazareva N.M., Yarov V.M. Komp'yuternoe modelirovanie rezonansnykh invertorov [Computer simulation or resonant inverters]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2011. 498 p.

5. Makarov I.M., Menskii B.M. Lineinye avtomaticheskie sistemy (elementy teorii, metody rascheta i spravochnyi material) [Linear automatic systems (elements of the theory, calculation methods and reference material)]. Moscow, Mashinostroenie, 1982, 503 p.

6. Silovaya elektronika v elektroenergetike: sb. nauch. statey, posvyashchennyi pamyati Viktora Mikhailovicha Yarova [Power electronics in the electric power industry. Collection of scientific articles dedicated to the memory of Viktor Mikhailovich Yarov]. Pod red. N.M. Lazarevoi. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2021, 234 p.

7. Chernykh I.V. Modelirovanie elektrotekhnicheskikh ustroistv v MATLAB, SimPowerSys-tems i Simulink [Modeling electrical devices in MATLAB, SimPowerSystems and Simulink]. Moscow, DMK Press; St. Petersburg, Piter, 200, 288 p.

8. Bykov K.V., Lazareva N.M., Yarov V.M. Dynamic Conditions for a Three-level LLC Converter with a Phase-Pulse Control. In: Proceedings of the International Scientific and Technical Conference Smart Energy Systems 2019 (SES-2019), 2019, E3S Web Conf., vol. 124, pp. 1-4. DOI: 10.1051/e3sconf/201912401013.

NADEZHDA M. LAZAREVA - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Industrial Electronics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (lana21lana21@mail.ru; ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2122-089X)._

Формат цитирования: Лазарева Н.М. Экспериментальное определение передаточных функций объектов управления // Вестник Чувашского университета. - 2022. - № 1. - С. 73-87. БО!: 10.47026/1810-1909-2022-1-73-87.