Экспериментальное изучение деформирования металла с ортотропной анизотропией Текст научной статьи по специальности «Физика»

-►

Обработка металлов

УДК 539.3

Е.Г. Бердичевский, Б.Е. Мельников, A.A. Митюков, А.Г. Митюков, В.А. Попов, С.Г. Семенов

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛА С ОРТОТРОПНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

Теория пластичности анизотропных металлов, предложенная Хиллом [I], получила широкое распространение в расчетах элементов конструкций из прокатанных листовых материалов, а также при разработке технологических процессов изготовления изделий методами листовой штамповки. Эта теория, как признавал автор, не учитывает деформационную анизотропию и относится только к ор-тотропным металлам. Упрочнение предполагается изотропным, и, следовательно, эффект Баушинге-ра не принимается во внимание. Вводятся понятия [I] эквивалентного напряжения ст и приращения эквивалентной деформации , аналогичные интенсивности напряжений и интенсивности приращений пластических деформаций в теории пластичности изотропных металлов. Кроме того, допускается функциональная зависимость ст = ) между эквивалентным напряжением и удельной пластической работой wp. Функция нагружения (условие пластичности) имеет вид

2/(а,.(.) = До0-а(.)2+С (аг^аг)2 + + Н(а: -а0)2 +2¿То,- +2Мт% +2Их= 1.

где а2, сте, аг, т20, т6г, - компоненты тензора напряжений; р О, Н, Ь, М, N - текущие параметры анизотропии.

Закон течения, ассоциированный с условием пластичности (I), как и для изотропного металла, определяется выражением

= сГК-^-, (2)

ост,7

где Ск - множитель Лагранжа.

Поскольку /- пластический потенциал, совпадающий с функцией нагружения (I), то на основа-

нии теоремы Эйлера об однородных функциях получаются следующие соотношения:

dw = (7,,-cfe^ = ст —^—dk = 2 fdk = dk, (3) ■ 8au

где dwp - приращение пластической работы, отнесенное к единице объема.

Кроме того, согласно [I] имеет место равенство

chvp = ä dz. (4)

Теория Хилла широко используется в инженерной практике. В то же время мало работ, посвященных ее экспериментальной проверке. Назовем некоторые из них. В [2] сравнивались теоретические и экспериментальные кривые az = az(sz), сте = сте(ее), полученные при нагружении трубчатых образцов из стали, латуни и алюминия по пропорциональным путям. Сообщается, что теория Хилла дает заниженные по сравнению с экспериментом результаты. В [3] теория проверялась посредством испытаний образцов, вырезанных из листа под различными углами к направлению прокатки, а также трубчатых образцов в условиях пропорционального на-гружения. Авторы установили, что деформирование изученных металлов (малоуглеродистая, нержавеющая стали и магний), обладающих ортотроп-ной анизотропией, неудовлетворительно описывается теорией Хилла. В то же время для нержавеющей стали подтверждается гипотеза изотропного упрочнения. На основании результатов эксперимента сделан вывод, что теория Хилла наиболее пригодна для материалов с плоской изотропией. Прогнозы теории хорошо согласуются с результатами опытов [4], проведенных над трансверсально изотропными трубами из хромоникелевой стали. В [5]

обнаружилось определенное расхождение между экспериментальными и теоретическими кривыми а = а(Г), построенными для семи пропорциональных путей нагружения образцов из той же стали. Максимальное расхождение (около 20 %) имело место при а = ае/ст2 = 2,0. При этом во всех случаях теоретические кривые располагались выше опытных. Следует заметить, что в [2, 3] экспериментальная проверка теории проводилась при весьма невысоких уровнях пластической деформации: до 6 % - в [2], до 3 % - в [3], в то время как при обработке металлов давлением пластические деформации могут достигать 50 % и более.

Разноречивость результатов указанных работ требует тщательной и многосторонней проверки рассматриваемой теории.

Ниже предпринимается попытка проверки теории пластичности ортотропного металла с изотропным упрочнением посредством сопоставления теоретических и экспериментальных кривых а = а( ).

Построение теоретических кривых ст = )

Последовательное применение для частных случаев трех одноосных растяжений в направлении главных осей г, 9, г анизотропии трубчатого образца приводит к следующим известным выражениям для текущих параметров анизотропии:

2

G - — 2

F - — 2

1

1

1

R1

ТR*

Т1

(5)

ТR

дике, изложенной в [6]. В этом случае деформации, отвечающие напряжениям текучести Z, Т, R снабжаются индексом 'У': zzs, e6s, zrs. Обозначения ctz, aq, стг, ez, eq, zr сохраняются для иных путей нагружения трубчатых образцов. Индекс "р" в обозначениях деформаций опускается, так как речь идет только о пластических деформациях.

Для плоского напряженного состояния (в рассматриваемом случае ar ~ 0), создаваемого в стенке образца, условие (I) запишется так:

Pfaij) = Р°е2 с Gaz2 + H(az - ae)2 = I. (6)

Определение а соответветственно принятому значению wp производится следующим образом. В качестве исходного принимается график функции Т = T(ees). Весь промежуток однородных пластических деформаций ees разбивается на равные малые промежутки (шаги) dzes = 0,01. При этом с целью повышения точности вычислений отсчет первого шага ведется от значения ees = 0,05. На первом и последующих шагах задаемся значением dzes = 0,01, по графику находим Т и определяем dk = Tdzes. Величины Z, dzzs, R, dzrs подбираются таким образом, чтобы для каждого шага удовлетворялись уравнения

dk= Tdzes = Rdzrs = Zdzzs.

(7)

На рис. I, где совмещены графики 2, Т, Я, эти действия представлены геометрически.

Пусть, например, у = 90°. Для этого пути сте = 2ст2, аг = 0. Из (5) и (6) получаем

Z.T.R

где 2, Т, Я - напряжения текучести (текущие пределы текучести) при растяжении в направлениях осей г, 9, г.

Для построения теоретической кривой а = а(лы ) потребуются значения = dwp, р О, Н и, следовательно, названные выше пределы текучести. Диаграммы 2 = 2(е^, Т = Т(ее) получаются из опытов на осевое и кольцевое растяжения. Кривую растяжения Я = Я(ега) в радиальном направлении (по толщине стенки) экспериментально получить невозможно, она строится косвенно по мето-

Рис. 1. Определение напряжений текучести 2, Т, К для принятого шага deдs

стп =

1

г^ ^ г^

Интенсивность напряжений составит

Гз

а = „/ст^-стест_+ст? = а

'о1-

о-

Пять значений wp, отвечающих разбиению однородной пластической деформации е6х (см. рис. I) на пять равных промежутков, содержащих пять шагов = 0,01) каждый, определялись как сумма пластических работ на предыдущих шагах вычислений, то есть

= X = ^ с!к1

(8)

В таблице 1 приводятся результаты вычислений для 1-го, 5-го и 25-го разбиений, а также в

качестве пояснения к таблице - соответствующие значения накопленной удельной пластической работы wp.

Совокупность точек wp, а определяет теоретический график а = ).

Построение экспериментальных 1фивых а = )

Тонкостенные образцы, нарезанные из цельнотянутых хромоникелевых труб, испытывались в установке [7], обеспечивающей нагружение по схеме рв - рн - Р (внутреннее и наружное давления, осевая сила). Пропорциональные пути нагружения рассматриваются в двумерном пространстве на/ г- л

пряжений

Направления названных путей определяются здесь углом у, отсчитываемым от оси Е1.

о =

Таблица 1

Номер разбиения ¿/б т, МПа г, МПа я, МПа (М'р = (1к, МДж/м3 нагружения ц/, ° ст;, МПа сто, МПа ст, МПа

1 0,01 0,0119 0,0107 536 450 500 5,36 15 30 45 60 75 90 105 508 527 529 500 430 316 164 136 263 388 500 588 632 614 441 454 467 500 518 545 551

После первого шага и;,, = Л, = 5,36 МДж/м3

5 0,01 0,0115 0,0105 624 540 594 6,24 15 30 45 60 75 90 105 611 634 634 594 506 368 191 164 317 464 594 691 736 713 548 549 569 594 620 637 639

5 После пяти шагов Т4>р = ^ = <=1 29,00 МДж/м3

25 0,01 0,0110 0,0103 992 904 960 9,92 15 30 45 60 75 90 105 1023 1054 1041 960 805 579 300 274 527 762 960 1099 1159 1121 918 913 934 960 986 1003 1004

После двадцати пяти шагов м'р 25 = = 194,56 Мдж/м3 <=1

Образцы нагружались по семи путям (15° < у < < 105°) с интервалом 15°. Значения у = 0°, 120° отвечают деформированию образцов соответственно осевым и кольцевым растяжениями. Кривые 2 = Т = Т(е6х) использовались (как указывалось выше) для характеристики свойств материала.

По результатам испытаний строились осред-ненные кривые ст = ст(Г). Промежуток однородных пластических деформаций от ё = 0,05 до ё = 0,40 разбивался на два, для каждого из которых названные кривые с помощью метода наименьших квадратов аппроксимировались двумя степенными функциями вида ст = Аё". Эти два уравнения использовались для определения ё (и соответственно а), отвечающей данному значению пластической работы. Указанные действия, выполненные для каждого пути нагружения (у = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105°), поясняются с помощью табл. 2, где их результаты приводятся для пути у = 15°.

На рис. 2 приведены для сравнения теоретические и экспериментальные кривые а = а( ). Об-

наруживается определенная закономерность в расположении кривых. При у = 15 и 30° выше располагаются экспериментальные значения а, при этом по мере развития пластических деформаций происходит сближение кривых. Напротив, на путях нагружения у = 90 и 105° выше располагаются теоретические значения, графики расходятся с ростом пластической работы. При у = 60 и 75° кривые ст = ст(w ) практически совпадают. Путь у = 45° характеризуется превышением в начальной стадии экспериментальных, а на заключительном этапе деформирования - теоретических значений а. Наибольшее расхождение между предсказанием теории и экспериментом составляет 10 % и имеет место на луче у = 90°.

Поскольку теория Хилла предполагает совпадение функции нагружения и пластического потенциала, целесообразно оценку теории произвести, сравнивая кривые нагружения при постоянных уровнях пластической работы. Такое сравнение для трех значений пластической работы приводится на рис. 3. Теоретические значения а для каждого пути и соответствующего уровня работы пластическо-

Таблица 2

Определение эквивалентной деформации ё, отвечающей данному значению удельной работы пластического деформирования н>р (у = 15°)

Промежуток интенсивности деформаций Уравнение кривой ст = ст(е) Работа м'Р, МДж/м3 Уравнение для определения интенсивности деформации £ e, (/ = Ь5) a, , МПа (/ = Ь5)

0,05<Ё<0,15 а=1146Ё0'282 29,00 w¡= Jll46s0'282rfs = 29,0 0,05 0,102 602,0

0,15 < ё < 0,40 а=1417ё 0'379 63,26 С 2 W2 = w0+ Jl41 7б0,379 fife = 62,3 6 0,15 0,156 699,0

0,15 < ё < 0,40 а=1417Ё 0'379 102,58 с, W, =w0+ Jl417£0,379 Hz = 102,5 8 0,15 0,209 782,0

0,15 < ё < 0,40 Ü=1417e °'379 148,50 W4 = w0 + Jl417£0,379 fife = 15 8,5 0,15 ws=w0 + Jl417e°-379dfc = 194,56 0,265 855,0

0,15<Ё< 0,40 а=1417ё 0'379 194,56 0,15 0,15 w0= Jl 146s0-282Í/S = 59,31 0,05 0,317 915,0

а, МПа

800 600 400 800 600. 400 800 600 400 800' 600. 400.

V = 60°

¿г V = 45°

У

¿г V = 30°

■ *

V = = 15°

1-

ст, МПа

800 600

800 600

800' 600400'

0 40 80 120 160 200

=35=

V = 105°

V = í )0°

V = 75°

1-

\9р, МДжДг

о 40 80 120 160 200

к МДж/м3

Рис. 2. Теоретические и экспериментальные зависимости • — теория х — эксперимент

го деформирования наносились на лучи в плоскости и соединялись кривыми. Здесь же нанесены точки, определяющие экспериментальные значения эквивалентного напряжения. Для пропорциональных путей нагружения в диапазоне от осевого до кольцевого растяжений с определенной степенью точности можно говорить об изотропном расширении поверхности нагружения. Следовательно, предположение о том, что а есть функция пластической работы, представляется вполне оправданным.

На основании проведенных экспериментов можно сделать заключение о том, что для хромо-никелевой стали Х18НЮТ в изученном диапазоне пропорциональных путей нагружения (и, по-видимому, для иных путей малой кривизны) все основные положения теории Хилла подтверждаются с достаточной для практических целей точностью.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00506-а.

Ъ2, МПа

Рис. 3. Кривые нагружения при уровнях пластической работы у/р

29,0 (7),' 102,58 (2) и 194,56 (3) МДж/м3 (о — экспериментальные значения эквивалентного напряжения)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 408 с.

2. Фредеркинг P.M., Сайдботгом О.М. Экспериментальная проверка теорий пластичности анизотропных металлов / Труды АОИМ. 1971. С. 14—21.

3. Дилламор И.Л., Хейзел Дж., Уотсон Т.В., Хед-ден П. Экспериментальное изучение механической анизотропии некоторых общеупотребительных металлов: Сб. переводов // Механика, 1972. М> 5(135). С. 134-147.

4. Кузькин А.Ю., Мельников Б.Е., Митюков А.Г., Попов В.А. Экспериментальная проверка теории Хилла / Проблемы ресурса и безопасной эксплуатации материалов: Сб. тр. XII междунар. научно-техн. конф. ГОУ ВПО "Санкт- Петербургский ГУ-НиПТ". СПб., 2006. С. 114-120.

5. Кузькин А.Ю., Митюков A.A., Митюков А.Г., Попов В.А. Экспериментальная проверка теории пластичности ортотропного металла с изотропным упрочнением // Проблемы ресурса и безопасной эксплуатации материалов и конструкций: Сб. тр. XIV междунар. научно-техн. конф.: СПбГУНиПТ. СПб., 2008. С. 130-139.

6. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.

7. Попов В.А., Митюков А. Г. Установка для испытания тонкостенных трубчатых образцов в условиях объемного напряженного состояния / Матер, регион, научно-техн. конф. "Кораблестроительное образование и наука-2003". СПбГУН. СПб., 2003. С. 423-428.