Экспериментальное исследование устойчивости осредненного течения, возбуждаемого колебаниями ядра во вращающейся сферической полости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

ОСРЕДНЕННОГО ТЕЧЕНИЯ, ВОЗБУЖДАЕМОГО КОЛЕБАНИЯМИ ЯДРА ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ

М.А. Давыдова, В.Г. Козлов, С.В. Субботин

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Исследуется устойчивость осредненных потоков, возбуждаемых круговыми колебаниями сферического тела (ядра) во вращающейся сферической полости с жидкостью. Колебания ядра относительно полости вызываются статическим внешним полем, частота колебаний равна частоте вращения системы. Дифференциальное вращение ядра исключается, для этого один из полюсов ядра соединен с ближайшим полюсом полости упругой на скручивание леской. Обнаружено, что в результате колебаний возбуждается двумерное осредненное течение жидкости, интенсивность которого пропорциональна квадрату амплитуды колебаний ядра. С увеличением скорости движения жидкости осесимметрич-ное течение теряет устойчивость, в надкритической области наблюдается серия пороговых переходов. Показано, что пороги смены режимов течения определяются числом Рей-нольдса, рассчитанным по амплитуде колебаний ядра относительно полости.

Ключевые слова: вращение, колебания, осредненное течение, сдвиговая неустойчивость, волны Россби.

ВВЕДЕНИЕ

Задача о движении жидкости между двумя вращающимися сферическими поверхностями давно стала классической вследствие ее фундаментальной постановки. Так называемое сферическое тече-

© Давыдова М.А., Козлов В.Г., Субботин С.В., 2017

ние Тейлора - Куэтта моделирует динамику жидкости в недрах планет, имеющих жидкое и твердое ядро, например, Земли [1]. Предполагается, что обе поверхности при соосном вращении имеют различные угловые скорости. Благодаря дифференциальному вращению сфер вязкие пограничные слои Экмана приводят к возникновению циркуляции жидкости в объеме полости. В свою очередь сила Кориолиса ограничивает трехмерную циркуляцию, стремясь свести основное течение к двумерному виду в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Так, вдоль границы внутренней сферы возникает квазидвумерное течение в виде столбика Тейлора. За пределами столбика жидкость вращается как единое целое со скоростью, равной скорости вращения внешней сферы, а внутри него -с промежуточной скоростью между внутренней и внешней сферами [2, 3]. Скачок азимутальной компоненты скорости на границе столбика Тейлора сглаживается в сдвиговых слоях Стюартсона, которые могут испытывать неустойчивость [4, 5]. В этом случае граница столбика пороговым образом принимает форму многогранной призмы, вращающейся относительно полости.

Ситуация меняется, когда внутренняя сфера (ядро) свободна и совершает колебания относительно полости [6]. Колебания приводят к возникновению осредненных напряжений в динамических пограничных слоях [7], в результате чего ядро и жидкость за пределами слоев приходят в дифференциальное вращение. Профиль азимутальной скорости жидкости становится более сложным [8], что приводит к целому ряду новых мод неустойчивости [9]. Одновременное дифференциальное вращение и колебания ядра приводят к тому, что результирующее течение складывается из двух компонент [10]. Первая компонента связана с осредненным течением, генерируемым осциллирующими пограничными слоями в результате колебаний ядра, а вторая - с дифференциальным вращением ядра и работой пограничных слоев Экмана. Актуальным остается вопрос о механизмах возникновения видов неустойчивости, описанных в [6, 9].

Предлагаемая работа является продолжением исследований структуры течения, возбуждаемого колеблющимся ядром в отсутствие его собственного дифференциального вращения [10]. При этом основное внимание уделяется исследованию устойчивости осредненного течения с использованием Р1У-метода.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА

Сферическое тело (ядро) 1 радиуса Я1 = 1.77 см и плотности рс = 0.22 г/см3 находится в заполненной жидкостью сферической полости 2 радиуса Я2 = 3.60 см (рис. 1). Полость состоит из двух полусфер, вписанных в пару плексигласовых параллелепипедов и соосно скрепленных друг с другом. Тело крепится к одному из полюсов сферической полости при помощи нейлоновой лески толщиной 0.37 мм. Длина лески такова, что при вертикальной ориентации оси кюветы тело находится на одинаковом расстоянии от ее полюсов. В качестве рабочей жидкости используется водоглицериновый раствор, кинематическая вязкость которого меняется в пределах п = 2 -12 сСт за счет изменения концентрации глицерина. Плотность жидкости в экспериментах поддерживается постоянной рь = 1.14 ± 0.04 г/см3. Для этого при уменьшении концентрации

глицерина в раствор добавляется раствор поваренной соли ИаС1. Вязкость жидкости измеряется капиллярным вискозиметром типа ВПЖ-2 с точностью 0.01 сСт, плотность жидкости - при помощи ареометра с точностью 0.005 г/см3.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

Вращение полости задается шаговым двигателем 3 типа FL86STH118-6004A, для управления которым используется драйвер 4 типа SMD-42. Управление частотой вращения осуществляются при помощи генератора модуля Zet-210 Sigma USB, подключенного к компьютеру. Скорость вращения полости изменяется в диапазоне W rot = 60 - 240 с-1.

Эксперимент проводится следующим образом. Во избежание перекручивания лески и образования на ней узелков первоначально кювета приводится в быстрое вращение вокруг вертикальной оси,

после чего поворачивается на 90 градусов. В ходе эксперимента скорость вращения полости Ого1 пошагово изменяется. На каждом шаге измеряется вызванное полем силы тяжести смещение ядра Ь из центра полости.

Структура азимутального течения исследуется Р1У-методом. Для этого в жидкость добавляются пластиковые частицы размером ( < 0.1 мм. Для создания светового ножа используется лазер (7-Ьазег Z500Q), установленный таким образом, чтобы в жидкости плоскость ножа была перпендикулярна оси вращения с учетом разницы в показателях преломления на границе «жидкость - кювета». Положение светового ножа можно изменять в интервале 7 / Я2 = 0.08 - 0.90. Видеорегистрация положения частиц в жидкости осуществляется скоростной видеокамерой 5 СашЯесой СЬ600х2, оптическая ось которой совпадает с осью вращения кюветы. С помощью программы Р1УЬаЬ [11] обрабатываются пары кадров, промежуток времени между которыми кратен периоду вращения полости. Результатом является поле осредненной по периоду азимутальной компоненты скорости в плоскости светового ножа (в заданном сечении 7 / Я2).

2. КОЛЕБАНИЯ ЯДРА И ОСРЕДНЕННОЕ ТЕЧЕНИЕ

При вращении полости вокруг горизонтальной оси тело, плотность которого меньше плотности жидкости, располагается на расстоянии Ь от оси вращения и на равном расстоянии относительно полюсов полости (см. рис. 1). В лабораторной системе отсчета смещение тела вызывается полем силы тяжести и уменьшается с повышением скорости вращения 0.ш. При этом в системе отсчета полости ядро совершает круговые колебания в экваториальной плоскости относительно центра полости с амплитудой Ь и частотой Оохс = -0.т, [8]. Упругая леска, с помощью которой ядро соединено с полостью, препятствует его дифференциальному вращению, позволяя лишь совершать колебания.

Из теоретического анализа динамики легкого цилиндрического тела во вращающемся во внешнем силовом поле цилиндре [12] следует, что амплитуда колебаний тела определяется произведением

Г(1 - р), где Г = g / (О^Д) - безразмерное ускорение поля силы тяжести, р = рс / рь - относительная плотность ядра.

Измерения величины смещения ядра от оси вращения полости показывают, что с увеличением Г(1 - р) безразмерная амплитуда Ь / Я1 возрастает по линейному закону (рис. 2). Экспериментальные точки, полученные при различных значениях вязкости, хорошо укладываются на одну зависимость. Кроме того, результаты измерений амплитуды находятся в полном соответствии с исследованиями динамики свободного сферического ядра, совершающего дифференциальное вращение [8]. Это значит, что в рассматриваемых экспериментах нейлоновая леска исключает дифференциальное вращение ядра, но не влияет на его колебания относительно полости. В дальнейшем для характеристики безразмерной амплитуды колебаний тела, которая в свою очередь определяет интенсивность движения жидкости, будем использовать параметр Г(1 - р).

Рис. 2. Зависимость радиального смещения ядра относительно оси вращения полости от параметра Г(1 - р)

Колебания ядра относительно полости являются источником пульсационного движения жидкости в динамических пограничных слоях. В результате нелинейных эффектов в пограничных слоях генерируется осредненное течение, которое приводит в движение жидкость за пределами пограничного слоя.

Профиль осредненной азимутальной скорости жидкости Аьь показан на рис. 3. Практически во всем объеме жидкость совершает отстающее дифференциальное вращение. Наиболее интенсивное вращение наблюдается в центральной части полости на расстоянии

г / Я2 » 0.1. Следующий максимум отстающего вращения находится при г / Я2 » 0.5, совпадающем с границей тела. Третий максимум располагается на расстоянии г / Я2 » 0.9.

Рис. 3. Скорость осредненного движения жидкости при v = 5.4 сСт и ilrot = 201 с-1; вертикальной штриховой линией показана граница ядра; для свободной сферы ([8]) v = 5.4 сСт и Q.mt = 188 с-1

Исследования докритического профиля скорости на различных расстояниях от экваториальной плоскости в интервале z / R2 = 0.08 - 0.90 показывают, что структура течения практически не меняется вдоль оси вращения. На рис. 4 оттенками серого (в он-лайн-версии - оттенками синего) представлено распределение азимутальной скорости жидкости в плоскости осевого сечения, построенное с помощью программы Surfer 11. Видно, что максимумы отстающего дифференциального вращения жидкости, наблюдаемые при изменении r / R2 , сохраняют свое положение вдоль оси вращения.

Подобное осредненное течение возникает в случае колеблющегося свободного сферического ядра, совершающего дифференциальное вращение (см. рис. 3) [8]. В случае свободного ядра, совершающего колебания такой же амплитуды в жидкости такой же вязкости, скорость отстающего вращения жидкости в диапазоне

г / Я2 = 0.1 - 0.6 оказывается выше, что связано с вкладом в результирующее движение экмановского стационарного потока.

Рис. 4. Поле азимутальной скорости жидкости Ди1 в осевом сечении. Штриховая линия - сечение х / Я2 = 0.53, при котором изучался надкритический профиль скорости (см. на рис. 6, 7 и 9)

10-2 ДЯЛ

10

10

-

г ^ 1 1 1 V, сСт й 2.9 V 4.1 л 5.8 ♦ 11.1

810-3

10-2

Г(1-р)

310-2

Рис. 5. Скорость отстающего дифференциального вращения жидкости в зависимости от Г(1 -р); ( г/ Я2 = х / Я2 = 0.5)

Угловая скорость жидкости (АО^ / Ого( = (Л^г) / Ого1 при заданном Г(1 - р) понижается с повышением вязкости, в то же время при заданной вязкости возрастает с увеличением Г(1 - р) по квадратичному закону (рис. 5). Это согласуется с результатами исследования динамики свободного ядра [7, 8]. Из [8] следует, что интенсивность дифференциального вращения ядра пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний, |АО| / Ого( ~ Ь2 / Я15, где

5 = ^2у / Ого1 - толщина вязкого пограничного слоя. В свою очередь скорость АО выступает в качестве меры интенсивности движения жидкости АО1. В представленных экспериментах ядро не совершает дифференциального вращения, но колеблется с амплитудой Ь : Ь / Я1 ~ Г(1 -р) (см. рис. 2), следовательно

|АО^ / Ого1 ~ Г2 (1 - р)2.

3. РАЗЛИЧНЫЕ МОДЫ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

При быстром вращении полости структура течения имеет вид вложенных цилиндрических поверхностей, вращающихся с различными угловыми скоростями (рис. 6 а, б). При уменьшении скорости вращения полости Ого( (при повышении параметра Г(1 - р))

скорость дифференциального вращения жидкости возрастает, что приводит к потере устойчивости осесимметричного течения.

Первоначально вблизи оси вращения полости, где наблюдается самое быстрое дифференциальное вращение жидкости, формируется пара вытянутых вдоль оси вращения вихрей (рис. 6 в, г). Измерения полей скорости, проведенные Р1У-методом, показывают, что вихри имеют серповидную форму и смещаются относительно полости в направлении, противоположном направлению вращения полости, при этом АО. ° (О. -Ого() < 0. Здесь О. - скорость вращения вихревой системы в лабораторной системе отсчета.

Визуальные наблюдения показывают, что вихревые образования являются двумерными и располагаются по обе стороны от полюсов колеблющегося ядра. Скорость вращения АО. / Ого( практически

не меняется с изменением параметра Г(1 - р), однако по достижении некоторого критического значения последнего количество вихрей возрастает и становится равным к = 3 (рис. 6 д, е).

Рис. 6. Поле осредненной по периоду вращения дифференциальной скорости жидкости при = 125.6 с-1 и V = 11.1 сСт (а, б), 144.4 с-1 и 5.4 сСт (в, г), 125.6 с-1 и 5.4 сСт (д, е). Слева приведена шкала, ставящая скорость жидкости в соответствие плотности изображения, справа - траектории движения жидкости в плоскости светового ножа. Белой сплошной линией на фрагментах а, в, д показана граница ядра; внешней круговой линией - граница полости в экваториальной плоскости. Здесь и далее направление вращения полости - по часовой стрелке

Ранее подобного типа неустойчивость наблюдалась в случае свободного ядра [6, 9]. Однако в указанных работах размер вихревой системы не превышал размера ядра; вихри были локализованы на расстоянии г / Я2 < 0.5 и не влияли на форму границы столбика Тейлора, который оставался круговым. В нашем случае (в отсутствие дифференциального вращения ядра) появление таких вихревых структур нарушает азимутальную симметрию течения практически во всем объеме полости.

При последующем повышении Г(1 - р) на расстоянии г / Я2 = 0.68 пороговым образом возникает система вытянутых вдоль оси вращения валов (рис. 7). Жидкость в валах вращается в направлении вращения полости, при этом вся система перемещается относительно полости в противоположном направлении со скоростью ЛО№ -Ого1: )< 0 (- скорость в лабораторной системе отсчета).

Рис. 7. Поле скорости жидкости (слева) при = 157 с-1 и

V = 3.3 сСт; справа - траектории движения частиц жидкости в плоскости светового ножа

Безразмерная скорость системы валов ДО№ / Ого1 не зависит от вязкости жидкости и полностью определяется волновым числом т (рис. 8). Зависимость ДО№ / О.ш ~ т— соответствует дисперсионному соотношению, характерному для волн Россби. Такого же типа волны возникали в случае колебаний свободного ядра, которое совершало отстающее дифференциальное вращение [9]. Там возникновение волны Россби сопровождалось изменением границы столбика Тейлора; последний принимал форму многогранной призмы.

0

-2.5-10-1

-2-10

0

11 %

8

т = 6

V, сСт ♦ 3.3 [> 3.8 <3 4.3 А 4.8 О 5.3 О 6.1 « 6.9 V 7.3 О 7.9 X 8.6

210-2

410-2 г(1-р)

810-2

Рис. 8. Скорость ретроградного вращения системы валов, показанных на рис. 7

7

Рис. 9. Поле осредненной по периоду вращения дифференциальной скорости жидкости при Ого( = 157 с-1 и V = 2.5 сСт: а - скорость

жидкости, б - траектории движения жидкости, в - схема надкритического течения

Появление валов за пределами границ столбика Тейлора не сказывается на поведении вихревой структуры, находящейся вблизи оси вращения полости. Оба типа неустойчивости существуют независимо друг от друга. Так, на рис. 7 можно видеть, как в центре полости вращаются два серпообразных вихря, в то же время на периферии вращается система из восьми валов. Помимо волновых чисел к и т неодинаковыми оказываются и фазовые скорости, причем |до№| < |дпг|.

При дальнейшем повышении Г(1 - р) на смену системе валов,

совершающей отстающее вращение, пороговым приходит система валов (рис. 9), азимутальная скорость вращения которой превосходит скорость вращения полости, ДОг °(Ог -Пго( )> 0 (Ог - ско-

рость вращения в лабораторной системе отсчета). Переход к структуре данного типа сопровождается разрушением волны Россби (см. рис. 7). Новая структура состоит из системы пар согласованно вращающихся двумерных валов, при этом вблизи оси полости продолжает независимо вращаться вихревая система со скоростью ДО„ (рис. 9 в).

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Для всех обнаруженных мод критическая скорость вращения по-

нижается с вязкостью по закону 0.п

(рис. 10 а). Осреднен-

3102

а,

102

710-2

Г(1-р)

а А 1

О 2

о 3

| 1

3 V, сСт 101

10-2

5-10-5

10

Е

- б

А 1

О 2

1 1 О 3

4-10

Рис. 10. Границы: возникновения вихревой системы вблизи оси вращения полости (точки 1), возбуждения волны Россби (2) и развития системы валов (3), совершающей опережающее вращение

V

-1

с

ное движение жидкости определяется безразмерной амплитудой колебаний ядра Ь/ Я1 ~ Г(1 -р). Другим важным параметром является число Экмана Е = V / П^Л;2, которое характеризует отношение вязких сил к силам инерции. Пороги возникновения неустойчиво-стей на плоскости параметров Е, Г(1 - р) представлены на рис. 10 б. Критические значения амплитуды колебаний ядра возрастают по закону Г(1 - р) ~Е3 4. Это означает, что в диапазоне

числа Экмана Е = 5 -10-5 - 4 -10-4 пороги устойчивости осредненно-го течения относительно различных мод определяются величиной одного безразмерного комплекса:

ЯеГ°Г(1 - р) Е-3/4.

Пороговое значение ЯеГ для различных типов неустойчивости составляет: 13 ± 3 (система из двух вихрей вблизи оси вращения), 22 ± 4 (волна Россби) и 24 ± 4 (система валов, совершающих опережающее вращение).

Заключение. Экспериментально исследовано осредненное течение во вращающейся сферической полости, возбуждаемое круговыми колебаниями ядра в отсутствие его собственного дифференциального вращения. Изучение полей скорости показало, что азимутальная скорость жидкости немонотонно меняется с расстоянием от оси вращения. Увеличение амплитуды колебаний ядра приводит к квадратичному росту скорости жидкости в экстремумах, в результате чего течение испытывает серию превращений. Последние аналогичны тем, что наблюдались ранее в экспериментах со свободным ядром, которое помимо колебаний совершало дифференциальное вращение. Пороги возникновения различных мод неустойчивости определяются величиной одного безразмерного комплекса, в который входят безразмерная амплитуда колебаний ядра и число Экмана.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 16-31-60099 мол_а_дк). Авторы входят в состав Ведущей научной школы № НШ-9176.2016.1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. Течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и их устойчивость // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Серия Механика жидкости и газа. 1980. Т. 15. С. 3-80.

2. Stewartson K. On almost rigid rotations. Part 2 // J. Fluid Mech. 1966. Vol. 26. P. 131-144.

3. Гринспен Х. Теория вращающихся жидкостей. Л: Гидрометео-издат, 1975. 304 с.

4. Hollerbach R., Futterer B., More T., Egbers C. Instabilities of the Stewartson layer. Part 2. Supercritical mode transitions // Theor. Comp. Fluid Dyn. 2004. Vol. 18. P. 197-204.

5. Schaeffer N., Cardin P. Quasi-geostrophic model of the instabilities of the Stewartson layer in flat and depth varying containers // Phys. Fluids 2005. Vol. 17. P. 104111.

6. Козлов В.Г., Козлов Н.В., Субботин С.В. Движение жидкости и твердого ядра в сферической полости, вращающейся во внешнем силовом поле // Докл. РАН. 2014. Т. 454, № 2. C. 173-177.

7. Kozlov N. Theory of the vibrational hydrodynamic top // Acta Astr. 2015 Vol. 114. P. 123-129.

8. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Subbotin S.V. Steady flows excited by circular oscillations of free inner core in rotating spherical cavity // Eur. J. Mech. B-Fluid 2016. Vol. 58. P. 85-94.

9. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Subbotin S.V. Instabilities and pattern formation in rotating spherical cavity with oscillating inner core // Eur. J. Mech. B-Fluid. 2017. Vol. 63 (3). P. 39-46.

10. Козлов В.Г., Субботин С.В. Осредненное течение, генерируемое колеблющимся ядром во вращающейся сферической полости // ПМТФ. 2018. № 1.

11. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab - towards user-friendly, affordable and accurate digital particle image velocimetry in MATLAB // J. Open Res. Softw. 2014. Vol. 2. e30.

12. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационный гидродинамический волчок // Докл. РАН. 2007. Т. 415, № 6. С. 759-762.

EXPERIMENTAL STUDY OF STABILITY OF STEADY FLOW EXCITED BY CORE OSCILLATIONS IN A ROTATING SPHERICAL CAVITY

M.A. Davydova, V.G. Kozlov, S.V. Subbotin

Abstract. The stability of steady flows excited by circular oscillations of a spherical body (core) in a rotating spherical cavity with a liquid is studied. Oscillations of the core relative to the cavity are caused by a static external field; the frequency of the oscillations is equal to the rotational frequency of the system. Differential rotation of the core is absent, for this one of the poles of the core is connected to the nearest pole of the cavity by elastic fishing line. It is found that as a result of oscillations a two-dimensional steady flow is excited, the intensity of which is proportional to the square of the amplitude of the core oscillations. With an increase in the amplitude, the axisymmetric flow experiences a series of shear instabilities. It is shown that the thresholds of the change of the flow regimes are determined by the Reynolds number calculated by the amplitude oscillations of the core relative to the cavity.

Key words: rotation, oscillations, steady flow, instability, Rossby waves.