CC BY
33
УДК 539.4
Экспериментальное исследование статистических закономерностей фрагментации стекла
М.М. Давыдова
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия
Проведено исследование статистических закономерностей фрагментации стеклянных пластин. Образцы подвергались давлению газовой среды. Процессы трещинообразования и фрагментации инициировались с помощью надреза в центре пластины. Созданные оригинальные программы позволяют преобразовывать цифровые фотографии картин растрескивания в цифровые образы, для которых определялись размер и число фрагментов, суммарная длина трещин. Результаты экспериментов показали, что распределение фрагментов по размерам подчиняется экспоненциальному закону. Увеличение нагрузки приводит к возрастанию количества фрагментов. Картины фрагментации самоподобны, причем суммарная длина трещин в квадрате со стороной г подчиняется степенному закону L(г) ~ г-0, где Б — фрактальная размерность, которая лежит в диапазоне 1.59 < Б < 1.83.
Ключевые слова: хрупкое разрушение, фрагментация, фрактальные характеристики разрушения
Experimental statistical analysis of glass fragmentation
M.M. Davydova
Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS, Perm, 614013, Russia In the paper we perform statistical analysis of glass plate fragmentation. Specimens are subjected to gas pressure. Cracking and fragmentation are initiated from a notch in the plate center. Designed programs allow converting digital photos of cracking patterns into digital images and determining the size and number of fragments as well as the total crack length. The experimental results show that the size distribution of fragments obeys an exponential law. The number of fragments grows with increasing load. Fragmentation patterns are self-similar and the total crack length in a square with side r is governed by the power law L(r) ~ rD, where D is the fractal dimension in the range 1.59 < D < 1.83.
Keywords: brittle fracture, fragmentation, fractal dimension of fracture surfaces
1. Введение
Проблемы фрагментации привлекают к себе внимание исследователей уже более столетия. Разнообразие объектов, фрагментация которых изучается, удивляет. Размеры объектов изменяются от лабораторных образцов [1-5], которые рассыпаются на фрагменты массой менее грамма, до арктических ледяных полей [2] или галактик [1]. В списке исследованных материалов значатся, кроме привычных меди, стекла, свинца [1, 3], и более экзотичные материалы: лед [2], глина [4], гипс, мыло, парафин, картофель [5]. Условия нагружения, приводящие к фрагментации, также значительно варьируются. Это могут быть различные виды соударения [1,
3, 5], разрушение в условиях ползучести [2], быстрое
радиальное растяжение импульсным электромагнитным полем [1].
2. Техника эксперимента
В настоящей работе статистика фрагментации исследовалась в экспериментах на тонких стеклянных пластинах, нагруженных распределенной квазистатической нагрузкой. С этой целью была создана оригинальная пневматическая установка, обеспечивающая нагружающее усилие в диапазоне от 104 до 107 Н/м2. Установка рассчитана для работы с образцами размером 60x60 мм и толщиной 1.3—1.5 мм. Стеклянная пластинка помещается в «пенал» (рис. 1), состоящий из трех круглых пластин диаметром 220 мм. Верхняя пластина толщи-
© Давыдова М.М., 2008
ной h = 11 мм сделана из оргстекла. Средняя пластина из стеклотекстолита ^ = 1.7 мм) имеет квадратный вырез размером, соответствующим размеру стеклянной пластины. Боковые стороны выреза играют роль граней пенала, не позволяющих разлетаться фрагментам стекла и предотвращающих растрескивание стеклянной пластины в углах. На стальную нижнюю пластину ^ = = 2.5 мм) наклеена резиновая прокладка, которая фиксирует положение образца. Такой «сандвич» позволяет сохранить картину фрагментации после снятия нагрузки. Пенал опирается по контуру на цилиндрическую поверхность и через резиновую мембрану подвергается повышенному давлению газовой среды. Затем через отверстие в центре стальной пластины на стеклянный образец наносится надрез, который обеспечивает «запуск» процессов трещинообразования и фрагментации. Картина фрагментации снимается цифровой камерой. Компьютерная обработка данных эксперимента состоит из двух этапов. На первом — с помощью специально разработанного программного обеспечения цифровые фотографии преобразуются в цифровой образ, который соответствует системе трещин и фрагментов (рис. 2). На втором — цифровой образ (рис. 2, в) используется для определения количества и величины фрагментов и оценки длины трещин.
3. Обсуждение результатов
Фотографии картин фрагментации, приведенные на рис. 3, свидетельствуют о том, что увеличение давления приводит к возрастанию количества фрагментов (рис. 4), при этом меньшим давлениям (рис. 3, в) соответствует сценарий фрагментации, обусловленный формированием преимущественно «радиальных» трещин. Увеличение нагрузки сопровождается ростом количества фрагментов при увеличении «связности» радиальных трещин за счет тангенциальных трещин, расположен-
Давление
Резиновая прокладка нанесения надреза
Рис. 1. Схема установки стеклянного образца в «пенал»
ных перпендикулярно или под некоторым углом к «радиальным» трещинам.
Сопоставление установленных закономерностей фрагментации с результатами авторов [6, 7] по экспериментальному исследованию динамики трещин в предварительно нагруженном плоском образце полиметил-метакрилата позволило высказать предположение об аналогиях между прямолинейным распространением трещин при низких уровнях нагрузки и преимущественно радиальной картиной фрагментации и переходом к качественно новому «топологическому» сценарию фрагментации, аналогичному динамике трещины «с ветвлением», сопровождающемуся формированием множественных тангенциальных трещин. Отмеченная
Рис. 2. Преобразование фотографии в цифровой образ
аналогия подтверждается также изменением формы фрагментов на различных расстояниях от концентратора. Картина фрагментации при высоких напряжениях имеет характерный вид (рис. 3, а). В центре пластины, где расчетные напряжения, созданные предварительным нагружением, максимальны, располагаются вытянутые фрагменты. Зона с мелкими фрагментами находится на некотором расстоянии I от центра.
Сравнение с экспериментами по динамике распространения трещин позволяет заключить, что картина фрагментации отражает качественную смену механизмов разрушения. Первый механизм соответствует сценарию фрагментации, который контролируется уровнем приложенного усилия и определяется распределением напряжений в вершине трещины с размерами, не превышающими I (что позволяет использовать коэффициент интенсивности напряжений в качестве критериального параметра). Второй механизм, аналогичный динамике трещин «с ветвлением», наблюдается на расстояниях, превышающих I, когда объемная плотность энергии (определяемая концентрацией напряжений в материале в окрестности вершины трещин с характерным размером I) инициирует переход к качественно новой статистике фрагментации, связанной с зарождением вторичных (дочерних) трещин.
250
0 2 4 6 8 10
Давление, 105 Н/м2
Рис. 4. Зависимость количества фрагментов от давления
4. Статистические закономерности фрагментации
Как правило, исследование статистических закономерностей фрагментации заключается в построении интегральной функции распределения фрагментов по размерам [1-5], т.е. в определении количества фрагментов Щ(т), N(8), масса или площадь которых больше т или s соответственно. Характер распределения зависит от условий нагружения, свойств материала, формы образца. Так, фрагментация металлического кольца в результате быстрого радиального расширения при нагружении импульсным электромагнитным полем привела к экспоненциальной интегральной функции распределения [1]. В этой же работе приводятся результаты экспериментов по динамической фрагментации стеклянных и металлических пластин, стального цилиндра. Во всех трех случаях интегральная функция распределения описывается билинейным экспоненциальным законом. Если же при фрагментации плоских объектов учитывать не только крупные фрагменты, толщина которых равна толщине пластины, как это сделано в [1], но и мелкие, то интегральная функция распределения принимает следующий вид [3, 5]: N(> т) = Ат — exp(-т/т0), где А, т0, а — константы, причем показатель степени а характеризует накопление мелких фрагментов. Исследуя фрагментацию образцов различной формы (сферы, кубы, пластины, стержни), изготовленных из разных материалов (гипс, мыло, парафин, картофель), авторы [5] приходят к выводу, что скейлинг — это явление, характерное для трехмерных объектов, и величина экспоненты а зависит от формы объекта, а не от выбора материала, из которого он сделан. В то же время, эксперименты по фрагментации пластин из глины, для которых нельзя использовать гипотезу тонких пластин, показали, что как интегральная функция распределения по размерам для фрагментов, имеющих толщину пластины, так и функция распределения мелких фрагментов описываются степенным законом, но с разными показателями. Функция распределения по размерам льдин,
Рис. 5. Интегральная функция распределения фрагментов по размерам
фотографии которых получены со спутника, а также функция распределения фрагментов образцов льда, подвергнутых одноосному сжатию в условиях ползучести, также являются степенными.
Эксперименты, описываемые в настоящей работе, выполнены на тонких пластинах, и все фрагменты имеют толщину, равную толщине образца (2Б-фрагменты). Мелкие фрагменты, имеющие размеры в сотни раз меньшие приведенных на рис. 3, не учитывались. На рис. 5 показаны интегральные функции распределения фрагментов по размерам для двух образцов, нагруженных давлением 7.76 • 105 (ромбы) и 4.00 • 105 Н/м2 (кружки). Для всех образцов экспериментальная функция распределения аппроксимируется экспоненциальной функцией вида: N = £ехр(-Ря), где N — количество фрагментов; 5 — площадь фрагмента. В экспериментах не обнаружено степенной зависимости для функции распределения. Причиной, видимо, является то, что учитывались только 2Б-фрагменты [3-5].
5. Фрактальные характеристики
Поскольку предложенная экспериментальная методика позволяет зафиксировать картину фрагментации с помощью цифровой фотокамеры, то, кроме традиционных количества и размеров фрагментов, можно подсчитать длину трещин во всем образце или его части (разме-
ры фрагментов и длина трещин измерялись в пикселах). Авторы [8] определяли фрактальную размерность Б картин растрескивания по формуле
L( г)~ г°, (1)
где Ь(г) — длина всех трещин в квадратах размером гхг, центры которых находятся в точках, принадлежащих трещинам (осреднение проводилось по 100точ-кам). Надо отметить, что в [8] картина растрескивания не имеет явно выраженного центра. В данной работе исследуемые картины фрагментации (рис. 3) имеют центральную точку и по строению аналогичны конфигурациям, полученным с использованием моделей пробоя диэлектриков и ограниченной диффузией агрегации [9, 10]. Для модели пробоя диэлектриков [9] выполняется соотношение подобия (1), где Ь (г) — полная длина линий разряда в окружности радиуса г. Фрактальная размерность в моделях ограниченной диффузией агрегации [10] оценивается также по зависимости вида (1), но Ь(г) в этом случае представляет собой число занятых узлов решетки. По аналогии с моделями пробоя диэлектриков и ограниченной диффузией агрегации определение фрактальной размерности исследуемых картин фрагментации проводилось по формуле (1), причем в этом случае Ь(г) — это суммарная длина всех трещин в квадратах со стороной г, центры которых совпадают с центром картины фрагментации (рис. 6, а). Минимальное количество квадратов, используемое для подсчета фрактальной размерности, равно 200. Пример определения фрактальной размерности приведен на рис. 6, б. Строгой закономерности изменения фрактальной размерности в зависимости от числа фрагментов или от давления (рис. 7) не наблюдается. Можно констатировать только, что Б лежит в интервале от 1.59 до 1.83.
В зависимости от величины давления можно выделить два типа картин фрагментации (рис. 8). Для давлений менее 4 • 105 Н/м2 картины фрагментации имеют вид, представленный на рис. 8, а. При увеличении давления на картинах фрагментации (рис. 8, б) можно выделить три зоны: в центре расположена зона с вытянутыми
Рис. 6. Пример определения фрактальной размерности по формуле (1). Б = 1.76
£ 2 | а л н О \б_ А. ж.
о *■ о X о. а) ♦ ^ А ♦ ♦ О ^ о X о. ф
со (С О. а; аз 1 со (0 о. о:
х I л с; со н X I л с; со I—
со о. В п о. В п
и I I I I 2 4 6 8 Напряжение, 105 Н/м2 и С 50 100 150 200 250 Количество фрагментов
Рис. 7. Изменение фрактальной размерности в зависимости от напряжения (а) и количества фрагментов (б)
фрагментами, далее следует зона с однородными фрагментами и по периметру образца расположились фрагменты, форма которых обусловлена краевыми эффектами. Естественно предположить изменение фрактальной размерности при переходе из одной зоны в другую. Чтобы подтвердить это предположение, было предложено для расчета фрактальной размерности использовать зависимость вида:
Ь*( 5)~ 5^, (2)
где ЬЬ (5) является суммарной длиной трещин внутри квадратной рамки толщиной h и площадью 5. Для того чтобы оценить толщину рамки, были проведены расчеты со всеми возможными значениями h от 1 пиксела до половины ширины образца. Оказалось, что толщина h
в 2-3 раза меньше размера зоны с однородными фрагментами и коррелирует с размером фрагментов. Расстояние от центра картины фрагментации до внутренней границы рамки изменяется от 0 до 250 пикселов (в момент достижения рамкой внешней границы картины фрагментации) с шагом в 1 пиксел. Расчеты показали, что для картин фрагментации, аналогичных представленной на рис. 8, а, график зависимости (2) в логарифмических координатах представляет собой линейную зависимость. В то время как для картин фрагментации, полученных при давлениях выше 4-105Н/м2, наблюдаются два прямолинейных участка, т.е. при переходе от центральной зоны к зоне с однородными фрагментами показатель В5 увеличивается. Изменение величины показателя П5 соответствует смене механизма раз-
Рис. 8. Вычисление фрактальной размерности с использованием зависимости для суммарной длины всех трещин Ь (5) внутри квадратной рамки толщиной Н и площадью 5 для давления менее (а) и более 4 • 105 Н/м2 (б)
рушения. В центральной зоне фрагментация реализуется за счет распространения радиальных трещин, в зоне с однородными фрагментами подключается механизм образования тангенциальных трещин. Ранее результаты моделирования квазихрупкого разрушения [6] также показали, что смена механизма разрушения сопровождается количественным изменением величины фрактальной размерности.
6. Выводы
Экспериментальное исследование статистических закономерностей показало следующее:
- Количество фрагментов зависит от величины давления.
- Вид картины фрагментации, т.е. наличие только радиальных трещин или образование сложной системы ветвящихся трещин, определяется величиной давления.
- Интегральная функция распределения фрагментов по размерам описывается экспоненциальной функцией. Последнее, скорее всего, определяется тем, что подсчет производился для фрагментов, толщина которых совпадает с толщиной пластины.
- Картины фрагментации самоподобны, причем суммарная длина трещин в квадрате со стороной г подчиняется степенному закону Ь(г)~ г°, где Б — фрактальная размерность, которая лежит в диапазоне 1.59 < Б < < 1.83.
- В зависимости от величины давления можно выделить два типа картин фрагментации (рис. 8). При давлениях выше 4 • 105 Н/м2 картина фрагментации состоит из трех зон. Расчет фрактальной размерности с использованием соотношения Ь*(5)~ 5°5, где Ь*(5) — сум-
марная длина трещин внутри квадратной рамки толщиной h и площадью S, показал, что при переходе из центральной зоны в зону с однородными фрагментами показатель DS увеличивается, т.е. смена механизма разрушения сопровождается количественным изменением фрактальной размерности.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 07-01-91100-АФГИР_а, 07-08-96001-р_урал_а) Автор благодарит профессора Наймарка О.Б. за обсуждение постановки задачи и результатов работы.
Литература
1. Grady D.E., Kipp M.E. Geometric statistics and dynamic fragmentation // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - Ко. 3. - P. 1210-1222.
2. Weiss J. Fracture and fragmentation of ice: a fractal analysis of scale invariance // Eng. Fract. Mech. - 2001. - V. 68. - P. 1975-2012.
3. Kadono T. Fragments mass distribution of plate objects // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 78. - No. 8. - P. 1444-1447.
4. Meibom A., Balsev I. Composite power laws in shock fragmentation // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 76. - No. 14. - P. 2492-2494.
5. Oddershede L., Dimon P., Bohr J. Self-organized criticality in fragmenting // Phys. Rev. Lett. - 1993. - V. 71. - No. 19. - P. 3107-3110.
6. Наймарк О.Б., Давыгдова М.М., Плехов O.A., Уваров С.В. Экспери-
ментальное и теоретическое исследование динамической стохас-тичности и скейлинга при распространении трещины // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 3. - С. 47-58.
7. Naimark O.B., Uvarov S. V Nonlinear crack dynamics and scaling aspects of fracture (experimental and theoretical study) // Int. J. Fract. -2004. - V. 128. - No. 1. - P. 285-292.
8. Sornette A., Davy P., Sornette D. Growth of fractal fault patterns // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 65. - No. 18. - P. 2266-2269.
9. Висман Г., Пьетронеро Л. Свойства лапласовских фракталов при пробое диэлектриков в двух и трех измерениях // Фракталы в физике. - М.: Мир, 1988. - С. 210-220.
10. Микин П. Некоторые последние достижения в моделировании ограниченной диффузией агрегации и родственных процессов // Фракталы в физике. - М.: Мир, 1988. - С. 283-295.
Поступила в редакцию 25.01.2008 г.
Сведения об авторе
Давыдова Марина Михайловна, к.т.н., старший научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН, davydova@iсmm.ru
