ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АНГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ДУФФИНГА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534-18+621.0

DOI: 10.25206/2588-0373-2024-8-3-13-20 EDN: OBKCSQ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АНГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ДУФФИНГА

Б. А. Калашников1, В. В. Бохан1,2, В. Е. Смолко1

'Омский государственный технический университет, Россия, 644050, г. Омск, пр. Мира, 11 2 АО «Федеральный научно-производственный центр «Прогресс», Россия, 644018, г. Омск, ул. 5-я Кордная, 4

I >

N1

О И О О Е н Т х >0 о К

В статье приведены экспериментальные осциллограммы явлений бифуркации в слабодемпфиро-ванном вязким трением осцилляторе Дуффинга. Точки бифуркации находятся путём численного решения гармонически линеаризованного уравнения движения относительно квадрата частоты и квадрата амплитуды. Предложены приближённые безразмерные выражения для амплитуд и соответствующих им частот в точках бифуркации. Приведено сравнение экспериментальных и теоретических амплитудно-частотных характеристик и их значений в этих точках. Ключевые слова: осциллятор Дуффинга, степень нелинейности, гармоническая линеаризация, коэффициент относительного затухания, амплитудно-частотная характеристика, амплитуда и частота точек бифуркации, точки перескоков.

о 2

о О

2° 40

1. Введение

Осциллятор Дуффинга — одна из основных моделей нелинейной динамики [1; 2, с. 161] — изучается более 100 лет. В этой системе возникает «замечательное явление» [3, с. 241] — скачки амплитуды при квазистационарном изменении частоты. При увеличении её от нуля до некоторого значения происходит срыв амплитуды колебаний (скачок) с верхней ветви резонансной кривой на нижнюю. При уменьшении частоты от некоторого значения, превышающего в несколько раз частоту срыва вниз, амплитуда скачком увеличивается до значения на верхней ветви резонансной кривой. Возникающие разрывы рассматриваются как бифуркации седло-узлового типа [4], когда управляющий параметр — частота возбуждения — принимает критические значения в решении кубического уравнения относительно квадрата амплитуды колебаний или квадратного уравнения относительно квадрата частоты возбуждения [5]. Бифуркации являются нежелательными в ряде технических устройств, например, в мем-бранно-ленточном регуляторе паровых турбин [6, 7]. В работе [8] указывается, что нелинейные явления часто воспринимаются как опасные с общей тенденцией избегать или контролировать их. Это привело к поиску различных подходов и инструментов, разрабатываемых для ограничения возможных вредных последствий таких явлений.

В работах [1, с. 170; 9, с. 233] приведены поверхности амплитуды колебаний в функции амплитуды и частоты силы возбуждения, построенные при некоторых значениях коэффициента относительного затухания. В трёхмерном пространстве параметров явление перескока называется катастрофой типа складки. На этих поверхностях при некоторых сочетаниях амплитуды силы возбуждения и её частоты наблюдается предсказанное теорией существование трёх амплитуд колебаний. Аналитические

выражения для амплитуд и частот перескока в работах [1, 3, 9] получены не были.

Такие выражения, полученные методом многих масштабов, приведены в работе [4] и методом гармонического баланса в работе [10]. Они найдены в предположении, что квадрат коэффициента относительного затухания существенно меньше единицы.

В данной статье установлено, что эти результаты эквивалентны разложению квадрата безразмерной частоты возбуждения в ряд Тейлора в окрестности нулевого значения квадрата этого коэффициента. В статье [10] установлена эквивалентность результатов работ [4] и [10], причём в [4] отмечается, что для нелинейностей более высокого порядка требуется более общий и простой метод, в качестве которого предлагается использовать метод результантов Сильвестра [11].

В данной статье решено не только квадратное уравнение относительно квадрата частоты возбуждения, но и кубичное относительно квадрата амплитуды, что позволило дать оценку точности формул для параметров перескоков. Основная цель предлагаемой работы — получение выражений для амплитуд и частот перескоков без предположения о малости коэффициента относительного затухания, подтверждение их экспериментально и сравнение с результатами работы [10].

2. Экспериментальная часть

2.1. Экспериментальный стенд.

Установка представляет собой тележку массой т = 3...10 кг, которая может перемещаться только в горизонтальном направлении в пределах +0,2 м.

Длина вертикальной недеформируемой пружины ^

жёсткостью с = 10000 — меньше постоянного рас-м

стояния 1 = 0,3 м между опорными подшипниками

Н И I

/ ьар--

Рис. 1. Общий в Fig. 1. General

на величину начал!

жёсткость боковой

Демпфирующий ляет собой непоте] при колебаниях ма< ния в материале пр^ и сопротивления во тивной силы, созда

ставляется в виде f

сухого, линейного фициент эквивален

йде

ышв,б7: а, =0.0077»

■ — ■ — —

1/5 i / I

ного натяжения s = 0...0

H

тружины с = 19DD — (рис

1лы, ]

квадраИичноео трения. гного вязкого линейног<

одом энергетического ба

составляет величин

кинематическое во янной амплитуды a

П ЛП ,--1 ^ОЛаДт^СТ г

I ^ дтлдтгтртт.тг'тт.тт?

На осциллограммах: ах — амплитуда колебаний; ол, юц — безразм0рные частлты переококов вниз и вверх.

Достато=но сильном возмущение осциллятора в до- и зацелон=нс0ых зонах колебаний не приводит к перескотам: =осле непродолжительного переходного процесс= колебания возвращтются = даво з-мущённому сттционлроому состоянию.

3. Малемтеселескве моделирование

Потенциал осциллетора Дуффинее = натяж0ни-ем вертикальтой лыжины (рис. 2}

VIO'

V =

o^fx

(1)

/Сс

Перемасштабируя c использованием обобщён— „ _ s

ной координаты л = — и натяжения л = — точный потенциал (1), получим

V = 2 (1 + Л)хс + (л - 1 )(V—с + л)- 1. (2)

Дифферен—ир уя С2 ), по OK x, получим точную характеристику восстана вливающей силы

р = |1- Я л2 -Ъ л —.

ЫУ+

(3)

Раскладывая (2) в ряд то сбепемл ОК х и удерживая члены не выше 4-й степени, получим приближённое выражение для потенциала МС (рис. 8)

V = 2 (л я а)л2 я у(1 - л)—. С 8

(4)

Дифференцируя (4), найдём выражения для безразмерной позиционной силы

f = dV = (е + k )x + 1—S x3 = c.x + c,,x3 (5) dx 2 1 3

w

j = 0OJ к = 0.12

f-50, -20

-0,4

-0,2

0

0.2

Рис. 8. Потенциал (4), восстанавливающая сила (5)

и нелинейная жёсткость (6) Fig. 8. Potential (4), restoring force (5), and nonlinear stiffness (6)

ts

/na|jTttsai(

,, /

/ = eka, ■cosiw \

<< >

b

Рfс. 9. Нел=ней+ые ди+амич^с^киe модели осцилляторd ДуфИинга: а — при кинемат=ческом возб^^^,оек1^и; b — при эквидалентном силовом в оз°уждении Fig. 9. Nonlineardynamic mo=els of еhe Duffing oscillator a — undor kSnematic excitation; b — under equivxleat forceexcitation

I >

Si

О s

K о E н T i >0 z р а К

io

5 m s

I ЕЕ EE

R °

a E

a S

a 0 2° 40

и безрозм=рной =елин3Йной ждсткости

d2V

c_ i — — cc I 3c„x r

nl , а 1 3

(6)

Уравшние (8) соответствует модели на -ин 9. Вводя с использованием собственной частота: в особой точке уекторноао поля(8) — центре

где

k, cs =

1 - е

(7)

mx + |3X о co(s + k)x + c-x3

= ckc+ sos of .

(8)

c(s + k)

(9)

Если в = 0, то 813 (5) (еоедует, что птаоционная тила в ос обой тотке в ектсрно го поля — центре — с координаяой лс = 0 равна нулю f = 0, а сг1 = = с1 — линейнол жёсткости оиоамической модели та асс. 8.

С оспоцьзованием беаразмерной координаты

У „

У е — уравнение вынужденного движения линейно демпфироваоного отциллятора (рис. 2) при гармоническом возбужрении запишется в виде

1 -с

безразмерное собственное время системы т = ю , безxазмаxныe скорость xx' = — и ускорение x" = —

■c 0а

и подставляя их в (8), получим уравнение движения в бе^ азме рном виде

x" + 2Cx' + 1 • x + sx3 = ay щ cos отг (10)

где ; = -

2mra,

хания;

1-е

коэффициа нт относительного зату-по

- , , — — коэффициент, характеризу-Н'с к к) т1

ющий стцпень нелинейности восстанавливающей силы; с1 и с3 определяются оо (7);

С

a

о

ю = — — безразмерная частота возбуждения;

юс k

— эквивалентная амплитуда кине-s kk '

матического возбуждения.

В производных х' и х" штрихи означают дифференцирование безразмерного x по безразмерному времени х.

Единица перед линейным членом восстанавливающей силы в (10); есть квадрат безразмерной собственной частоты системы, что обусловлено соответствующим введением собственного времени х.

Безразмерная амплитуда восстанавливающей силы в (10) найдётся как сумма амплитуд линейной восстанавливающей силы и гармонически линеаризованного кубичного члена ex3

af (рх ) =

1 2л 3

= 1 • ax и — Ге(р— cos\)3 cos \\d\ = ax и — sa^, л J„ 4

где у = сох — фаз= к+лебаний.

Квадрат безразмерно й частоты свободных колебаний найдётся как

гР )

Pf л 3 2

: -0- = 1 + -8Р2

(11)

х" с 2(х'

1(рх)х = ру еч cos ют.

тарно. Подставив (11) a (1=), ролучим биквадратное уравнение

и4 - 2| 1 + ^ sa2 - 24' |ю2 +

1 +4sp2

у, eq —

Выражения оря зрух корррй последнего уравнения имеют вид

ю2,2 =|1 + 3 sa2 - 2С2 I ±

^ - 4tp2| 1 -и '3Е«PП - С2

4

(14)

Если из МС удалихь вертикальную пружину, то коэффицирнты выражезия длл корней (14) примут вид

2,2 =(1-2С2)±1 -р1 - 4С2(1-С2) .

Теперь линеаризованнре рравнен]де д^1юкенш (10) можно пе1 ерисать в рдре

Они могут быть получены непосредственно из АЧХ линийн=й срстемы

а,->)ы^ =

ру ^)(1 -и2)2 и4С2

По формв это уравнение отл]ичается от линейного только тем, что 15 нём вмесоо единкцо — квадрата собственной чостоты при ОК х — тан множитель оВ (тв) — квадтат оастяты свнбодных коле баний линтарнзотанной системы. Поэтому можно тосюолтзоваоься ]3]^1рв^жени^тт^]и для ампли-тудоо-кастодноо (сариктетисттнкц (АЧХ) линейной системы [3, с. 10Н; 13], затенив в них единицу на юв (д). Дтт мкдюкв]а на рик. Р при вюзбуждении за боковую сртжйн) еа АЧЖ ябсолютных перемещений юаптс ываенся в ниде

а^-Де) -

1

ре^-

- 4(02

(12)

при её возбождемжи за пружнну. Рассматривая это выражение кок урознетие и решая его относительно квадрата чаттоты возбуждения, покушо

2,2 =(1 -С2 )± л R - 4(2 (1 -т2)

Посоольму йастнна сякботных талебаний ю (о ) зависит от неизвтстной амширтоды абсолютных колебаний ах, то, о отливит от1 оырантения для линейной МС, сооттошенит (1д) естт не фо;мула 1го]я АЧХ, а ур ад не ние длс натождения амплитуды ах.

Возведнм й3о натти АЧХ (1Н) в квадрат. Полушс неятн^ю зарисимостнамплиоуды а тт чнттоты возбуждения он:

тTЮыЯHтc)т ^2]T-Ь)TрВьтН^о()В|сс. (13)

Первое слагаемое (1—^2) есть абсцисса максимума АЧХ абсолютных перемещений. При этом следует иметь в виду, что при переходе к линейной системе произойдёт увеличение коэффициента относительного затухания ^ из-за уменьшения жёсткости с(в + к), т. к. надо положить натяжение вертикальной пружины в = 0.

4. Результаты теоретического и экспериментального определения параметров особенностей АЧХ

Квадратный корень из первого слагаемого в (14)

ю, (g ) = j 1 + 3 sa2 -

(15)

По (11) квадрат чтстоты свободных колебантй оВ (т.) о зон) нсетск тр, тт>этому (13) является

кубичным ттносительно квадрата амплитуды т[. Решив (13), можно получить АЧХабсолютных колебаний.

Одноко в равтмааривяемом тлугае поступим иначе: найдём зависимость частоты возбуждения от амплитуды в = со(ах), т. к. )13) является квадратным отоосирознно со2 и поэтому решается элемен-

есть скелетная кривая МС (линия 1 на рис. 10), незначительно смещённая малым линейным демпфированием влево. Второе слагаемон опредедает величины отклонений в право и влево от скелетной кривой (ветви АЧХ на рис. 10).

Перейдём к теоретичгекому опнеделению выра-жений для частот и амплитуд перескоков (рис. 1 0). Квадрат частоты возбуждения о. , на которой обе ветви АЧХ смыкаются и происходит срыв вниз, находится при обращении подкоренного выражения в (14) в нуль

и

1

2

a b

Рис. 10. а — АЧХ МС на рис. 9a по (14) (сплошная кривая); аппроксимация экспериментальных точек «амплитуда—частота» по методу наименьших квадратов (штриховая): кружков на левой ветви, ромбов на правой ветви, кресты — точки неустойчивых амплитуд; 1 — скелетная кривая по (15); b — АЧ X по (13) Fig. 10. The amplitude-frequency response (AFR) of the MS in Fig. 9a according to (14) (solid curve); approximation of experimental «amplitude-frequency» points

using the least squares method (dashed): circles on the left branch,diamonds on the rig ht bra nch, crosses — points of unstable amplitudes; 1 — backbone curve according to (15); b — AFR according to (13)

I >

О s

K о E н T i >0 z р а К

у. eq g

-40bl + - Sb2 a 0g | hQ.

Решая это уравзение относ—1тельно амплитуды, найдём её маасималинсе зючение аа частоте ©d

hs

_g(S^+ с(и-иg)a , bbaei.

9sg

hs.2

(16)

s - aog +

и—у

asss

bsbg

s + —I -s . лиа(s-oga.

(1 )

Таблица 1. К сравнительному анализу тео9етических и экспериментальных значений особенностей АЧХ Table 1. To the comparaaive analysis of theoretical and experimental values of the features of the AFR

При равном нулю демпфировании (^ = 0) амплитуда колебаний Р1Ш1а ода .

Подставляя (16) в вырожение дли квадрата скелетной кривой (15), поручим частоиу перескока на нижнюю ветвь АЧХ при увеличении частоты возбуждения от нуля

Перескок АЧХ, частота Значение АЧХ то (aoЬ (19a частот по (17), (С0) Значения АЧХ, эксперимент Пог реш-ность, Т-

Вниз a 7a X d y,eq 13,93 13,83 ~0,7

®d 1,С0 1,157 ~9,2

Вверх a , a x u/ y, eq C,08 5 ~21,5

1,12 1,09 ~2,4

Частоту перескооавверх тайдём, подставляя (19) в выражение для правой вет ви АЧХ (18),

(

S + Q.5B2

Ч b;.eqs

_ с с М

(20)

На нижней ветвn АЧX при уменьшении чзеиоты возбуждения ,q,o нуо+ демпфинование не:уществе—-но влияет на параметры н—жной тоски бифуркации — ча стоту и амплтудупе ре скока вверх [3, 4]. В связио эт ив яри ^ = 0 ^ (л 4) з арисим и с ть частоти1 возбуждения сё ¡.aidisaтуд+i iaa п]]>а+ой -итви АЧХ примет вид

Подставляя в (16), (17), (19), (20) параметры МС £ = 4,167, С, = 0,Р3 и возбуждения ауеч = 0,0267, получим амплитуды и частоты перескока вниз и вверх. Разделив амплртуды ахл и аи на амплитуду кинематического возбуждения^, получим АЧХ (табл. 1).

Ксравнитрльному анализу теоретических и экспериментальных значений особенностей АЧХ

» s

а О

2° 40

t н IS +

Ч а

h a у.eq

Sbg т-^

(18)

Знак ( + ) перед, корнем в (14) вы бран ]в связи

с тем, чро для р]тавой ветви к скелетной кривой

необходимо прибавлять слагаемое, обусловленное

возбужд ен ч ем.

Дифференцирук со1 по амтлитуде ах и прирав-

Нк. „ - •• нивая производную нулю —1 о 0, найдем значение

Нрт

амплитуды перескока вверх

by.„ я Q.0BC3

y.eq

с

(19)

Приведенные в табл. 1 значения для особенностей АЧХ практически совпадают с численным рент ением уравнения (14) относительно квадрата ам-илитуды и квадрата частоты.

5. Обсуждение результатов

1. Незначительные отклонения частот перескоков в сторону увеличения от собственной частоты линейной системы обусловлены начальным натяжением и установкой боковой пружины, оказывающих линеаризующее действие. Незначительная разница частот и юц обусловлена пренебрежением демпфированием при выводе формулы для юц, которое в этом случае не смещает юц в сторону меньших частот.

a

COj =

n

b.. н

x. 1

ё

a

t a

1

a

17

2. АЧХ, получонная разложением (14) в ряд Тее-лора в окрестности = 0, как в [10], даёт значение

нх, т

—:— ^ Г8, что нревышает экстнриментальное зна-

ну н

чение (табл. 1) примерно на 30 %; при этом частота перескока вниз практичнски е8 изменилась. Выполнятьаналогинную п;роцедуру для парометров перескока веерр на правой ветви АЧХ не имеет смысла, т. к. формуло1 (19), (20) получены при кн эф4 фициенте относительного зат^оания И = Р. Таким обрнзом, разложение в ряд даёт меньшую точность для париметров перескока вниз даже при небольшом де мпфировании.

3. Значения амплитуд и часнот точек перескока, получтнкыр решением кубичного уравнения отно-

нхт

сительно квадрата амплитуды —,— и ГР ,89 , = 1,2

а„

; 6,2, юц = 1,2, показывают, что предлага-

емые формулы (16), (17) и (19), (20) дают погрешность по амплитуде и частоте вниз - 0,3 % и - 12,5 %, а по амплитуде и частоте вверх - 1,6 % , - 9 % соответственно.

6. Выводы

8. Ramlan R., Brennan M. J., Kovacic I. [et al.]. Exploiting knowledge of jump-up and jump-down frequencies to determine the parameters of a Duffing oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. Vol. 37. P. 282-291. DOI: 10.1016/j.cnsns.2016.01.017.

9. Jordan D. W., Smith P. Nonlinear ordinary differential equations. 4th ed., Oxford: University Press, 2007. 560 p. ISBN 978-0-19-920824-1; ISBN 978-0-19-920825-8.

10. Brennan M. J., Kovacic I., Carrella A. [et al.]. On the jump-up and jump-down frequencies of the Duffing oscillator // Journal of Sound and Vibration. 2008. Vol. 318. P. 1250-1261. DOI: 10.1016/j.jsv.2008.04.032.

11. Chionh E., Goldman R. Elimination and resultants. Part 1: Elimination and bivariate resultants // IEEE Computer Graphics and Applications. 1995. Vol. 15, Issue 1. P. 69-77. DOI: 10.1109/38.364967.

12. Калашников Б. А., Бохан В. В., Пеньков К. В. Экспериментальное определение нелинейной функции демпфирования механических систем // Омский научный вестник. 2024. № 3 (191). С. 5-13. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-5-13. EDN: GRFNGU.

13. Калашников Б. А. Прикладные методы теории колебаний в расчётах механических систем и конструкций. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2022. 238 c. ISBN 978-5-8149-3570-0. EDN: HAJSQP.

1. Получены выражения для параметров перескоков без предположения о малости коэффициента относительного затухания с погрешностью не более - 1,6 % по амплитудам и не более - 12,5 % по частотам.

2. Экспериментально подтверждена допустимость применения предложенных формул с погрешностью порядка - 20 %.

3. Формулы для параметров перескока вниз, полученные с использованием разложения в ряд по степеням квадрата относительного коэффициента затухания, незначительно упрощают соответствующие выражения, полученные без использования предположения о малости. Погрешность при расчёте амплитуды перескока вниз с использованием разложения в ряд составляет - 30 %. Значение частоты перескока вниз при этом практически не изменилось.

Список источников

1. Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung. Vieweg, Braunschweig, 1918. 134 S. DOI: 10.1002/zamm.19210010109.

2. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear Oscillations. Wiley, New York, 1979, 718 р.

3. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем: пер. с нем. Москва: Мир, 1982. 304 с.

4. Malatkar P., Nayfeh A. H. Calculation of the jump frequencies in the respose of a s.d.o.f. non-linear systems // Journal of Sound and Vibration. 2002. Vol. 254 (5). P. 1005-1011. DOI: 10.1006/jsvi.2001.4104.

5. Markakis M. P. The jump phenomenon associated with the dynamics of the duffing equation // Physics Open. 2020. Vol. 5. 100042. DOI: 10.1016/j.physo.2020.100042.

6. Веллер В. Н. Регулирование и защита паровых турбин. Москва: Энергоатомиздат, 1985. 104 с.

7. Кириллов И. И. Автоматическое регулирование паровых турбин и газотурбинных установок. Ленинград: Машиностроение, 1988. 447 с.

КАЛАШНИКОВ Борис Александрович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Авиа- и ракетостроение» Омского государственного технического университета (ОмГТУ), г. Омск.

SPIN-код: 7574-1323 ORCID: 0000-0002-9946-3480 AuthorID (SCOPUS): 6701318766 ResearcherID: M-9643-2014

Адрес для переписки: bkalashnikov1@yahoo.com БОХАН Владимир Викторович, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» ОмГТУ, г. Омск; старший научный сотрудник АО «Федеральный научно-производственный центр «Прогресс», г. Омск. SPIN-код: 3625-7966 AuthorID (РИНЦ): 747705 ORCID: 0000-0003-0690-381X Researcher ID: P-3030-2017

Адрес для переписки: vladimir_bohan@mail.ru СМОЛКО Валерия Евгеньевна, магистрант гр. СМм-241 факультета транспорта, нефти и газа ОмГТУ, г. Омск. SPIN-код: 6112-9457 ORCID: 0009-0007-0117-4271

Адрес для переписки: smolko.valeria143@gmail.com

Для цитирования

Калашников Б. А., Бохан В. В., Смолко В. Е. Экспериментально-теоретическое исследование особенностей амплитудно-частотных характеристик ангармонического осциллятора Дуффинга // Омский научный вестник. Сер. Авиационно-ракетное и энергетическое машиностроение. 2024. Т. 8, № 3. С. 13-20. DOI: 10.25206/2588-0373-2024-8-3-13-20.

Статья поступила в редакцию 03.08.2024 г. © Б. А. Калашников, В. В. Бохан, В. Е. Смолко

и

a

UDC 534-18+621.0

DOI: 10.25206/2588-0373-2024-8-3-13-20 EDN: OBKCSQ

EXPERIMENTAL AND THEORETICAL STUDY OF THE FEATURES OF THE AMPLITUDE-FREQUENCY RESPONSE FEATURES OF THE ANHARMONIC DUFFING OSCILLATOR

B. A. Kalashnikov1, V. V. Bokhan12, V. E. Smolko1

'Omsk State Technical University, Russia, Omsk, Mira Ave., 11, 644050 2JSC «Federal Research and Production Center «Progress», Russia, Omsk, 5th Kordnaya St., 4, 644018

i >

NÜ

o s g o E h T x

>o

o K

In this paper, experimental waveforms of the bifurcation phenomena in a Duffing oscillator weakly damped by viscous friction. The bifurcation points are found by solving the numerical solution of a harmonically linearized system with respect to the square of the frequency and the square of the amplitude. Approximate dimensionless expressions for amplitudes and their corresponding frequencies at the bifurcation points are proposed. The comparison of experimental and theoretical amplitude-frequency characteristics and their values at these points is given.

Keywords: Duffing oscillator, degree of nonlinearity, harmonic linearization, relative attenuation coefficient, amplitude-frequency response, amplitude and frequency of bifurcation points, jump points.

o S

o O

áo 4O

References

1. Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung [Forced Oscillations with Variable Natural Frequency and their Technical Significance]. Vieweg, Braunschweig, 1918. 134 s. DOI: 10.1002/ zamm.19210010109. (In Germ.).

2. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear Oscillations. Wiley, New York, 1979, 718 p. (In Engl.).

3. Magnus K. Kolebaniya: Vvedeniye v issledovaniye kolebatel'nykh sistem: per. s nem. [Introduction to the Investigation of oscillatory systems: trans. from Germ.]. Moscow, 1982. 304 p. (In Russ.).

4. Malatkar P., Nayfeh A. H. Calculation of the jump frequencies in the respose of a s.d.o.f. non-linear systems // Journal of Sound and Vibration. 2002. Vol. 254 (5). P. 1005-1011. DOI: 10.1006/jsvi.2001.4104. (In Engl.).

5. Markakis M. P. The jump phenomenon associated with the dynamics of the duffing equation // Physics Open. 2020. Vol. 5. 100042. DOI: 10.1016/j.physo.2020.100042. (In Engl.).

6. Veller V. N. Regulirovaniye i zashchita parovykh turbin [Regulation and protection of steam turbines]. Moscow, 1985. 104 p. (In Russ.).

7. Kirillov I. I. Avtomaticheskoye regulirovaniye parovykh turbin i gazoturbinnykh ustanovok [Automatic control of steam turbines and gas turbine installations]. Leningrad, 1988. 447 p. (In Russ.).

8. Ramlan R., Brennan M. J., Kovacic I. [et al.]. Exploiting knowledge of jump-up and jump-down frequencies to determine the parameters of a Duffing oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2016. Vol. 37. P. 282-291. DOI: 10.1016/j.cnsns.2016.01.017. (In Engl.).

9. Jordan D. W., Smith P. Nonlinear ordinary differential equations. 4th ed., Oxford: University Press, 2007. 560 p. ISBN 978-0-19-920824-1; ISBN 978-0-19-920825-8. (In Engl.).

10. Brennan M. J., Kovacic I., Carrella A. [et al.]. On the jump-up and jump-down frequencies of the Duffing oscillator // Journal of Sound and Vibration. 2008. Vol. 318. P. 1250-1261. DOI: 10.1016/j.jsv.2008.04.032. (In Engl.).

11. Chionh E., Goldman R. Elimination and resultants. Part 1: Elimination and bivariate resultants // IEEE Computer Graphics and Applications. 1995. Vol. 15, Issue 1. P. 69-77. DOI: 10.1109/38.364967. (In Engl.).

12. Kalashnikov B. A., Bokhan V. V., Penkov K. V. Eksperimental'noye opredeleniye nelineynoy funktsii dempfirovaniya mekhanicheskikh sistem [Determining the nonlinear damping function using experiments] // Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2024. No. 3 (191). P. 5-13. DOI: 10.25206/1813-8225-2024-191-5-13. EDN: GRFNGU. (In Russ.).

13. Kalashnikov B. A. Prikladnyye metody teorii kolebaniy v raschetakh mekhanicheskikh sistem i konstruktsiy [Applied methods of vibration theory in calculations of mechanical systems and structures]. Omsk: OmSTU Publ., 2022. 238 p. ISBN 978-58149-3570-0. EDN: HAJSQP. (In Russ.).

KALASHNIKOV Boris Aleksandrovich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Professor of Aircraft and Rocket Building Department, Omsk State Technical University (OmSTU), Omsk. SPIN-code: 7574-1323 ORCID: 0000-0002-9946-3480 AuthorlD (SCOPUS): 6701318766 ResearcherlD: M-9643-2014

Correspondence address: bkalashnikov1@yahoo.com BOKHAN Vladimir Victorovich, Senior Lecturer of Fundamentals of Mechanics Theory and Automatic Control Department, OmSTU, Omsk; Senior Researcher, JSC «Federal Research and Production Center «Progress», Omsk. SPIN-code: 3625-7966

AuthorlD (RSCI): 747705 ORCID: 0000-0003-0690-381X ResearcherlD: P-3030-2017

Correspondence address: vladimir_bohan@mail.ru SMOLKO Valeria Evgenyevna, Undergraduate, gr. CMm-241 of Transport, Oil and Gas Faculty, OmSTU, Omsk.

SPIN-code: 6112-9457 ORCID: 0009-0007-0117-4271

Correspondence address: smolko. Valeria 143@gmail.

For citations

Kalashnikov B. A., Bokhan V. V., Smolko V. E. Experimental and theoretical study of the features of the amplitude-frequency response features of the anharmonic Duffing oscillator // Omsk Scientific Bulletin. Series Aviation-Rocket and Power Engineering. 2024. Vol. 8, no. 3. P. 13-20. DOI: 10.25206/2588-0373-2024-83-13-20.

Received August 03, 2024.

© B. A. Kalashnikov, V. V. Bokhan, V. E. Smolko

com

S §

5 0

§3

X <

< X

x 5£

2 2

u h i* x z

335 i <