CC BY
2Труды МАИ. Выпуск № 103
http://trudymai. ru/
УДК 621.822.83; 53.08
Экспериментальная верификация энергетической модели роликового подшипника для моделирования опорных узлов авиационных
двигателей.
Часть 1. Нагружение подшипника радиальной силой и поперечным моментом на специальном стенде, предотвращающем изгиб колец
1* 1 Я А 1 * А А Лйййй
Сорокин Ф.Д. , Чжан Х. , Попов В.В. , Иванников В.В.
1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
ул. 2-ая Бауманская, 5, Москва, 105005, Россия Научно-технический центр по роторной динамике ООО «Альфа-Транзит», ул. Ленинградская, 1, Химки, Московская область, 141400, Россия
*e-mail: sorokin_fd@mail. ru **e-mail: zhang274234111 @yandex.ru ***e-mail: vvpopov.bmstu@gmail.com ****e-mail: vvivannikov@gmail.com
Аннотация
C целью верификации энергетической модели роликового подшипника выполнялся натурный эксперимент на универсальной испытательной машине Zwick/Roell Z100. Роликовый подшипник типа 12309КМ, закрепленный в специальном устройстве, обеспечивающем фиксацию наружного кольца, через жесткую штангу нагружался радиальной силой и моментом. Деформации деталей, используемых в закреплении и нагружении подшипника, предварительно оценивались расчетом с помощью МКЭ. Экспериментальные данные обрабатывались методом наименьших квадратов с целью их аппроксимации
аналитическими соотношениями. Сравнение экспериментальных данных с численными результатами, полученными по ранее разработанной энергетической модели, показало их хорошее соответствие. Из выполненного исследования можно сделать вывод об очень хорошей точности энергетической модели роликового подшипника.
Ключевые слова: энергетическая модель роликового подшипника, испытательное оборудование, метод наименьших квадратов.
Введение
Подшипниковые узлы являются важнейшими структурными элементами машин и приборов. При решении задач роторной динамики вращающихся машин большое значение имеет определение их упругих характеристик.
Анализу различных аспектов механического поведения и взаимодействия элементов роликового (и не только) подшипника посвящено множество работ, например, [1-15]. Сравнительно простой и в то же время весьма информативной является модель, предложенная De Mul в работе [9], в которой каждый ролик разбивается на тонкие диски и далее нелинейные уравнения равновесия ролика записываются с использованием законов статики. В статье [10] идеи De Mul получили дальнейшее развитие, при этом оказалось, что вместо законов статики гораздо проще и удобнее использовать энергетический подход. Силы, действующие на ролик со стороны колец и бортиков, а также элементы матрицы жесткости ролика
сравнительно просто вычисляются через первые и вторые производные энергии деформаций. Запись уравнений равновесия элементов подшипника, выполненная в [9], при этом становится излишней, так как все соотношения могут быть получены формальным дифференцированием энергии деформации.
Целью данной статьи является прямая экспериментальная верификация энергетической модели роликового подшипника (ЭМРП), разработанной в [10]. Верификация выполнялась сопоставлением нагрузочных характеристик, полученных в эксперименте и рассчитанных на основе ЭМРП. Испытание выполнялось на универсальной испытательной машины (ИМ) /^шск/ЯоеП 7100. Объект исследования - роликовый подшипник типа 12309 КМ.
Энергетическая модель роликового подшипника [10]
Роликовый подшипник в энергетической модели состоит из наружного и внутреннего колец, роликов. Каждое из колец считается твёрдым телом с 6-ю степенями свободы. Ролики приняты упругими телами. Движение роликов считается плоским (3 степени свободы). Т.е., ролик может совершать 2 малых перемещения и 1 малый поворот в своей рабочей плоскости. Точнее, другие движения ролика (например, вращение вокруг собственной оси) не меняют упругую энергию ролика и поэтому из рассмотрения исключены. Поворот вокруг радиуса не допускается сепаратором. Относительные смещения колец и роликов малы из-за малости упругих деформаций, тем не менее наличие зазоров и контактные явления делают задачу нелинейной.
Силы, действующие на ролик со стороны колец и бортиков (флангов), а также
элементы матрицы жесткости ролика вычисляются дифференцированием (численным, либо аналитическим) энергии ролика по его перемещениям.
Энергия деформаций подшипника является суммой энергий деформаций всех роликов. Деформации колец в местах контакта с роликами учитываются коэффициентами. Дифференцирование суммарной энергии всех роликов по перемещениям колец позволяет найти обобщенные силы и обобщенные жесткости для всего подшипника.
Рис. 1. Схема роликового подшипника.
Технические характеристики исследуемого подшипника и испытательной
машины
Объектом исследования являлся радиальный роликовый подшипник 12309КМ с короткими цилиндрическими роликами, однорядный, с однобортовым наружным кольцом и двухбортовым внутренним кольцом. Материал подшипника - сталь марки ШХ15.
На рис. 2 представлен общий вид подшипника 12309КМ. Геометрические
параметры подшипника, заимствованные из справочника [16-18], показаны на рис. 3. Соответствие технические характеристики представлены в табл. 1.
Рис. 2. Подшипник 12309КМ. Рис. 3. Геометрические параметры 12309КМ.
Таблица 1
Технические характеристики подшипника 12309КМ.
Внутренний диаметр, d (мм) 45
Наружный диаметр, D (мм) 100
Ширина, B (мм) 25
Масса, m (кг) 0,89
Грузоподъемность динамическая, C (кН) 72,1
Грузоподъемность статическая, ^ (кН) 41,5
Радиус фаски, г (мм) 2,5
Диаметр борта наружного кольца, D1 (мм) 81,4
Диаметр борта внутреннего кольца, d1 (мм) 64
Количество роликов 12
Статические испытания проводились на универсальной испытательной машине Zwick/Roell Z100, предназначенной для испытаний образцов и элементов
конструкций на растяжение и сжатие. С помощью ИМ перемещение и нагрузка на торце траверсы через электромеханический преобразователь записывались в базу данных и далее представлялись в виде графиков. Общий вид ИМ показан на рис. 4. Характеристики ИМ приведены в таблице 2.
Рис. 4. Универсальная испытательная машина Zwick/Roell 1100.
Таблица 2.
Характеристики испытательной машины
Наименование параметра /^шск/ЯоеП 7100
Тип силовозбуждающего устройства электромеханический
Максимальная нагрузка, кН 100
Точность измерения нагрузки, Н 0,02
Максимальное перемещение траверсы, мм 1040
Точность измерения перемещений, мм 0,001
Скорость перемещения активного захвата, мм/мин
1...1000
Примечание: Машина снабжена вычислительным комплексом, позволяющим разрабатывать индивидуальную программу испытаний. Возможно малоцикловое нагружение образцов.
Проектирование оснастки и исследование влияния её деформации на
результаты эксперимента
С целью исключения деформаций наружного кольца была разработана специальное устройство фиксации подшипника (УФП). УФП состоит из трех частей: базовой платы, квадратной платы с отверстием для установления подшипника и ребер жесткости. Части устройства соединены винтами. Материал УФП - алюминий. Общий вид УФП с подшипником показан на рис. 5.
Рис. 5. Устройство фиксации с подшипником. Размеры деталей УФП подбирались из условия малости влияния их деформаций на результаты эксперимента. Для оценки влияния вклада деформаций УФП в итоговые перемещения точки приложения нагрузки, в комплексе ANSYS [19] была создана конечно элементная модель УФП (рис. 6). Модель состоит из тех же
деталей, что и реальное УФП, но подшипник заменен его имитацией в виде жесткого кольца (сплошной цилиндр с отверстием). В численных расчетах на модели УФП реализованы те же виды нагрузок, что и в натурных экспериментах.
При численном моделировании УФП использовались 10-ти узловые конечные элементы - 8ОЬГО187 в форме тетраэдров. На контактных поверхностях наносились контактные сетки, составленные из элементов ТЛКОБ170 и СОКТЛ174. Нижняя поверхность базовой плиты была полностью закреплена по всем направлениям. К кольцу прикладывались вертикальная сила ^=-2000 Н и момент, направленный вокруг горизонтальной оси Мх=119500 Н-мм, (максимальные величины нагрузок в эксперименте). Упругие постоянные для материала модели УФП задавались по справочным данным: модуль упругости алюминия Е=7,17-104 МПа; коэффициент Пуассона у=0,33. Перемещения оснастки показаны в графическом виде на рис. 7.
Рис. 6. Конечно-элементная модель УФП с сеткой
О .003365 .010095 .01346
.001683 .005048 .008413 .011778 .015143
Рис. 7. Полные перемещения УФП (мм).
На основании численного моделирования (рис. 7) можно заключить, что максимальное перемещение на поверхности контакта кольца и УФП равно 0,0116 мм. Найденные перемещения позволяют оценить поворот жесткого кольца. Так как, согласно рис. 7, в нижней части отверстия перемещения практически отсутствуют, то максимальный поворот кольца в УФП не превосходит ВхУФП = 0,0116/В « 0,0001, где В - диаметр наружного кольца подшипника. Тот же поворот, найденный с помощью ЭМРП, равен §шод = 0,0108. Т.е., угол поворота, вызванный деформациями УФП, составляет менее 1% от угла поворота внутреннего кольца подшипника. Таким образом, можно сделать вывод, что использование УФП практически не влияет на результаты эксперимента.
Статические испытания подшипника
Статические испытания проходили в несколько этапов:
1. Подготовка оснастки.
2. Подготовка программы испытаний на ЭВМ.
3. Испытания подшипника 12309КМ при комбинированной нагрузке.
4. Испытания ИМ при сжатии с целью выделения деформаций самой машины.
На рис. 8 показана система подшипник-УФП-штанга и нагружающее устройство ИМ. Штанга представляет из себя стальной цилиндр с наружным диаметром, совпадающим с внутренним диаметром внутреннего кольца подшипника. Нагрузка через нагружающее устройство ИМ прикладывалась к краю штанги. Величина нагрузки плавно изменялась от нуля до 2 кН. Нагружение производилось кинематически, т.е. движением траверсы со скоростью 1 мм/мин. Вследствие наличия плеча на внутреннее кольцо подшипника действовала комбинированная нагрузка, то есть вертикальная сила и поперечный момент.
Рис. 8. Система подшипник-УФП-штанга и нагружающее устройство С помощью ИМ перемещение и нагрузка на торце траверсы через электромеханический преобразователь записывались в базу данных и далее представлялись в виде графиков. Величина поперечного момента определялась через значение вертикальной силы F и её плечо. Для расчета плеча и величины момента использовались формулы
м=п, ь=ь
В + 5
2
(1)
где Ь - плечо силы; Ьц - длина цилиндра; В - размер зоны контакта между цилиндром и подшипником, то есть ширина подшипника; 5 - размер зоны контакта между цилиндром и траверсой. По результатам измерений были приняты значения: Ьц = 85 мм, В = 25 мм и 5 = 25,5 мм.
В результате испытаний были получены нагрузочная характеристика системы подшипник-УФП и нагрузочная характеристика ИМ при комплексной нагрузке (рис. 9). Ролики располагались симметрично относительно оси нагружения - по 6 роликов
с каждой стороны (расположение роликов влияет на результат эксперимента).
2000
1500
,1000
500
2
/ 1 \ /
/
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Перемещение, мм
Рис. 9. Нагрузочные характеристики: 1 - ИМ; 2 - система подшипник-УФП Из рис. 9 видно, что ИМ не является абсолютно жесткой и при обработке результатов эксперимента необходимо учитывать нагрузочную характеристику ИМ.
Обработка результатов эксперимента
Экспериментальные графики были предварительно обработаны: плохие
участки кривых (в начале) отбрасывались, так как там выбираются зазоры, выдавливается смазка и т.п.; хорошие участки кривых были интерполированы гладкой зависимостью по методу наименьших квадратов [20]:
w = А + СР",
где w - перемещение траверсы, мкм; F - нагрузка, Н; А - начальный зазор, мкм; С и п - коэффициенты.
При выполнении экспериментов было заметно, что начальный зазор для каждого испытания является разным. С целью преодоления влияния различных зазоров на результаты производился сдвиг графиков по горизонтали, чтобы выполнялось равенство А=0. Далее методом наименьших квадратов (МНК) определялись неизвестные коэффициенты Сип. Графики полученных аналитических зависимостей вместе с экспериментальными точками показаны на рис. 10.
Перемещение, мм
Рис. 10. Результаты экспериментов и их аппроксимация МНК: «*» - экспериментальные данные; «-» - аппроксимация МНК. Для получения нагрузочной характеристики подшипника две полученные степенные зависимости вычитались одна из другой (для системы подшипник-УФП и
ИМ)
w = 4,8999^06642 -0,4163^0'7315, где перемещение должно задаваться в мкм, а нагрузка в Н.
Сопоставление результатов эксперимента с расчетами по ЭМРП
В рамках ЭМРП была создана численная модель того же подшипника типа 12309КМ и реализованы те же виды нагрузок, что и в описанных выше экспериментах.
Ролик был разбит на N=20 дисков одинаковой толщины (при увеличении N результаты практически не меняются). Упругие постоянные для колец и роликов были приняты одинаковыми (сталь): модуль упругости для всех деталей Е=2,06 105 МПа, а коэффициент Пуассона у=0,3. Для учета контакта между телами качения и дорожками качения боковые контактные жесткости Се, С находились с использованием формулы Ра1ш§геп [10]. Для контакта между делами качения и
флангами колец торцевые контактные жесткости С ^ определялись из задачи Герца о
контакте двух сферических упругих тел [10], в которой контактные поверхности бортиков с целью упрощения расчета принимались плоскими (так как торцевые контакты играют вспомогательную роль).
В разработанной на основе ЭМРП численной модели к внутренней обойме подшипника прикладывалась вертикальная сила F и поперечный момент М, определенный по формуле (1). Так же как в экспериментальном исследовании вертикальная нагрузка F увеличивалась с 0 до 2000 Н.
В результате применения ЭМРП получены вертикальные перемещения и и поперечные углы поворота у внутреннего кольца подшипника. Для сопоставления с экспериментальными данными по найденным и и у определялись перемещения торца штанги w:
w = и + уЬ.
Полученные результаты расчета представлены в табл. 3, а соответствующие им графики совместно с экспериментальными данными на рис. 11.
Таблица 3
Перемещения торца штанги, найденные из ЭМРП
^ , Н М , Н-мм и , мкм У , мрад
200 11950 1,39 2,84
400 23900 1,67 3,86
600 35850 1,96 4,79
800 47800 2,20 5,69
1000 59750 2,46 6,56
1200 71700 2,72 7,41
1400 83650 2,98 8,25
1600 95600 3,22 9,09
1800 107550 3,45 9,93
2000 119500 3,70 10,77
2000 1500
ас
5,1000
с-
X
500 0
О 100 200 300 400 500 600 700 Перемещение, мкм
Рис. 11. Сопоставление результатов расчета и эксперимента: «*» - ЭМРП; «-» - экспериментальная зависимость (2)
Как видно из графиков, разработанная в [10] ЭМРП дает результаты, которые весьма хорошо подтверждаются натурным экспериментом.
Заключение
1) Энергетическая модель роторного подшипника, разработанная в [10] была верифицирована натурными экспериментами.
2) Экспериментальное исследование выполнялось на универсальной испытательной машины /^шск/ЯоеП 7100 при сочетании радиальной силы и поперечного момента. Объектом являлся роликовый подшипник типа 12309КМ. С целью исключения влияния изгиба колец была разработана специальное устройство фиксации подшипника, деформации которого предварительно оценивались МКЭ.
3) Сопоставление результатов расчета и эксперимента показало, что энергетическая модель роликового подшипника, предложенная в [10], дает результаты, которые весьма хорошо подтверждаются натурными экспериментами.
Библиографический список
1. Houpert L. An enhanced study of the load-displacement relationships for rolling element bearings // Journal of Tribology, 2014, vol. 136, no. 1, pp. 011105 - 011116.
2. Houpert L. A uniform analytical approach for ball and roller bearings calculations // Journal of Tribology, 1997, vol. 119, no. 4, pp. 851 - 858.
3. Guo Y., Parker R.D. Stiffness matrix calculation of rolling element bearings using a finite element/contact mechanics model // Mechanism & Machine Theory, 2012, vol. 51, no. 5, pp. 32 - 45.
4. Cavallaro G., Ne'lias D., Bon F. Analysis of high-speed inter-shaft cylindrical roller bearing with flexible rings // Tribology Transactions, 2005, vol. 48, no. 2, pp. 154 - 164.
5. Antoine J.F., Visa C., Sauvey C. Approximate analytical model for Hertzian elliptical contact problems // Journal of Tribology, 2016, vol. 128, no. 3, pp. 660 - 664.
6. Leblanc A., Nelias D., Defaye C. Nonlinear dynamic analysis of cylindrical roller bearing with flexible rings // Journal of Sound & Vibration, 2009, vol. 325, no. 1, pp. 145 -160.
7. Houpert L. An engineering approach to Hertzian contact elasticity part I // Journal of Tribology, 2001, vol. 123, no. 3, pp. 582 - 588.
8. Houpert L. An engineering approach to Hertzian contact elasticity part II // Journal of Tribology, 2001, vol. 123, no. 3, pp. 589 - 594.
9. De Mul J.M., Vree J.M., Maas D.A. Equilibrium and associated load distribution in ball and roller bearings loaded in five degrees of freedom while neglecting friction—Part II: Application to roller bearings and experimental verification // Journal of Tribology,
1989, vol. 111, no. 1, pp. 142 - 148.
10. Сорокин Ф.Д., Чжан Х., Иваников B.B. Разработка энергетической модели роликового подшипника // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2018. no. 3. C. 14 - 23.
11. Зубко A.K, Донцов С.Н. Исследование условий работоспособности и разработка диагностики керамических подшипников нового поколения // Труды МAИ. 2014. № 74. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49034
12. Хаустов A.K, Шашкин И.Н., Мальгичев B.A., Невзоров AM. Конструктивные особенности проектирования подшипниковых узлов для осевых насосов систем терморегуляции летательных аппаратов // Труды МAИ. 2012. № 50. URL: http : //trudymai .ru/published.php?ID=27592
13. Ермилов Ю.И., Равикович ЮА., Клименко A.B., Холобцев Д.П. Разработка математической модели подшипника скольжения жидкостного трения, учитывающей теплообмен с окружающей средой // Труды МAИ. 2010. № 39. URL: http : //trudymai .ru/published.php?ID= 14806
14. Дегтярев C.A., Кутаков М.Н., Леонтьев М.К., Попов В.В., Ромашин Ю.С. Учет контактных взаимодействий при моделировании жесткостных свойств роликовых подшипников // Вестник московского авиационного института. 2015. Т. 22. № 2. С. 137 - 141.
15. Tong V.C., Hong S.W. Characteristics of tapered roller bearing subjected to combined radial and moment loads // IJPEMGT, 2014, vol. 1, no. 4, pp. 323 - 328.
16. Бейзельман Р.Д., Цыпкин Б.В., Перель Л.Я. Подшипники качения.
Справочник. - М.: Машиностроение, 1975. - 572 с.
17. Черменский О.Н., Федотов Н.Н. Подшипники качения: Справочник-каталог. -М.: Машиностроение, 2003. - 576 с.
18. Перель Л.Я. Подшипники качения: Расчет, проектирование и обслуживание опор: Справочник. - М.: Машиностроение, 1983. - 543 с.
19. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров. - М.: Машиностроение-1, 2004. - 512 с.
20. Бараз В.Р. Корреляционно-регрессионный анализ связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel. - Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ», 2005. - 102 с.
