Экономико-математический анализ эффекта финансового рычага Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 338.24.01

экономико-математический анализ эффекта финансового рычага*

Ю.В. КИРИЛЛОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры экономической информатики Е-mail: kirillov_yu@ngs.ru Новосибирский государственный технический университет

Е.Н. НАЗИМКО, кандидат экономических наук, заведующая кафедрой финансов и кредита Е-mail: enn2003@yandex.ru Новосибирский гуманитарный институт

В статье рассматривается анализ эффекта финансового рычага в различных условиях хозяйственной деятельности организации. Проведено математическое обоснование экономических соотношений, описывающих этот эффект, и условий, при которых он возникает. Проведен математический анализ влияния основных параметров рычага на показатель эффективности финансово-хозяйственной деятельности организации.

Ключевые слова: финансовый рычаг, заемный капитал, рентабельность собственного капитала, экономическая прибыль, прогнозный период, экономико-математическая модель

Понятие эффекта финансового рычага и его влияние на эффективность финансово-хозяйственной деятельности организации хорошо известны и широко используются как в практической работе, так и в теоретических исследованиях. Пожалуй, не найдется ни одного учебника или учебного пособия по финансовому менеджменту или финансовому анализу, в котором не упоминалось бы об эффекте финансового рычага [1-5, 7-14, 17].

* Работа поддержана грантом по проекту «Развитие интеллектуальных информационных технологий, математических моделей и алгоритмов оптимизации для повышения эффективности производства и управления предприятиями в инновационной экономике».

Несмотря на различные подходы в определении этого термина, экономическая сущность его остается неизменной. Эффект финансового рычага отражает характер влияния заемного капитала, используемого организацией, на эффективность ее финансово-хозяйственной деятельности, которая определяется показателем рентабельности собственного капитала.

Об актуальности и значимости этого эффекта для экономической науки и практики говорит то, что один из основных коэффициентов финансовой устойчивости организации (коэффициент капитализации) часто называют коэффициентом (или плечом) финансового рычага, поскольку он определяет соотношение заемных и собственных средств, используемых организацией для достижения целей своей финансово-хозяйственной деятельности.

В данном исследовании речь пойдет об анализе экономических условий, в которых достигается эффект финансового рычага, и его математическом выражении в форме соответствующих уравнений.

Во всех упомянутых источниках экономический эффект финансового рычага основан на математической зависимости, которую называют уравнением финансового рычага. Как следует из работы [6], в которой приведен вывод этого уравнения (в отличие от других источников, где он дается априори), этот эффект выражается уравнением

Дск -

ЗК

R пр + (R пр - Г) —

(1 - N),

(1)

где RCK — рентабельность собственного капитала организации;

Rnp — производственная рентабельность; r — стоимость привлечения заемных средств (в долях единицы); ЗК — заемный капитал организации; СК — собственный капитал организации; N — установленная доля отчислений в форме налога на прибыль.

Рентабельность собственного капитала организации можно определить по формуле RCK - где

Пч — чистая прибыль организации.

Производственная рентабельность определяется по формуле

R = П"-

пр CK + 3K' где Пэк - Ппрод + ^Лр — прибыль экономическая за определенный период.

Здесь Ппрод — прибыль от продаж, полученная за тот же период; S^ — сальдо прочих доходов и расходов предприятия без учета выплат процентов по заемным средствам за этот же период.

Вывод уравнения (1) основан на использовании известного в экономической науке метода расширения факторной модели показателя с помощью умножения и деления на одну и ту же величину [4, 5, 11-13, 17]. В данном случае такой величиной является СК + ЗК — сумма собственного и заемного капиталов, используемых организацией в определенном периоде [6, с. 59]. С математической точки зрения использование метода расширения правомерно лишь в том случае, если используемая для умножения и деления величина не изменяет своего значения в заданных условиях. Это означает, что уравнение (1) выражает эффект финансового рычага при условии, что СК + ЗК = const, т.е. сумма собственного и заемного капиталов, используемых организацией, является постоянной величиной.

В упомянутых источниках вместо математического вывода уравнения (1) рассматривается график функции RCK = f(R )

*CK

ARck -

[5, с. 348], качественный аналог которого приведен на рис 1.

На рис. 1 отрезок AB представляет собой прирост рентабельности собственного капитала организации ARCK при использовании заемного капитала по сравнению с уровнем рентабельности при бездолговом финансировании (отрезок ВС). Однако по геометрическому смыслу построений (см. рис. 1) отрезок АС — перпендикуляр к горизонтальной оси, т.е. прирост RCK,определяется при условии, что R = const, а это возможно, только если

пр СК + ЗК = const, (2)

поскольку Рэк в уравнении (1) не зависит о величины используемого капитала.

Эта особенность эффекта финансового рычага является важным условием его использования в экономико-математических моделях, связанных с построением прогнозного баланса, где выражение (2) является выражением основного балансового равенства, а его правая часть — величиной актива прогнозного баланса. Однако для полноценного использования уравнения (1) в таких моделях необходимо преодолеть некоторые его ограничения, которые заключаются в следующем:

1) по экономическому смыслу факторного анализа чистой прибыли [4, 5, 8, 10, 13] ее размер за период определяется разницей между расходами и доходами по всем направлениям деятельности организации: операционной, финансовой и инвестиционной. Если организация берет кредит в размере ЗК, а инвестиции отсутствуют, финансовая составляющая чистой прибыли будет определяться расходами в форме годовых платежей по обслуживанию долга, зависящих от размера кредита, процентной ставки и условий погашения (срока погашения и типа погасительной ренты). В уравнении (1) размер годового

3K > 0

3K = 0

* Rnp

Рис. 1. Эффект финансового рычага

платежа погашения составляет ЛЗК = г • ЗК, который не учитывает условий погашения, поэтому, с точки зрения финансовой математики [16], постоянный поток таких погасительных платежей представляет собой вечную ренту и, следовательно, такой кредит никогда не будет погашен;

2) в прогнозном периоде организация в общем случае может взять другой кредит, отличный по своим параметрам от кредита, взятого в отчетном периоде, причем срок погашения каждого из них вполне может быть больше длительности как отчетного, так и прогнозного периодов. Поэтому при оценке эффективности финансово-хозяйственной деятельности организации необходимо не только определять расходы по обслуживанию новых кредитов, но и учитывать расходы по старым долгам, т.е. оценивать всю кредитную историю организации. Однако выражение (1) не отражает этих особенностей, поскольку получено на основе анализа состояния только отчетного периода.

Отсюда следует, что необходимо доработать уравнение (1) для прогнозного периода, которое было бы свободно от указанных ограничений.

По экономическому смыслу факторного анализа чистой прибыли для прогнозного периода имеем

Р ч, = (Р эк - Rsk - Ra3k,)(1 - N),

(3)

где ЛЗК — платеж по кредиту ЗК0 в отчетном периоде;

ЛДЗК — платеж по кредиту ДЗК1 в прогнозном периоде.

По правилам финансовой математики, для постоянных потоков платежей (рент) платеж по кредиту будет равен

^к0 = Чо Жо и Казк1 = ЧАЗК1, (4)

где 40 и 41 — коэффициенты, обратные коэффициенту дисконтирования постоянной ренты, зависящие от типа ренты, процентной ставки г и срока погашения пЗК. Например, для годовой ренты постнумерандо с ежегодными платежами будет

ЗК = R41

= ЗК-

1 - (1 + r )-

^ R3K =

1 - (1 + r )-

^ Чзк =

1 - (1 + r )-

здесь упомянутый метод расширения факторной модели (5):

П., =

Я.

CKt + ЗК, CK, + ЗК,

- q03K0 - qxA3Kx (1 - N), (6)

поскольку СКХ + ЗКХ = const = Kskt , где Какт —

сумма активов прогнозного баланса. Проводя дальнейшие алгебраические преобразования модели (6), получим

(

=

(

п„

CK + зк

щ CK1 + ЗК,

1 - q 3ko - qA3K

(1 - n ) =

CK1

,K1 CK, + 3K1

-qiA3Ki) (1 - N) =

Я

■П. 3K0

-Д 3K

ck1 + 3k1

xA3K1 ] (1 - N).

n„

3Ko

1 CK, + 3K1

CK1

CK1 + 3K1

1 - qo 3ko ~

CK1 + 3K1

q1

Разделив обе части этого выражения на CKX, получим

Rck1 -

KPl + (RnPl " %)

ЗК,

(Ki- q)

A3K CK

ck (l - N),

(7)

где ^ =

я

CKJ + 3KJ

производственная рента-

С учетом (4) выражение (3) запишется в виде

ПЧ1 = (ЯЭК1 - д0ЗК0 - ^ЛКа - Ю, (5) причем СК1 + ЗК1 = СК1 + ЗК0 +Д ЗК — величина пассива баланса прогнозного периода. Используем

бельность в прогнозном периоде;

Р ч

Д,К =—ч--рентабельность собственного

СК1

капитала в прогнозном периоде. Уравнение (7) определяет эффект финансового рычага в прогнозном периоде, который учитывает параметры погашения кредитов ЗК0 и А ЗК1, что выражается в дополнительном приросте рентабельности собственного капитала ДВсК (рис. 2) за счет выгодного привлечения заемных средств не только в отчетном (- д0 > 0), но и в прогнозном периоде (- 41 > 0) деятельности организации. Очевидно, что в этом случае положительный прирост будет также достигнут и в случае, если

4 - 4о < 0 и Кд - 4 > 0, но ^ -41 > к, - qo, или

r

r

r

RPi - д0 > 0 и Rp - q < 0 ,

но

Ящр - q0 > ^ - qi •

Исследование выражения (7) как уравнения = у(^) по всем правилам математического анализа (область определения функции, ее нули, экстремумы, точки перегиба и т. д. [15]) приводит к построению графика (рис. 2).

Методами математического анализа уравнения (7) легко показать, что точка безразличия эффекта финансового рычага для отчетного периода Е (см. рис. 2) перемещается в точку ^ в прогнозном периоде, причем положение точки Е определяется условием = q0 (как совместное решение уравнений, определяющих прямые 1 и 2), а положение точки ^ — условием Rпр = q1 (как совместное решение уравнений, определяющих прямые 3 и 4).

Зависимость рентабельности собственного капитала от прироста заемного капитала в прогнозном периоде с математической точки зрения будет нелинейной. В этом нетрудно убедиться, если в уравнении (7) обозначить постоянные величины в прогнозном периоде, т.е. Rпй (1 - И) = а , (Лпр- %)(1 - N) = Ь , (Лпр- ^)(1 - N) = с, ЗК0 = а, СК1 + ЗК0 + А ЗК1 = К, а функции Лж = у,

ьзк, = х, ск = к - й - х. 1

Тогда уравнение (7) запишется в виде нелинейной функции

, й х

у = а + Ь

3

4

1 — ЗК

Рис. 2. Эффект финансового рычага в прогнозном периоде: = 0; 2

= a + -

- + c-

K - d - x K - d - x

bd + cx K-d-x

i) при x = x = 0 y(0) = a +

K-

R

CKj

RnPl + (RnPl - q)

CK

(1 - N);

- ЗК0 > 0; 3 -

ЗК0 > 0, A3Kj > 0; 4 -

ЗК0 > 0, A3K2 > A3Kj

lim y — -да , lim y — +да , что означает неогра-

x—Kx2 + 0 x—x2-0

ниченный рост рентабельности собственного капитала при отсутствии у организации собственных средств;

3) производная функции dy c(К - d) + bd dx

> 0,

(8)

Исследование функции у = f (х) в форме уравнения (8) известными методами математического анализа [15] дает следующие результаты:

ьа

> 0 , что соот-

ветствует значению рентабельности собственного капитала в отчетном периоде

2) при х = х2 = К - й (т.е. при СК1 = 0) функция претерпевает разрыв второго рода, причем

(К - й - х)2

что означает отсутствие каких-либо экстремумов и монотонный рост функции на интервале от х = 0 до х = х2.

Аналогичными методами можно исследовать поведение функции (8) при изменении процентной ставки по кредиту. В результате график функции К _ у) будет иметь вид, представленный на рис. 3.

Графики (см. рис. 3) свидетельствуют также о влиянии стоимости заемных средств на рост Яск в случае, если процентные ставки по заемным средствам в отчетном г0 и прогнозном г1 периодах одинаковы (г0 = г = г) и их значения представляют возрастающую последовательность.

Учет такого влияния станет особенно важным при росте объема заемных средств, используемых организацией для обеспечения своей финансово-хозяйственной деятельности. В этом случае рост рентабельности собственного капитала организации будет, естественно, ограничиваться ростом ставок по кредитам, которые банки вынуждены повышать в связи с возрастающим риском невозврата долгов.

д

СК,

д

„а)

г(1) < г(2) < г(3)

Д2)

СК1 = 0

.д ЗК

Рис. 3. Зависимость рентабельности собственного капитала от прироста заемных средств в прогнозном периоде

Зависимость ставки г по кредиту от прироста заемного капитала г = g(ЗK) может иметь различный характер, при этом, очевидно, математический анализ уравнения финансового рычага заметно усложнится. Проведем, например, такой анализ для уравнения (1), если зависимость имеет линейный вид

г = g(ЗK) = к0ЗК + го, (9)

где г0 — начальная ставка по кредиту;

k0 — размерный коэффициент, показывающий рост ставки на единицу прироста заемных средств.

Тогда уравнение (1) примет вид

ЗК

Яск -

Я „

(Япр - ^ЗК - г0)

СК

(1 - Ю. (10)

Математический анализ уравнения (10) показывает, что функция ЛСК = У(ЗК) является нелинейной и имеет экстремум, который определяется условиями:

d(Rcк) _ Rпp - (2к0ЗК-

~го)

d (ЗК)

откуда следует, что

Rпр - г

СК

= 0,

ЗК(0) =

2к

Для определения типа экстремума необходимо определить

d2 (Яск)

2^0 СК

■< 0.

d(ЗK) ЗК=ЗК<0)

Это означает, что в точке ЗК = ЗК0) функция ЛСК = У(ЗК) имеет максимум. Полученные резуль-

таты позволяют сделать вывод о том, что зависимость рентабельности собственного капитала от объема кредита ЗК будет иметь не только восходящий участок (положительный эффект финансового рычага), но и нисходящий участок, который соответствует уменьшению показателя ЛСК(отрицательный эффект финансового рычага, рис. 4).

Горизонтальная линия (см. рис. 4) соответствует неизменности величины рентабельности собственного капитала организации при бездолговом финансировании (ЗК = 0) и прочих равных условиях.

Анализ выражения (1) при условии (9) проведен здесь потому, что математический вид функции (10) является самым простым, что делает относительно простым и его анализ. Очевидно, что уравнение эффекта финансового рычага в прогнозном периоде с учетом условия (9) станет заметно сложнее выражения (7) с точки зрения его анализа на экстремум и потребует дополнительного исследования. В данной работе такая задача не ставилась, но в качестве косвенного подтверждения выводов относительно роста стоимости заемных средств в зависимости от их объема в прогнозном периоде и его влияния на рентабельность собственного капитала можно привести пример графика функции RCKí = / (АЗК1) в случае, если зависимость г = g(ЗK) имеет вид

(

г = г

1 +

АЗК

ЗК

\

а числовые данные для расчета

0 У

необходимых параметров уравнения (7) следующие: Пэк = 50 ; г0 = 0,1; г1 = 0,1; N = 0,2; СК1 = 100; ЗК0 = 0; АЗК1= 0; Какт1 = 100; пж = 5; qо = 0,263797; q1 = 0,263797.

Значения коэффициентов q0 и q1 найдены для годовой ренты постнумерандо с ежегодными платежами по ставкам г0 и г1 соответственно. Пример графика представлен на рис. 5.

Приведенные результаты получены с помощью объективного математического анализа уравнений, вывод которых основан на экономическом содержании изучаемого явления. Эти результаты позволяют понять особенности эффекта финансового рычага, который выражается в росте показателя эффек-

0

^CK

3K = 0

\ 3K > 0

->

3K

R

3K(0)

Рис. 4. Положительный и отрицательный эффекты финансового рычага Л = f(Д£Д), г = g(Д^Д), NK + QK + = const

0,6

0,5 •

0,4-

0,3-

0,2 ■

0,1

_____ —-- '—

-— \

\ \

................N............... \

.................................К

1 0 20 30 ---R (ЗК > 0)

40

50

R (ЗК = 0)

CKi '

60

70

рис. 5. Пример влияния роста стоимости заемных средств на рентабельность собственного капитала

тивности финансово-хозяйственной деятельности организации при выгодном привлечении заемных средств с учетом всех параметров ее кредитной истории. Как следует из уравнения (7), в прогнозном периоде такой эффект может дать дополнительный прирост рентабельности собственного капитала по сравнению с отчетным периодом, однако, в любом случае должно выполняться условие (2) — постоянство общей суммы всех видов капитала, используемого организацией для финансирования своей деятельности как в отчетном, так и в прогнозном периоде.

Возникает естественный вопрос: будет ли наблюдаться эффект финансового рычага в случае, если условие (2) в отчетном или (и) в прогнозном

периоде финансово-хозяйственной деятельности организации не будет выполняться?

Пример проведенного в данном исследовании экономико-математического анализа эффекта финансового рычага показывает, что ответ на этот вопрос, очевидно, потребует дополнительного исследования, результаты которого авторы надеются привести в следующей статье по этой теме. В представленной работе важно было рассмотреть условия, при которых можно использовать известное уравнение (1) для анализа текущего финансового состояния организации, и те изменения, которые необходимо в него внести для использования в прогнозном периоде.

Полученные результаты создают необходимую экономико-математическую основу при использовании эффекта финансового рычага как важного инструмента управления финансово-хозяйственной деятельностью организации и формировании экономико-математических моделей, связанных с построением прогнозного баланса.

Список литературы

1. Бланк И.А. Финансовый менеджмент: учеб. курс. 2-е изд., перераб. и доп. Киев: Эльга, Ника-Центр, 2004. 647 с.

2. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: в 2 т. / пер. с англ. под ред. В.В. Ковалева. СПб: Экономическая школа, 2001. Т. 1. 497 с.

3. Донцова Л.В., Никифорова Н.А. Анализ финансовой отчетности: учебник. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Дело и сервис, 2006. 368 с.

4. Ефимова О.В. Финансовый анализ: современный инструментарий для принятия экономических решений: учебник. 2-е изд. М.: Омега-Л, 2010. 350 с.

0

0

5 . Ионова А.Ф., Селезнева Н.Н. Финансовый анализ: учебник. М.: Проспект, 2006. 624 с.

6. КирилловЮ.В., Назимко Е.Н. Многокритериальная модель оптимизации структуры капитала // Экономический анализ: теория и практика. 20 i i. № 32. С. 57— 63.

7. Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. М.: Финансы и статистика, 2002. 768 с.

8. Ковалев В.В. Финансовый менеджмент: теория и практика. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Проспект, 2007. 1024 с.

9. Комплексный экономический анализ хозяйственной деятельности: учебник / Л.Т. Гиляровская [и др.]. М.: Проспект, 2006. 360 с.

10 . Лысенко Д.В. Экономический анализ. М.: Проспект, 2007. 376 с.

11. Любушин Н.П. Экономический анализ. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. 575 с.

12 . Савицкая Г.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия: учеб. пособие. Минск: Новое знание, 2002. 704 с.

13. СелезневаН.Н., ИоноваА.Ф. Финансовый анализ. Управление финансами: учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. 639 с.

14. Финансовый менеджмент: теория и практика / под ред. Е.С. Стояновой. 5-е изд. М.: Перспектива, 2005. 656 с.

15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1962. 611 с.

16 . Четыркин Е.М. Финансовая математика: учеб. для вузов. 9-е изд. М.: Дело АНХ, 2010. 400 с.

17. Шеремет А.Д. Комплексный анализ хозяйственной деятельности. М.: Инфра-М, 2006. 415 с.

Financial analytics: science and experience Mathematical methods of analysis

ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)

ECONOMIC-MATHEMATICAL ANALYSIS OF FINANCIAL LEVERAGE EFFECT

Yurii V. KIRILLOV, Elena N. NAZIMKO

Abstract

The article deals with the analysis of the effect of financial leverage in different conditions of economic activities of an organization The paper provides the mathematical substantiation of the economic relations, which describe this effect, as well as the conditions under which it arises The authors make the mathematical analysis of an influence of the main parameters of the leverage on the performance indicator of the financial and economic activities of an organization

Keywords: financial leverage, loan capital, return on equity, economic profit, forecast period, economic-mathematical model

References

1. Blank I.A. Finansovyi menedzhment [Financial management: a textbook]. Kiev, El'ga, Nika-Tsentr Publ., 2004, 647 p.

2. Brigham E.F., Gapenski L.C. Finansovyi menedzhment [Intermediate Financial Management: a manual]. St. Petersburg, Ekonomicheskaya shkola Publ., 2001, vol. 1, 49 p.

3. Dontsova L.V., Nikiforova N.A. Analiz finans-ovoi otchetnosti [An analysis of financial statements]. Moscow, Delo i servis Publ., 2006, 368 p.

4 . Efimova O . V. Finansovyi analiz: sovremennyi instrumentarii dlya prinyatiya ekonomicheskikh resh-enii [Financial analysis: the modern tools for making economic decisions]. Moscow, Omega-L Publ., 2010, 350 p .

5. Ionova A.F., Selezneva N.N. Finansovyi analiz [Financial analysis: a textbook]. Moscow, Prospekt Publ., 2006, 624 p.

6. KirillovYu.V., Nazimko E.N. MnogokriteriaTnaya model' optimizatsii struktury kapitala [A multi-criterion model of optimization of capital structure]. Ekonom-icheskii analiz: teoriya ipraktika — Economic analysis: theory and practice, 2011, no. 32, pp. 57— 63.

7. Kovalev V.V. Vvedenie v finansovyi menedzh-ment. [An introduction to financial management]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2002, 768 p.

8. Kovalev V.V. Finansovyi menedzhment: teoriya i praktika. [Financial management: theory and practice]. Moscow, Prospekt Publ., 2007, 1024 p.

9. Kompleksnyi ekonomicheskii analiz khozyaist-vennoi deyatel 'nosti [The comprehensive economic analysis of the economic activities: a textbook]. Moscow, Prospekt Publ., 2006, 360 p.

10. Lysenko D.V. Ekonomicheskii analiz [An economic analysis]. Moscow, Prospekt Publ., 2007, 376 p.

11. Lyubushin N.P. Ekonomicheskii analiz [An economic analysis]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2010, 575 p.

12. Savitskaya G.V. Analiz khozyaistvennoi deyatel 'nosti predpriyatiya [An analysis of the economic activities of an enterprise]. Minsk, Novoe znanie Publ., 2002, 704 p.

13. Selezneva N.N., Ionova A.F. Finansovyi analiz. Upravlenie finansami [Financial analysis. Financial management]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2006, 639 p.

14. Finansovyi menedzhment: teoriya i praktika [Financial management: theory and practice]. Moscow, Perspektiva Publ., 2005, 656 p.

15. Fikhtengol'ts G.M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya [The course of differential and integral calculations]. Moscow, Nauka Publ., 1962, 611 p .

16. Chetyrkin E.M. Finansovaya matematika [The financial mathematics]. Moscow, Delo ANKh Publ., 2010,400 p.

17. Sheremet A.D. Kompleksnyi analiz khozyaistvennoi deyatel 'nosti [The complex analysis of economic activities]. Moscow, Infra-M Publ., 2006, 415 p.

Yurii V. KIRILLOV

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation kirillov_yu@ngs.ru Elena N. NAZIMKO Novosibirsk Humanitarian Institute, Novosibirsk, Russian Federation enn2003@yandex . ru

Acknowledgments

The work was supported by the grant for the project "Development of intelligent information technologies, mathematic models and algorithms of optimization to increase the efficiency of production and management of enterprises in the innovation economy".