CC BY
199
МЕЛЬНИКОВ Юрий Борисович
Кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой
прикладной математики
Уральский государственный экономический университет
620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактный телефон: (343) 221-27-37 e-mail: UriiMelnikov58@gmail.com
ОНОХИНА Елена Александровна
Кандидат экономических наук, доцент кафедры прикладной математики
Уральский государственный экономический университет
620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактный телефон: (343) 221-27-37 e-mail: onohina@yandex.ru
ШИТИКОВ Сергей Александрович
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики
Уральский государственный экономический университет
620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45 Контактный телефон: (343) 221-27-37 e-mail: sashh@bk.ru
Экономическое моделирование: алгебраический подход1
На концептуальном уровне рассматривается алгебраический подход к построению экономических моделей, состоящий из трех компонентов: системы базовых моделей; системы типовых преобразований и комбинаций моделей; механизма аппроксимирования, позволяющего построить достаточно адекватную модель, используя базовые модели, типовые преобразования моделей и типовые комбинации моделей. Полноценная реализация алгебраического подхода к построению экономических моделей, концепция которой представлена в статье, должна, во-первых, обеспечить эффективным механизмом создания новых экономических моделей как экономистов-исследователей, так и бизнес-структуры; во-вторых, создать условия для многопланового и многогранного структурирования всей совокупности экономических моделей. Выделены семь блоков базовых экономических моделей: 1) структур субъектов экономической деятельности; а
2) взаимодействия субъектов экономической деятельности; 3) свойств субъектов эко- | номической деятельности; 4) функций субъектов экономической деятельности; 5) эко- д номических процессов; 6) управления субъектами экономической деятельности и их г
компонентами; 7) поведения субъектов экономической деятельности. Первые пять из и них кратко описаны в работе, приведены примеры представления моделей в форме ти- я
повых комбинаций базовых моделей. §
я
JEL classification: A10, B40, «0, C60 °
Ключевые слова: экономическое моделирование; классы экономических моделей; субъект экономической деятельности; алгебра моделей; теория моделирования.
< о
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-0600240.
Введение
Метод моделирования является основой научной, технической и экономической деятельности. Моделирование включает в себя как минимум три этапа: построение модели, ее исследование, интерпретация результатов. Обычно особые трудности вызывает этап построения новой модели, поэтому большинство научных работ посвящены исследованию, применению или корректировке уже известных моделей. К настоящему времени разработано огромное число разнообразных моделей и их вариантов [1; 3-5; 8-11], но, к сожалению, всю эту совокупность моделей сложно назвать стройной системой, так как комбинирование этих моделей вызывает сложности. Увеличение числа новых моделей только усугубляет ситуацию. Цель данной работы состоит в том, чтобы на концептуальном уровне рассмотреть вариант решения указанной проблемы на основании предложенного нами1 алгебраического подхода к построению модели. Для достижения этой цели в работе решаются следующие задачи:
1) выделить составляющие алгебраического подхода к экономическому моделированию;
2) выделить и схематически описать классы экономических моделей как основу для формирования системы базовых экономических моделей;
3) привести примеры моделей из различных классов и примеры алгебраического представления известных экономических моделей;
4) привести примеры успешного применения алгебраического подхода к моделированию в областях деятельности, отличных от экономики.
Алгебраический подход к моделированию
В качестве средства преодоления некоторой эклектичности существующей совокупности моделей и инструмента создания новых моделей мы предлагаем алгебраический подход к построению моделей, который основан на использовании трех компонентов: совокупности базовых моделей; системы типовых преобразований моделей и типовых комбинаций моделей (операций алгебры моделей); механизма аппроксимирования, обеспечивающего создание модели, достаточно адекватно описывающей моделируемый объект (прототип). По поводу термина «алгебраический подход» заметим, что слова «алгебра» и «математика» далеко не синонимы. Во-первых, у нас речь идет не только о математических моделях. Модели могут относиться к любой области, например быть чисто экономическими. Во-вторых, наша трактовка термина «алгебраический подход» основана на понятии «универсальная алгебра», т. е. множестве с набором некоторых алгебраических операций, и не имеет ничего общего с такой трактовкой этого термина, как «модель с системой отношений в виде алгебраических уравнений и неравенств». При этом сами операции построения новых моделей по предназначению аналогичны применяемым в других алгебрах: алгебре чисел, алгебре функций, алгебре множеств и т. д. В алгебре моделей с моделями можно выполнять некоторые действия (обогащение, редуцирование, композиция и др. [6]), аналогично тому, как преобразуются и комбинируются числа и функции с помощью операций «сложение», «умножение» и др.
Большинство привычных определений модели основано на требовании, чтобы образ «имитировал» прототип, был «подобен» ему. Однако на практике далеко не всегда можно однозначно ответить на вопрос, достаточно ли модель «похожа» на прототип, в каком именно смысле образ «подобен» прототипу, всегда ли можно доверять информации о моделируемом объекте, полученной путем исследования его модели. В результате даже в случае, когда две модели достаточно хорошо описывают прототип,
1 Мельников Ю. Б. Алгебраический подход к созданию учебных презентаций по математике // Образование и наука. 2011. № 5(84). С. 129-141.
комбинация этих моделей может оказаться неадекватной. Кроме того, необходима система, которая позволяла бы ответить на вопрос о том, насколько хорошо модель описывает прототип: насколько подробно, насколько достоверны результаты, насколько точны полученные числовые значения и т. п. К тому же отождествление модели с образом моделируемого объекта не отражает в явном виде связей между прототипом и образом. Например, нельзя сказать, является ли уравнение у = x + 2у моделью спроса, описывающей повышение интереса к некоторому товару, если не объяснен смысл переменных x и у, не описано содержательное толкование производной функции у в данном случае, не обосновано представление исследуемого отношения в виде представленного равенства. Поэтому мы предложили формально-конструктивную трактовку модели [6. С. 21-22], в рамках которой под моделью понимается система из двух компонентов, называемых интерфейсным и модельно-содержательным. Здесь интерфейсный компонент представляет систему обмена информацией между прототипом и образом (описание переменных, правила перевода информации с языка прототипа на язык, используемый для описания образа и наоборот). Модельно-содержательный компонент формализует образ моделируемого объекта (обычно именно он отождествляется с моделью) и представляет собой систему их трех составляющих:
1) носителя модели, т. е. набора элементов, из которых состоит образ с точки зрения данной модели;
2) системы характеристик, т. е. функций, определенных на носителе модели (функции с числовыми значениями называются величинами или скалярными величинами);
3) системы отношений, определенной на объединении носителя и множества характеристик.
В данном определении модели отсутствует требование о «подобии» между образом и прототипом, о том, в какой степени можно информацию об образе применять к прототипу и т. п. Но без этого требования моделирование бессмысленно! Однако данное обстоятельство не является недостатком нашей теории моделирования [6], поскольку неотъемлемо частью этой теории является теория адекватности [7]. Анализ показал, что для оценки качества модели применяется ее сравнение с некоторой эталонной моделью: например, данные теоретического расчета сравниваются с результатами измерений. При этом измерение проводится тоже в рамках некоторой модели: например, суждение о величине электрического напряжения, давления воды или газа, скорости автомобиля, делается по величине угла между стрелкой прибора в момент измерения и «нейтральным» ее положением. Таким образом, эталонная модель, как правило, не совпадает с прототипом. Поэтому для оценки того, насколько хорошо (подробно, точно, достоверно и т. д.) описан прототип в данной модели, строится модель адекватности. Носитель модели адекватности состоит из упорядоченных пар моделей (оцениваемая модель; эталонная модель), а характеристики этим парам моделей сопоставляют некоторые значения из частично упорядоченного множества, с помощью которых оценивается качество моделирования. Если характеристика адекватности предназначена для оценки соответствия формальным правилам, например соответствию правилам грамматики языка, в терминах которого сформулирована модель, то такая характеристика адекватности называется характеристикой корректности. Если характеристика адекватности предназначена для содержательной оценки качества моделирования (например, близости значений величин, предсказанных моделью, и значений, полученных непосредственным измерением), то такая характеристика адекватности называется характеристикой достоверности.
Алгебраический подход к экономическому моделированию: базовые модели
В работе [6] рассмотрено большое число операций алгебры моделей: композиция, обогащение, развертывание и др. Для успешного применения алгебраического подхода к моделированию экономических процессов необходимо разработать механизмы
аппроксимирования и аппарат формирования системы базовых экономических моделей. Набор моделей, которые могут рассматриваться как базовые, может изменяться для разных классов экономических задач, подобно ситуации с совокупностями элементарных исходов в теории вероятностей. В данной работе мы ограничимся выделением блоков моделей субъектов экономической деятельности (СЭД) с кратким их описанием. Отметим, что эти блоки могут пересекаться.
При описании базовых моделей мы исходим из того обстоятельства, что в большинстве случаев отношения, применяемые в моделях, можно разделить на три класса:
1) унарные отношения: отнесение элемента носителя или характеристики к определенному типу;
2) бинарные отношения частичного порядка: сравнение по определенным показателям;
3) бинарные отношения эквивалентности (разбиение на классы и др.).
Мы будем основываться на принципах системного подхода и формально-конструктивной трактовки модели.
Построение модели субъекта экономической деятельности (СЭД) сопровождается выделением его составляющих, установлением характеристик и отношений. Поэтому модели субъекта экономической деятельности естественно назвать структурными.
В соответствии с принципами системного подхода каждый СЭД следует рассматривать и как элемент более общей системы, т. е. как элемент носителя модели следующего уровня. Итак, рассмотрим модели с носителем, состоящим из СЭД.
Если в модели с носителем из СЭД рассматриваются характеристики, являющиеся в математическом смысле функциями одного аргумента (значением этого аргумента может быть только СЭД), то эта модель описывает либо функции1 субъектов экономической деятельности, если эта характеристика описывает продукт, востребованный другими субъектами ЭД (например, если 5 т продукции предприятия имеет или гарантированно найдет потребителя, то поставка этой продукции является функцией данного предприятия), либо свойства субъектов ЭД (например, демократический характер управления является свойством, а не функцией). В этом контексте можно сказать, что функция2 СЭД - это реализованное свойство. Если же в модели с носителем из СЭД рассматриваются характеристики, являющиеся в математическом смысле функциями более одного аргумента (значениями этих аргументов может быть только СЭД), то эта модель описывает взаимодействие субъектов экономической деятельности.
Эти виды моделей носят статический характер. Динамику экономической деятельности отражают модели экономических процессов. При этом управление процессами следует выделить в отдельный блок моделей, причем по уровню учета целенаправленности деятельности СЭД естественно вычленить модели управления СЭД (с четким обозначением управляющих и управляемых СЭД) и модели поведения СЭД (управление деятельностью других СЭД теоретико-игрового характера, т. е. за счет выбора стратегии деятельности).
Таким образом, мы выделили следующие блоки экономических моделей (вообще говоря, этот список не является классификацией).
I. Структурные модели субъектов экономической деятельности.
II. Модели взаимодействия субъектов экономической деятельности.
III. Модели свойств субъектов экономической деятельности.
IV. Модели функций субъектов экономической деятельности.
V. Модели экономических процессов.
1 Здесь термин «функция» понимается не в математическом смысле.
2 Здесь термин «функция» понимается не в математическом смысле.
VI. Модели управления субъектами экономической деятельности и их компонентами.
VII. Модели поведения субъектов экономической деятельности.
В данной работе мы дадим краткий абрис моделей из классов 1-У
I. Модели субъектов экономической деятельности. Носитель этих моделей состоит из компонентов субъектов экономической деятельности: система управления, система производства, система обеспечения логистики, система продаж (включая рекламу) и др. Для экзоструктурных моделей рассматриваются «внешние субъекты»: другие участники экономической деятельности, госорганы, социальные институты и организации и др. В рамках моделей данного класса рассматриваются такие характеристики, как функции, сопоставляющие субъектам экономической деятельности (компонентам) уровень иерархии, наличие или отсутствие отношений с другими компонентами, предназначение, поведенческие, технологические, институциональные особенности. В моделях субъектов экономической деятельности рассматриваются такие отношения, как подчиненность, место в производственной цепочке, сравнение по различным критериям (важность, влияние на будущее субъекта экономической деятельности) и т. д. В качестве примера рассмотрим модель производственной структуры предприятия (рис. 1).
Рис. 1. Модель производственной структуры предприятия
Носитель модели, представленной на рис. 1, состоит из компонентов производственной структуры: основное производство, ремонтное хозяйство, энергетическое хозяйство, транспортное хозяйство, складское хозяйство, инструментальное хозяйство, побочное производство. В качестве характеристик рассматриваются отображения, сопоставляющие компонентам производственной структуры: а) их производственные функции; б) численный состав соответствующих подразделений; в) экономические показатели соответствующих подразделений (показатели производительности труда, выручка, уровень доходов и др.). Этот пример может рассматриваться как основа применения алгебраического подхода к моделированию. Используя модели в качестве операндов (т. е. элементов, над которыми производятся некоторые действия), можно получить другие модели (более сложные, лучше описывающие некоторые экономические процессы). Напомним, что наша трактовка понятия «алгебраический подход к моделированию», описанная выше, не имеет отношения к моделированию с системой отношений в виде алгебраических равенств и неравенств, модель может быть не математической.
II. Модели взаимодействия субъектов экономической деятельности. Носитель этих моделей состоит из моделей субъектов экономической деятельности. Характеристиками являются функции, сопоставляющие упорядоченным наборам из п субъектов экономической деятельности некоторые числовые и нечисловые параметры: объем
финансовых потоков между субъектами; объем выпущенной продукции; используемой другими субъектами и/или объем оказанных услуг; количество используемых субъектом ресурсов, созданных другими СЭД из рассматриваемого набора за тот или иной период времени; место в технологической цепочке и др.
В рамках моделей данного типа рассматриваются такие отношения, как подчиненность, управление, партнерство, договорные отношения, товарообмен, правовое регулирование, технологический процесс, трудовые отношения, отнесение субъекта к тому или иному классу субъектов по различным критериям (малый, средний, крупный бизнес; критерий «экологичности» и т. д.), положение на рынке (монополия и т. д.). Рассматриваются также финансовые отношения: потребителя и производителя; предпринимателя и наемного работника; государственное регулирование; экономические отношения государственного характера - уплата и сбор налогов, установление социальной справедливости (перераспределение произведенного продукта), проведение экономической политики.
III. Модели свойств субъектов экономической деятельности. Моделирование свойств субъектов экономической деятельности преследует те же цели, что и моделирование в целом - прогнозирование; изучение закономерностей; выявление новых свойств, направленных на решение определенных проблем, связанных с данным свойством субъекта. Например, моделирование системы управления качеством продукции может быть направлено на повышение качественных характеристик товарной продукции, снижение потерь в процессе производства, а моделирование инфляции помогает исследовать влияние инфляции на производство и потребление.
Мы говорим о модели свойств СЭД в случае, когда в ней рассматриваются характеристики, являющиеся в математическом смысле функциями одного аргумента (значением этого аргумента может быть только СЭД). Причем эта характеристика описывает продукт, не потребляемый другими С ЭД в данный момент или не предназначенный для потребления в принципе. Например, характеристика, сопоставляющая государству тип его устройства (допустим, «парламентская демократия»), описывает свойство государства, а характеристика, сопоставляющая определенное предназначение государства (допустим, «защищать граждан от внешней угрозы»), описывает одну из его функций, поскольку имеются конкретные «потребители» этого предназначения.
Так, для предприятий, бизнес- и государственных структур к моделям свойств могут быть отнесены функции, сопоставляющие этой структуре организационно-правовую форму, маркетинговую деятельность, объем и характер издержек, применяемую технологию, систему управления, систему планирования, логистическую систему, систему управления качеством продукции, характер управления персоналом, сбытовую политику, характер планирования инвестиций. К свойствам государственной экономики можно отнести функции, отражающие уровень инфляции, безработицы и занятости, платежный баланс, темпы экономического роста, платежеспособность государства по долгам, уровень коррупции, среднюю продолжительность жизни граждан, среднюю, минимальную и максимальную заработную плату, пенсионную систему и многое другое.
Примерами отношений экономической системы являются: включение одного свойства в другое в качестве компонента; причинно-следственные связи между различными свойствами; совместимость-несовместимость свойств; сравнимость выраженности различных свойств; корреляция между выраженностью различных свойств; совокупность субъектов экономической деятельности, обладающих данным свойством.
Примерами свойств экономической системы являются функции, сопоставляющие субъекту экономической деятельности (точнее, модели этого субъекта):
• оценки устойчивости к конкретным видам внешних воздействий и внутренних изменений;
• характер экономических взаимоотношений (рыночная, административно-командная, традиционная, смешанная);
• характер обмена информацией (вертикально ориентированная, горизонтально-ориентированная);
• характер взаимоотношений с внешними объектами (автаркия или ориентированная на международный обмен, потребитель-поставщик определенной продукции),
• разные оценки уровня и характера развития;
• систему основ отношений между людьми (например, светский или религиозный характер этих отношений);
• характер и особенности основного продукта;
• разные оценки уровня жизни и ориентированности на развитие личности (уровень доходов, продолжительности жизни, уровень удовлетворенности, уровень образованности, уровень расходов на образование, здравоохранение, культуру и др.),
• разные оценки уровня и характера налогов и др.
IV. Модели функций субъектов экономической деятельности. Носитель модели состоит из субъектов экономической деятельности.
Как мы уже отмечали выше, функция СЭД - это характеристика СЭД, которая, во-первых, в математическом смысле является функцией одной переменной и, во-вторых, значением этой характеристики является продукт или услуга, для которых имеется потребитель. Так, функции предприятий и бизнес-структур - это производство материальных объектов, производство услуг, управление, социальные функции; медицинского учреждения - лечение (оздоровление); вуза - образование; государства - управление жизнью страны (обеспечение безопасности и государственное регулирование).
Заметим, что одна и та же характеристика в разных моделях может выступать в разных ипостасях: в одном случае - это функция субъекта, в другом - его свойство. Так, механизм планирования для некоторых субъектов следует отнести к свойствам, а для других субъектов (например, консалтинговая фирма) это будет функцией.
Кроме того, каждой функции СЭД соответствуют характеристики, сопоставляющие субъекту оценки уровня обязательности для него данной функции, оценки качества и полноты выполнения этой функции, оценки последствий выполнения этой функции (улучшение-ухудшение имиджа субъекта экономической деятельности, краткосрочные и долгосрочные последствия и др.), различные оценки влияния этой функции на другие СЭД, на регион в целом.
Рассмотрим пример модели функций государства (рис. 2).
Рис. 2. Модель функций государства
Носителем данной модели являются государственные структуры (например, министерства и ведомства), за которыми закреплены соответствующие функции, такие как обеспечение безопасности от внешних угроз, социальная защита населения, управление экономикой через реализацию промышленной, кредитно-денежной
и бюджетно-налоговой политики. Все эти функции являются характеристиками модели, и значения этих характеристик востребованы конкретными потребителями.
На объединении носителя и множестве характеристик определены такие отношения, как уровень скоординированности, совместимость; степень выполненности поставленных задач, наличие побочных эффектов, корреляция. Так, обеспечение социальной защиты населения является следствием стабильного развития экономики и удовлетворительного уровня управления ресурсами, а стабильное развитие экономики возможно лишь в условиях обеспечения безопасности и определенного уровня правового регулирования.
V. Модели экономических процессов. Как мы отмечали выше, носитель этих моделей состоит из субъектов экономической деятельности. Рассмотрим различные виды взаимодействия между ними: акт купли-продажи, транзакции, получения-выплаты кредита, обмен (товарами, услугами, информацией и др.), проведение переговоров, заключение-расторжение контрактов, получение-выплата (налога, дивидендов и др.). Каждый из видов взаимодействия представляет собой процесс, которому соответствуют характеристики, сопоставляющие набору СЭД некоторый показатель этого процесса, например объем ресурсов, затрачиваемых или создаваемых в ходе процесса, оценки уровня регламентированности процесса, уровней управляемости, эффективности, необходимости процесса, уровня соответствия определенной схеме управления, отображения, сопоставляющие процессам исполнителей типовых ролей, предусмотренных процессным подходом к анализу деятельности (владелец процесса, исполнитель процесса и др.), оценки процесса в рамках 8ШОТ-анализа.
Отношения: отнесение процесса взаимодействия конкретных субъектов ЭД к классу, например к классу внутренних-внешних процессов, явных-скрытых, открытых-закрытых, стабильных-переходных, базовых-периферийных; отнесение к типу, обусловленное цивилизационными признаками (авторитарная или демократическая система принятия решений, монетарные-административные), эквивалентности и частичного порядка.
В качестве примеров моделей процесса рассмотрим одну из моделей инфляции.
Одна из важнейших характеристик акта купли-продажи - цена Ц, за которую данный покупатель купил товар у данного продавца. Рассмотрим некоторую группу товаров С. Будем считать время дискретным, причем на протяжении «кванта времени» любой парой (покупатель; продавец) совершается не более одного акта купли-продажи любого товара ^ из С. К модели, состоящей из СЭД, с указанной характеристикой Ц применим «операцию» алгебры моделей, называемую «агрегатирование». Получим модель, носитель которой N состоит из некоторых множеств, а именно: положим, что для любого товара ^ из С и момента времени t множество МЩ является элементом множества N тогда и только тогда, когда М[] состоит из всех тех упорядоченных пар (покупатель; продавец), которые провели акт купли-продажи товара ^ в момент t. На N с помощью характеристики Ц индуцируем характеристику Цср(^, t1, - среднюю по всему множеству М[] стоимость покупки товара g, где t t2 ]. Возьмем отрезки времени t2] и где t2 < t3. Пусть для каждого вида товара g зафиксировано не-
которое его количество а. Тогда для списка товаров С и фиксированных их объемов а,, утвержденных руководящим органом, повышение стоимости товаров из группы С описывается индексом потребительских цен, вычисляемым по формуле (напомним, что мы сейчас считаем время дискретным):
Ха, • Цф(, > и
СР1 = ^С--100%.
Инфляция = СР1 - 100.
Как отмечено выше, мы выделили еще два класса моделей: VI) модели управления субъектами экономической деятельности и их компонентами; VII) модели поведения субъектов деятельности (например, клиентов, членов различных подразделений компании и др.). Однако описание этих моделей выходит за рамки данной работы, поскольку требует анализа различных трактовок термина «стратегия» и моделей этого понятия, анализа понятия «адекватность модели» и др.
В качестве примера декомпозиции математической модели с последующей аппроксимацией этой модели в виде комбинации некоторых базовых моделей (анализ-синтез) рассмотрим известную модель производственных поставок [2].
Предприятие выпускает некоторый товар. Возможности производства превышают спрос на данный товар. Мощность производственной линии Р - количество единиц товара, выпускаемых производственной линией за месяц. Соответственно эта величина равна скорости равномерно поступающего с производственной линии на склад товара. При этом спрос, предъявляемый на данный товар, составляет В единиц в месяц, т. е. также является равномерным. Излишки произведенного товара равномерно поступают на склад. Чтобы избежать переполнения склада и снизить совокупные издержки, в некоторый момент, когда произведено Q единиц товара, производственная линия на некоторое время останавливается. Когда товар на складе заканчивается, линия вновь начинает работать, при этом организационные издержки запуска производственной линии составляют Ь (рублей). Известны удельные издержки хранения в течение месяца. Определить оптимальный размер партии Q, минимизирующий общие затраты.
Совокупные издержки в течение месяца равны сумме организационных издержек и издержек хранения. В этом случае модель полных издержек можно представить в виде композиции двух моделей: нахождения организационных издержек С1 и издержек хранения С2 с дополнительным отношением
С = С1 + С2. (1)
Модель организационных издержек С. Организационные издержки представим в виде С1 = ЬВ, где дробь В показывает, сколько раз за период (месяц) нужно будет
выполнять запуск линии, если объем партии производимого товара будет равен Q.
Модель издержек хранения в случае равномерного расходования товара. Пусть линейная функция у = /(О задает количество хранящегося на складе продукта в момент времени t при равномерном расходовании от Я до 0 за время Т; И - стоимость хранения 1 ед. продукта в течение 1 малой ед. времени At. Разобьем отрезок [0, Т] на отрезки At¡, длиной Дt и выберем из каждого интервала по точке Тогда стоимость хранения С2 при достаточно мелком разбиении будет описываться суммой ^/(¡^. )Дt¡И. Перей-
' Т
дя к пределу при условии шахД^ 0, получим определенный интеграл |/^)И^, или
о
ТТ
И/, при этом |/равен площади подграфика линейной функции, т. е. площа-
0 0
ТЯ ТЯ
ди прямоугольного треугольника —^^. Поэтому С2 = И—^^. При этом ИТ - издержки
хранения 1 ед. товара (удельные издержки) в течение всего промежутка времени Т. Мы получили известный результат: издержки хранения товара в течение некоторого времени в случае равномерного его расходования такие же, как если бы постоянно в течение этого времени хранилось его среднее количество. Аналогично и при равномерном пополнении запаса от 0 до Я издержки хранения товара такие же, как если бы его хранилось среднее количество.
Тогда издержки хранения в течение месяца в случае равномерного пополнения
ш
и расходования продукта равны С2 = —где Н - удельные издержки хранения в течение месяца, а Лшах - максимальное количество хранящегося товара. Графически динамика изменения запасов представлена на рис. 3.
Рис. 3. Динамика изменения запасов
Развертывая модель полных издержек C = Cj + C2, получаем
D+^
Q 2
D R
с = b— + H.
(2)
Модель определения величины R - количество товара, образовавшегося на складе
1 max * 1
за время t. Если производится товара Р единиц в месяц, а потребляется D единиц в месяц (спрос), то запасы пополняются равномерно со скоростью (P - D) единиц в месяц. Если t (мес) - время производственной части цикла, то согласно модели равномерного пополнения запаса Rmax = (P - D)t единиц товара на складе. Развертывая модель (2), по-
D (P - D) t
лучаем C = b—I--H.
Q 2
Модель определения величины t - времени работы производственной линии. Производственная линия включается, когда заканчивается запас на складе, и работает до тех пор, пока не будет произведено Q единиц продукции. Если обозначить это время t, то Q = Pt. Тогда время, необходимое для производства Q единиц товара при производительности P единиц в месяц, будет t = —. Еще раз развернув модель полных издержек, полу-D (P - D) Q
чаем C = b— +--—-H. Находим экстремум величины C как функции от Q из усло-
вия C = 0. Получаем оптимальный объем производственной поставки Q* =
2PDb (P - D)H'
Так, если — = 300 шт. в мес.; Ь = 5000 р.; Н = 50 р. на ед. в мес.; Р = 600 ед. в мес., то оптимальный объем партии составит Q ~ 346 ед.; t = 0,58 мес. ~ 17 дней - длительность производственной части цикла; длительность всего цикла (включая пассивную часть)
г = — и 0,87 (мес.) = 26 дн.
г Q
Аналогичным образом любая экономико-математическая модель может быть представлена посредством применения алгебраических операций к более простым, при максимальном развертывании, базовым моделям.
Наша убежденность в перспективности предложенной трактовки алгебраического подхода к построению моделей1 имеет серьезные основания. Этот подход хорошо зарекомендовал себя в математике, где в качестве базовых элементарных моделей рассматриваются основные элементарные функции: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические (в некоторых областях деятельности в их состав включаются функции Бесселя, Неймана, гамма-функция и др.), типовые преобразования обычно сводятся к алгебраическим операциям и суперпозиции функций,а в роли механизма аппроксимирования выступают разложения функции в ряды Тейлора, ряды Фурье по различным ортогональным системам функций, представление в виде сплайнов, интерполяционные многочлены, аппроксимация с помощью метода наименьших квадратов и др. Адекватность аппроксимации оценивается с помощью различных норм, метрик и др.
Алгебраический подход фактически использует современное строительство. В качестве базовых элементов применяются бетонные блоки различных типономиналов, блоки, перемычки, плиты перекрытия и др. Типовые преобразования включают в себя методы отделения частей кирпича, методы соединения элементов друг с другом и др. Наконец, механизм аппроксимирования представлен в строительных нормах и правилах (СНиП), в науке и искусстве архитектуры.
Таким образом, алгебраический подход к построению моделей в различных областях деятельности позволяет рассчитывать на то, что полноценное его развитие в сочетании с развитием теории адекватности [7] превратит процесс создания многих экономических моделей в их конструирование или даже сборку из уже имеющихся моделей с помощью типовых преобразований, используя определенные правила и закономерности. В силу того, что набор типовых преобразований моделей уже достаточно велик, наши основные усилия сосредоточены на формировании системы базовых (элементарных) экономических моделей и механизма аппроксимирования.
Источники
1. Алексеев Г. В., Гончаров М. И., Холявин И. И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация (+CD). СПб. : Гиорд, 2014.
2. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения : учеб. пособие. М. : ИНФРА-М, 2003.
3. Бабешко Л. О. Математическое моделирование финансовой деятельности : учеб. пособие. М. : КноРус, 2011.
4. Вечканов Г. С., Вечканова Г. Р. Макроэкономика. СПб. : Питер, 2008.
5. Кундышева Е. С. Экономико-математическое моделирование. М. : Дашков и Co, 2008.
6. Мельников Ю. Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей. Екатеринбург : Урал. изд-во, 2004.
7. Мельников Ю. Б., Ваганова Г. В., Матвеева Е. П. Об определении и оценке адекватности модели // Образование и наука. 2007. № 6 (10). С. 3-14.
8. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. М. : Физматлит, 2002.
9. Светуньков И. С., Светуньков С. Г. Производственные функции комплексных переменных. Экономико-математическое моделирование производственной динамики. М. : Изд-во ЛКИ, 2008.
10. Ширяев В. В., Ширяев Е. В. Принятие решений. Математические основы. Статические задачи. М. : Либроком, 2016.
11. Taha H. A. Operations Research: An Introduction. 7th ed. Pearson Education Inc., 2007.
1 Мельников Ю. Б. Алгебраический подход к созданию учебных презентаций по математике // Образование и наука. 2011. № 5 (84). С. 129-141.
The Construction of Economic Models: An Algebraic Approach
by Yury B. Melnikov, Yelena A. Onokhina and Sergey A. Shitikov The authors conceptually consider an algebraic approach to the construction of economic models, consisting of the following three components: 1) the system of basic models; 2) the system of standard transformations and combinations of models; 3) the approximation mechanism that allows constructing an adequate model using the basic model and standard transformations and combinations of models. Full implementation of the algebraic approach to the construction of economic models, the concept of which is presented in this paper, should, firstly, provide an efficient mechanism for both economists and business structures developing new economic models, and secondly, establish conditions for a multi-faceted structuring of the entire set of economic models. The authors identified seven classes of basic economic models: 1) structural models of economic entities; 2) models of interaction of economic agents; 3) models of properties of economic entities; 4) models of functions of economic entities; 5) models of economic processes; 6) models of management patterns of economic activities and their components; 7) models of behavior of economic agents. The paper briefly describes the first five of them and gives some examples of representing models in the form of typical combinations.
Keywords: economic modeling; classes of economic models; subject of economic activities; algebra of models; simulation theory.
References: 1. Alekseev G. V., Goncharov M. I., Kholyavin I. I. Chislennoe ekonomiko-matematich-eskoe modelirovanie i optimizatsiya (+CD) [Numerical economic-mathematical modeling and optimization (+CD)]. Saint Petersburg: Giord Publ., 2014.
2. Afanasyev M. Yu., Suvorov B. P. Issledovanie operatsiy v ekonomike: modeli, zadachi, resheniya [The research of operations in economy: models, tasks, solutions]. Moscow: INFRA-M Publ., 2003.
3. Babeshko L. O. Matematicheskoe modelirovanie finansovoy deyatelnosti [Mathematical modeling of financial activities]. Moscow: KnoRus Publ., 2011.
4. Vechkanov G. S., Vechkanova G. R. Makroekonomika [Macroeconomics]. Saint Petersburg: Piter Publ., 2008.
5. Kundysheva Ye. S. Ekonomiko-matematicheskoe modelirovanie [Economic-mathematical modeling]. Moscow: Dashkov i Ko Publ., 2008.
6. Melnikov Yu. B. Matematicheskoe modelirovanie: struktura, algebra modeley, obuchenie postro-eniyu matematicheskikh modeley [Mathematical modeling: structure, algebra of models, teaching the construction of economic models]. Yekaterinburg: Ural Publishing house, 2004.
7. Melnikov Yu. B., Vaganova G. V, Matveeva Ye. P. Ob opredelenii i otsenke adekvatnosti modeli [On definition and assessment of the adequacy of models]. Obrazovanie i nauka - Education and Science, 2007, no. 6 (10), pp. 3-14.
8. Samarskiy A. A., Mikhaylov A. P. Matematicheskoe modelirovanie: Idei. Metody. Primery [Mathematical modeling: Ideas. Methods. Cases]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2002.
9. Svetunkov I. S., Svetunkov S. G. Proizvodstvennye funktsii kompleksnykh peremennykh. Ekono-miko-matematicheskoe modelirovanie proizvodstvennoy dinamiki [Production functions of complex variables. Economic-mathematical modeling of production dynamics]. Moscow: LKI Publ., 2008.
10. Shiryaev V. V., Shiryaev Ye. V. Prinyatie resheniy. Matematicheskie osnovy. Staticheskie zadachi [Decision-making. Mathematical principles. Static tasks]. Moscow: Librokom Publ., 2016.
11. Taha H. A. Operations Research: An Introduction. 7th ed. Pearson Education Inc., 2007. Contact Info:
Yury B. Melnikov, Cand. Sc. (Physics & Math), Ural State University of Economics
Associate Prof., Head of Applied Mathematics 62/45 8 Marta/Narodnoy Voli St., Yekaterinburg,
Dept. Russia, 620144
Phone: (343) 221-27-37
e-mail: UriiMelnikov58@gmail.com
Yelena A. Onokhina, Cand. Sc. (Econ.), Asso- Ural State University of Economics
ciate Prof. of Applied Mathematics Dept. 62/45 8 Marta/Narodnoy Voli St., Yekaterinburg,
Phone: (343) 221-27-37 Russia, 620144
e-mail: onohina@yandex.ru
Sergey A. Shitikov, Cand. Sc. (Physics & Math), Ural State University of Economics Associate Prof. of Applied Mathematics Dept. 62/45 8 Marta/Narodnoy Voli St., Yekaterinburg, Phone: (343) 221-27-37 Russia, 620144
e-mail: sash@bk.ru
