CC BY
106
© Серков Л. А., 2010
СЕРКОВ Леонид Александрович
Кандидат физико-математических наук,
заведующий отделом качества образования и научных исследований,
доцент кафедры информатики
Европейско-Азиатский институт управления и предпринимательства
620142, РФ, г. Екатеринбург, ул. Щорса, 54а Контактный телефон: (343) 240-44-74 e-mail: kpkg94@mail.ru
Экономический анализ процессов слияний и поглощений компаний на основе модели с детерминированным хаосом
Ключевые слова: детерминированный хаос; слияния и поглощения; временные ряды; аттрактор; вейвлет-анализ.
Аннотация. Предложено описание процессов слияний и поглощений компаний на основе модели с детерминированным хаосом. Достаточно простая модель использована при оперативном (краткосрочном) прогнозировании экономической динамики. Показано, что наилучшее совпадение с эмпирическими результатами наблюдается для смешанной модели с наличием стохастичности во временных рядах.
В связи с тем что динамика показателей в экономике носит флуктуационный характер, для описания экономических процессов чаще всего используют стохастические вероятностные модели, в которых исследуемый процесс есть решение системы стохастических уравнений, содержащих источник случайности [1].
Не менее перспективным в экономическом анализе является метод, основанный на теории детерминированного хаоса, в котором возникновение флуктуаций объясняется как результат неслучайных взаимодействий связанных переменных в нелинейной динамической системе. Согласно этому подходу введение в модель теоретически оправданных нелинейностей может описать экономические флуктуации более успешно, чем введение случайных переменных [2]. Основной проблемой реализации данного метода является сложность обнаружения хаотической динамики, связанная с наличием препятствий в виде коротких временных рядов и большого набора других нелинейных эффектов в экономических данных. Поэтому эмпирическая задача по выделению хаотической динамики из экономических временных рядов объективно более сложная, чем в естественных науках [3].
Как известно [2], наиболее значимым статистическим тестом на определение хаоса малой размерности является тест, связанный с определением корреляционной размерности временного ряда. Тест проводится так. Исследуемый ряд xt трансформируется во множество векторных множеств размерностью от 1 до n («размерность вложения»): xt(xt , xt), ..., xt(xt ,..., xt). Затем вычисляется доля пар векторов, удаленных друг от друга не более чем на расстояние d (корреляционный интеграл). Корреляционная размерность - это предел наклона графика логарифма корреляционного интеграла как функции log d при n -> ^. Если корреляционная размерность стремится к бесконечности, это означает, что процесс равномерно «заполняет» n-мерное пространство, а это значит, что он случайный. Если же корреляционная размерность прекращает рост при некотором значении n, то это свидетельствует в пользу n-мерного хаоса. Нетрудно видеть, почему высокоразмерные хаотические системы столь сложно обнаружить. Невозможно установить, стремится ли корреляционная размерность к бесконечности
при использовании конечных временных рядов. В этом случае нет разницы между реализацией чисто случайного процесса и многомерного хаоса.
В настоящее время является общепризнанным, что высокосложный (многомерный) хаотический процесс с практической точки зрения эквивалентен случайному процессу, например броуновскому движению, и что только не слишком сложные хаотические системы (малоразмерный или маломерный хаос) обладают краткосрочной предсказуемостью, которой невозможно достичь в рамках таких традиционных линейных моделей, как ARMA [3]. В качестве возможных альтернатив детерминированному хаосу в последнее время разработан ряд стохастических эконометрических моделей, которые не генерируют автокорреляцию. Это в первую очередь модели типа ARCH (модели с условной дисперсией ошибки). Среди последних наиболее популярными являются так называемые интегрированные (IGARCH) и дробно-интегрированные (FIGARCH) модели. В этих моделях текущая информация о характеристиках процесса (о его дисперсии) остается одинаково важной при предсказании характеристик процесса для всех будущих периодов.
Тот факт, что маломерный хаос не обнаружен до сих пор в экономических данных, не означает, конечно, что хаосу нет места в экономической науке. Теория хаоса обогатила наши представления об общих свойствах нелинейных динамических систем. Более того, экономические системы могут быть многомерными. В настоящее время многомерный хаос (даже если бы он существовал в экономических данных) не может быть использован для улучшений качества прогнозов в экономическом анализе, так как в условиях конечного объема данных многомерный хаос и стохастичность фактически идентичны. Но ситуация может измениться по мере улучшения систем сбора и обработки данных.
Таким образом, большинство экономических процессов находятся где-то между чистым детерминизмом и белым шумом и могут быть одинаково успешно описаны и как сложные стохастические, и как хаотические процессы. Поэтому анализ экономических процессов с позиций теории детерминированного хаоса является не менее оправданным и перспективным, чем аналогичный анализ процессов в рамках стохастических вероятностных моделей. В предлагаемой публикации с помощью метода, основанного на теории детерминированного хаоса, исследуется процесс слияния и поглощения компаний. При этом основной гипотезой является наличие детерминированной хаотической составляющей (маломерного хаоса) в исследуемых временных рядах. В качестве эмпирических данных использовались квартальные данные по слияниям и поглощениям компаний в США в период с 1895:1 по 1989:1 (377 наблюдений). Конструирование временного ряда и источники данных подробно описаны в работе [4]. На рис. 1 изображен временной ряд агрегированной активности по слияниям и поглощениям компаний в США, отображающий волнообразный характер процесса с несколькими четко обозначенными пиками (самый интенсивный пик наблюдается в 1899:1). Временные реализации на этом графике образованы путем вычета из исходных уровней временного ряда (число квартальных сделок по слияниям и поглощениям в США) математического ожидания и деления полученной разности на среднеквадратичное отклонение. Все вычисления проводились в пакете Matlab. В результате проведенного исследования предложена система дифференциальных уравнений для описания исследуемой динамической системы и построен краткосрочный точечный прогноз с помощью предлагаемой модели на основании эмпирических данных.
Описание и результаты эксперимента. Прежде чем приступить к описанию эксперимента, сформулируем хорошо известные критерии хаотичности [2]:
1) временная зависимость сигнала «выглядит случайно»;
2) быстрый спад автокорреляционной функции;
3) пик спектра мощности в низкой полосе частот;
4) дробность размерности аттрактора (довольно сложное множество траекторий в фазовом пространстве, к которому притягиваются все остальные траектории).
Рис. 1. Временной ряд числа слияний и поглощений (М&А) компаний США в период с 1895:1 по 1989:1 [4]
Заметим, что всем вышеперечисленным критериям кроме второго удовлетворяют эконометрические модели из класса дробно-интегрируемых процессов АЕБ1МА, допускающие нецелый порядок интегрированности ряда, в которых существуют значимые автокорреляции в моментах высших порядков (модели временных рядов с длинной памятью) [5]. Между тем описание динамики процесса слияний и поглощений, описываемого временным рядом на рис. 1 с помощью модели АЕБ1МА, предложено в [6]. Однако отличить быстрый (экспоненциальный) спад автокорреляций в моделях с хаосом от медленного (гиперболического) в моделях АЕБ1МА с помощью спектрального анализа затруднительно. Кроме того, корректное определение спектральной мощности и автокорреляций возможно лишь для стационарных временных рядов. Таким образом, однозначная трактовка наличия детерминированного маломерного хаоса во временных рядах на основании вышеперечисленных критериев является не совсем корректной. Поэтому наличие детерминированной хаотической составляющей в исследуемых временных рядах в предлагаемой публикации является гипотезой, выдвигаемой на основании волнообразного характера процесса в анализируемом временном ряду (рис. 1), возможности описания динамики процесса слияний и поглощений с помощью модели АЕБ1МА, допускающей автокорреляции в моментах высших порядков, и анализа фазовых характеристик колебательного процесса, описываемого этим рядом.
Колебательный (неслучайный) характер процесса слияний и поглощений доказан при исследовании временных рядов с помощью моделей со структурным сдвигом (или модели с переключающимися режимами). Наиболее простой вариант таких моделей включает два типа периодов, каждый из которых характеризуется своим значением среднего и (или) дисперсии распределения случайной величины. Более сложные модели используют цепи Маркова для отображения вероятности перехода процесса из одного режима в другой. Именно с помощью последних анализировался процесс слияний и поглощений в [4]. Заметим также, что исследования процесса слияний и поглощений компаний в других странах подтверждают колебательный неслучайный характер этого
процесса [7. Р. 18]. Сглаживание временного ряда на рис. 1 с помощью простого скользящего среднего (временное окно от четырех до восьми) обнаруживает примерно одинаковую разность фаз колебаний при фиксированном значении зависимой переменной. Анализ распределения фазы временного ряда проводился с помощью непрерывного вейвлетного преобразования, позволяющего обеспечить хорошую локализацию спектра коэффициентов этого преобразования как во временной, так и в частотной области. Эта локализация обеспечивается за счет выбора базисного вейвлета, обладающего определенными свойствами солитоноподобной функции. Распределение фазы коэффициентов вейвлетного преобразования с базовым морлет-вейвлетом (рис. 2, а) подтверждает вывод о примерной фазовой когерентности исследуемой временной реализации, хотя автор и отдает себе отчет о недостаточной длине этой временной реализации.
Рис. 2. Распределение фаз коэффициентов вейвлетного преобразования с базовым морлет-вейвлетом (с шириной полосы частот 1 гц и с центральной частотой1,5 гц) по временной реализации сглаженного ряда слияний и поглощений (а) и системы Ресслера (б) (по оси абцисс отложено время, по оси ординат - масштабный коэффициент)
Среди всех известных детерминированных странных аттракторов (аттракторы Лоренца, Ван дер Поля, Хенона, Икеды, Меки-Гласса и т. д.) фазовой когерентностью характеризуется лишь аттрактор Ресслера [2]. Поэтому интересно сравнить распределение фазы коэффициентов вейвлетного преобразования исследуемого ряда слияний
и поглощений с распределением фазы коэффициентов вейвлетного преобразования временной реализации аттрактора Ресслера. На рис. 2, б приведено распределение фазы коэффициентов вейвлетного преобразования для системы Ресслера, характеризующейся наличием фазовой когерентности и спиральным аттрактором [8]. Временная реализация для системы дифференциальных уравнений Ресслера создавалась интегрированием ее методом Рунге-Кутта 4-го порядка с временным шагом At = 0,01.
Из сравнения рис. 2, а и 2, б видно, что в области средних и низких частот (средних и больших масштабов) распределение фаз коэффициентов вейвлетного преобразования примерно совпадает. Основные различия между сравниваемыми распределениями проявляются в области малых масштабов (высоких частот). При этом распределение фаз вейвлетного преобразования для исследуемого сглаженного временного ряда более зашумлено в области высоких частот по сравнению с таковым для системы Ресслера.
Таким образом, в дальнейшем будем отталкиваться от гипотезы о наличии детерминированной хаотической составляющей (маломерного хаоса) в исследуемом временном ряде, временная реализация которой подобна таковой для аттрактора Ресслера. Следующий этап работы связан с решением задачи реконструкции оператора эволюции изучаемой системы. Существующие в настоящее время алгоритмы реконструкции позволяют поставить в соответствие скалярному временному ряду определенную математическую модель [Там же]. При этом произвольный выбор нелинейностей без учета априорной информации не всегда позволяет выбрать удачную реконструкцию. Поэтому, во-первых, при конструировании оператора эволюции исследуемой системы следует ограничиться не менее чем тремя уравнениями, так как система Ресслера описывается тремя уравнениями. Во-вторых, хаотический аттрактор исследуемой системы должен быть фазокогерентным (спиральным). В-третьих, выбор фазовых переменных и их нелинейные взаимодействия должны соответствовать динамике рынка слияний и поглощений.
При составлении уравнений исследуемой системы необходимо отметить следующее. Слияния и поглощения компаний - один из самых распространенных путей развития, к которому прибегает в настоящее время большинство даже самых успешных компаний. Этот процесс в современных условиях становится явлением обычным, практически повседневным. Зачастую непросто провести границу между слиянием и поглощением. Кроме того, существуют определенные различия в толковании данных понятий в зарубежной теории и практике и в российском законодательстве. В предлагаемой работе автор будет придерживаться точки зрения зарубежной практики, при которой под слиянием, например, понимается объединение нескольких фирм, в результате которого одна из них выживает, а остальные утрачивают самостоятельность и прекращают существование. В качестве наиболее значимых фазовых переменных удобно выбрать переменные, описывающие запасы основного капитала двух групп компаний - компаний, которые могут поглощаться (условно «компании-жертвы»), и тех, которые поглощают (условно «компании-хищники»). Так как одной из главных целей слияний компаний является доступ к ресурсам поглощаемой компании, то третьей фазовой переменной является переменная, описывающая запасы природного капитала (в стоимостном выражении). Природный капитал - это возобновимые и невозобновимые природные ресурсы, фактически используемые в производстве (включая фазу потребления) или обладающие потенциалом для использования в будущем.
Исследуемая модель описывает как дружественные, так и недружественные слияния и поглощения компаний при любой форме их интеграции (горизонтальные, вертикальные и т. д.) и является обобщением и расширением хорошо известной и описанной модели «хищник - жертва» (модель Лотка-Вольтерра) [2]. Модель предполагает, что в результате слияния и поглощения происходит полный или частичный переход капитала от одних фирм к другим, и применима для компаний или групп компаний, образующих кластеры, конгломерат, отрасль и т. д. Запишем уравнения модели:
и' = а(ґ) х (и - ы5‘) - а1(ґ) х и х V - Р1 (ґ)им,
V' = -Ь(ґ) х (V - V‘) + а2(ґ) х и х V -у1(ґ) х V х V, V' = -с(ґ) х (V - ) + Р2 (ґ) х и х V + у 2(ґ) х V х V.
(1)
(2)
(3)
В уравнениях (1)-(3) и', V', ш' - производные по времени. Уравнение (1) описывает прирост (первое слагаемое в правой части) и убыль природного капитала (второе и третье слагаемые). Прирост природного капитала осуществляется за счет его валового накопления (рекультивация земель, улучшение почвы, геологоразведка, освоение новых месторождений, передача природных ресурсов в экономическое использование и т. д.). Убыль природного капитала происходит за счет истощения и деградации природных ресурсов в результате экономической деятельности компаний. Уравнения (2)-(3) описывают изменения основного капитала V поглощаемых компаний и ш - компаний, которые поглощают первые. Вторые слагаемые в правых частях этих уравнений описывают прирост основного капитала компаний за счет использования ими природных ресурсов. Последние слагаемые в правых частях уравнений (2)-(3) описывают соответственно убыль и прирост основного капитала поглощаемых компаний и компаний, которые поглощают. Параметры я(0, Ь(0, с(0 пропорциональны темпам изменения природного и основного капитала соответствующих групп компаний в отсутствие экономической деятельности. Коэффициенты аДО, вДО, аДО, уДО, в2(0, у2(0 - параметры нелинейного взаимодействия фазовых переменных. В уравнениях (1)-(3) предполагается наличие стационарных значений переменных и5‘, г'51, ш5‘, к которым релаксирует система в отсутствие взаимодействия компаний и ресурсов. Отметим, что и1 является критическим значением уровня природного капитала, ниже которого происходит разрушение экономической системы и социальная деградация. Несмотря на относительную простоту, уравнения модели (1)-(3) описывают сложную динамику исследуемой системы включая равновесные режимы (предельные циклы), а также режим детерминированного хаоса.
Параметры я(0, Ь(0, с(0, аДО, вДО, аДО, уДО, в2(0, У2(0 являются переменными на некотором достаточно большом отрезке времени, но кусочно-постоянными на небольшом временном интервале, который можно использовать в качестве шага прогноза. Поэтому данная модель может успешно использоваться для оперативного краткосрочного прогнозирования. Заметим, что параметр с(0 является управляющим (определяет вид аттрактора). Интегрирование системы уравнений (1)-(3) производилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом по времени, равным 0,01. На рис. 3 показан вид аттрактора исследуемой динамической системы в плоскости переменных и, V при имитационных расчетах со следующими значениями параметров уравнений (1)-(3): а = Ь = 1; с = 19; а1 = а2 = 0,1; в1 = в2 = 0,6; у1 = у2 = 0,6; и1 = 1,5; Vй = 0; = 0,01, и начальными
условиями: и(0) = 1,7; г(0) = ш(0) = 1. Аттрактор имеет спиральный вид и является фазокогерентным, схожим с аттрактором системы Ресслера. При этом не предполагается, что именно такие иллюстративные траектории наблюдаются эмпирически.
Следующим этапом работы являлось построение краткосрочного точечного прогноза с помощью предлагаемой модели на основании эмпирических данных. Краткосрочное прогнозирование осуществлялось с помощью адаптивных непрерывно подстраиваемых моделей по методике, предложенной в [9]. Суть ее состоит в том, что на каждом шаге осуществляется обновление всех коэффициентов системы уравнений (1)-(3) и начальных условий с учетом развития событий. При этом вычисление коэффициентов в модели производится по эмпирическим данным в фиксированные моменты времени. В результате получается система алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. Первые производные в левых частях уравнений оцениваются методом конечных разностей.
и
Рис. 3. Вид фазокогерентного аттрактора системы уравнений (1)-(3) в проекции на плоскость (u, v) при значении управляющего параметра с = 19; значения остальных параметров указаны в тексте
Из решений системы алгебраических уравнений находятся искомые коэффициенты модели, которые считаются постоянными на каждом шаге прогноза. Подставляя найденные коэффициенты в систему уравнений (1)-(3) и решая задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений при начальных условиях в точке (t + 1), находим вектор прогностических значений в точке (t + 2) и т. д.
Источником эмпирических данных о финансовом состоянии компаний, участвующих в сделках по слиянию и поглощению, являлась база данных Compustat Industrial Base, источником данных по слияниям и поглощениям являлась Securities Data Corporation (SDC) merger and acquisition database. Природный капитал представлен денежной оценкой доказанных минеральных запасов на конец года по первому методу текущей ренты Бюро экономического анализа Департамента коммерции США.
На рис. 4 представлены результаты прогнозирования объема сделок по слияниям и поглощениям (пунктирная линия с крестообразным маркером). Динамика объема сделок фиксировалась по изменению переменной w в уравнениях (1)-(3). Для сравнения на этом же рисунке приведены реальные (не сглаженные) данные по ежегодным сделкам в США в период с 1990 по 2001 г. (сплошная линия с квадратным маркером). При сравнении этих данных видно не совсем удовлетворительное соответствие реальных и прогнозируемых значений, особенно в области пика колебаний в 1999-2000 гг. Для улучшения результатов прогноза попытаемся ввести в решения уравнений (1)-(3) определенную долю стохастичности. Для этого путем случайного перемешивания изначального ряда (решения уравнений) конструировался полностью стохастический ряд. Он был обозначен как S ряд с элементами s., i = 1, ..., N. Элементы D ряда, составленного из решений уравнений (1)-(3) в форме странного аттрактора (детерминированный хаос), обозначим через d, i = 1, ..., N. Элементы смешанных рядов получаются по формуле: z = dra хsb, а + b = 1, где а (а = 0,1; 0,2; ..., 0,9) и b (b = 0,1; 0,2; ...; 0,9) представляют соответственно долю детерминированного хаоса и стохастичной составляющей в исследуемых временных рядах (предполагается мультипликативная модель временного ряда). Результаты прогнозирования с конструируемыми смешанными
рядами показали, что наилучшее совпадение прогнозируемых и реальных не сглаженных эмпирических данных (минимальная относительная среднеквадратичная ошибка) наблюдается в рядах, где доля стохастичности составляет 60% (соответственно доля детерминированной хаотической составляющей - 40%). Это хорошо видно на рис. 4, где штрихпунктирной линией с маркером в виде окружности изображены данные краткосрочного прогноза, полученные с помощью такого смешанного ряда.
- - к- - Результаты прогнозирования —в— Реальные (не сглаженные) данные
Данные прогнозирования с помощью смешанного ряда
Рис. 4. Объем сделок по слияниям и поглощениям
Для проверки качества прогнозирования использовались коэффициенты несоответствия Г. Тейла. При этом относительная среднеквадратичная ошибка (RMSPE) прогнозирования для n наблюдений равна
i n Л1/2
(l/n xj [(S, - A, )/A, ]2 I x 100%,
где S, расчетные, а A. - фактические значения. Средний квадрат ошибки прогноза (MSE) распадается на сумму составляющих [11]:
1/n xj (S, - A, )2 = (S - A)2 + (Ss - SA )2 + 2 x (1 - r) x SS x SA,
i=1
где S, A - средние арифметические; SS, SA - стандартные отклонения расчетных и фактических значений; r - коэффициент корреляции.
r = COV(S, A)/(SS x SA), COV(S, A) = 1/n x j[(S, - S)(A, - A)].
Доли несоответствия определяются как частные от деления выделенных составляющих на общую сумму:
доля смещения
V =------;
1/n х£ (S - Ai )2
доля дисперсии
VS (SS - SA )2 .
1/nх£(Si - Ai )2;
доля ковариации
VC = 2 х (1 - r) х Ss х Sa 1/nх£(Si - Ai )2
UM + US + UC = 1.
Анализ ошибок прогнозирования объема сделок по слияниям и поглощениям за 1990-2001 гг. (по переменной w) представлен в таблице.
Анализ ошибок прогнозирования за 1990-2001 гг.
Переменная RMSPE MSE UM Vs Ve
w 0,0345 0,005 0,022 0,159 0,897
Из таблицы видно, что максимальная ошибка прогноза переменной w приходится на долю неполной ковариации. Ошибка в центральной тенденции (доля смещения) незначительна (2,2%).
Заключение. Таким образом, в публикации предложено описание процессов слияний и поглощений компаний на основе модели с детерминированным хаосом. Достаточно простая модель, описываемая уравнениями (1)-(3), является в то же время универсальной и может использоваться при оперативном (краткосрочном) прогнозировании экономической динамики. При соответствующих изменениях с помощью данной модели можно исследовать циклы деловой активности, циклы активности и спада в развитии регионов, холдингов, отраслей. Так, например, в работе [10] приведены статистические данные и кривые колебаний активности в сфере недвижимости и строительной деятельности в США. Их графики удивительным образом напоминают сглаженные кривые колебаний на рис. 1. Данная модель объясняет, почему происходят отклонения от периодичности в циклах активности и спада, и делает более детальной и правдоподобной картину циклических колебаний. Наконец, с помощью предлагаемой модели можно объяснить наличие циклов с различными периодами.
Главным козырем хаотической динамики является комбинация управляемости и пластичности. Небольшие изменения параметров модели могут приводить к смене видов аттракторов, а также к смене хаотического режима функционирования системы на периодический. Особенно чувствительна система к изменению управляющего параметра с. В связи с этим отметим, что величина параметра с обратно пропорциональна времени релаксации системы к равновесному состоянию, т. е., по сути, времени, в течение которого капитал компании уменьшится до значения wst, близкого к нулю (банкротство компании). Это время связано напрямую с устойчивостью предприятий и их конкурентоспособностью. Таким образом, варьируя параметры устойчивости, можно управлять режимами функционирования компаний.
Наконец, нельзя не отметить, что в своей последней монографии «Chaotic Economic Dynamics» [12], подытоживая историю своего более чем полувекового поиска, великий
экономист Ричард Гудвин констатировал, что ему, наконец, удалось найти те принципы, на основе которых возможно правильное решение проблемы экономического цикла. Модель, о которой он говорил, органично сочетала в себе идеи Маркса, Кейнса и Шумпетера. В этой модели реализована возможность проявления режимов детерминированного хаоса и воплощены основные особенности, присущие системе Ресслера.
Источники
1. Серков Л. А. Синергетические аспекты моделирования социально-экономических процессов. Екатеринбург : Ин-т экономики УрО РАН, 2008.
2. Мун Ф. Хаотические колебания. М. : Мир, 1990.
3. Prokhorov А. Nonlinear dynamics and chaos theory in economics: a historical perspective // Quantile. 2008. No. 4.
4. Town R. J. Merger waves and the structure of merger and acquisition time series // Journal of Applied Econometrics. 1992. Vol. 7.
5. Granger C. W. J., Joyeux R. An introduction to long memory time series models and fractional differencing // Journal of Time Series Analysis. 1980. No. 1.
6. Barkoulas J. T., Baum Ch. E, Chakraborty A. Waves and persistence in merger and acquisition activity // Boston College Working Papers in Economics. 2001. No. 396.
7. Resende M. Mergers and Acquisitions Waves in the U. K.: A Markov-Switching Approach : EUI working paper. ECO. 2005. No. 4.
8. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика. Подходы, результаты, надежды. М. : КомКнига, 2006.
9. Григорьев В. П., Козловских А. В., Марьясов Д. А. Качественное исследование системы дифференциальных уравнений модели динамического хаоса и корреляция особых точек с трендами // Известия Том. политехи. ун-та. 2006. Т. 309. № 2.
10. Dewey E., Dakin E. Cycles. The science of prediction. N. Y. : Holt, 1949.
11. Тейл Г. Прикладное экономическое прогнозирование. М. : Прогресс, 1970.
12. Goodwin R. M. Chaotic Economic Dynamics. Oxford : Calendar Press, 1990.
