Эконометрическое моделирование расширенного воспроизводства на основе авторегрессии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:311

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСШИРЕННОГО ВОСПРОИЗВОДСТВА НА ОСНОВЕ АВТОРЕГРЕССИИ

© 2003 В. К. Семёнычев Самарский государственный аэрокосмический университет

Предложен эконометрический подход на основе авторегрессии отсчетов, в соответствии с которым определяются (уточняются) параметры экономической системы и/или справедливость тех или иных допущений для расширенного воспроизводства. Методы идентификации позволяют осуществлять классификацию четырех моделей и получать несмещенные, эффективные и состоятельные оценки параметров моделей на малых объемах выборок.

На начальной стадии прогнозирования и планирования возможных темпов экономического развития экономических систем, оптимального соотношения потребления и накопления, взаимодействия основных факторов в процессах воспроизводства, влияния научно-технического прогресса на динамику, эффективность и интенсификацию производства используются преимущественно макроэкономические модели [1, 2].

В процессе углубления знаний о системе переходят от эпизодического использования отдельных относительно простых моделей к созданию интегрированных моделей и комплексов макроэкономических моделей, совмещают нормативный и дескриптивный (описательный) подходы, осуществляя эконометрическое моделирование по временному ряду отсчетов дохода для оперативной идентификации и коррекции динамических макроэкономических моделей [1, 2].

Простые модели при заданных значениях параметров и постулировании тех или иных допущений могут быть использованы для аналитического предельного (при тех или иных условиях) моделирования экономических процессов [1].

Нов и менее распространен (в силу трудностей идентификации параметров и особенно классов моделей) эконометрический подход, в соответствии с которым определяются (уточняются) параметры экономической системы и/или справедливость тех или иных допущений для реальной системы.

Реализацию данного подхода проведем в два этапа, усложняя модель и обеспечивая

на каждом этапе возможность эффективной (и по точности, и по быстродействию) идентификации соответствующих моделей.

Первый этап

Воспроизводство при отсутствии лага между производственным накоплением и приростом дохода, пропорциональности производственного накопления приросту дохода на тот же момент времени, а также при независимости (экзогенности) динамики потребления описывается одной из следующих моделей [1, 2, 4]:

экспонентой Yк = А ехр(-а1 Г), (1)

обобщенной экспонентой

К=^ (2)

суммой двух экспонент

К=А1ехр(-а1тк)+А2ехр (-а2ТЛ (3)

где а1, а2, А1, А2 е Я; Yк - временной ряд отсчётов с периодом опроса А (месячным, годовым) анализируемого экономического параметра (дохода); Тк =Ак.

Экономическое содержание параметров моделей (1)-(3) через такие категории, как норма производственного накопления, прирост дохода, темп прироста потребления и динамика нормы накопления, капиталоемкость валового продукта, доход, потребление в начальный момент времени анализа и т. д., раскрыто в [1].

Выбор модели и оценка ее параметров определяется адекватностью опытных данных гипотезам о нулевом, постоянном или экспоненциальном потреблении, соответственно [1, 3].

Климатические и природные явления, структура материальных и духовных потребностей граждан могут быть определены только с некоторой вероятностью. Сложность и динамичность социально-экономических процессов приводят к тому, что затраты на производство, экономический эффект, производительность труда, результаты научных исследований и разработок, эффективность новой техники и т. д. поддаются предварительному расчету только с тем или иным уровнем достоверности.

Будем учитывать «эволюционный» стохастический компонент ^ который отражается в быстрых, случайных по характеру и незначительных по величине изменениях значений отсчетов.

Начнем с достаточно общего случая -модели (3). Применив к ней 2 - преобразование (преобразование Лорана) [4, 5], выполнив действия в области изображений и вернувшись в область действительного переменного, получим соотношение

К = ^к-, - ^-2 + ФА - ФА-, + Ъ (4)

где Х1 = ехр(-а1А) + ехр(-а2А),

^2=ехр(-(а1 + +а2)А), Ф1 = А1 + А2,

Ф2 = А1ехр(-а2А) + А2ехр(-а1А),

л /1, к = 0 й

ок = < - дискретный аналог дельта-

[0, к ф 0

функции,

к=1, 2, 3, ..., N ^к - аддитивный стохастический компонент отсчетов, для которого обычно [6, 7] принимают предположение о нормальном законе распределения, нулевом математическом ожидании, постоянстве дисперсии (гомоскедастичности), некоррелированности в отсчетах («белом спектре» компонента ^):

МR1 = о, D R1 =от2, M[4, EJ = о

(5)

где М - оператор математического ожидания, В - оператор дисперсии.

Кроме ^к в отсчетах могут присутствовать и аномальные помехи, появление кото -рых может быть вызвано ошибками при сборе, записи и передаче информации: сдвиг запятой при перенесении информации из до-

0 < X, < 2, 0 < Х2 < 0,25X2,.

кумента, занесение данных в другую графу и т. д. Известны процедуры устранения аномальных наблюдений: методом исследования стандартных отклонений, методикой Ирвина или методикой, изложенной в [4].

Условиями отнесения анализируемого временного ряда к модели (3) (условиями структурной идентификации) будет следующая система неравенств:

(6)

Наиболее простой вид авторегрессии второго порядка, не зависящей от начальных условий, уравнение (2) будет иметь при к > 2:

Y = XY, - X2Y2 + 4. (7)

к 1 к-1 2 к-2 ~к 4

Осуществим идентификацию параметров модели (7) в два шага: на первом найдем динамические параметры а, и а2, а на втором - параметры A A определяемые начальными (при к = 0) условиями.

Минимальное количество отсчетов выборки для составления системы двух линейных уравнений (второе уравнение получим из (7) заменой индекса «к» на «к-1») и определения из нее двух неизвестных параметров равно четырем: Yk, Yk ,, Yk 2, Yk 3. Для второго уравнения можно использовать и любой другой индекс, не равный «к» и больший третьего.

При возможности анализа выборки большого объема (при этом N > 5) можно рассчитать помехозащищенные оценки коэффи -циентов X, и Х2 методом наименьших квадратов (при выполнении условия (5) среднеквадратические оценки будут несмещенными, эффективными и состоятельными [6]):

х$, X2 = arg min Му -\Yk_! + X2},_2 }, (8)

X, ,X2

где ° - символ среднеквадратических оценок коэффициентов авторегрессии.

Реализация условия (8) приводит к системе линейных нормальных алгебраических уравнений

My/k-, }=хм}}-;, }-X;м[у,-¡к,-, }, Iм{Л-2 }=хмУ;,/-, }-хмУк-2 X,

из которой определяются оценки коэффициентов авторегрессии:

X. — м (у,г,-2} {г,:,}- М {{Л-, }м [г,-,У'-2}

2 М ги,-,}- М [у,-,у,-2} '

х; — М АЛ-Л+л м {г,-,г,-2}

м АД }

Далее с учетом принятых выше обозначений определим и среднеквадратические оценки динамических параметров модели (3)

1

а , 2 — — Ln

1,2 А

А $ 2 Л

- +

X

1 /2 Л

-± X 2

V

V

Найдем параметры, определяемые начальными условиями экономического процесса:

N

{а; , A2}— argmm |0 { - { exp(- а;А,)-4 exp(- а2А, )}

(9)

A1,A2 к—О

Очевидно, что условие (9) приводит к системе линейных уравнений второго порядка:

N . . Nr. N

А X exP2 (- “i"Aк)-А2 X exP г (“i + а2 К )= X Y exP(- (A к)’

к=0 к=0 к=0

Nf , N N

А1 X eXP I- (1 + а2 JAк \~A X eXP2 (_ а1Aк ) = X YKexp(- а2 Aк )

Подстановка вычисленных помехозащищенных оценок а° а°2, А°1, А°2 в (3) позволит рассчитать помехозащищенные (сглаженные) значения Т°к при значениях индекса «к» от 0 до N и осуществить тем самым прогноз экономического показателя при других (будущих по отношению к используемой выборке) значениях индекса «к».

Как правило, трендовый прогноз осуществляют на интервал значений вперед не более 1/3 от объема используемой для идентификации выборки N называемой в этом случае «горизонтом прогнозирования». Модели (1) и (2) будут получены как частные случаи при условиях А°2 = 0 и а°2 = 0, соответственно, которые проверяются как статистические гипотезы [5]. Проверка данных

гипотез может рассматриваться и как обоснование для реальных данных предположений о нулевом, постоянном (почти постоянном) или экспоненциальном (с непрерывным темпом прироста) потреблении.

Второй этап

Для моделирования реально имеющегося на практике лага между производственным накоплением и приростом дохода [1] (показателями выпуска продукции и приростом производственных фондов [2]) в модель расширенного воспроизводства вводят два запаздывания первого порядка [2].

Первое из них соответствует формированию вложений как фиксированной части конечного продукта, второе - запаздыванию в их освоении, завершающемуся выпуском продукции.

В такой постановке процесс расширенного воспроизводства во многих случаях описывается экспоненциальной функцией с положительным показателем, на которую накладывается гармонический цикл с большим периодом Т = 2п/ю и затухающей амплитудой [2]:

¥к = С1ехр(а1тк) + С2ехр(-а2Тк) ^гаГ + ФХ

(10)

которому, как можно показать, соответствует при к > 0 модель авторегрессии третьего порядка

Y = ц.7 , - U2Y 2 + u Y 3 +

к г 1 к-1 г 2 к-2 г 3 к-3 ”к5

2.

(11)

где ^ = 2V3V2 + V1 2; ^2 = V2 + 2V3V2V1 2;

^ = V2Vi; V1 = ехр(а1А);

V2 = ехр( - a2A); v3 = cos wA;

C1, C2, a1, a2, w e R.

Адекватность реальных отсчетов третьему порядку авторегрессии (процедуры определения порядка авторегрессии известны [5-7]) указывает на необходимость учета временного лага при моделировании расширенного воспроизводства.

Определив для (7) среднеквадратическое приближение Д°1, Д°2, д°3, придем к системе линейных алгебраических уравнений:

ц 0 М Г-)+ ц 2М Гк -1^к-2)+ ц 3М Гк^ -1 )=М {¥к¥к-1),

Ц0М Гк-Л-2 )+ Ц2М Г'к-2 )+ ц3М {Гк-3^к-2 )= М Гл-2), ц 0 М Гк-1 Г-3)+ Ц 2 М Г-2 Г-3)+ Ц 3 М Г- )= м Г Г-3),

2

4

к—О

к—О

из которой после известного решения относительно д°р д°2, д°3 достаточно очевидными итерациями определим и переменные Vj, V2, V3. Из кубического уравнения

Vj 3 - ^°jVj 2 + ^Vj - Д°3 = 0 найдем V°p V°2 = X°3/V°j и v°3 = (X°2 - v°2)/(2v°jv°2).

Очевидно, что искомые динамические параметры модели (10) расширенного воспроизводства с учетом принятых обозначений могут быть рассчитаны следующим образом:

а$ = — Lnv$ а2 = — Lnv 2 А ’ А

ю° =—Arc cos v3 А 3'

Приведенные формулы позволяют определить реальный (по экспериментальным данным) лаг конкретной экономической системы и принять меры, если это возможно и/или необходимо, по их коррекции.

Запишем условие нахождения параметров С1, С2 и ф:

Cj ,C3°, C4 = arg min X \тк — C1 exp (j Ак)— С3 exp (— а\А к )cos оУ А к +

Cj,C2,C3 к=0

+ С4 exp(— а2Ак )sin Ак }2,

где С3 = С2 ^s ф, С4 = С2 sin ф.

Соответствующая система линейных уравнений примет вид:

С j X exp2 (aj А к) +C3“ X exp{(ix1 — a 2) к }cos ю “А к —

к=0 к=0

N Г/ \ 1 N i \

— С4 X exp{(a; — a 2 ) к )sin ю“ А к = X Y к exp(aj А к)

к=0 к=0

N N 2 2 Cj X exp{aj — a 2 ) к )cos ю“ А к +CJ X exp2 (- a 2 А к jcos2 ю “А к —

к=0 к=0

0 N 2 N

— С40 /2X exp2 (— a2Ак )ш2ю“Ак = X Ук exp(- a2Ак jcos ю“Ак,

к=0 к=0

Cj X exp{(aj — a¡ ) к }sin ю “Ак +C3“ / 2X exp2 (- a 2 А к )sin2ю“Ак —

к=0 к=0

0 N 2 2 N

— С40 /2Xexp2 (— a2Ак jsin2 ю“Ак = XYк exp(- a2Ак jsinю“Ак.

Ее решение позволит определить

С = { )2 + (С4 )2}/2, ф = агс1§(с4/с;).

Известные методы идентификации позволяют получить простое решение лишь для модели (1) с мультипликативным стохастическим компонентом путем логарифмирования значений временного ряда, что приводит

к смещенности и неэффективности оценок параметров из-за нелинейного характера преобразования и нарушения условий (5).

Модели (7) и (11) авторегрессии являются линейными формами отсчетов, и в силу этого получаемые оценки параметров моделей авторегрессии и расширенного воспроизводства по методу наименьших квадратов эффективные, несмещенные и состоятельные.

Предложенные эконометрические методы идентификации применимы к четырем приближенным к практике (за счет аддитивного характера помехи, учета временного лага, различной динамики потребления) моделям, что позволяет соотнести с реальными данными ту или иную модель расширенного воспроизводства. Они реализуются на малых объемах выборки, что выгодно отличает их от известных методов.

Таким образом, модели (1)-(3) (10) и предложенные методы их идентификации применимы с высокой точностью в реальном масштабе времени для широкого ряда конкретных экономических процессов [ 1-3]; имеют прикладное значение для выработки концепций экономического и социального развития, изучения альтернатив экономической политики, прогнозирования и планирования системы обобщающих показателей.

Список литературы

1.Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985.

2.Кобринский Н. Е., Кузьмин В. И. Точность экономико-математических моделей. М.: Финансы и статистика, 1981.

3.Экономико-математические методы и прикладные модели. / В. А. Половников и др. М.: Финстатинформ, 1 997.

4.Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 2-преобразования. М.: Наука, 1971.

5.Морозов В. К., Семёнычев В. К., Якубович С. К. Основы информационных процессов и управления. Самара: Самвен, 1 996.

6. Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. М.: 2001. ЮНИТИ -ДАНА, 2001.

7.Кашьяп Р. А., Рао А. Р. Построение динамических стохастических моделей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1983.

к=0

ECONOMETRIC SIMULATION OF EXPANDED REPRODUCTION ON THE BASIS OF AUTOREGRESSION

© 2003 V. K. Semyonitchev Samara State Aerospace University

An econometric approach based on readings auto regression is proposed. In accordance with the approach the parameters of an economic system are specified and/or the validity of particular assumptions for expanded reproduction is estimated. Methods of identification make it possible to classify four models and to obtain unbiased, efficient and valid estimates of model parameters using limited sampling.