CC BY
37
УДК 330.115(075.8)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В УСЛОВИЯХ РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
© 2005 В. К. Семенычев Самарский государственный аэрокосмический университет
Предложены методы моделирования реальных статистических данных логистическими моделями на основе авторегрессий динамических рядов отсчетов показателей экономической динамики с учетом экзогенных воздействий, отвечающих реальной практике. Методы моделирования реализуются на малых выборках и не предполагают знания априорных сведений об анализируемых процессах.
В экономике распространены процессы логистической динамики, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу (уровню насыщения): изменению цены на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня спроса, суммарную емкость рынка на определенный момент времени и т. д. [1, 2]. Логистой может описываться и динамика уменьшения значений экономических показателей.
В реальной траектории Уф логистической динамики присутствует гладкий логистический тренд Пф, соответствующий основной тенденции, а также аддитивные ком -поненты, отражающие экзогенные воздействия, например [1, 3], А^, A2tSin(at + р) или А.£Ип(Ш + р), и стохастический гетероскеда-стический компонент в^), что приводит к необходимости рассмотрения моделей:
Уф = ПСо + Л2/ + в), (1)
Уф = П(^ + А28т(^ + р) + в(¡), (2)
У'ф = П(^ + A2tSin(a>t + р) + вф, (3)
где t - время.
Известны следующие модели логистического тренда Пф:
1. Обобщенная логистическая функция:
П ()=—^------------------• <4>
А0 +Е АгеХР{- С^)
I =1
где обычно т < 3, а при т = 1 имеем, как частный случай, функцию Верхулста;
2. П() = АВС - функция Гомперца; (5)
3. П(^ = А1ехр{- В1ехр(- а^)}; (6)
4. Пф = А1ехр{- А2(1 - ехр(- а,£)\а}. (7)
Как показали проведенные исследования [4], обобщенную логистическую функцию (4) при т > 1 целесообразно применять лишь при необходимости моделирования начальных участков логистической динамики, а модели (5) - (7) сводятся к функции Вер-хулста при соответствующей замене переменных. Таким образом, в большинстве практически важных случаев для моделирования логистического тренда можно использовать функцию Верхулста.
Поставим целью устранить общие недостатки известных частных эвристических методов идентификации функции Верхулста [1 - 3]: необходимость априорного знания уровня насыщения, сложность и большое число требуемых отсчетов, невозможность учета при идентификации дополнительного временного тренда и колебательных компо -нент.
Представим знаменатель функции Вер-хулста первыми тремя членами разложения ряда Тейлора в окрестности начала осуществления моделирования - точки «а»:
А0 + АехР(- » В: - + B0t2,
где В0 = А0 + А}ехр(- а]а)(1 + а1а + (ага)2), В1 = А1а1ехр(- ага)(1 + 2а)
В2 = А1(а1)2ехр(- а1а).
Тогда траектория Уф анализируемого экономического показателя при структуре вида (1) может быть представлена в виде
/ \ 1 + А9Bot — А9B1t + А9Вл / \
У() = к — В^В», ^ +в(). (8)
После приведения (8) к общему знаменателю, перехода к отсчетам соответствующего динамического ряда, применения Z-преобразования [4] придем при «к» > 4 к следующей авторегрессии отсчетов:
Ук = 4 Ук-1 - 6 Ук-2 + 4 Ук-з - Ук-4 -
- С0(Ук-4 Ук-1 + 6 Ук-2 - 4 Ук-з + Ук-4 } +
+ В1{(кЛ) Ук- 4(к -1)ЛУк-1 + 6(к - 2)ЛУк-2-
- 4(к - 3)ЛУк-з + (к - 4)ЛУк-4)} +
+ В2{(кЛ)2 Ук- 4(к - 1)2Л2 Ук-1 +
+ 6(к - 2)2Л2 Ук-2 + 4(к - 3)2Л3 Ук-з +
+ (к - 4)2Л2 Ук-4)} + gк, (9)
где С0 = В0 - 1, gк — стохастический компо-нент, образованный линейной комбинацией отсчетов вк, ..., вк-4 и произведений на соответствующие отсчеты знаменателя (8), обладающий свойством гетероскедастичности.
Применяя к (9) обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) [1, 2, 4] для ком -пенсации гетероскедастичности, определим из соответствующей (называемой обычно «нормальной») системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) третьего порядка ОМНК - оценки С0о, В°, В2о, затем через них рассчитаем и оценки параметров модели Верхулста:
а1о = В2о(В1о - 2В2о),
А° = В2оехр(- а1оа)\(а1о)2,
А° = С° + 1 - А°ехр(- а1оа)(1 + аа° +
+ а2(а1о)2).
При эконометрическом моделировании статистических данных моделью (2) оправданы разложение всего логистического ком -понента в ряд Тейлора и переход к динамическому ряду отсчетов
Ук = Е0 + Е/кА) + Е2(кА)2 + + Л8т(ажА + ср) + вк,
где В0 = П(0), = (П)'(0), В2 = (П)"(0)/2,
Е0 = В0 - П1а + ^2^’ Е1 = В1 - Е2 = В2-
Можно показать, что выражению (10)
соответствует при «к» > 7 авторегрессия отсчетов
Ук= 6 Ук-1 - 16 Ук-2 + 26 Ук-3 - 30 Ук-4 +
+ 26Ук-5 - 16Ук-б + 6Ук-7 - Ук-8 +
+ Л(Ук-1 - 6 Ук-2 + 15 Ук-3 - 20 Ук-4 +
+ 15 Ук-5 - 6 Ук-6 + Ук-7) + к
где X = 2CosaЛ^; Кк - гетероскедастический стохастический компонент, образованный линейной комбинацией отсчетов вк, . , вк-4.
Через ОМНК - оценку параметра Л° определим частоту гармонического компо -нента
аР = (ArcCos(A °\2))\Л,
а затем, подставляя ее в (10), найдем ОМНК-оценки Е0о, Е1 о, Е2о и А3о = А2Со8р, А° = А28тр, а через них - и ОМНК - оценки параметров модели (2):
а° = 2((Е° + 2Е°)/(Е° + Е°а + Е2оа2) -
- Е2о/(Е1о + Е2оа)),
А° = (Е° + Е2оа)/((Е0о + Е°а + Е2оа2)2х х аоехр(- а°а)),
А0о = 1 - (Е0о + Е°а + Е2а2)А°ехр(- а°а),
А 2° = ((А°)2 + (А4о)2)1/2,
ро = Аг^(А4о/А°).
При моделировании анализируемых данных выражением (3), использовании, как и ранее, разложения в ряд Тейлора и 1-преобразования, получим при «к» > 7 следующую авторегрессию отсчетов динамического ряда:
Ук = Я12( - Ук-2 + 3 Ук-3 - 3 Ук-4 + Ук-5) +
+ Х(2 Ук-1 - 6 Ук-2 + 8 Ук-3 - 8 Ук-4 + 6 Ук-5 -
- 2 Ук-б) + 3 Ук-1 - 5 Ук-2 + 7 Ук-3 - 10 Ук-4 + + 5 Ук-5 - 7 Ук-7) + Кк,
из которой, решая соответствующую СЛАУ второго порядка, определим ОМНК - оценки Л° и ао. Подставляя в (3) ао, можно легко найти ОМНК - оценки остальных параметров модели: а°, А0о, А°, А2о, р °.
Подстановка найденных ОМНК - оценок в детерминированные компоненты моделей (1) - (3) позволит определить «сглаженные» значения «состоявшихся» или, что более интересно в приложениях, «будущих» прогнозных значений Yк при тех или иных значениях «к».
Интервал упреждения при этом, как правило, не должен превышать одной трети интервала наблюдения, который, в свою очередь, должен быть не менее 7 отсчетов для модели (1), не менее 9 отсчетов для модели (2), не менее 8 отсчетов для модели (3). Как показало количественное моделирование на реальных и модельных данных, приведенных в [2], для сглаживания стохастического ком -понента обычно достаточно 15 - 16 отсчетов.
Выбор в пользу «гладкой» или «колебательной» логистической динамики, а также между моделями (3) и (4) может быть сделан, исходя из априорных предположений, по виду тренда, по мере адекватности идентифицированных моделей реальным статистическим данным.
В более общем случае процесс, достигнув насыщения, может иметь стадию стабилизации, а затем вновь расти по логистическому закону или даже падать с последующим ростом [1]. В первом случае очевидна возможность моделирования тенденции суммой («склейкой») двух логист, причем у второй будет запаздывающий аргумент. Случай па-
дения значений анализируемого показателя распространен, например, при моделировании социальных процессов [5]: наряду с логистической тенденцией имеется и колеблемость некоторого общего вида около нее, не сводящаяся к (5), (6), (7) или их комбинациям. Это так называемые длинные волны экономической динамики, появление которых объясняется неравномерностью инновационной активности.
В экономике одновременно действуют несколько (как правило, не больше двух) технологических укладов с периодом жизни 100 - 150 лет, что демонстрирует рис. 1 (ко -эффициент по оси ординат на рис. 1 равен десяти). Зарождение нового технологического уклада по времени совпадает с началом падения эффективности доминирующего уклада. Суммарная траектория экономической эволюции испытывает колебания вокруг повышающегося тренда.
Большинство теорий экономической эволюции исходят из чисто экономических предпосылок, однако ряд экономистов уделя -ет большое внимание и социальным факторам. Некоторые зарубежные ученые (К. Перес, И. Миллендорфер) являются сторонниками интегрированного подхода, объясняющего явление периодичности взаимодействием технико-экономических и социальных сфер. Одной из причин кризисов является рассогласование скоростей инноваций в экономической и социальных областях.
Покажем, что траекторию экономической эволюции можно моделировать суммой двух функций (показанных на рис. 1) с запаздывающими аргументами т и т2:
0 5 10 15 20 25 30
Рис. 1. Траектория экономической эволюции
Щ = А/і - т/1ехр(- а( - т)
+
+
А( - т/2ехр(- а( - т^.
(11)
Амплитуды, симметричность или крутизна фронтов каждого из импульсов могут быть различны. Общим случаем при осуществлении идентификации модели (11) является допущение существования обоих импульсов в момент времени т0 начала эконометрического моделирования.
Тогда запись суммы двух импульсов в новом времени t = I - т0 при ограничении биномиальных рядов разложения каждого из импульсов первыми тремя членами примет вид
^ = Атз1п1(1 + п/Л + п1(п1 ^ 1)\
\ 212т^)ехр(- ах1)ехр(- ахт) +
+ А2Тз2П2(1 + + П2(П2 - ^ Х
х ехр(- а211)ехр(- а2т2) + К к, где т = т - т т = т - т
1 0 з1 2 0 з2
Вводя обозначения
Ві = Ат1ехр( - атХ
В2 = АТ2еХР(. - а,т,),
С1 = п/т,
С2 = п2/т2’
В1 = П1(П1 -
П2 = П2(П2 - 1)\2т22 ,
получим аппроксимативную модель траектории экономической эволюции
^ = (В1 + + вр^2)ехр(- а^) +
+ (в2 + В2С^ + вр^2)ехр(- а£) + Щ.
Последнему выражению можно поставить в соответствие авторегрессию шестого порядка
Yк = д Yк-l - д Yк-2 + д Yк-3 - д Yк-4 +
+ д Yк-5 - д Yк-6 + Кк
где
Д = 3(Л + Л2Х
Д2 = 3(Я12 + 3Л1Л2 + ^
Д = Л13 + 9Л1Л22 + 9Л2Л12 + Л22,
Д = Д2Л1Л2,
Д =
Дб = (Л1Л2)3,
Л1 = 2ехр( - а1 А),
Л2 = 2ехр( - а2А).
Решение соответствующей СЛАУ шестого порядка для реализации условия нахождения ОМНК - оценок д°, д2°, д°, д°, д°, д6° позволит на первом этапе идентификации определить ОМНК - оценки модели по формулам
а1° = - ЬпЛ°\А,
а2° = - ЬпЛ2°\А, в которых
(Л2°)2 - ^1°Л2°\3 + Д°\Д° = 0,
Л1° = Д°\(Д°Л°).
Подстановка ОМНК-оценок а1° и а2° в приведенную выше модель экономической эволюции, реализация условия ОМНК-оценок В°, (ВС.)°, (В р.)° (I = 1, 2) приводит на втором этапе идентификации к СЛАУ шестого порядка, из которой рассчитываются В1 °, С1°, Р1°, В2°, С2°, Р2°, а через них, с учетом принятых обозначений, и параметры
т° = С°\((С°)2 - 2Р°),
Т° = С2°\((С2°)2 - 2Р°),
V = (С °)2\((С °)2 - 2Р°),
V = (С2°)2\((С2°)2 - 2Р°°),
А1° = В1°ехр( - а1°т1°)\(т1°)п1°,
А2° = В2°ехр( - а2°т2°)\(т2°)п2°,
т ° = т - т°
з1 0 1
т ° = т - т °
з2 0 2
Для идентификации модели (11) минимально необходимо 11 отсчетов динамического ряда.
Таким образом, предложены методы идентификации по статистическим данным пяти наиболее широко употребляемых моделей логист, причем с приближением к реальной экономической практике: возможностью учета временного тренда, экзогенных воздействий, колеблемости общего вида.
Методы позволяют достаточно просто, по малому числу отсчетов динамического ряда (что эквивалентно малому требуемому периоду стационарности каждой из моделей), без знания априорных сведений о параметрах логисты осуществить идентификацию модели логистической динамики.
Список литературы
1. Эконометрика/ Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002.
2. Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования. - М.: Статистика, 1977.
3. Джонсон Дж. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980.
4. Семёнычев В. К. Идентификация экономической динамики на основе моделей авторегрессии. - Самара: АНО «Изд-во СНЦ РАН», 2004.
5. Плотинский Ю. М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. - М.: «Логос», 1998.
SIMULATION OF LOGISTIC DINAMICS IN CONDITIONS OF REAL ECONOMY
© 2005 V. K. Semyonytchev
Samara State Aerospace University
Methods of stimulating actual statistical data with the help of logistic models are proposed. They are based on autoregressions of dynamic sets of economic dynamics indices with regard to exogenous influences which occur in practice. The methods use small samples and do not assume a priori knowledge about the processes being analysed.
