Эффекты отсутствия обращения в потоках с поверхностью тангенциального разрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронное периодическое издание «Вестник Дальневосточного государственного технического университета» 2009 год № 1 (1)

01.00.00.Физико-математические науки

УДК 532(075.8)

Н.В.Земляная

Земляная Нина Викторовна - д-р техн. наук, профессор кафедры гидравлики, водоснабжения и водоотведения ДВГТУ. E-mail: nina-z@list.ru

ЭФФЕКТЫ ОТСУТСТВИЯ ОБРАЩЕНИЯ В ПОТОКАХ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ТАНГЕНЦИАЛЬНОГО РАЗРЫВА

Используется положение об отсутствии обращения течения в задаче движения тела в среде с деформируемой поверхностью тангенциального разрыва. Применяется интеграл Коши-Лагранжа для определения условий перехода потока от докритического состояния к надкритическому. Найдены критерии перехода для течений, вызванных движением тела, и для течений, обтекающих неподвижное тело. Полученные теоретические результаты используются для исследования процессов генерации возмущений слоя скачка плотности (пикноклина) движущимся источником на поверхности стратифицированного океана. Процесс перехода к надкритическому режиму интерпретируется как процесс генерации турбулентности, вовлекающей стратифицированные слои в движение и вызывающей перемешивание. Приводится пример расчета параметров возмущения солитонного типа, генерирующего внутренние волны. Рассматриваются вопросы затопления полей примесей под слой скачка плотности от движущихся и неподвижных источников.

Ключевые слова: обращение течения, поверхность тангенциального разрыва, интеграл Коши-Лагранжа, стратифицированные течения, слой скачка плотности, вовлечение, устойчивость.

Nina V. Zemlyanaya

ABSENCE EFFECTS OF THE REVERSAL IN STREAMS WITH A SURFACE OF

TANGENTIAL DISCONTINUITY

The article uses the statement on the absence of the reversal of a current in a problem of body movement in the environment with a deformable surface of tangential discontinuity. The

74

Cauchy-Lagrange integral is applied to the definition of transition conditions in a stream from sub-critical behavior to above-critical one. The paper also defines the flow transition criteria induced by body movements as well as the criteria for the flows around the body. The theoretical results obtained are used for researching disturbance generation processes in a layer of density jump (ther-mocline) by a moving source on a surface of the stratified ocean. Transition process to subcritical behavior is interpreted as process of turbulence generation involving stratified layers in movement and causing their mixing. A calculation example of disturbance parameters generating internal waves is presented. Questions of impurity fields flooding in from moving and motionless sources under a layer of density jump are considered.

Key words: reversal of a current, surface of tangential discontinuity, Cauchy-Lagrange integral, stratified current, layer of density jump, involvement, stability.

Обращение течения, т.е. наложение на систему «жидкость - движущееся тело» равномерного поступательного потока, направленного в противоположную движению сторону, является широко используемым в гидромеханике приемом, позволяющим нестационарную задачу в неподвижных координатах, которую назовем задачей о движении тела в жидкости, заменить эквивалентной стационарной задачей движения жидкости относительно тела, которую назовем обтеканием тела [9]. Другими словами, под обращением будем понимать замену движения тела со скоростью uo в неподвижной жидкости обтеканием неподвижного тела потоком, натекающим на тело с той же скоростью uo.

Термин «тангенциальный разрыв» в данной статье имеет обычный смысл [6], предполагающий непрерывность нормальной компоненты скорости и давления жидкости при переходе через поверхность разрыва, общеизвестным примером которой является свободная поверхность жидкости.

В работе [3] было теоретически и экспериментально показано, что при движении тела под границей тангенциального разрыва скорости и плотности отсутствует обращение течения. Это означает, что при движении тела под свободной поверхностью жидкости, находясь внутри движущегося тела, по величине деформаций этой поверхности можно вычислить, движется тело или движется жидкость, натекающая на тело. При этом теоретические выводы были

75

сделаны при строгом применении преобразований Галилея, что позволило утверждать, что при оговоренных выше условиях преобразования Г алилея неадекватны процедуре обращения течения.

Результаты исследований, показанные в работе [3], могут быть полезными при изучении условий устойчивости поверхности тангенциального разрыва. В технических приложениях указанная задача исследовалась как задача устойчивости стратифицированных течений, например, при заборе воды из стратифицированных прудов-охладителей, при затоплении поля сточных вод под слой скачка плотности в морских глубоководных акваториях и т.д. Кроме этого сведения об устойчивости поверхности тангенциального разрыва являются принципиально значимыми для моделирования внутренних волн, генерируемых движущимися источниками. Под устойчивостью стратифицированного слоя будем понимать сохранение исходной стратификации.

В морях существует ситуация, при которой перемешанный более легкий слой движется над слоем тяжелой жидкости, перемещающейся с существенно меньшей скоростью. Между этими слоями образуется слой скачка плотности (пикноклин) и скорости, в идеальном случае представляющий бесконечно тонкую поверхность тангенциального разрыва. Такой вид разрыва носит название сильного, т.к. в нем претерпевают разрыв основные характеристики (плотность и скорость), и тангенциального разрыва скорости, т.к. на этой поверхности терпит разрыв тангенциальная составляющая скорости.

Плотностная стратификация может быть значимой для движущихся потоков или незначимой в зависимости от соотношения действующих сил, которое характеризуется безразмерными комплексами.

На рис. 1. показано распространение струи под слоем скачка плотности в стратифицированном море. На схемах этого рисунка реализуются два случая, в первом (рис. 1 а) струя проникает через слой скачка, вовлекая в движение стратифицированные слои. Очевидно, здесь силы инерции и энергия турбулентности преобладают над архимедовыми силами, и слой скачка как поверхность

76

тангенциального разрыва является неустойчивым по отношению к струе. Во втором случае (рис.1 б) силы плавучести являются доминирующими и струя распространяется под слоем скачка, не вовлекая в движение устойчивые к этим возмущениям более теплые верхние слои.

Рис. 1. Распространение струи: а) с вовлечением слоя скачка в движение; б) без вовле-

Такая же картина, но с отражением струи в верхний перемешанный слой может развиваться при источнике возмущения, расположенном выше слоя скачка.

Для того чтобы прогнозировать поведение струй разной природы необходимо понимание механизма разрушения многослойной системы жидкостей. Оценка вовлечения или устойчивости поверхности раздела может быть выполнена несколькими методами. В океанологии влияние плотностной стратификации связывается с масштабами турбулентности.

Масштаб длины, до которого влияние плотностной стратификации потока незначительно (1к), определяется зависимостью Р.В.Озмидова [7, 8]

где С - некоторая константа; N - частота Вяйсяля-Брента; еи - скорость диссипации турбулентной энергии.

Диффузия импульса и диффузия примеси при затухающей турбулентности определяется мелкими вихрями Колмогоровского масштаба турбулентности:

а

0.0

б

0.0

\

\]

Т С = ^Н)

перемешанный слои

ело-"- —-

7

чения

(1)

где V - кинематический коэффициент вязкости.

Струя проникает в стратифицированный поток, если

Л<.

Зависимости (3), (2) и (1) дают следующее условие для проникновения турбулентности

Система дифференциальных уравнений стратифицированного течения включает уравнения движения Рейнольдса, уравнения неразрывности и уравнения диффузии. При помощи анализа размерности из системы уравнений движения получают следующие критерии подобия: число Рейнольдса Яв = и01/ V

где К, К - коэффициенты турбулентного обмена количеством движения и субстанции; - коэффициент температуропроводности.

Анализ механизма турбулентности приводит к появлению безразмерных комплексов:

турбулентного числа Рейнольдса ЯеЕ

И2У<Є,.

(4)

'у

плотностное число Фруда Ргр = и0 /I х g ( I - характерный размер, g - ускорение силы тяжести), турбулентное Рг, и физическое Рг числа Прандтля

Рг( = К /Ка, Рг = у/ки

(5)

ЯеЕ =4еТ7у;

(6)

локального числа Рейнольдса Яеь, введенного Л.Г.Лойцянским

(7)

динамического числа Ричардсона

локального числа Ричардсона Яі*

а* = - -8 5р

V

5і

(9)

р &

где Е - турбулентная кинетическая энергия; I - поперечный масштаб турбулен-ности; 5 - концентрация субстанции; и'^и'г^' - пульсационные составляющие скорости и концентрации субстанции.

Указанные безразмерные комплексы делятся на интегральные Яв, Ргр и локальные - Ш, ЯЯвЕ, Явь. Условие проникновения турбулентности (4) относится к локальным параметрам. Применение такого вида условия вполне объяснимо, т.к. в океанологии интегральные параметры в связи с большими размерами линейных масштабов устремляются к нулю или бесконечности, что в соответствии с постулатами теории подобия лишает их значимости.

Из интегральных критериев наиболее известными являются соотношение Дж.Келегана [5], согласно которому поверхность раздела тангенциальной скорости становится неустойчивой, если относительная горизонтальная составляющая скорости достигает критической величины

ис = с

ґ АрЛІ/3

V -й-

(10)

V Р у

Условие устойчивости Дж.Келегана иногда выражают в виде

Ке = Ре Гг = Ке = 0,178. (11)

р кр ’ У /

Близкими по результатам и виду к критерию Дж.Келегана являются условия устойчивости К.Я.Кинд и А.П.Нетюхайло.

Турбулентность и диффузия в стратифицированных течениях анализируют как в рамках фундаментальных исследований, так и прикладных. Обзор влияния интегральных и локальных критериев на устойчивость стратифицированных течений дан в ряде работ [1, 2, 4]. Некоторые авторы (Ламб, Джефрис, Лятхер, Лофквист, Линь и Уиллок) [4] связывают критерии устойчивости с характеристиками волнового движения.

2

Прандтль, а затем Шлихтинг установили, что на устойчивость поверхности раздела оказывает влияние соотношение энергий турбулентности и плавучести. Оценки Прандтля показали, что турбулентность затухает при значениях чисел Ричардсона (8), больших 2. Тейлор установил, что нарушение устойчивости наблюдается уже при Яг « 1 [4].

Общей особенностью приведенных выше результатов исследований является то, что они относятся к стационарным случаям задач об устойчивости поверхности раздела сред разной плотности.

При исследовании движения или обтекания тел реализуется иной подход к определению условий перемешивания и вовлечения стратифицированных слоев. Условие нарушения устойчивости поверхности тангенциального разрыва связывается с переходом потока из докритического состояния в надкритическое. В гидравлике открытых потоков первые называются спокойными потоками, в них числа Бг больше единицы, вторые - бурными (Бг >1).

На рис. 2 а показаны линии тока и деформации свободной поверхности для докритического режима при обтекании плоского тела или при изображении движения тела в координатах, движущихся вместе с телом, а на рис. 2 б показаны аналогичные процессы в критическом режиме.

Рис. 2. Изображение движения тела в подвижных координатах или обтекания неподвижного тела: а) линии тока, докритический режим; б) критический режим над телом, в сечении 1-1 Бг = 1

При надкритическом режиме обтекания и движения поток перед телом спокойный, критический режим формируется непосредственно над телом, за

телом происходит гидравлический прыжок, сопровождающийся образованием водоворотных зон и турбулизацией потока на поверхности раздела сред разной плотности. Интенсивность турбулентности при надкритическом режиме резко возрастает, что приводит к разрушению поверхности раздела и вовлечению в движение вышерасположенных слоев жидкости.

Поставим задачу определения условий перехода от докритического режима движения в надкритический для движения и обтекания тела.

Рассмотрим двумерную задачу движения тела со скоростью и0 вдоль горизонтали под поверхностью раздела (рис. 3), являющейся одновременно и поверхностью тангенциального разрыва двух несмешивающихся и идеальных жидкостей с плотностью Р1 и р2.

У А

Рис. 3. Линии тока при изображении движения тела в неподвижных координатах

Обозначим ф1 = ф1(£,ц^) потенциал вызванных движением тела скоростей, включая потенциал волновых движений жидкости с плотностью р1; ф2 = ф2(^,П,^) - потенциал волновых движений жидкости с плотностью р2. Применяя интеграл Коши-Лагранжа для вызванного потенциального течения непосредственно под границей раздела, получим

— +1 + д^~ + + gh(%) = С0 (г), (12)

р1 2 дг

где Р - давление на границе раздела, г - переменная высота тела; к - глубина жидкости над движущимся телом.

Далее представим картину течения и выражение (12) в подвижной, соединенной с телом системе координат (х, у, ?)

81

х = 4-иаг, у = ц . (13)

В зависимости (13) и далее скорость набегающего потока при обтекании и скорость движения тела и0 будет пониматься как абсолютная величина. Схема течения при изображении движения тела в подвижных координатах показана на рис. 2 а.

Производные по времени и пространству в неподвижной дн / дь и подвижной д / дь системах связаны соотношениями [6, 9]:

^ = д_% - и ^, (14)

дґ дґ 0 дх

дф2 = дф1 дх дф1 = дф2 ду

д^ дх д^ дц ду дц

использование которых дает интеграл Коши-Лагранжа (12) в подвижной системе координат в виде

- + 1 - ио ^ + §Г (х)+ ёКХ )= Со . (16)

р1 2 дґ дх

Воспользуемся условием непрерывности давления при переходе через границу раздела и применим интеграл Коши-Лагранжа непосредственно над границей раздела

— + 1 2 'У^2 - ио ^ + gr(х)+ gh(x)= С1 . (17)

р2 2 дг дх

Исключая из уравнений (16) и (17) давление П и учитывая, что в подвижной системе координат поле вызванных скоростей является стационарным и дф1 / дг = 0, дф2 / дг = 0, получим

1 Уф-Уф, - ы0^ -р (1 Уфг-Уф, - По^1 + ^г + gЪ = С, (18)

2 дх р ^ 2 дх )

где g' = g( Р1 - р2)/р1.

В подвижной и неподвижной системах производные по пространственным координатам в соответствии с соотношениями (13) - (15) совпадают, поэтому

„ - дщ1 - дщ1 - дщ1 - дщ1 - ,1ПЛ

Ущ = г —— + ] —— = г —— + ] —— = w, (19)

# 1 /т. и /т. •'' ЧУ

дд дц дх ду

где г,] - единичные векторы в направлении осей х, у; w - вектор вызванной движением тела скорости.

Вызванные движением тела скорости связаны с перемещением масс жидкости, приходящийся на единицу ширины тела, объемный расход которых q может быть определен из граничного условия непротекания через поверхность тела 5

д = В|ий$ = } = иог» (20)

А А

где ып - нормальная к поверхности тела составляющая скорости.

При небольшой глубине потока к могут быть приняты условия «мелкой воды», тогда вызванные скорости над телом значительного удлинения определяются из соотношения

| / W | = q/k. (21)

В интервале значений х, в котором справедливо соотношение (21), уравнение (18) после подстановки (19) и (21) приводится к виду.

д ... д . Р2 (и0 М. _ 1 Ущ ,уф21 + £ V + £ V = с. (22)

дх 2 у

+ ил —+ ■

2к2 0 к Р1

Дифференцирование зависимости (22) по х позволяет получить соотно шение

дг р2 д ( дф2 Л

2 и0^ _У^2 -У^2 / 2

дх

дк дх £' дх

дх

V ил у

2

1 _

д | ио | д

(23)

к3£ к2£

V "6 & у

Таким образом, поведение границы раздела существенным образом зависит от безразмерной величины

с _ д2 , 1ио1д , V

=Т“ + , 2 , =~ГТ + ~^Г ’ (24)

к3£' к £' £ к £ к

где индекс m относится к числам Фруда (F), характеризующим движение тела.

При движении тела под поверхностью раздела между водой и воздухом р2«р1, поэтому вторым членом числителя правой части уравнения (23) можно пренебречь. Тогда, если Fm < 1, то граница раздела при dr/dx > 0 понижается над движущимся телом; если Fm > 1, то повышается; при Fm = 1 дк/дх терпит разрыв.

Рассмотрим обтекание, сообщив системе поступательную скорость, равную скорости тела, но направленную в противоположную сторону. В обтекании тело становится неподвижным, жидкости с плотностью p1 и р2 приобретают далеко впереди тела скорость u0 и потенциал щ. Координаты x, y неподвижны относительно тела.

Положим, что потенциал в жидкости с плотностью p1 равен (р0 + (р1, в котором (р1 включает волновые и вызванные телом движения; потенциал в жидкости плотностью р2 равен (р0 + (р2, где (р2, как и в предыдущем случае, описывает волновые перемещения в верхнем слое, и применим интеграл Коши-Лагранжа непосредственно под и над границей раздела P 1 ( \

— + - v((Po +Ф1 )'v((Po +Pi)+ gk(x)+ gr (х )= Ci > (25)

Pi 2

P 1

— + - V((Po +Ф2 )'V((Po +Ф2 )+ gk(X)+ gr (x )= C2 • (26)

P2 2

Исключая давление из последних уравнений, обозначая вызванные скорости в нижней жидкости - iw = V(p1 и учитывая, что V(p0 = -iu0, приведем соотношения (25) и (26) к виду

k + w) P2 „2 , (u . V9] -1 V9] -Vy2 Vg'(к + r) = C• (27)

■ U +

2 2p, o

V 2 у

Для «мелкой воды» и из условия сохранения расхода жидкости

и Н О ,._ч

и + w = —— = —, (28)

о к к ( )

где Q - расход жидкости в канале далеко впереди тела.

84

Подстановка соотношений (28) в уравнение (27) позволяет получить

0 Р2-и2 +

2к2 2 р о

г 1 Л

то — 'Чф2-^ф2 + g(к + г) = С. (29)

2

Дифференцирование выражения (29) по х определяет, что

дг р2 д дк дх р дх

1 '

1ио

V 2

дх (ио +

(30)

g ’к

Второе слагаемое в знаменателе представляет известное плотностное число Фруда:

(ио + ^

Рг =^°-----------(31)

р ,1 V /

g к

характеризующее поведение границы раздела при обтекании тела. В потоке, в котором границей тангенциального разрыва является свободная поверхность жидкости, р2 «р и при йт/йх > 0, если Етр < 1, то поверхность раздела понижается, если Етр > 1 поверхность повышается.

Сопоставление зависимостей (24) и (31) показывает, что для движения тела и его обтекания критериальные соотношения имеют разный вид. Это означает, что переход от докритического состояния к надкритическому происходит для двух рассматриваемых случаев при разных скоростях движения тела и набегающего потока, что вытекает из условий перехода (24) и (31). Докритиче-ское состояние показано на рис. 2 а и 3. Для этого состояния характерно понижение уровня воды над моделью на величину ЛИ. Уровень жидкости перед моделью выше уровня за ней только для вязкой жидкости и должен соответствовать силам вязкого сопротивления. Переход от докритического состояния к надкритическому сопровождается разрывом типа ударной волны [6]. При надкритическом режиме энергии потока до начала движения тела или до появления тела в движущемся потоке недостаточно для преодоления препятствия, и поэтому происходит повышение уровня воды перед моделью до тех пор, пока

кинетическая энергия не аккумулируется в потенциальную и не достигнет величины, необходимой для преодоления препятствия. Надкритическое состояние показано на рис. 2 б.

Переход от докритического состояния к надкритическому происходит, когда глубина над моделью И1 (рис. 2) приобретает критическое значение, соответствующее минимуму удельной энергии потока [12]. Величина критической глубины может быть найдена из зависимости (23) для движения тела и зависимости (30) для обтекания тела, если знаменатели этих формул приравнять нулю. Тогда критическая глубина Ит для потоков от движущегося тела находится из кубического уравнения

2

-1 = о (32)

к & к: & ( )

для потоков обтекания тела критическая глубина И находится из соотношения

к

Б

О2

°г. (33)

g

На рис. 4 показаны фотографии картины обтекания (а) и движения (б) крыла в канале ограниченной глубины при одинаковых исходных параметрах: глубина жидкости в состоянии покоя перед моделью 9,2 см; скорость движения жидкости при неподвижной модели и скорость движения модели 0,4 м/с; при обтекании модели дно лотка движется со скоростью 0,4 м/с.

Фотографии иллюстрируют, что при обтекании крыла глубины потока, сформировавшегося перед моделью и над моделью выше, чем аналогичные глубины при движении крыла. Более того, эксперименты показали, что параметры потока при движении крыла соответствуют теоретическим только при докритическом режиме потока обтекания. Далее, при повышении скорости гидродинамические характеристики течения при движении тела принципиально отличаются от характеристик обтекания. Так, движение тела перед моделью формирует поток, который движется впереди него [3]. При обтекании тела такие потоки отсутствуют.

Рис. 4. Картина течения при обтекании и движении тела, надкритический режим, расстояние между горизонтальными линиями - 2 см: а) обтекание тела потоком жидкости;

б) движение тела в неподвижной жидкости

Таким образом, критерии перехода потока в надкритический режим для движения тела и его обтекания являются различными.

Рассмотрим пример применения полученных результатов. Пусть по поверхности океана движется судно (рис. 5), погруженная в воду часть которого

составляет 5 м. Скорость движения судна 10 м/с, длина 50 м, толщина перемешанного слоя Н = 55м, расстояние от дна судна до слоя скачка 50 м, градиент плотности Ар / р = 0,0011.

Поле вызванных скоростей примем аналогичным полю, формирующемуся при обтекании овоида вращения радиусом 5 м и длиной 50 м [11]. На верхней границе слоя скачка вызванная скорость на вертикальной оси судна с учетом наличия отражающей границы w = 0,036 м/с, тогда число Фруда по зависимости для движения тела (24) определится следующим образом:

и0 w

0.036

2

0,036 X10

= 0,74.

£Н 50 х 9,81 х 0,0011 50 х 9,81 х 0,0011

В рассматриваемом примере реализуется докритический режим (Гт<1), это означает, что слой скачка поднимается на величину АН и поле вызванных скоростей движущегося источника не разрушает слой скачка. Высоту подъема АН можно определить, применяя интеграл Коши-Лагранжа для не-

Рис. 5. Схема возмущения слоя скачка плотности движущимся судном

возмущенного потока впереди тела и для сечения, проходящего через вертикальную ось симметрии судна. В итоге, пренебрегая волновыми движениями, получаем

АН =

Ґ 2 w

2

+ wu0

(34)

Расчет по формуле (34) позволяет определить повышение слоя скачка (возмущение солитонного типа) над уровнем его невозмущенного состояния на величину АН = 33,4м, что, несомненно, будет источником генерации внутренних волн. В том случае, если пикноклин разделяет почти однородные водные

массы, выражен достаточно резко и не разрушается при взаимодействии со

88

свободной поверхностью, то возможна реализация низшей моды, в которой сосредоточивается значительная часть полной энергии волнового движения. Однако наиболее вероятен многомодовый спектр внутренних волн, генерируемый, в том числе, процессом разрушением устойчивых стратифицированных слоев.

Приведенные в примере результаты получены для идеальной жидкости. Вязкость жидкости, струя с нулевым импульсом, также как и учет реальных обводов движущегося объекта, могут внести коррективы в расчеты, однако приведенная в примере ситуация является достаточно реальной.

На рис. 1 б показана схема, которая может быть рассмотрена как решение задачи затопления поля сточных вод под слой скачка плотности. Здесь также необходимо определять условия устойчивости стратифицированного слоя, однако для этих целей могут быть использованы зависимости (4) - (11).

Для движущихся источников проблема прогнозирования поведения поля примеси связана также с ответом на вопрос, где будет находиться это поле относительно слоя скачка, однако в этом случае нельзя применять критерии устойчивости (вовлечения), полученные для стационарных течений.

Таким образом, приведенные исследования обозначили две задачи (распространение внутренних волн и полей примесей от движущихся источников), в которых результаты, полученные для определения устойчивости поверхности тангенциального разрыва в стационарных потоках, не могут быть экстраполированы на движение тела с постоянной скоростью, которое в неподвижных координатах в общем случае является нестационарным. Кроме этого, очевидно, нельзя в процессах физического и математического моделирования при наличии поверхностей тангенциального разрыва использовать процедуру обращения течения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Большаков В.А., Константинов Ю.М., Попов В.Н. и др. Справочник по гидравлике. Киев: Выща шк., 1984. 343 с.

2. Васильев О.Ф., Квон В.И., Розовский И.Л. Стратифицированные течения. Гидромеханика. Т. 8. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1975. 131 с.

3.Земляная Н.В. Об обращении движения в задаче движения тел под деформируемой поверхностью тангенциального разрыва // Журнал технической физики. 1993. Т. 63. № 2. С. 14-23.

4. Ибад-заде Ю.А., Гурбанов С.Г., Азизов С.Г. и др. Гидравлика разноплотностного потока. М.: Стройиздат, 1982. 295 с.

5. Кейлеган Д.Г. Механизм образования неподвижного клина соленой воды // Гидродинамика береговой зоны и эстуариев. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. С. 278-303.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Физ-матлит, 2006. 736 с.

7. Монин А.С., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

320 с.

8. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 280 с.

9. Самолюбов Б.И. Плотностные течения и диффузия примесей. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 352 с.

10. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1984. 560 с.

11. Федяевский К.К., Войткуновский Я.И., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1968. 568 с.