ЭФФЕКТИВНЫЙ ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР ИЗЛУЧЕНИЯ В ДВУМЕРНОМ ДВУХКОМПОНЕНТНОМ КОМПОЗИТЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

�ции значительно отличается от случая электростатики: электрическое и магнитное поля связаны. В [8,9] показано, что даже в длинноволновом пределе эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости не самоусредняются с ростом размера композита, т.е. они не могут выступать в роли эффективных параметров. Кроме того, задача гомогенизации в электродинамике становится многомасштабной: возникают дополнительные масштабы, связанные с длиной волны внутри компонент композита. Вследствие этого перестает работать теория С-конвергенции. Таким образом, возникает неопределенность даже в выборе эффективных параметров [8,10].

Тем не менее для слоистых систем без поглощения показано, что вне зависимости от соотношения между толщиной слоя и длиной волны можно ввести самоусредняющийся эффективный волной вектор [11,12]. При этом эффективный волновой вектор удовлетворяет соотношениям вида Крамерса-Кронига, а его действительная и мнимая части имеют физическую интерпретацию [12]. Кроме того, в случае двумерного периодического композита показано [13], что эффективный волновой вектор в длинноволновом пределе сходится к статическому значению, получаемому из теории С-конвергенции ке// ^ к0^£а.

Целью данной работы является численная проверка сходимости эффективного волнового вектора для электродинамической задачи в длинноволновом пределе к электростатическому решению Дыхне для случая «шахматного» композита.

«Шахматный» композит

В работе [7] рассмотрен двумерный композит, состоящий из двух компонент с различными электрофизическими свойствами. При этом статистически композит симметричен, т.е. замена компонент одна на другую не приводит к статистическим изменениям пространственного распределения электрофизических свойств. Заменим переменные в уравнениях Максвелла в статике: от полей Е и Б перейдем к полям

Е' = N х В

О' = ^£1£2

N хЕ

(1)

где N - нормаль к плоскости композита. При этом вид статических уравнений Максвелла не изменится, а используемые в них константы £1 и £2 для компонент поменяются местами. В силу статистической симметрии относительно замены компонент для новой системы уравнений сохраняется эффективный параметр, т.е. для средних полей верно = £ец ^Е^ и = £eff (е'^. В то же время замена (1)

позволяет получить соотношение между средними полями (^3, (^Е^ из уравнения = £еЦ , откуда следует

£е7;п е = (2)

Данное соотношение получено из строгого рассуждения в электростатике. Однако в электродинамике система уравнений Максвелла имеет более сложный вид, а эффективную диэлектрическую проницаемость некорректно вводить из-за её мезоскопических свойств [8,9,14]. Тем не менее может быть введен эффективный показатель преломления [12,13], совпадающий в случае периодического композита с блоховским волновым вектором. В длинноволновом пределе эффективный волновой вектор сходится к значению, соответствующему предсказаниям С-конвергенции.

В данной работе рассмотрим сходимость эффективного волнового вектора - блоховского волнового вектора - к решению Дыхне (2) для двумерного композита, имеющего шахматную структуру (см. Рис. 1).

(а)

(б)

Рисунок 1 - (а) Симметричный композит из двух компонент, расположенных в шахматном порядке, и (б)

рассматриваемый в расчетах период системы

При этом необходимо рассмотреть случай поляризации волны в плоскости композита, что соответствует формулировке задачи для электростатического решения Дыхне.

Эффективный волновой вектор

Рассмотрим систему уравнений Максвелла

V х Е = гк0Н

(3)

А 1

ко е(г)

V х Н

= Е.

Для рассматриваемой поляризации удобно перейти к уравнению на Н, поскольку при этом достаточно ограничиться решением скалярного уравнения на компоненту Нг (см. Рис. 1а)

V х

(Е)

НЕ

= к20Н.

(4)

Используя свойство периодичности системы, разложим в ряд Фурье обратную к диэлектрической проницаемости величину

-ТЕ) = 4-% ехР ^ (°хПхX + вуПуу)1 (5)

пх ,пу

где С -г-ая компонента вектора обратной решетки. Рассмотрим период композита, изображенный на Рис. 1б. Будем искать решение (4) в виде блоховской волны с волновым вектором к (кх;ку; 0):

Н (х, у) = егНрег (х, у) ехр [ъ (кхх + куу)], где Нрег (х, у) - периодическая в плоскости композита функция

Нрег (х, у) = У2 НПтехр[г(Схпхх + Супуу)]

(6) (7)

После подстановки (6), (7) в (4) получаем систему уравнений

£ Н<-<,пу-< {{к* + Схп'х) {кх + вхпх) + (ку + вуп'у) (кУ + вупу)} = к1Нп„,

(8)

В дальнейшем будем полагать Сх = Су = С. Расчет эффективного волнового вектора к будем проводить путем численного поиска нулей определителя системы уравнений (8). Для получения численного решения будем использовать конечное число гармоник Фурье разложения: 2 Кшах + 1 гармоник вдоль каждой из осей, где Кшах - параметр отсечки. Для обращения матрицы уравнения (8) используем метод Ьи-факторизации.

1

у

Эффективный волновой вектор «шахматного» композита в длинноволновом пределе

В дальнейших расчетах положим постоянной длину волны, а период системы будем варьировать. В длинноволновой области для «шахматного» композита изочастота имеет вид окружности (см. Рис. 2). Радиус окружности keff — коneff соответствует эффективному волновому вектору.

-0.25-

-0.50-

I I I I I I I I I I I I I I

-0.50 -0.25 0.00 0.25 к/С

0.50

Рисунок 2 — Изочастота для двумерного периодического композита с диэлектрическими проницаемостями

компонент г\ = 1, £2 = 4, ко = 0.Ю

(а)

(б)

Рисунок 3 — Распределение диэлектрической проницаемости в периоде для композита из (а) Бг02 и (б) Бг, восстановленные из Фурье-образа при Ктах = 50, ко = 0.001 С

В качестве композитов далее рассмотрим «шахматные» структуры, в которых в качестве компонент выступают воздух (е1 = 1) и БЮ2(г2 — 2.13 или е2 — 13.22 соответственно). При численном решении уравнения (8) приходится обрезать максимальный порядок в разложении Фурье, что приводит к дополнительной неточности в расчетах помимо численной ошибки. В расчетах использовалось до 2Ятах + 1 = 101 гармоники вдоль каждой из осей. На Рис. 3 представлены восстановленные из Фурье-образов при Ятах — 50 распределения диэлектрической проницаемости. Стоит отметить, что с ростом отсечки Ятах происходит довольно медленное убывание Фурье-образа величины (5): £пх ]пу ~ 1/пхпу, что затрудняет повышение точности расчета путем повышения отсечки Ятах. Тем не

менее при Ятах — 50 для Фурье-образа диэлектрической проницаемости наблюдается хорошее соответствие с исходным распределением диэлектрической проницаемости. Подобная картина наблюдается и для обратной к е(Н) величины, используемой в расчетах.

В длинноволновом пределе эффективный показатель преломления пец сходится к постоянной величине (см. Рис. 4). Таким образом, для проверки сходимости эффективного волнового вектора к

к0\/необходимо установить :

значение соответствующей постоянной величины.

Рисунок 4 — Зависимость эффективного волнового вектора от периода композита Бг02/воздух. Параметр

отсечки в расчетах Ятах = 20

На Рис. 5 представлено значение Ап отклонения эффективного показателя преломления от для композитов БгО^ /воздух и Бг/воздух с ростом величины отсечки Яшах. Полученные значения Ап с хорошей точностью соответствуют степенному закону убывания. Стоит отметить, что величина Ап заметно больше в случае Бг/ воздух, поскольку для этого композита заметно больше

4-1) тз

контраст диэлектрической проницаемости компонент, а значит и соответствующие величины £пх ,пу. Результаты, представленные на Рис. 5, подтверждают сходимость эффективного показателя преломления к решению Дыхне.

Рисунок 5 — Отличие эффективного показателя преломления от решения Дыхне для композита 5г02/воздух (черный) и Бг/воздух (красный) в зависимости от точности расчета (количества гармоник Фурье-образа). Ятах — величина отсечки для Фурье-образа вдоль каждой из осей. ко = 0.001 С

5. Заключение

Для композита, статистически симметричного относительно замены компонент, известно классическое решение Дыхне для величины эффективной проводимости/диэлектрической проницаемости. Однако данное решение получено в электростатике на основе аргументов о симметрии задачи. При этом решение Дыхне формально должно давать правильное значение эффективного электростатического параметра «шахматных» композитов - структур, образованных двумя компонентами в шахматном порядке. Вне электростатики отсутствуют какие-либо оценки применимости решения Дыхне, что важно в связи с перколяционными свойствами композита.

В работе исследован эффективный волновой вектор излучения, распространяющегося в периодическом двумерном композите. Эффективный волновой вектор, в отличие от эффективной диэлектрической проницаемости, может быть введен за пределами электростатики [11-13]. Более того, в длинноволновом пределе эффективный волновой вектор сходится для периодической системы к значению электростатической теории G конвергенции [13]. В этой работе на основе численного эксперимента показано, что для «шахматного» композита эффективный волновой вектор сходится в длинноволновом пределе к решению Дыхне.

Список литературы

[1] Shadrivov, Ilya V., Lapine, Mikhail, Kivshar Y.S. Nonlinear, Tunable and Active Metamaterials. 2015. 324 p.

[2] Chipouline A., Simovski C., Tretyakov S. Basics of averaging of the Maxwell equations for bulk materials // Metamaterials. 2012. Vol. 6, № 3-4. P. 77-120.

[3] Vinogradov A.P., Merzlikin A.M. Comment on "Basics of averaging of the Maxwell equations for bulk materials" // Metamaterials. 2012. Vol. 6, № 3-4. P. 121-125.

[4] Ludwig A., Webb K.J. Accuracy of effective medium parameter extraction procedures for optical metamaterials // Phys Rev B. 2010. Vol. 81, № 11. P. 113103.

[5] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний / ed. Олейник О.А. Москва: Мир, 1984. 472 p.

[6] Markel V.A. Introduction to the Maxwell Garnett approximation: tutorial // Journal of the Optical Society of America A. 2016. Vol. 33, № 7. P. 1244.

[7] Дыхне А.М. Проводимость двумерной двухфазной системы // ЖЭТФ. 1970. Vol. 59, № 7. P. 110-115.

[8] Vinogradov A.P., Merzlikin A.M. On Electrodynamics of One-Dimensional Heterogeneous System Beyond Homogenization Approximation // Advances in Electromagnetics of Complex Media and Metamaterials. Dordrecht: Springer Netherlands, 2002. P. 341-361.

[9] Виноградов А.П., Мерзликин А.М. К вопросу о гомогенизации одномерных систем // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2002. Vol. 121, № 3. P. 565-572.

10] Vinogradov A.P. et al. Additional effective medium parameters for composite materials (excess surface currents) // Opt Express. 2011. Vol. 19, № 7. P. 6699.

11] Puzko R.S., Merzlikin A.M. Analytical properties of the effective refractive index // Opt Commun. 2017. Vol. 383. P. 323-329.

12] Merzlikin A.M., Puzko R.S. Homogenization of Maxwell's equations in a layered system beyond the static approximation // Sci Rep. 2020. Vol. 10, № 1. P. 15783.

13] Rodionov S.A., Merzlikin A.M. Effective Refractive Index of 2D Porous Composite Materials // Journal of Experimental and Theoretical Physics. Pleiades journals, 2022. Vol. 134, № 5. P. 600-606.

14] Vinogradov A.P., Merzlikin A.M. Electromagnetic properties of super-lattice in the long wavelength regime // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering / ed. Lakhtakia A., Dewar G., McCall M.W. 2002. P. 307-316.

CoBpeMeHHaa э.пектроlцннамнка, № 2 (10), 2024

EFFECTIVE WAVE VECTOR OF RADIATION IN A TWO-DIMENSIONAL TWO-COMPONENT COMPOSITE MATERIAL

R.S. Puzko ^, A.M. Merzlikin1

1 Institute for Theoretical and Applied Electromagnetics of RAS, Moscow, Russia

* roman998@mail.ru Abstract

The effective wave vector of radiation propagating through a two-dimensional two-component checkerboard composite material has been studied. It is shown that in the long-wavelength limit the effective wave vector converges to the electrostatic solution for a statistically symmetric two-component composite.

Key words: composite material, homogenization theory