Эффективные определяющие соотношения неупругих композитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

37

УДК 539.3:534.1; 539.4:624.07

ЭФФЕКТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ НЕУПРУГИХ КОМПОЗИТОВ

В. И. Горбачев1

Рассматривается первая специальная краевая задача механики деформируемого твердого тела для вычисления эффективных определяющих соотношений неупругого неоднородного тела. Задача сведена к серии вспомогательных краевых задач для функций, зависящих от формы тела и вида определяющих соотношений. В случае неоднородного по толщине слоя проблема вычисления эффективных соотношений сведена к операторному уравнению, для решения которого предложен итерационный метод последовательных приближений. Получена приближенная аналитическая формула, позволяющая достаточно просто находить эффективные определяющие соотношения слоистого композита по известным неупругим определяющим соотношениям его компонентов. Приближенная формула отражает характер структурной анизотропии слоистого композита и в упругом случае дает точные значения эффективных модулей упругости.

Ключевые слова: механика деформируемого твердого тела, композит, неупругость, эффективные определяющие соотношения.

The first special boundary value problem in the mechanics of deformable solids is considered to derive the effective constitutive relations for a heterogeneous inelastic solid. The problem is reduced to a number of auxiliary boundary value problems for functions dependent on the shape of a solid and the form of constitutive relations. In the case of a layer with nonuniform thickness, the problem of finding the effective constitutive relations is reduced to an operator equation whose solution is sought by an iterative method of successive approximations. An approximate analytical formula is proposed to find the effective constitutive relations for a laminated composite on the basis of known inelastic constitutive relations for its components. This approximate formula takes into account the character of structural anisotropy in a laminated composite and, in the elastic case, yields the exact values of the effective elastic modulus.

Key words: mechanics of deformable solids, composite, inelasticity, effective constitutive relations.

1. Постановка задачи. Пусть неоднородное тело, занимающее объем V, ограничено поверхностью £. Тело находится в равновесии под действием заданных на его поверхности распределенных нагрузок и перемещений. Отнесем тело к декартовым координатам. В случае малых деформаций напряженно-деформированное состояние тела описывается следующими уравнениями [1]:

= 0, Uij = Fj(x,e), eui = ^kimnUm,u (x e V). (1)

Здесь aij, £j, Ui — компоненты напряжений, деформаций и перемещений; Fj (x,e) обозначают определяющие соотношения; галочка сверху — оператор по времени. Определяющие операторы в общем случае нелинейно зависят от компонент тензора деформаций. Материальные константы и функции, входящие в определяющие соотношения, зависят от координат.

Пусть на всей границе тела заданы перемещения специального вида

Ui is = u0 = Yij Vj, V e Yij = Yji = const. (2)

Задача (1), (2) называется первой специальной краевой задачей (СКЗ), из решения которой находятся эффективные определяющие соотношения неоднородного тела [2].

1 Горбачев Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

38

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

Легко показать, что в случае первой СКЗ

1

< > = у J ецйУ = Ъз-

V

Решим далее первую СКЗ, найдем перемещения иг(х, 7), деформации е.,(х, 7) и напряжения а,(х, 7), усредним напряжения по объему:

<.„>4/^,^,7 ))^ = М7)=М<?>). (3)

V

Оператор, обозначенный символом Н, называется эффективным оператором, а соотношения (3), позволяющие выразить средние по объему напряжения через средние по объему деформации, называются эффективными определяющими соотношениями типа < а е >.

Сложность решения СКЗ существенно зависит от типа определяющих соотношений. Относительно просто решается СКЗ для линейно-упругого неоднородного тела, когда

Рг, (х,е) = Сгзы(х)еы. (4)

Определяющие соотношения для линейного вязкоупругого неоднородного материала имеют вид

г г

Ъ(х,е) = 1г.,ф,г,гЫт)Лг = С^Ш!) —IГМ^тШт)Лт,

0 0

где (х,Ь,т) — сингулярные, а Г.,к1(х,Ь,т) — регулярные ядра релаксации.

Для нестареющих материалов определяющие соотношения записываются в виде интегралов Стил-тьеса [3]

г г

е) = J £ - т) йеы{т) = С^ы{х)ек1 + J —Т1 £ы(т)

00 где С,к1 (х) = (х, 0). В случае теории малых упругопластических деформаций

Рг,(х,е) = С,ы(х)еш - С,(х,е).

Здесь С, (х,е) — компоненты тензора второго ранга, нелинейно зависящие от компонент тензора деформаций. В частности, для пластически несжимаемого изотропного материала

С, (х,е) = 2С(х)ш(х,еи )0,к1 еы,

где С{х) — упругий модуль сдвига, еи = л/Щ^ыё^^ёыД ы{х,еи) = 1 - аи(х, еи)/(ЗСеи) — функция пластичности Ильюшина [4], В,кг = (5.к5,г + 5ц5,к)/2 — 5,5кг/3.

В дальнейшем ограничимся определяющими соотношениями, которые могут быть представлены в

виде

а, = Р,(х, е) = С,кг(х)екг — С,(х, е). (5)

2. Случай линейно-упругого неоднородного тела. Решение задачи (1), (2) при определяющем операторе (4) представим следующим образом:

иг (х, 7) = 1г, х, + (х)7кг, (6)

где Н.кг(х) — искомые непрерывные функции, симметричные по двум последним индексам. По перемещениям находим деформации, а потом напряжения:

ег, = (^г,к1 + ^г,тп^тк1,п , аг, = (Сг,к1 + Сг,тп^тк1,'п)^к1 ■

Усредняя напряжения по объему тела и учитывая, что = < £к1 >, получаем выражения для эффективных модулей упругости через Лги-функции:

= (С]к1 + С'г]тпЛтк1,п) • (7)

Из уравнения равновесия (1), граничных условий (2) и из произвольности 7] следуют уравнения и граничные условия для Лгы-функций

(С]к1 + С]тп Лтк1,п)] = 0, Лтк1 1е = 0 (8)

Довольно просто можно показать, что эффективные модули упругости, получаемые по формуле (7) из решения краевой задачи (8), удовлетворяют всем условиям симметрии и положительной определенности:

Лзк1 = Лзгк1 = Ьзик = hklij, Ьгзк1Кз> , т > 0 ^Щ] = ] =

Доказательство вполне аналогично приведенному в работе [5] для случая композита с регулярной структурой.

3. Общий случай нелинейных операторных определяющих соотношений. Рассмотрим далее случай общих определяющих соотношений вида (5). Решение первой СКЗ по аналогии с упругим решением будем искать в форме

иг (ж, 7) = 7] X] + Л/г (ж, 7),

где Л^(ж, 7) — непрерывные по координате операторы, принимающие нулевые значения на границе тела:

Лг|Е = 0.

Далее найдем деформации:

(ж,7)

По формуле (5) определим напряжения:

(ж, 7) = Сг]к1(ж)^к1 - С](ж, £(ж, 7)) + Сг]тп(ж)Л/т,п(ж, 7). (9)

Усредняя напряжения по объему тела, находим эффективные определяющие соотношения неупругого неоднородного тела:

](7) = (С]к1(ж)Ъ1 - С](ж, £(ж, 7)) + С]тп(ж)Лт,п(ж, 7))• (10)

Подстановка выражений (9) в уравнения равновесия приводит к краевой задаче для операторов Лг(ж,7):

' [Сгз-ы(ж)7ы - С](ж,е(ж,7)) + С]тп(ж)Лт,п(ж, 7) ] = 0, (ж,7)

(ж, 7), (11)

= 0.

4. Неоднородная по толщине, бесконечная в плане плита. Пусть Ь — толщина плиты, а 0 ^ жз ^ Ь, —то < ж/ < В этом случае определяющие соотношения будут зависеть от координаты жз:

(жз,£) = С]к1(жз)£к1 - С](жз,£)• (12)

В случае неограниченной плиты операторы N, также зависящие только от координаты жз, находятся из решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, вытекающих из трехмерных задач (11):

[Сгзы(жз)7ы - Сгз(жз,£(жзл)) + Сгзтз(жз)Лт(жзл)]' = 0, £] (жз ,7) = 7] + Лг^зЛ^ (жз ,7), (13)

Лг|жэ=о = Лг|жэ=ь = 0.

Интегрируя первое из уравнений системы (13) и удовлетворяя граничным условиям, будем иметь

Щ(хз,2) = С-31п3(х3){С-и)С-д3 [Сд3кПы — Сд3Ш)

— Ср3д3(хз) Сд3кг(хз)1кг — Сдз(хз,е(хз,у))

(14)

Последнее выражение представляет собой операторное уравнение, поскольку оператор Сгз зависит от тензора деформаций е, компоненты которого в свою очередь определяются через операторы Й'т:

ег, (хз ,1) = 1г, + \,т3^т (хз ,!)■

Если сюда вместо подставить выражения (14), то получим операторное уравнение для компонент тензора деформаций, которые, собственно, нам и нужны для вычисления эффективных определяющих

соотношений:

ег, = \Аг, кг + А

г, кг

г,тзСтзпз

-1

(хз)

— Аг

г,тзСтзпз

-1

(хз)

Сп->ргз^ ( СрЪдгзСдзкг^ — Сдзкг

1кг

С-1рз) С-дзСдзШ) — Спз Ш)

(15)

Выражения для напряжений в неоднородном по толщине неупругом слое получим, подставив деформации (15) в формулу (5):

Сг,кг(хз) + Сг,тз(хз)Ст1пз(хз ^ Спзрз) {СрздзСдзкг) — Сг,тз(хз)Стзпз(хз )Спзкг(хз)

-1 -1 -1 -1 -1

-1

1кг

-1

-1

Сг, (хз,£(1)) + Сг,тз(хз)Ст1пз(хз ^ С-зРз) \С-здзСдз(хз ,й(1))) — Сг,тз(хз )С-Зпз (хз)Спз(хз ,£(1))

Подстановка выражений (14) в формулу (10), равно как и усреднение напряжений (14), дает выражение для эффективных определяющих соотношений неоднородного слоя, по форме записи схожее с исходными выражениями (12):

(16)

Рг, (1) = КкИкг — Ы, (1),

где Ыг,кг — компоненты эффективного тензора упругости, а Ы,(1) — неупругие составляющие эффективных определяющих соотношений неоднородного слоя:

Ыг,кг = {С,кг) + {С%зтзС^зпз) {С-зрз) (С-здзСдзкг) — (Сг,тзСтзпз Спзкг), Ы, (1) = ( Сг, (е (!))) + / Сг,тзС-зЗз) (С-^) ^ С-з^дз^ (!))) — ( Сг,тзС-зпз Спз Ш)

(17)

Выражения (17) для эффективных модулей упругости были получены в разные годы различными способами И.М. Лифшицем и Л.Н. Розенцвейгом [6] в 1946 г., Л.П. Хорошуном [7] в 1966 г., Б.Е. Победрей и В.И. Горбачевым [8] в 1975 г.

5. Приближенный метод решения операторного уравнения. Основная трудность в предлагаемом способе нахождения эффективных определяющих соотношений заключается в решении операторного уравнения (15). Запишем его следующим образом:

ег, = вг,кг(хз)1кг — Аг]тзС^пз (хз) [(с-тЗрзУ (с-дзСдзШ)) — СпзШ)

(18)

где

Вг,кг(хз) = Аг,кг + Аг,тзС-Зпз(хз) {С-зрз) {С-зЗдзСдзкг) — Сдзкг

Заметим, что среднее значение операторного добавка в правой части уравнения (18) равно нулю. Это обстоятельство позволяет воспользоваться для его решения методом последовательных приближений. Положим

, = Бг,кг(хз)1кг — А^С-^(хз) [(С-^)-'{с-^С^-1>)) — Спз(е{п- 1 })

аг, =

Для начала рекурсии возьмем £] = 7]. Эффективные операторы к] в п-м приближении принимают

вид

к;}(7) = (С](£{п})) + (С]тзС~зпз)(С"з^)С^зС^{п})) - (С]тзС-пзСпз(е{п})), п = 0, 1,... • Рассмотрим нулевое приближение для операторов к]:

к] (?) = ( С] (?)) + ( С]тзС~з1з) (С-з1рзУ\ С^С^?)) - ( Сг]тзСт^пзСпз(7 )). Формула (16) для эффективных определяющих соотношений в нулевом приближении принимает вид ] (7) = к]ы7ы - К (7) и

и (жзл)> + <]С^з >< С^з >"1 (С^з^л)> - <С]тзСтзпДз(жз,7> (19)

Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что, согласно (12), имеем

С]ы(жз)7ы - С](жзл) = Р](жз,7).

Положив в формуле (19) (жз,7) = С]ы(жз)7ы, получим точные эффективные модули упругости

неоднородного по толщине слоя (17).

6. Точные и приближенные функции релаксации неоднородного по толщине вязкоупру-гого слоя. Рассмотрим нестареющий материал, для которого

г

а] = ^^ §) = / ^^' - Т) '£к1(Т) = Riзkг(X3, ^^

о

где Л]ы(жз, ¿) — операторы по времени, с которыми можно обращаться как с функциями от жз [9]. Решение первой СКЗ в случае неоднородного вязкоупругого слоя ищем в виде, аналогичном (6):

иг (ж, 7) = 7] ж] + Лгы(жз,£)7ы.

Операторы Лгы(жз,£) находятся точно так же, как и в упругом случае. В результате получается точная формула для эффективных операторов линейного вязкоупругого слоистого композита, такая же, как и (17), только в ней следует заменить С]ы на К]к1, т.е.

К]к1 = + (Я]тзЯтзпз)(^пзрз) \К-г^фы) - (Я]тзЯ-зпз^пзы). (20)

Расшифровка операторов, входящих в правую часть формулы (20), в общем случае является довольно сложной проблемой. Для простых композитов и для случая двухфазного композита с изотропными фазами это выполнено в книге [10].

Приближенное выражение для эффективных операторов следует из общей формулы (19):

Я]к1 ~ + (С]тзСтзпз) (Сгазрз) (СРз1з^1зы) - (^тз^^пз^пзы).

Эта приближенная формула отражает тип анизотропии композита. Из нее же сразу получается выражение для эффективных функций релаксации. Для этого следует просто убрать галочки над операторами. В результате

~ + (С]тзСт1пз) (Сгазрз) \ ^з^^зк^)) - {С]тз ^кз^пзЫ^).

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 12-01-00020а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

2. Hashin Z, Rosen B.W. The elastic moduli of fiber-reinforced materials // J. Appl. Mech. 1964. 31, N 2. 223-232.

3. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974.

4. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

6. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // Журн. эксперим. и теор. физ. 1946. 16, № 2. 967-980.

7. Хорошун Л.П. Зависимости между напряжениями и деформациями в слоистых средах // Прикл. механ. 1966. 2, № 2. 14-19.

8. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1975. № 5. 101-111.

9. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 10. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

Поступила в редакцию 14.12.2012