CC BY
54
Эффективные деформационно-прочностные характеристики полимерной композиции с дисперсными включениями
разных размеров
И.И. Анисимов, С.А. Бочкарева1, В.И. Десятых, Б.А. Люкшин1,
П.А. Люкшин2, Н.Ю. Матолыгина2, Н.В. Смолянинова3
Федеральный научно-производственный центр «Алтай», Бийск, 659322, Россия
1 Томский университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, 634050, Россия
2 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 3 Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия
В работе на основе анализа представительного объема полимерной высоконаполненной композиции методами механики сплошной среды получены ее эффективные деформационно-прочностные характеристики. Особенность анализируемого материала связана с большим разбросом размеров дисперсных включений (наполнителя), что делает неприменимыми известные подходы к моделированию напряженно-деформированного состояния представительного объема. Предлагаемый подход иллюстрируется примером анализа композиции, когда в ней присутствуют дисперсные включения двух типоразмеров.
Effective strain and strength characteristics of a polymer composition with dispersed inclusions of different size
I.I. Anisimov, S.A. Bochkareva1, V.I. Desyatykh, B.A. Lyukshin1,
P.A. Lyukshin2, N.Yu. Matolygina2, and N.V. Smolyaninova3
Federal Research and Production Center “Altai”, Biysk, 659322, Russia 1 Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, Tomsk, 634050, Russia
2 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
3 Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia
Based on the analysis of a representative volume of a polymer composition with high filler content we have found its effective strain and strength characteristics by continuum mechanics methods. The peculiarity of the studied material is related with a wide spread of sizes of dispersed inclusions (filler), which makes the known approaches inapplicable to the simulation of the stress-strain state of a representative volume. The proposed approach is illustrated by the example of analysis of the composition that contains dispersed inclusions of two sizes.
1. Введение
Введение в состав полимерной композиции дисперс-
ных включений может преследовать различные цели. Например, придание композиту электропроводности достигается наполнением полимера порошками графита или металлов, повышение теплопроводности обычно обеспечивается использованием порошков металлов и их окислов, изменение цвета — за счет использования красителей, уменьшение стоимости композиции и изменение деформационно-прочностных характеристик достигается введением инертных или химически активных минеральных добавок и т.д.
Когда полимерная композиция является основой высокоэнергетического материала — твердого топлива, введением добавок наряду с достижением других целей повышается энергетика состава. В последнем случае повышение степени наполнения композиции становится одной из главных задач. При этом происходит изменение механических свойств композиции, которое требует проведения соответствующих оценок. В работе рассматривается задача определения эффективных деформационно-прочностных свойств такой высокона-полненной полимерной композиции.
Повышение степени наполнения может быть достигнуто, при прочих равных условиях, за счет исполь-
© Анисимов И.И., Бочкарева С.А., Десятых В.И., Люкшин Б.А., Люкшин П.А., Матолыгина Н.Ю., Смолянинова Н.В., 2006
зования дисперсных включений разных размеров. В этом случае мелкая фракция заполняет пустоты, неизбежно возникающие между более крупными частицами. В общем случае максимальная степень наполнения может быть достигнута при использовании в качестве наполнителя дисперсных порошков с большим разбросом размеров частиц. Далее в работе рассматривается случай, когда в дисперсном наполнителе по размерам включений ясно выражены две фракции.
При использовании методов механики сплошной среды для анализа процесса нелинейного деформирования привлекаются, как правило, численные методы. На расчетную область (представительный объем) наносится конечно-разностная или конечно-элементная сетка. «Дискретизация области, занятой композитом, имеет существенные особенности. Дело в том, что для определения микронапряжений необходимо провести это разбиение таким образом, чтобы вычислительная ячейка была много меньше ячейки периодичности» [1]. Это утверждение сделано применительно к материалам периодического строения. Ниже рассматривается материал с нерегулярной структурой, но соотношение между размерами вычислительных ячеек и характерных размеров областей, занимаемых разными фазами композита, в целом должно подчиняться сформулированному правилу.
В работе [2] приведен пример анализа дисперсно наполненного композита на трех последовательных масштабных уровнях (мезоуровнях). На первом уровне представительный объем материала рассматривается как однородная полимерная матрица с рядом включений. Второй уровень связан с детальным анализом состояния матрицы между включениями, в том числе при наличии микротрещин в матрице. Наконец, на третьем уровне рассматривается состояние межфазного слоя на границе «матрица - включение». На каждом уровне ставится и решается отдельная краевая задача теории упругости или нелинейной упругости. В итоге удалось получить оценки параметров напряженно-деформированного состояния на этих уровнях, которые отличаются степенью осреднения свойств материала в расчетной области и детальностью получаемых оценок.
Ниже анализ высоконаполненной композиции, в некотором отношении аналогично подходу, описанному в [2], проводится на двух уровнях. Задача решается в два этапа, и размеры представительного объема на каждом этапе определяются различным образом. Смысл такой постановки заключается в том, что сразу «сквозным образом» ввести единую сетку, которая отвечала бы сформулированному выше правилу, становится невозможным. Так, рассматривая включения двух типоразмеров, отличающихся друг от друга линейными размерами в 30^50 раз, мы сталкиваемся либо с невозможностью технической реализации задачи численного анализа напряженно-деформированного состояния на та-
кой подробной сетке, каждая ячейка которой должна быть по размерам сопоставимой с мелкими частицами, либо с необходимостью пренебречь наличием этих частиц вообще.
2. Постановка задачи
На первом этапе отдельно в соответствующем масштабе рассматривается напряженно-деформированное состояние полимерной матрицы, наполненной мелкими включениями, под действием внешних воздействий. Детальное распределение перемещений, деформаций и напряжений характеризует степень напряженности материала композиции в каждой ее точке. Сопоставление средних по представительному объему напряжений и деформаций при разных уровнях внешней нагрузки позволяет построить кривую «напряжения - деформации» для модифицированной матрицы (полимерная основа с мелкими включениями). После этого кривая, определяющая эффективные характеристики композиции, может быть использована для анализа материала на следующем уровне. Здесь модифицированная матрица рассматривается уже как однородная среда (фаза) с полученными на предыдущем этапе эффективными характеристиками, наполненная крупными включениями.
Таким образом, на каждом уровне анализа меняется размер расчетной области (представительного объема) (рис. 1) и свойства составляющих его фаз. В первом случае представительный объем относительно невелик, матрицей служит полимер, наполнителем — мелкие включения. Во втором случае размеры представительного объема увеличиваются пропорционально росту размеров включений, а модифицированная матрица с осредненными по ее объему свойствами представляет собой наполненный мелкой фракцией полимер, круп-
Рис. 1. Схема анализа представительного объема материала на двух уровнях: а — к анализу эффективных свойств материала в целом; б — к анализу свойств «матрицы», штриховкой показана область, занимаемая полимерной матрицей
ные включения учитываются явно при анализе расчетной области.
Как отмечается в [3], «учет в явном виде тех или иных элементов структуры или их дефектов требует постановки и решения задачи механики сплошных сред в соответствующем масштабе». Ниже на двух уровнях анализа формально рассматривается одна и та же задача — определение параметров напряженно-деформированного состояния представительного объема материала, представляющего собой непрерывную матрицу, наполненную частицами другого материала. Включения резко отличаются от матрицы своими деформационнопрочностными характеристиками.
На границе «матрица - включение» используется условие идеальной адгезии, когда в каждой точке границы раздела выполняются требования равенства векторов перемещений и напряжений в матрице и включении. Предполагается, что наличием межфазного слоя в первом приближении можно пренебречь.
Использованное выше и далее понятие представительного объема является общепринятым, определение и обсуждение его приведено, например, в [2, 4]. Принимается, что представительным объемом является область минимального размера, увеличение которой при анализе напряженно-деформированного состояния не приводит к сколько-нибудь заметному изменению эффективных характеристик материала. При анализе композитов регулярного строения за представительный объем обычно принимается ячейка периодичности. Когда рассматривается полимерная матрица, нерегулярно наполненная жесткими частицами, в среднем нужно принимать в качестве такого объема область, в которой содержится 6^10 включений [2-4]. При этом для частиц компактной формы эффективные свойства среды соответствуют однородному изотропному материалу. Для частиц неправильной формы их случайная ориентация даже при небольшом количестве включений определяет эффективные характеристики среды как изотропного материала.
Поскольку увеличение расчетной области и соответственно числа включений значительно усложняет реализацию вычислительного алгоритма, часто используется следующий прием, описанный, например, в [3] применительно к решению задач в плоской постановке. Решение проводится для области относительно небольшого размера, при этом внутренняя геометрия расчетной области определяется случайным наложением контура расчетной области, обычно прямоугольного, на «карту» образца. После проведения ряда таких расчетов, каждый из которых относительно несложен, за эффективные характеристики принимаются средние по серии расчетов значения. Очевидно, что серия расчетов должна быть тем длиннее, чем меньше размер расчетной области. Ограничение снизу на размер этой области сводится к выполнению требования о наличии хотя бы
одной границы раздела фаз в области, иначе увеличение длины серии расчетов просто сведется к выполнению правила смесей, дающего, как это неоднократно отмечалось, неприемлемые результаты.
Рассматриваются два случая приложения нагрузки. В первом случае внешняя нагрузка задается либо в виде растягивающих напряжений, нормальных к смежным кромкам прямоугольного контура, либо в виде перемещений этих кромок вдоль нормалей к ним. В этом случае форма расчетной области сохраняется, а изменяется только ее объем (в плоском случае — площадь). Во втором случае моделируется чистый сдвиг, при этом объемная деформация отсутствует. Эти два случая приложения нагрузки позволяют оценить реакцию представительного объема как на изменение его размера, так и на изменение формы, что делает более обоснованными оценки двух эффективных упругих (на начальном этапе деформирования) постоянных, которые полностью характеризуют однородную упругую изотропную среду.
При анализе полимерной матрицы с мелкими включениями средний линейный размер частиц компактной
0.05
0.15 0.25
X, мм
0.35
Рис. 2. Поверхности интенсивности деформаций (а) и изолинии (б) для расчетной области с дисперсными включениями размером порядка 4^6 мкм
0.05 0.15 0.25
х, мм
Рис. 3. Поверхности и изолинии деформаций для расчетной области с дисперсными включениями размером 200 мкм, когда матрица наполнена включениями размером 4^6 мкм
формы составляет 6^8 мкм, а размеры представительного объема принимаются соответственно 40x40 мкм. В качестве представительного объема для композиции, наполненной двумя фракциями разных размеров, принимается минимального размера прямоугольник, в котором налицо не менее 5 включений крупной фракции. Если средний размер частиц крупной фракции 200 мкм, то размеры расчетной области, принимаемой в качестве представительного объема, составляют величины порядка 600 х 600 мкм.
3. Анализ напряженно-деформированного состояния представительного объема и результаты расчетов эффективных характеристик
Как отмечалось выше, анализ напряженно-деформированного состояния представительного объема желательно проводить для двух видов нагружения, отвечающих соответственно изменению объема и изменению формы расчетной области. Соответствующие схемы нагружения и постановки граничных условий приведены в [3].
В качестве метода расчета применяется метод конечных элементов в сочетании с процедурой последовательных нагружений [5]. Сетка движется вместе с деформируемой средой, при очередном шаге по нагрузке учитывается характер зависимости а ~ 8 для материала
матрицы при соответствующем уровне нагрузки. Такой подход позволяет анализировать геометрически и физически нелинейные эффекты в расчетной области [6].
Детальные распределения интенсивности деформаций в виде соответствующих поверхностей и изолиний приведены на рис. 2 для случая, когда анализу подвержен материал матрицы (каучук), наполненный мелкодисперсным порошком, модуль упругости которого принимается на два порядка выше, чем соответствующая характеристика матрицы. На иллюстрации хорошо видно, что включения практически не деформируются, а вся деформация локализована в относительно узких зонах матрицы между включениями. Таким образом, приложение растягивающих напряжений (или нормальных смещений) на контуре области приводит к изменению размеров образца в целом, но происходит это изменение исключительно за счет деформирования матрицы.
Можно отметить, что изменение масштаба и размеров расчетной области качественно не меняет распределение параметров напряженно-деформированного состояния. Так, на рис. 3 приведено распределение интенсивности деформаций для случая, когда во внимание принимается изменение свойств матрицы за счет мелкодисперсных включений, а такая модифицированная матрица, в свою очередь, наполнена частицами крупной фракции. Несмотря на рост модуля упругости матрицы соответствующая характеристика для включений остается по-прежнему выше почти на два порядка. Это приводит к тому, что распределение деформаций в целом имеет такой же характер, как и в случае на рис. 2.
Эти распределения иллюстрируют характер деформирования наполненных композиций. Сопоставление средних по расчетной области деформаций и напряжений на каждом шаге по нагрузке позволяет получить
МПа п 2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0 0.1 0.2 8|
Рис. 4. Кривые аi ~ 8i: 1 — исходный материал матрицы (каучук); 2 — каучук, наполненный мелкой фракцией
Рис. 5. Кривые аi ~ 8i : 1 — полимер, наполненный мелкой фракцией; 2 — двумя фракциями
соответствующую точку для построения диаграммы а~8 [3].
На рис. 4 кривая 1 показывает связь напряжений и деформаций в материале матрицы (каучук). Эта кривая используется как исходная информация при анализе напряженно-деформированного состояния представительного объема, в котором каучук играет роль матрицы, а наполнителем является мелкодисперсный (размеры 6^8 мкм) порошок. Пример распределения интенсивности деформаций в таком наполненном материале приведен на рис. 2. Процедура последовательных нагружений позволяет построить диаграмму а ~ 8 для этого материала, которая представлена кривой 2 на рис. 4. Как и следует ожидать, наполненная композиция имеет много более высокий модуль упругости по сравнению с характеристиками матрицы.
Материал со свойствами, иллюстрируемыми кривой 2 на рис. 4, играет далее роль матрицы в композите, в котором наполнителем служат уже частицы с размерами 200 мкм и анализируемая расчетная область имеет соответствующие размеры. В целом цепочка расчетов повторяется при последовательно нарастающей нагрузке, и для каждого фиксированного уровня нагрузки получается точка на диаграмме а~8. На рис. 5 пока-
зана кривая 1, используемая в расчете. Эта кривая есть результат анализа каучука с мелкодисперсным наполнением. Кривая 2 отвечает эффективным характеристикам материала, наполненного двумя фракциями дисперсного наполнителя разных размеров.
Таким образом, учет только мелкой фракции позволяет получить «эффективные» характеристики матрицы, а использование этих характеристик при анализе модифицированной матрицы, наполненной включениями крупных размеров, приводит к эффективным характеристикам материала в целом.
4. Выводы
Предлагаемый подход к анализу представительного объема дисперсно наполненной композиции, когда в наполнителе можно выделить, по меньшей мере, два типоразмера включений, позволяет обойти вычислительные трудности, неизбежные при попытках непосредственного моделирования такого материала.
Очевидным образом предлагаемый подход распространяется на случай, когда дисперсный наполнитель представляет собой набор более чем двух фракций, заметно отличающихся друг от друга размерами.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-98005).
Литература
1. Победря Б.Е. Принципы вычислительной механики композитов // Механика композитных материалов. - 1996. - Т. 32. - № 6. -С. 720-746.
2. Люкшин Б.А., Люкшин П.А. Прочностной анализ дисперсно напол-
ненных полимерных систем на мезоуровне // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 1. - С. 57-67.
3. Дашук И.А., Люкшин Б.А., Люкшин П.А., Матолыгина Н.Ю. Влия-
ние деформационно-прочностных свойств структурных элементов на характеристики дисперсно наполненных композиций // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2004. - Т. 10. -№ 3. - С. 366-384.
4. Люкшин Б.А., Люкшин П.А., Матолыгина Н.Ю. Влияние геометрии
включений в полимерной композиции на вид кривой «напряжения - деформации» // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2001. - Т. 7. - № 3. - С. 277-287.
5. Люкшин Б.А., Люкшин П.А. Температурные напряжения и образо-
вание межфазных слоев в композитах // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2000. - Т. 6. - № 2. - С. 261-274.
6. Люкшин Б.А., Герасимов А.В., Кректулева Р.А., Люкшин П.А. Моделирование физико-механических процессов в неоднородных конструкциях. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. - 272 с.
