CC BY
48
УДК 535:621.372.8 P.C. Круглое
Эффективность ввода-вывода оптического излучения в волокна
с помощью цилиндрической дифракционной решетки
На основе метода связанных волн разработана аналитическая модель дифракционного энергообмена излучательной и волноводной мод в оптическом волокне, гофрированном цилиндрической дифракционной решеткой с произвольной формой зубцов. Показано, что большей дифракционной эффективностью а характеризуются решетки с асимметричным профилем зубцов, обеспечивающим смещение центральной компоненты спектра пространственных частот в направлении синхронизма. При малых толщинах решеток 5 эффективность практически не зависит от профиля гофра.
К настоящему времени уже хорошо изучен широкий круг вопросов, охватывающих теоретические и экспериментальные исследования процессов распространения света в периодически гофрированных оптических волноводах, которые являются одним из основных элементов интегральной оптики [1,2]. Гофрированные оптические волноводы давно нашли применение при создании оптических сенсоров, фильтров, узлов ввода-вывода излучения и
Однако математические модели распространения света в гофрированных оптических волокнах (ОВ) развиты недостаточно глубоко, что приводит к сужению области их возможного применения и делает невозможной оптимизацию устройств на их основе.
Целью настоящей работы является описание аналитической модели взаимодействия волноводной и излучательной мод в цилиндрической дифракционной решетке (ЦДР) с произвольным профилем зубцов гофра на основе метода связанных волн (МСВ) и сравнительная оценка уровня радиационных потерь волноводных мод (ВМ) в наиболее распространенных типах решеток.
Постановка задачи
Рассмотрим слабонаправляющее одномодовое ^оптически линейное ОВ со ступенчатым профилем показателя преломления, без потерь (рис. 1), в направлении оси 2 которого распространяется ВМ Е3(г,ф,г) ЬР-типа. Структура поля указанного типа мод может быть описана следующим выражением [1]:
где Jl, N1 — функции Бесселя и Неймана порядка I, описывающие профиль ВМ в области сердцевины и оболочки соответственно.
Радиус сердцевины обозначим как а, а показатели преломления сердцевины и оболочки — как пс0 и пс1 соответственно. Допустим, что на поверхности сердцевины ОВ, расположена гофрированная дифракционная решетка с аксиальной симметрией, характеризуемая профилем зубца £7(г,г) и высотой зубцов 5, а также периодом А и вектором решетки К0 = 27Г/А. Будем полагать, что 5 «(I.
Введение
ДР. [3,4].
Е8(г,ф,2)
(1)
(2)
Е (г, ф, 2) = e¿ • [kir ■ r)
(3)
Область ЦДР оказывает возмущающее действие на моду Es(r). Ее поле по мере ее распространения вдоль ЦДР трансформируется, возбуждая поле цилиндрической излучательной моды (ИМ) [5]
cos ¿ф sin ¿ф
Для того чтобы не нарушить аксиальную симметрию задачи, волноводную моду LP-типа представим в круговом базисе суммой двух циркулярно поляризованных волн [6] и рассмотрим трансформацию одной из них, например правоциркулярной волны. При этом поляризация ИМ e¿ окажется в общем случае эллиптической с отношением осей эллипса поляризации С- Изменение типа поляризации ИМ происходит вследствие того, что плоскости поляризации ВМ и ИМ наклонены друг относительно друга под углом и (см., например, рис. 1). Это приводит к тому, что коэффициент связи для нормальной и тангенциальной составляющих полей взаимодействующих мод будет различаться на сомножитель С, = cos и .
Существенный энергообмен между ВМ и ИМ возникает лишь в условиях фазового синхронизма [2]. Это условие регламентирует значения пространственных компонент волнового вектора k¿ ИМ относительно поверхности ОВ.
ks0 +К0 + AK-k¿ =0. (4)
Соотношение (4) удобно иллюстрировать векторной диаграммой (ВД) (рис. 2), позволяющей отыскать его решение графическим способом. При этом необходимо помнить, что сильное пространственное ограничение полей ВМ и ЦДР не позволяет аппроксимировать их плоскими волнами с фиксированными направлениями волновых векторов ks0 и К0. Поэтому на ВД поля ВМ и ЦДР представлены соответствующими спектрами пространственных частот (СПЧ) [7].
В общем случае отвечающий условию синхронизма вектор К00 отклоняется от К*, соответствующего направлению максимума спектра пространственных частот ЦДР. Обозначим разность k0 - (ks0 + К*) как АК0 и назовем ее вектором фазовой расстройки АК0. Угол между К00 и К0 обозначим как \|/0.
.ЦДР V(r,¿)
5(ДК)
Рис. 1 — Схема дифракции ВМ на ЦДР
Рис. 2 — Векторная диаграмма дифракции волноводной моды на ЦДР
При неудачном выборе периода ЦДР условия синхронизма (3) могут удовлетворять сразу нескольким ИМ. Поэтому при конструировании ЦДР параметры решетки обычно подбирают так, чтобы исключить формирование паразитных излучательных мод.
Математическая модель ВДР
Для отыскания амплитуд мод Ев(г,ф,г) и Е(г,ф,г) в возмущенном слое ЦДР воспользуемся методом связанных волн [8]. Следуя МСВ, будем считать, что ЦДР оказывает влияние на амплитуды ВМ и ИМ. При этом параметры ВМ и ИМ должны удовлетворять соответствующим волновым уравнениям невозмущенной среды, записанным в цилиндрической системе координат:
о е 1 дЕ 1 а2Е а2Е 2 а2Е + ~ ~ + 2 ~ Mo8on —F.
(5)
дг2 Г дг г2 Зф2 дг* ' " dt
Произведем подстановку выражений (1)-(3) в волновое уравнение (5). Пренебрегая вторыми пространственными производными полей, получим следующее уравнение:
2е; •
dr
+ е.
1 дЕ^г) (2) - аг '
+ 2е. •
cos /ф sin /ф
or
~ikizZ + 2е •
cos /ф sin /ф
N,
w • г
дЩ(г,г)
дг
(-jki2).H^(kirr)
cos/ф
52
• е=-k$AerU(r,z)e-jK°z
Nt(w)
cos/ф sin /ф
. «-Лог
Л",
ш • г
cos/ф sin /ф
sin /ф
cos /ф sin /ф
которое преобразуем в систему векторных интегродифференциальных уравнений в частных производных, описывающую пространственные зависимости амплитуд ВМ и ИМ:
н(2) (К 'Г H^(kir) oz дг
н(2) ( К^ 1 т { а ) дЦ(г.г)
„(2) f К - г т { а
dEt(r,z)
дг
дг
N„
(w г
„ _ ГЦ, £ ТТ/ v-z'ST r -Г-./Ч
- ^^ • s • (j v,, - -^{zj--
(w)
•ея,
2/ft.
• r
sO
a J Э£»(г) „ _„tI ' у a
Nj^) ' & ' " ^ '^* ' Я< ^
е,.
(Oj
Г 2 2 1
где ^ — коэффициент связи мод, _ Щз^к! . к() _ волновое число световой волны в вакууме. ^о
Для решения системы (6) заметим, что в результате утечки энергии зависимость амплитуды ВМ и ИМ от координаты 2 в области ЦДР носит экспоненциальный характер, т.е.
ЯД^Я.ехр^аг), Е1 (г,2) = Е1 (г)ехр(-аг). (7)
Функция Ханкеля второго рода, входящая в (6), при^г - г» 1 может быть аппроксимирована функцией следующего вида:
(8)
Принимая во внимание вышесказанное, первое уравнение системы может быть преобразовано в линейное дифференциальное уравнение
(~а)пИ eos и , , .
сЩ(г) { } Cl Hkir'r)
дг
(К-г)
ncl sm и + -
2V
Mr)
~j£,U(r, z)e
N,
i\bKQr-(2A+1)- J _ / a
E*{*Y
w ■ r
Nt(w)
í
e„.
n(kir-r)
ncl sin 13 +
2 V
При решении данного уравнения необходимо учитывать его векторный характер, что приведет к разделению результата на две проекции.
Решение уравнения, удовлетворяющее граничному условию Е(а) = 0, имеет вид
U(K')-ES
w - г
(w
a j /[Aíí0r1-(2m + l)4 J-ctfo-a)ctgu
in(kir'rri)
ncl sin и + -
2Vi
drlt (9)
где с, , —• коэффициенты связи для тангенциальной и нормальной составляющих полей соответственно:
= ^-^сови.
Далее подставим (7), (9) во второе уравнение системы (6), помножим обе части уравнения на комплексно-сопряженный профиль ВМ и воспользуемся условием ортогональности мод, записанным в цилиндрической системе координат:
2п оо
i J Е*т (г'ф) ■ ЕГт {r,(p)rdrdq> =5uSmm:
О -X
В результате, учитывая векторный характер уравнения, получим
k0U2(K*
N,
w ■ г I
i a J
"-a
N,
(
w ■ г
Ч а ) ~Nt\w)
rdrd(p
J
х Re
S N
а + 8 m
(w
f v ц l Nm H
г* • e
-j\ Д*0г2+(2/п+1)- \r2 V 4 j f
w ■ rx
™ a ) /\ЬК0г1-(2т +
e
M
\¡n-kir-ri
ncl sin o +
2 Vi j
drldr2
(10)
Здесь символом Re{...} обозначена функция выделения действительной части комплексного числа. Входящие в (10) амплитуда эквивалентной голографической решетки [/(К*) и уровень фазовой расстройки ДК0 центральной составляющей СПЧ решетки находятся из щрямых расчетов двумерного спектра S0(K) выбранной ЦДР. Результаты расчета СПЧ для ►которых типов решеток представлены на рис. 3.
Далее определим, как изменяется коэффициент затухания циркулярной волны в мери-ональной плоскости ОВ вдоль ЦДР:
1п
а
1cos(^o •2)) + sin{Ko ■2))
v----- v------—dz .
rr ■> 7
(И)
Выражение (11) описывает затухание правоциркулярной волны, вектор поляризации
которой за один период вращения проходит все точки поверхности в поперечной плоскости ОВ.
^ С помощью полученных формул удобно проводить сравнительный анализ дифракционной эффективности решеток с различным профилем зубцов Щг,г). Из (10), например, следует, что в многомодовом ОВ максимальный уровень а достигается для мод высшего порядка, амплитудный профиль £,(г,ф) которых максимально сконцентрирован в объеме ЦДР. Кроме этого при одинаковых высоте зубцов и периоде большей эффективностью характеризуются решетки с асимметричным профилем зубцов, обеспечивающие смещение максимума спектральной плотности ЗД в направлении синхронизма (см. рис. 2) и таким образом минимизирующие параметр АК0 в (10).
Результаты расчетного моделирования
Целью данного раздела является расчет дифракционной эффективности традиционных ЦДР с симметричным профилем гофра и решеток с асимметричными зубцами и их сравнительный анализ.
Прежде всего необходимо отметить, что величина затухания ВМ в ЦДР с асимметричным профилем Щг,г) характеризуется дополнительным параметром, описывающим асимметрию формы зубцов гофра. В рассматриваемых здесь решетках таким параметром является угол блеска 0, величина которого определяет степень смещения максимума СПЧ от оси ОВ. На рис. 3 приведены расчетные спектры 8(К) некоторых распространенных типов ЦДР — решеток с прямоугольным (рис. 3,а), параллелограммным (рис. 3,6) и треугольным (рис. 3,в,г) профилями. Процедура представления профиля гофра ЦДР спектром пространственных частот 5(К) составляет основу методов Фурье-оптики и применима к решеткам с любой формой и высотой зубцов. Если двумерный профиль имеет круговую симметрию, то его Фурье-преобразование сводится к преобразованию Ганкеля как частному случаю преобразования Фурье [9]. ^ '
Особенностью представленных спектров является наличие постоянной составляющей соответствующей пространственной частоте К= 0. Данная закономерность обусловлена интерференцией фрагментов спектров зубцов ЦДР, расположенных в диаметрально противоположных точках поверхности ОВ. При увеличении высоты решетки 5 значение постоянной составляющей при КГ = 0 уменьшается для решеток с асимметричным профилем, а для ЦДР с симметричным профилем, наоборот, становится выше.
Из представленных графиков СПЧ решеток разных типов видно смещение центральной компоненты рабочего лепестка спектра в направлении синхронизма для решеток с асимметричным профилем зубцов. При этом степень указанного смещения будет определяться ве личинои параметра 0. Очевидно, что в этом случае наиболее удобными в применении будут решетки с параллелограммным профилем, так как для данного типа ЦДР угол блеска не будет зависеть от высоты и периода зубцов и выбор оптимального угла блеска может быть сделан при любых значениях 5 и А.
На рис. 4 представлены рассчитанные значения а (б) для решеток, пространственный спектр которых показан на рис. 3.
Анализ данных рис. 3 и рис. 4 позволяет сделать несколько общих выводов. Прежде всего отметим, что при малых высотах ЦДР ход а (б) слабо зависит от профиля Щг,г).
Из данных рис. 4 видно, что после первого максимума зависимости а (б) дифракционная эффективность решетки с симметричным профилем снижается. Для решеток указанного типа фазовая расстройка АК0 всегда максимальна и равна 8ш(и). |к0|. Поэтому если при увеличении 5 ширина СПЧ совпадет с АК0, то парциальной парой для наиболее мощной центральной составляющей СПЧ £,(кя) окажется компонента, находящаяся точно в нуле СПЧ решетки. В данных условиях дифракционная эффективность ЦДР, естественно, снижается, так как она обеспечивается более слабыми периферийными составляющими решетки Имея в виду наличие множества нулей и боковых лепестков спектра ЦДР (см., например рис 3), можно прогнозировать осциллирующий характер в среднем спадающей зависимости а (6) для решеток с прямоугольным профилем зубцов.
Работа выполнена при финансовой поддержке ШТАБ (ИеГ. N 04-83-3239).
6,3-10
-6,3-10
6,3-10
-6,3-10
кг 'Л.
-6,3 • 10
к.
6,3 • 1(Г
-6,3 ■ 10'
4л 8 л
к,- д.
в ® о 2
m
471 871
К. -Л.
Рис. 3 — Спектры пространственных частот в(К) для некоторых типов ЦДР
Рис. 4 — Зависимость а(5)
Литература
1. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы / Х.Г. Унгер ; пер с англ. под ред. В.В. Шевченко. - М. : Мир, 1980. - 656 с.
2. Маркузе Д. Оптические волноводы / Д. Маркузе. - М. : Мир, 1974. - 576 с.
3. Li, Ming. Waveguide couplers using parallelogramic-shaped blazed gratings / Ming Li, Stephen J. Sheard // Optics communications. - 1994. - № 109. - P. 239-245.
4. Peng G.D. Sensor Applications of Polymer Optical Bragg Gratings [Электронный ресурс] / G.D. Peng [et al.] // Proc. of the 14th International Conference on Polymer Optical Fiber (ICPOF2005). Honk Kong, September 2005. - P. 213-216.
5. Аппельт В.Э. Аналитическая модель волоконно-оптической решетки ввода-вывода / В.Э. Аппельт, Р.С. Круглов, А.С. Задорин // Известия вузов. Физика. Приложение. - 2005 - № 6. - С. 65-66.
6. Аззам Р. Эллипсометрия и поляризованный свет / Р. Аззам, Н. Башара ; пер. с англ под ред. А.В. Ржанова, К.К. Свиташева. - М. : Мир, 1981. - 584 с.
7. Аппельт В.Э. Аналитическая модель гофрированного оптического волновода / В.Э. Аппельт [и др.] // Оптика и спектроскопия. - 2006. - Т. 100. - № 2. - С. 330-337.
8. Ахманов С.А. Проблемы нелинейной оптики. Электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах / С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов. - М. : ВИНИТИ, 1965.
9. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике/ А. Папулис ; пер. с англ под ред. В.И. Алексеева. - М. : Мир, 1971.
Круглов Роман Сергеевич
Аспирант кафедры сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники ТУСУРа Телефон: (3822) 41 36 43 Эл. почта: [email protected]
R.S. Kruglov
Efficiency of input-output of the optical radiation into fibres with cylindrical diffraction grating
An analytical model of the diffraction energy exchange between the radiative and the waveguide modes m a fibre corrugated by a cylindrical diffraction grating with an arbitrary form of teeth is developed on the basis of the coupled-wave method. It is established that gratings with an asymmetric tooth profile providing a shift of the peak of the spatial frequency spectrum toward synchronism are characterized by a higher diffraction efficiency a; however, at small miCKnesses о oi the fibre grating, the efficiency is almost independent of the tooth profile Ihis study was supported by INTAS, grant no. 04-83-3239.
УДК 621.396.969
М.В. Крутиков, A.A. Мещеряков, В.Ю. Лебедев
Экспериментальные исследования
флуктуаций времени распространения УКВ-сигналов
на морской загоризонтной трассе
Проведен анализ флуктуаций моментов прихода и их разностей импульсных радиосигналов с несущими частотами 2700 и 850 МГц, полученных при одновременных измерениях на морской трассе протяженностью 495 км.
Флуктуации времени распространения радиосигналов на загоризонтных трассах определяют потенциальную точность дальномерных радиотехнических систем [1]. В силу отсутствия удовлетворительного аналитического описания процесса распространения УКВ за пределы радиогоризонта наиболее достоверным источником сведений о величине флуктуаций времени распространения являются экспериментальные исследования, например [2 3] В то же время из-за сложностей, возникающих при проведении натурных измерений, число таких исследований невелико.
