Анализ дифракционных свойств решеток с некоординатной формой канавок с использованием трехуровневой гребенки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Анализ дифракционных свойств решеток с

с* ■

некоординатной формой канавок с использованием

трехуровневой гребенки

Останков А. В. (avostankov@mail.ru), Шерстюк О. И.

Воронежский государственный технический университет

Постоянный рост информационных потоков в телекоммуникационных системах требует интенсивного освоения высокочастотной области спектра электромагнитных волн. Вместе с этим велико желание разработчиков обеспечить минимальные габаритные размеры радиоэлектронной аппаратуры, в частности СВЧ и антенных устройств. Одним из существующих направлений является использование открытых периодических дифракционных структур. Последние используются в качестве элементов и непосредственно самих эффективных антенных устройств [1 - 3], а также для реализации разнообразных технических приложений волновых процессов [4, 5].

Свойства периодических дифракционных решеток существенным образом определяются внутрипериодной конфигурацией, особенно в резонансном диапазоне длин волн. Усложнение формы волноводных канавок отражательных решеток позволяет получить дополнительные степени свободы по управлению свойствами решеток в режиме рассеяния волн и волновых пучков.

Теоретический анализ резонансного рассеяния волн на металлодиэлектрических двухмерных решетках с канавками некоординатного профиля представляет собой достаточно сложную задачу. Одним из возможных подходов решения такой задачи является аппроксимация контура (поперечного сечения) волноводных канавок профилем координатной, достаточно тривиальной формы и последующего изучения свойств новой -виртуальной решетки. Результаты исследования последней могут быть использованы для оценки свойств исходной структуры, точность которой определяется качеством аппроксимации внутрипериодного профиля и адекватностью математической модели для

виртуальной решетки с координатными канавками.

—

Рис. 1 - Геометрия трехуровневой гребенки

В настоящей работе в рамках традиционной теории дифракции, основанной на методе частичных областей, осуществлен электродинамический анализ трехступенчатой периодической гребенки, накрытой слоем диэлектрика (рис. 1). Структура с такой формой канавок может быть использована в качестве виртуальной решетки для оценки характеристик сложных периодических отражательных структур.

Предполагается, что рассматриваемая структура (рис. 1) бесконечно протяженна в плоскости раскрыва xOy и регулярна вдоль Oy. Ее период определяется величиной b. Планарный диэлектрический волновод, выполненный из немагнитного диэлектрика, находится над решеткой на расстоянии А. Дифракционная структура выполнена из идеального (без потерь) металла. Величины тп, Wn, hn (n = 1...3) определяют координатное положение ступенек-уровней решетки.

Пусть на структуру из верхнего полупространства ( z > А + R область 1, рис. 1) падает под углом ф плоская однородная ^-поляризованная электромагнитная волна единичной амплитуды. Рассеянное над структурой поле представляется в виде разложения в ряд Фурье по пространственным гармоникам. Полное (первичное + рассеянное) поле над структурой

H1 = exp[- jy о (z -А-R)]exp(/Po x)+ £ An exp[[y n (z -А-R)]exp[/P nx], (1)

n = -<x>

где kо = 2n/Xо - волновое число;

в0 = k0 sin ф ; Pn = в0 + 2nn/b ; у0 = в0 ctg ф = k0 cos ф; yn =л\k0 - вn - продольные и

поперечные постоянные распространения падающей волны и n-ой гармоники в пространственном спектре рассеянной волны;

X 0 - длина падающей волны;

An - амплитуда n-ой пространственной гармоники; Зависимость от времени в виде exp(- j&t) здесь и далее подразумевается.

В планарном диэлектрическом волноводе, а также в воздушном промежутке между ним и решеткой (область 3) дифрагированное поле описывается стоячей в направлении 0z волной. Так, для области 2 имеем:

H2y = £ Un exp[- jnn(z - А)] + Cn exp[/nn(z - А)]exp((eBx), (2)

где Вп, Сп - амплитуды пространственных гармоник, отличающихся знаком аргумента поперечной модальной функции;

Пп = д/ к0 в я - в2 - поперечная постоянная распространения;

в я - относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрического волновода. В областях 4 и 5 поле можно представить аналогично полю полубесконечного плоского волновода, например, поле в области 4 запишется как:

■х> Г . . ] Г \

Ну = X ] рт еХР[- ( + К )] + °т еХР[т ( + К )] СОБ ^ (х - ^ ) , (3)

m=0 i

V W1

n = -<x>

где Р т, От - амплитуды волноводных мод в рассматриваемой области; /т к02 -(тп/Щ)2 .

Область 6 прямоугольной канавки также может быть рассмотрена как плоский волновод с закороченным дном-стенкой, тогда поле целесообразно описать следующим образом:

НУ = 2 ^ со4[ (+К1 + К2 + Кз )]

5=0

ЯП

Щ3

(х-тз)

(4)

где Qs - амплитуды волноводных мод; gs = л/к0 - (п/Щ )2 .

Далее, для обеспечения сходимости результирующей системы горизонтальные участки ступени второго уровня рассмотрим как канавки с бесконечно малой глубиной: К0 ^ 0. Поле в такой канавке левее области 5 можно записать как:

' ю г 1

ну = 2 гр со4[ (++ К0 )]

рп

Т 2 -т

(х -Т1)

(5)

0

где V р - амплитуды мод канавки; ур = д/к0 -(рп/(т2 -Т1))2 .

В представлении (1) учтено условие излучения Зоммерфельда, в (3), (4), (5) -граничные условия на металлических стенках канавок, а в (4) и на дне дифракционной решетки.

Компоненты электрического поля в каждой из выделенных частичных областей находятся в соответствии с уравнениями Максвелла. Удовлетворение условиям

сопряжения тангенциальных компонент магнитного Н'у (х, г) и электрического Е1х (х, г)

полей частичных областей на границах их раздела приводит к системе функциональных уравнений

(6) - (11), которая в дополнении с граничными условиями на металле несет в себе всю необходимую информацию для дальнейшей математической формализации рассматриваемой задачи:

2 ]Ап Уп + 50 V Л ехР(./РПх) =

п=-ю I J

= 2\Рт ехр(- ¿/тК ) + От ехР(1/тК1 ) [ c0s

т=01 ]

ю Г . * ]

2 I- Ап Дп + 5П Дп Кп еХР(впх) =

тП

иГ(х-Т1)

2 Г Рт ехР(- ) - От ехР(/тК1 ) \!т

т=0 I

тП Щ,

(х -Т1)

2^Рт + От ^ C0S

т=01 ]

тп Ж

(х -Т1)

2 Vр cos(vpК0)cos

Р=0

рп т 2 -Т1

(х-Т1 )

(6)

п=-ю

+ ¿1 ip exP(- jlph2 )+ LP exp(/'/ph2 )rcos

p=0l J

pn W2

(x -T2 )

+ £ Up cos(uph0 )cos

p=0

s(Uph0 )c

pn

b-W2 -T2

(x - W2 -T 2 )

¿\Fm - Gm \fn

СОБ

m=0 I

mn

Wj

(x -T1)

= -j £ V

p=0

l(vph0 )c

p vp sin\vpn0 /cos

pn T 2 -T1

(x -T1)

+ £ j1 p exp(- Jlph2 ) - lp exp(lph2 ) cos

pn

W2

(x -T 2)

- j £ U pUp cos(ph0)

СОБ

¿\lp + Lp jcos

p=01 J

p=0 pn W

pn

b - W2 -t 2

(x - W2 -T 2 )

(x -T 2 )

2

£ Qs cos[sh3]cos

s=0

sn W3

(x -T3)

£,|lp- Lp Jlp

СОБ

pn

W2

(x -T 2 )

= -j£ Qs^s sin[[sh3 ]cos

s=0

sn W3

(x -T 3 )

(9) (10) (11)

где Iр, Ьр, и р - амплитуды парциальных волн областей 5 и 4'';

lp =J к02-(pnW )2 ; Up = >02-(( - т 2 -T1))2 ;

v

n I _ „-jynA

= e

СОБ

W- n

M)

! - . tg(nnR) f YngR + . Пn p+ 1 ' Pn Pn

2

Пп

YngR

Р ± = 1 ± ехР(2 Л п А); х е[ть Т1 + Ж ] для (6) - (9); х е [тз, тз + Жз ] для (10) - (11);

5 П - символ Кронекера.

Следующим шагом решения задачи является этап исключения текущей координаты х в модальных функциях, фигурирующих в системе (6) ^ (11), т. е. разрешение системы относительно амплитуд парциальных волн частичных областей.

Если сложить уравнения (6) и (8) и разложить модальные функции ехр(Лвпх),

СОБ

pn

т2 -т1

(x-т1)

СОБ

pn

W-

(x -т 2 )

2

СОБ

-pn-(x - W2 -T 2)

b - W2-т / 2 2;

по сомножителям

f mn / Л л ^

cos -(x-T1) , m = то можно получить:

V W1

Ym cos[0.^./mh1 ]= £

да { . * ^

An v n + 5 n v n

n=-да V J

T + ^ V 71 +

nm p pm

p=0

p=0

1 p exp(- jlph2 ) + Lp exp(/'lph2 )

^pm + £Up 7рт ,(12)

p=0

да

да

где ¥т = 2

Т =

-1 пт

Р т ] °-5/тИ1 )+ От ^(/иЗ/т/г! )

1 + 5

в п

' Щ 1 тп

т1 + — 1 + -

1 2 У 2

. рпЩ1 + тп , ( л)т . РпЩ1 - тп

Sinc--+ (-1) Sinc -

2

2

71 =(Т2 -Т1 )Щ1 cos

7рт = 1+5 т

Т 2 -Т1

т--р

Щ

У

Sinc

^ т т ^

Т2 Т1

т —-1 - р

V У

+ (- 1)р sinc

^ т т ^

Т2 Т1

т —-1 + р

V У

_2 = ((-Щ -т2)Щ1 cos

рт ~ 0 ("'иь

1+5

тп

Г

Ж

Т 2 -Т1 + Щ +

Ь - Щ - Т 2 1 рп

I — -

V

Sinc

Л"

' Ь - Щ -Т2 т--р

V У

+(-1)

Sinc

Ь - Щ -Т 2 +

т---— + р

Щ

\

У

а рт = 77^ C0S

1 + 5 т

тп Ж

Т 2 -Т1 +

Щ 1 рп

2 У 2

Гг

Sinc

Щ2

т—— - р Щ

V

У

+ (- 1)р si

Sinc

п

Щ2

т^^ + р Щ

V

Далее, вычитая из уравнения (7) уравнение (9), и раскладывая в ряд все модальные функции по exp((Pпх), п = -го...го, а затем, подставляя в получившееся выражение уравнение (12) несложно получить:

2 Ап

Н 1 5'

./V п н т +5 п Д п У п

+ 21ре

р=0

-/1рК2

- /н 111 +1 V

рг ^ 1 ри рг

+

+ 2

р=0

- /н 111 -1 V

•У—1 рг р^ рг

+

+ 2^ (- /)нV + (- /) V1 = / V0 н0г +50 Дг у, ; /

р=0 р=0

= -ю ю.

(13)

ю I tg |

где ни^ = 2 ТптФт1/т Л \[[-5/т/1 •

т=0 №

V

н шду =

^ рг ~ / ^^рт^тЦт , , т=0 I ^

2 ' О рт Ф тг/т

н ¥'У1 = 22 71 Ф / Г ^ 1[0 5 / / ]•

1—1 рг 2-й7 рт тг/т | ctg Г10-5/т"и;

т=0

н УП,УШ

2 7^ртФтг/т {^^/тК •

т=0

1

X

X

X

2

2

X

X

X

2

ю

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2762

Шр://2Ьигпа1.аре.ге1агп.ги/а11.С1е8/2004/256^£

с Ж2 Л р = — ехр р 2Ь

Ф Ж Ф т = 2ЬеХР

/

г (

в

( (

т 2 +

Ж2 ^

+

рп

БШС

в Ж + рп

2

+ (- 1)Р БШС

в Ж - РП 2

/

в,

Т1 +

Ж,

V V

2

+ -

тп 2

. в,Ж1 + тп ( 1)т . в,Ж1 - тп

БШС--+ (- 1) БШС-

22

Выражение (13) является первой подсистемой (частью результирующей системы линейных алгебраических уравнений) для численного моделирования.

Получим вторую подсистему. Для этого необходимо вычесть из уравнения (6)

уравнение (8) и разложить в ряд по СОБ

тп

(х -т1)

все модальные функции,

фигурирующие в полученном уравнении. Затем, если сложить уравнения (7) и (9) и

заменить рядами по функции СОБ

тп Ж

(х -т1)

и СОБ

рп

Ж2

(х -т 2 )

входящие в состав

полученного выражения, то можно, подставив в него уравнение полученное на основе (6) и (8), записать вторую подсистему уравнений:

X Ап ' п 2 п +5 п Д п У

+

+ ХI.

р=0

/'1рК2

/2 1рЛр1 ,+ Х Ь

,/'1рК2

- 21У + 1 Л р, р р,

+

р=0

+ X ^р (- /) V + X ^ (- /)Г = --/ V0 20 +50 д, у,, , = - «>...«>,

р=0 р=0

(14)

Последняя подсистема формируется на основе уравнений (10) и (11). Для этого следует применить к уравнению (10) разложение

СОБ

рп

(х -т 2 )

X© р*СОБ

5=0

Ж3

(х -т3 )

© 1

где © р*=

СОБ

рп

Ж2

( Ж

т 3 -т2 +

V

3

2 ) 2

(

БШС

Ж3 р—- - *

Ж2

Л"

)

+ (- 1)* Б.

БШС

Ж3 р—^ + *

Ж2

V

)

(15)

благодаря чему можно выразить величину Qs и исключить текущую координату х.

Если проделать аналогичные операции с уравнением (11) то его можно преобразовать к виду:

' X Qs ^А Кр =

Л

Л

IГ Ьу

V )

1Г , г = 0...ГО.

(16)

2

2

п=-ю

X

X

После подстановки в (16) величины Qs можно получить третью подсистему:

z h

p=0

IE IX

J^ pr

-811

pp

z ^

p=0

jE IX

pr

-5 rplp

= 0, r =

где E ? = Z0 ps ^((Л);

s=0

^ = W3/ ^2

1 + 5 0

соб

rn

W2

T 3 -T 2 +

W3

—

sn 2

Sine

f W3 r—- - s

W2

+

(- 1)' si

sine

W3 r—- + s

W2

Y

J.

Использование процедуры переразложения к функциональным уравнениям, в результате которого система (6) ^ (11) была сведена к трем алгебраическим подсистемам, позволило не только обеспечить выполнение условий сопряжения тангенциальных компонент на границах частичных областей, но и удовлетворить граничные условия на металле в полостях дифракционной решетки.

Результирующая система алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд пространственных гармоник диэлектрического волновода и пространства над структурой может быть получена при совмещении (13), (14) и (17) и последующем усечении в соответствии с правилом:

n, i е

M -1 M -1

2

2

; p, r е[0, M - 1]

где М - общее число учитываемых гармоник (нечетное), М >> 1.

Полученная система пригодна для непосредственной численной реализации и

однозначным образом разрешается относительно Ап , I р , Ьр , V р , и р . Располагая

достаточным числом пространственных гармоник нетрудно рассчитать поле рассеянной волны над и внутри волноведущей структуры. В бесконечных суммах, сходящихся с ростом индексов суммирования, достаточно учитывать (М ^ 2М) слагаемых.

Представленная математическая модель позволяет проводить анализ сложных металлодиэлектрических структур в резонансной области частот, где трудность определения их дифракционных свойств имеет наивысшую степень.

Проверка адекватности разработанной модели проверялась экспериментально. Для чего были изготовлены решетки, предназначенные для работы в одноволновом (антенном) режиме, когда преобразование объемных электромагнитных волн осуществляется помимо зеркально отраженной в поверхностные волны (не зеркальные каналы излучения отсутствуют). При этом максимальная интенсивность будет наблюдаться у пространственных гармоник (± 1)-го порядка.

Для проведения эксперимента по методике на основе рекомендаций [6] была создана двухступенчатая отражательная металлическая дифракционная решетка, содержащая 20 периодов и имеющая ширину Ь/Ъ = 2.5. Использовался диэлектрический плоский волновод с в = 2.56. Были выбраны следующие размеры структуры: Я = 0.254Ъ; Ж1 = 0.829Ъ;

Т1 = 0.171Ъ; Й1 = 0.196Ъ; ^2 = 0.254Ъ; Т2 = 0.458Ъ, ¿2 = 0.171Ъ.

х

2

х

Далее представлены результаты сравнения экспериментальных и численных данных для различных высот подъема диэлектрического волновода А.

Наличие дисперсии у элементов, составляющих конструкцию исследуемых структур, приводит к углочастотной зависимости выражающейся в зависимости углового положения максимума диаграммы направленности от частоты.

фтах:> 40

град.

20

-20

0.7 0.8

а) А = 0;

фтах, 40 град.

20

20

0.7 0.8 0.9

б) А = 0.417Ь;

0

0

Рис. 2 - Углочастотные характеристики двухступенчатой структуры

Как видно из рис. 2 а) наблюдается достаточно хорошее соответствие двух кривых на начальном участке, математическая модель правильно отображает их поведение, в том числе скачкообразный характер.

Несовпадение кривых объясняется сложностью диаграмм направленности экспериментального макета, вызванной сильной связью диэлектрического волновода и металлической решетки при А = 0, из-за чего они имеют множество экстремумов при их малой интенсивности, также имеет место сильное влияние параметров структуры на диаграммы направленности, что снижает точность эксперимента из-за погрешностей изготовления лабораторного макета.

При уменьшении связи между планарным волноводом и дифракционной решеткой (А увеличивается) наблюдается лучшее совпадение кривых (рис. 2 б) из-за более однозначных экспериментальных диаграмм направленности, что улучшает условия проведения эксперимента.

Рис. 2 показывает, что созданная математическая модель адекватно отображает физические процессы дифракции электромагнитных волн на исследуемых координатных периодических структурах, в частности она позволяет находить частотные участки с аномальной дисперсией, что позволяет создавать дифракционные антенны со стабилизированной пространственной диаграммой направленности при изменении частоты сигнала.

Для экспериментальной проверки возможностей модели рассчитывать характеристики металлодиэлектрических структур на основе решеток с некоординатным профилем были созданы дифракционные решетки с треугольной формой паза. При расчете, форма паза аппроксимировалась трехступенчатым профилем. Результаты сравнения для такой решетки с глубиной симметричного паза к = 0.275Ь и шириной Ж1 = 0.33 Ь приведены на

рис. 3. Как видно из полученных данных, характер расчетных и экспериментальных кривых совпадает, что подтверждает правильность идеи об использовании ступенчатой координатной аппроксимации некоординатной формы паза дифракционных решеток для их последующего анализа.

При этом для случая А = 0 (рис. 3 а) совпадение кривых значительно хуже, чем в случае А = 0.21Ь (рис. 3 б). Как и в предыдущих случаях, это объясняется сложными дифракционными диаграммами направленности лабораторного макета при наличии

сильной связи между диэлектрическим волноводом и дифракционной решеткой. К этому надо добавить, что в этом же случае гораздо сильнее проявляется ошибка аппроксимации треугольного контура трехступенчатой формой. В случае, когда диэлектрический волновод приподнят над решеткой, указанные источники погрешностей вносят значительно меньший вклад.

а) А = 0; Ь/Х б) А = 0.21Ь; Ь/Х

Рис. 3 - Углочастотные характеристики металлодиэлектрической структуры на основе дифракционной решетки с треугольной формой паза

Заключение:

1) Полученная математическая модель для анализа сложных металлодиэлектрических структур адекватно отображает явление дифракции в резонансной области частот, что было проверено экспериментально.

2) Было показано, что разработанная математическая модель позволяет анализировать не только координатные структуры со сложной внутрипериодной морфологией, но и некоординатные при аппроксимации пазов дифракционной решетки ступенчатым профилем.

3) Разработанная программа на основе полученной математической модели может быть успешно применена в САПР антенных устройств СВЧ диапазона, поскольку для получения точных результатов благодаря высокоскоростному алгоритму получения решения вычислительные затраты оказываются значительно меньшими, чем в случае применения других методов расчета.

Список литературы

1. Евдокимов А. П., Крыжановский В. В. Новое направление в технике антенных решеток // Изв. высш. уч. завед. Радиоэлектроника. 1996. Т. 39, № 9-10, с. 54-61.

2. Виниченко Ю. П., Тумановская А. Е. Отражательный поляризатор облучающей системы антенн оптического типа // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. Т. 4, № 3. С. 56-59.

3. Сестрорецкий Б. В., Пригода Б. А., Иванов С. А. Широкополосная плоская отражательная антенна с наклонным лучом // Антенно-фидерные устройства, системы и средства радиосвязи: сб. тр. III Междунар. НТК. Воронеж: ВГУ, 1997. Т. 2. С. 255-263.

4. Останков А. В., Пастернак Ю. Г., Шерстюк О. И., Юдин В. И. Моделирование рассеяния волн на щелевой решетке, экранированной периодической «гребенкой» со слоем диэлектрика // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. Т. 6, № 2. С. 68-71.

5. Просвирин С. А. Свойства решеток из элементов сложной формы и метаматериалы // Физика и технические приложения волновых процессов: тез. докл. и сообщ. II Междунар. НТК. Самара. 2003. С. 29.

6. Шестопалов В. П. Физические основы миллиметровой и субмиллиметровой техники Т. 2. Источники. Элементная база. Радиосистемы. - Киев: Наук. думка. - 1985. - 256 с.