CC BY
15
УДК 519.725
Э. М. Габидулин, Н. И. Пилипчук
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Эффективность подпространственных сетевых кодов
Рассмотрены конструкции подпространственных сетевых кодов Силвы-Кёттера^ Кшишанга (ЗКК-коды)н многокомпонентных кодов с нулевым префиксом (МНП-коды) Габидулина-Боссерта. Определены оптимальные параметры .\IIIII кодов и приведена верхняя граница мощности подпространственных сетевых кодов. Проведён анализ мощности этих кодов и сравнение с верхней границей мощности. Показано, что мощность МНП-кодов больше мощности БКК-кодов при любых параметрах. Оценена эффективность кода в виде отношения мощности конкретного кода к максимальной мощности, определяемой верхней границей.
Ключевые слова: ранговые коды, подпространственные коды, мощность кода, кодовое расстояние, размерность, многокомпонентные коды
1. Введение
Прежде всего введём обозначения и определения. Пусть Ш = СР(д)га — основное пмерное пространство над конечным полем СР(д). Ш(п,т) — множество всех т-мерных подпространств основного пространства Ш, называемое грассманианом.
Ш (п, т)| = [" ] = (Г - 1)(»" - Ч)...(!Г_1) .
1 1т] (- 1)(<?т - о)... (<?т - дт_')
Грассманово расстояние между двумя подпространствами и,У € Ш(п, т) определено следующим образом:
йзиЪ{и, V) = ё1ш(и Ы V) - ё1ш(и П V) =
= ё1ш( и)+ё1ш( V) - 2ё1ш( и ПV) = = 2т - 2ё1ш(и ПV) = 25.
Обозначим [п, М, й3.иь = 25, т] некоторый код в грассмановой метрике, у которого п — длина кодовых слов, М — число кодовых слов, йзиь — минимальное кодовое расстояние, т — размерность.
Верхняя граница мощности грассмановых кодов получена в 2003 году [1]:
|Ш(п,т -5 + 1)| = [т_У'] |Ш( т,т -5 + 1)| [т_Ц+'] .
Асимптотическая форма этой границы имеет вид
Мтах < д(м_т)(т_г+') + _т)(т_г+1)_г(1 + 0(1)).
На рис. 1 показана зависимость мощности кода от его длины для размерностей т = 3 и т = 4.
ю31
Ю2'
м
10
,18
,12-
10
10«
/
[ т = 4, 5 = 1 ] /
/
/
/
/ [т = 3, 8= 1] / /
/ /[т = 4,Ь = 2]
/ // / //
/ // [т = 3, 5 = 2] / // /
/ // / / // ^т = 4,8 = 3]
//
Л
//
/у
У
У
/у
/
///.О
[т = 4, 5 = 4]
10
25 30
15 20 п
Рис. 1. Зависимость мощности кода от длины
Приведём расчёты верхней границы при заданных параметрах п, 5, т, где п > 2т.
Т а б .л и ц а 1
Верхняя граница мощности кода, т = 3
п 7 9 15 30
Мтах, 5 = 1 11811 788035 2.09 ■ 1011 7.4 ■ 1024
Мтах, 5 = 2 381 6205 2.60 ■ 107 2.7 ■ 1016
Мтах, 5 = 3 18 73 4681 1.5 ■ 108
Т а б .л и ц а 2
Верхняя граница мощности кода, т = 4
п 7 8 9 15 16 30
Мтах, 5 = 1 11811 200787 3.3 ■ 107 5.7 ■ 1013 9 ■ 1014 6.6 ■ 1031
Мтах, 5 = 2 787 6477 52535 1.3 ■ 1010 1.1 ■ 1011 4.9 ■ 1023
Мтах, 5 = 3 76 308 1241 5.1 ■ 106 2.0 ■ 107 5.5 ■ 1015
Мтах, 5 = 4 --- 17 34 2184 4369 7.2 ■ 107
Как видно из рисунка и расчётов, Мтах растёт с ростом длин п. Кроме того, чем больше размерность т, тем больше мощность Мтах при том же кодовом расстоянии 5. Чем больше тем меньше Мтах при том же т и фиксированном п.
В настоящее время известны подпространственные коды большой мощности. К ним относится случайный сетевой код {БКК-кор), разработанный тремя авторами - Силвой, Кёттером, Кшишангом [2 3], многокомпонентный код с нулевым префиксом (МШ7-код), предложенный Габидулиным и Боесертом 2008 1'оду [4 5] и дополненный оптимизацией параметров в 2012 году [6]. Кроме того, разработан Шишкиным многокомпонентный код [7], основанный на лексикографическом принципе и оптимизации с отбраковкой. Имеются
также отдельные примеры подпроетранетвенных сетевых кодов, использующих в качестве основы ранговый код Габидулина [8] и так называемые диаграммы Феррера [9 10]. Однако отдельные примеры не дают возможности определить мощность кодов при всех возможных значениях параметров, поэтому здесь ограничимся анализом характеристик Б К К- и МНП-кодов.
2. Случайный сетевой код БКК
Кодовая матрица БКК-кода имеет вид
С = {[1т М]} ,
где 1т - единичная матрица, М - матрица рангового кода над базовым полем СР(д). Мощность этого кода такова:
Макк = дк(п-т\ тек = т - 5 + 1.
Зависимость от длины кода показана на рис. 2.
-ГЦ 3 5=2 -т=3, 5=3 - - т 4 6=2 - гп 4 5=3
ги 4 5=4_
Рис. 2. Мощность кодов БКК в зависимости от длины кода
3. Многокомпонентный сетевой код МНП 3.1. Структура кода
В 2008 году Габидулиным и Боееертом предложен многокомпонентный сетевой код: это код с нулевым префиксом (МШ7-код) [4 5].
Пусть Мг, г = 1,..., г - кодовая матрица г-й компоненты. Компоненты имеют следующую структуру:
Мг = 1тМь М2 = Оёт 1тМ2,
Мг = ОётОёт ... Оёт 1тМг,
где первая компонента М\ - это БКК-код. Как видно из этой структуры, перед каждой следующей компонентой появляется матрица из т-строк и ¿-столбцов, состоящая из одних нулевых элементов. В результате число столбцов матрицы рангового кода уменьшается на 5.
3.2. Мощность кода
Благодаря тому, что все эти компоненты в подпроетранетвенном смысле ортогональны, общая мощность многокомпонентного кода равна сумме мощностей всех г кодовых компонент Мг, г = 1 ,г.
Зафиксируем параметры п, т, 5 и подсчитаем мощность. Мощность МШ7-кода состоит из трех частей:
Ммнп = Мзкк + б! + 52 + 1
ГДС
«1
51 =
п—т—гб)
i=1
«2
52 = ^ 2к*т.
г=1
Здесь Мзкк """"" мощность первой компоненты, 51 - суммарная мощность компонент, начиная со второй до «1-й, 52 - суммарная мощность компонент, начиная с ((81) + 1)-й до последней компоненты. Параметры «1, 82, кг выбираем в соответствии с алгоритмом построения кода: 81-ш сдвиг длин кодовых слов происходит при выполнении условия п—т — = т+7, где 0 < 7 < 5 — 1. Так что «1 = п—2"—7. Далее происходит уменьшение длины на 5 (т + 7 — 5 < т) и транспонирование кодовой матрицы.
Теперь сторона длины т + 7 — 5 - размерность, которая уменьшается на 5 на каждом шаге. Множитель в показатели степени ^ = (т + 7 — г5) — 5 + 1.
Параметр 82 определим из условий
6 < т + 7 — 825 т т + 7 — (з2 + 1)£ < 6 :
т + 7 — 25 т + 7 — 5
- < ¿2 <
5
5
п—2т—7 = 70—30—1 = 13
Пример 1. Пусть п = 70, т = 15, 5 = 3. Здесь 7 = 1. в1 = -^—1 = 3
15+1—6 < ^ / 15+1—3 3 < Ь2 < 3
С учётом целочислеппости получаем 82 = 4. Мощность этого МНП-кода равна
13
Ммн11 = 213^55 + ^213(55—3г) + ^215(14—3г) + 1.
г=1
г=1
Функция разности мощностей ДМ = Ммнп — Мзкк в зависимости от п при фиксированных параметрах т и 5 представлена на рис. 3. Из рисунка видно, что функция ДМ растет при увеличении п и зависит от т и 6.
Рис. 3. Функция ДМ в зависимости от длины кода
3.3. Оптимальность кода МНП
Доказано [6], что МНП-пор, имеет максимальную мощность при следующих параметрах: 5 = тип = 1т.
ап - 1 а1т - 1 Мтах = = , (1)
дт — 1 дт — 1
где I - целое число. Если п = 1т + в, 1 ^ в < т, то мощность этого кода выражается формулой
М = д(1-1)т+3 + д(1-2)т+* + ... + дт+* + 1. (2)
Пример 2. Рассмотрим два случая. Пусть 5 = т = 4ип = 15 5 = 3. Используем формулу (2) и получаем
м = 2(3-1)4+3 + 2(3-2)4+3 + 1 = 2177. (3)
равна MTfx м=0.0032. Пусть 5 = т = ^ип = 17 s = 1. Используем формулу (2) и
1 max
получаем
Верхняя граница в этом случае даёт значение Mmax=2184, то есть относительная разность
max
м = 2(4-1)4+1 + 2(4-2)4+1 + 2(4-3)4+1 + 1 = 8737. щ
Верхняя граница в этом случае даёт значение Mmax=8738, то есть Mmax-M =0.0000114. В
iWmax
обоих случаях оценка по формуле (2) близка к верхней границе (1).
4. Эффективность SKK- и МНП-кодов
Определим эффективность кодов в виде отношения мощности данного кода к максимальной мощности, определяемой верхней границей, при фиксированных параметрах п, т, 5:
Tjskk = MSkk ~ эффективнОСТЬ SKK-КОДЩ Vo = ^¥НП - эффективность МНП-коаа.
iWmax
Приведём расчёт эффективности этих кодов при фиксированном п = 16 и различных значениях параметров т, 5.
ТаблицаЗ
п = 16 = 2
т 2 3 4 5 6 7 8
Vskk 0.750 0.656 0.615 0.596 0.587 0.583 0.581
Г]0 1.000 0.700 0.625 0.598 0.587 0.583 0.581
Таблица!
п = 16 = 3
т 2 3 4 5 6 7 8
Vskk - 0.875 0.820 0.794 0.782 0.777 0.774
По _ 1.000 0.823 0.796 0.782 0.777 0.774
Таблицаб
Длина кода п = 16 ^^^стояние 5 = 4
т 2 3 4 5 6 7 8
Vskk _ _ 0.938 0.908 0.894 0.887 0.887
Vo _ _ 1.000 0.912 0.908 0.887 0.887
Таблицаб
Длина кода п = 16 расстояние 5 = 5
т 2 3 4 5 6 7 8
Явкк _ _ _ 0.969 0.954 0.946 0.942
По _ _ _ 0.999 0.954 0.946 0.942
Таблица7
Длина кода п = 16 расстоян ие 5 = 6
т 2 3 4 5 6 7 8
Явкк _ _ _ _ 0.984 0.977 0.973
По _ _ _ _ 0.985 0.977 0.973
Таблица8
Длина кода п = 16 расстоян ие 5 = 7
т 2 3 4 5 6 7 8
Явкк _ _ _ _ _ 0.992 0.988
По _ _ _ _ _ 0.994 0.988
ТаблицаЭ
Длина кода п = 16 расстоян ие 5 = 8
т 2 3 4 5 6 7 8
Явкк _ _ _ _ _ _ 0.996
т _ _ _ _ _ _ 1.000
Приведённые расчёты показали,что эффективность МНП-кода, всегда больше или в некоторых случаях (при заданной точности 3 знака после запятой) равна эффективности вКК-кода. При условии т = 5 и ^ - целом эффективность МНП-кода равна 1, то есть совпадает с верхней границей.
5. Заключение
• Проанализирована верхняя граница мощности подпространственных кодов в зависимости от основных параметров. Показано, что мощность увеличивается при увеличении длины, а также размерности кода и уменьшается при увеличении кодовых расстояний.
• В качестве нижней границы предложено использовать мощность многокомпонентного кода с нулевым префиксом (МНП-кода) Габидулина - Боссерта. Мощность МНП-кода больше мощности случайного сетевого кода Силвы-Кёттера-Кшишанга (БКК-кода)при всех значениях основных параметров. В случаях равенства кодовых расстояний и размерностей мощность МНП-кода практически (в некоторых случаях точно) совпадает с верхней границей мощности.
• Оценена эффективность кодов БКК и МНП и приведены расчёты эффективности (с точностью до третьего знака после запятой) для следующих параметров: п = 16, т = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 5 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, где п > 2т. Показано, что при такой точности и больших размерностях эффективность БКК-кода и МНП-кода практически одинакова. Так что в этих случаях можно использовать мощность любого из рассматриваемых кодов в качестве нижней границы мощности подпространственных сетевых кодов.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 15-07-08480 А.
Литература
1. Wang Н., Xing С., Safavi-Naini R. Linear Authentication Codes: Bounds and Constructions // IEEE Trans. Inform. Theory. - 2003. V. 49, N 4. P. 866-873.
2. Koetter R., Kschischang F.R. Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding 11 IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. - V. 54, N 8. - P. 3579-3591.
3. Silva D., Kschischang F.R., Koetter R. A Rank-Metric Approach to Error Control in Random Network Coding 11 IEEE IVans. Inform. Theory. - 2008. - V. 54, N 9. - P. 3951 3967.
4. Gabidulin E., Bossert M. Codes for Network Coding // Proceedings of the Int. Svmpos. on Information Theory. (ISIT'2008). - 2008.^ P. 867-870.
5. Габидулин Э.М., Боссерт M. Алгебраические коды для сетевого кодирования // Проблемы передачи информации. — 2009. Т. 45, вып. 4. — С. 3-18.
6. Pilipchuk N., Gabidulin Е., Afanasiev V. Decoding multicomponent codes based on rank subcodes // Proceedings of the Int. Workshop, on Algebraic and Combinatorial Coding Theory (ACCT'2012). - 2012. P. 275-281.
7. Shishkin А.Л., Gabidulin E.M., Pilipchuk N.I. On cardinality of network subspace codes // Proceeding of the Fourteenth Int. Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory (ACCT-XIV). - 2014.^ P. 300-306.
8. Габидулин Э. M. Теория кодов с максимальным ранговым расстоянием // Проблемы передачи информации. —1985. — Т. 21, вып. 1. С. 1-12.
9. Etzion Т., Silberstein N. Error-Correcting Codes in Projective Spaces via Rank-Metric Codes and Ferrers Diagrams // IEEE Transactions on Information Theory. — 2011. — V. 55, N 7. - P. 2909-2919.
10. Etzion Т., Silberstein N. Large Constant Dimension Codes and Lexicodes // Advances in Mathematics of Communications. — 2011. — V. 5, N 2. — P. 177-189.
References
1. Wang, H., Xing, C., Safavi-Naini, R. Linear Authentication Codes: Bounds and Constructions. IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. V. 49. N 4. P. 866-873.
2. Koetter, R., Kschischang, F.R. Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding. IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54. N 8. P. 3579-3591.
3. Silva, D., Kschischang, F.R., Koetter R. A Rank-Metric Approach to Error Control in Random Network Coding. IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54. N 9. P. 3951-3967.
4. Gabidulin, E., Bossert, M. Codes for Network Coding // Proc. 2008 IEEE Int. Svmpos. on Information Theory. (ISIT'2008). Toronto, Canada July 6-11, 2008. P. 867-870. *
5. Gabidulin, E., Bossert, M. Algebraic codes for network coding. Probl. Inform. Transm. 2009. V 45, N 4. P. 3-18. (in Russian).
6. Pilipchuk N., Gabidulin E., Afanasiev V. Decoding multicomponent codes based on rank subcodes. Proceedings of the Int. Workshop, on Algebraic and Combinatorial Coding Theory (ACCT'2012). 2012. P. 275-281.
7. Shishkin A., Gabiduïin Е.М., Pilipchuk N.I. On cardinality of network subspace codes. Proceed. Fourteenth Int. Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory (ACCT-XIV). Svetlogorsk(Kaliningrad region), Russia September 7-13, 2014. P. 300-306.
8. Gabiduïin E.M. Theory of codes with maximum rank distance. Probl. Inform. Transm. 1985. V.21. N 1. P. 1-12. (in Russian).
9. Etzion T., Silberstein N. Error-Correcting Codes in Projective Spaces via Rank-Metric Codes and Ferrers Diagrams. IEEE Transactions on Information Theory. 2011. V. 55, N 7. P. 2909-2919.
10. Etzion T., Silberstein N. Large Constant Dimension Codes and Lexicodes. Advances in Mathematics of Communications. 2011. V. 5, N 2. P. 177-189.
Поступим в редакцию 04-03.2015.
