Эффективная факторизация в некоторых классах матриц-функций третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 150, кн. 1 Физико-математические пауки 2008

УДК 517.544

ЭФФЕКТИВНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

С. Н. Киясов

Аннотация

Получено матричное представление для Нм -непрерывной матрицы-функции третьего порядка, заданной па простом гладком замкнутом контуре. Выделены классы матриц-функций. допускающих эффективную факторизацию.

Ключевые слова: голоморфные функции, факторизация матриц-функций.

Пусть Г - простой гладкий замкнутый контур, разбивающий плоскость комплексного переменного па две области Б+ и Б- (ж € Б-). Под факторизацией -непрерывной на Г матрицы-функции (сокрагценно м-ф) С(£) будем понимать ее представление в виде С(£) = С+(£)С-(£), £ € Г, где С(г) - м-ф конечного порядка па бесконечности ([1], с. 12), det С(г) = 0 в конечной части плоскости, а на бесконечности порядок det С-(,г) равен сумме порядков к1, к2,..., кп строк м-ф С-(г). Эти числа называются частными индексам и, а их сумма к = inddet С(£)

- суммарным индексом м-ф С(£). Если на бесконечности сумма порядков строк det С- (г) больше порядка на бесконечности самого определителя, то будем называть такое представление м-ф С(£) нормальным представлением в силу того, что

X(г) = {С+(г), г € Б+ ;[С-(г)]-1, г € Б-}

является нормальной матрицей соответствующей однородной задачи линейного сопряжения и при помощи известного алгебраического алгоритма может быть приведена к канонической матрице [1, с. 30, 40], а значит, факторизуется эффективно.

В работе [2] в качестве приложения рассмотренных в ней сингулярных интегральных уравнений получено представление для -непрерывной па Г м-ф второго порядка С(£) = \\д^(£)||, = 1, 2, определитель которой Д(£), а также

элемент дц(£) не имеют нулей на контуре:

С(£)= С+(*)Со(*)С-1(*), (1)

где

G+

G

11

g+iP

9 21 gil

g+i

+ ^<Р g+i

Q

9 21 gil

(gil

Д+

/

gn gnQ

0

g!2

gil

\

+ — \q gii l д-gfi

P gl2 (gn)2l

Lgn_ Д- J

0

Д+ ~9ÍJ \

а м-ф

Оо

Я

р

р 312 (9п)2]

[дц_ д- ]

Я 321 (^)21 1 + ( р р 312 Ш2] Я Я 921 (^)21

[дц. Д+ ] 1 [дц. А- \ [дц. Д+ ]

Здесь Д = Д+Д-, дц = д+1д[1 - факторизация на Г указанных функций с индексами Коши к и кц соответственно, а Р и Я - операторы Р = [I + Я]/2, Я = [I — Я]/2 (/ - единичный, Я - сингулярный операторы). Из представления (1), в частности, получаем, что если отношение д2\/ди есть предельное значение на Г функции, аналитической в Б+, либо отношение дп/д\\ — предельное значение на Г функции, аналитической в Б- и исчезающей на бесконечности или полином, степень которого I удовлетворяет неравенству

I + 2к11 — к < 0,

то м-ф О0(£) становится треугольной и м-ф О(£) согласно результатам работы [3], в которой указан алгоритм построения канонической матрицы, факторизуется эффективно. Отметим, что можно указать явные формулы для нормального представления треугольных м-ф второго порядка, но мы их получим ниже как частный случай соответствующих представлений для треугольных м-ф третьего порядка.

Если все элементы дц(£), г,] = 1, 2, не имеют нулей на контуре, то, используя перестановочную матрицу, получим для О(£) еще три представления вида (1), позволяющие сформулировать соответствующие утверждения о ее эффективной факторизации.

Полученные условия фактически означают, что можно указать м-ф Н + (£) соответственно Н-(£), такие, что м-ф Н + (£)О(£) или О(£)Н- (£) становятся треугольными.

Однако подобное (1) представление для м-ф третьего порядка позволяет получить, на наш взгляд, более содержательный результат.

Пусть О(£) = ||дц(¿)||, г,] = 1, 2,3, Д(£) = det О(£) = 0 - Нм-непрерывная на Г м-ф, элементы дц которой, а также соответствующие им миноры Оц не

О;.

О++ Оц

и кц,

обращаются в нуль на контуре. Пусть Д = Д+Д , дц г,] = 1, 2, 3, - факторизация указанных функций с индексами Коши к, кц г,] = 1, 2, 3, соответственно. Непосредственно проверяется справедливость па Г представления

О=

1 0 0 д11 0 0 1 312

321 1 0 0 Сзз 0 0 дц

311 ди 1

031 С?23 1 / 0 0 Д

\911 Сзз Сзз^ 0 0

£13 \

дц

С*32

Сзз

1

(2)

н представления

Н

'а А ^'

0 в V

,° 0 7

Н +Н -

(3)

в котором а = а+а , в = в+в , 7 = 7+7 _ факторизация на на Г Нм-непре-

рывных функций а, в, 7, а

^а+ а+Р 0

Л

а+в-

в+

0

+Р

- Р

Q

в+Р

Y

/з+7-

в+Y-

+

а+в-

(4)

H-

/«-

о

\ о

e-Q

*+в-

Q

х + в-

Q [

+Q Y- Q

.в+Y

Y-

- Q

Q

.в+Y

*+в-

/

(5)

Представление (3)-(5) есть, вообще говоря, нормальное представление Нм-непрерывной па Г треугольной м-ф Н, позволяющее эффективно построить ее факторизацию. В частном случае ^ = V = 0 ,7 =1, миноры второго порядка, стоящие в левом верхнем углу м-ф (3) (5), определяют нормальное представление соответствующей м-ф второго порядка.

Пусть Р;^, *,.?’, к = 1,2, 3, г = ] = к - перестановочная матрица третьего порядка: (/и = /2^ = /зк = 1, а остальные элементы нулевые). При умножении м-ф О слева на Рг,],к первой становится строка м-ф О с номером г, второй - с номером ] и третьей — с номером к, а при умножении справа — первым становится столбец с номером г, вторым — с номером и третьим — с номером к (Р1,2,э = Е, где Е - единичная матрица). Очевидно, обратная к перестановочной матрице Р;,^ совпадает с транспонированной матрицей Р; ^ й.

Домножая м-ф Н слева и (пли) справа на соответствующую перестановочную матрицу, получим нормальные представления для треугольных м-ф другого вида.

Факторизуя в (2) диагональную м-ф, записывая нормальные представления треугольных м-ф, переставляя диагональные факторнзацнонные множители с соседними множителями полученных нормальных представлений и вновь записывая нормальные представления для полученных треугольных м-ф, после соответству-

Г

G(t) = H+(t)^(t)H -(t), в котором элементы м-ф соответственно равны

(6)

h+1 = g+1>

h +

h21

h+2 = h+3 = 0,

g+iP

g21

g11

G+

+ ^P g+1

Ж

G3+3

Q

g21

g11

h +

h22

9u ''

h+

h23

h+1 = g+P

g 31 g11

+

Р G23 Q 921

.G33 LgnJ

G3+3 giiGi3r) Д+ 4

G+

+ ^P g11

g31 _ p g11

G23

-Р

[G3+3]2

LgiiA+

_Сзз

G23 G33. Q

Р

Q

Mil2

G3+3

g21

-Q

g11 G23

G33

Q

g21

g11

[g+1]2

+

G3+3

Q

g21

g11

Л

0

«32

9кР

Зи

С23

С33

^11 = 1, ^12 = Р

д+

+ с^Р

«оо

33

И2

С.

Р

ЬпД+

312

С?23

Сзз

33

311

«+

«33

Д+

а>13 = Р

^21 = Я

Зп^ззр 313 -Я Gз2 Р 312

_ д- [311 _С?зз [311_

Ш2

Gtз

Я

321

311

Г^ззРр Gз2 Р Г [зи]2 р 312

1зиА- _Gзз 1. 633 [311_

^22

— Я

1+ ^12^21, ^23 = Р

Ш!Р

1зиА-

(?32

Сзз

+ ^21^13,

^31 = Я

З^С+з

д+

Я

331 _ р .311

С*23

Сзз

Я

321

311

-Р

[Сз+з]2

Я

С23

С33

Я

С33

9 21 311

^32 = Я

^33

[Сз+з]2 ^ 1_ЗиА+

С*23

Сзз

+ ^12^31,

1 + ^13^31 + Я «11 = 311, «12 = 311Я

[С33]

33] я

1-311Д3

С23

С33

Р

[Сзз]2

-ЗпА_

Р

С32

С33

312 + ^д Г[з 11]2 р 312

[311_ 3ц 1. Gзз №1_ .

13

31-1Я

313 -Я Gз2 Р 312 + — я Gз2 Я \[9п?р 312

[311 С зз [311_ 311 _Gзз . Gзз [311.

+ 7ГЯ

С33

Зп^зз 313 -Я Gз2 Р 312

_ Д- [311 С зз [311_

-Я

+

Г^ззРр Сз2 Р Г [зи]2 р 312

1зиА- _Gзз 1. Сзз [311_

/г21 = 0, /722 = 1г23 = ^Я

311311

«31 = «32 = 0,

С32

С33

«33 =

—д

Сзз

д-

^33

[С

33]' р

1311

д-

С32

С33

Рассмотрим частные случаи м-ф третьего порядка, для которых представление (6) позволяет получить нормальное представление, а значит, эффективно построить ее факторизацию. Это, очевидно, будет возможным, если м-ф будет треугольной, либо станет таковой при умножении ее на перестановочные матрицы.

2

Пусть отношения 321/311, 331/311, С23/С33 есть предельные значения на Г функций, аналитических в Б+. Тогда элементы 1^21, (^31, ^32 м-ф П(£) будут равны нулю и она становится треугольной.

Пусть каждое из отношений 312/311, 313/311, С32/С33 есть предельное значение на Г функции, аналитической в области Б- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого /, т, или р удовлетворяет соответствующему неравенству

/ + 2*11 - к33 < 0, (7)

т + к11 + к33 < 0, (8)

р + 2к33 — к11 — к < 0. (9)

Кроме того, если отношение 312/311 является полиномом степени /, а отношение С32/С33 есть предельное значение функции, аналитической в Б-, то порядок этой функции на бесконечности должен быть меньше — /. В этом случае элементы ^12, ^13, ^23 равны нулю, и м-ф П(£) также будет треугольной.

Пусть отношения 321/311, 331/311 являются предельными значениями па Г функций, аналитических в Б+, а отношение С32/С33 есть предельное значение функции, аналитической в области Б- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого р удовлетворяют неравенству (9), тогда элементы ^21. ^31, ^23 равны нулю, и м-ф П(£) становится треугольной при домножении ее слева и справа па перестановочную матрицу Е[д2. Поэтому представление (6) принимает вид

с(*) = я+(;)б1Д2^К3,2Е-(*), (ю)

в котором

^(¿) = Б1,312^(^)Б11312

есть треугольная м-ф.

Пусть каждое из отношений 312/311, 313/311 является предельным значением на Г функции, аналитической в области Б- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого / или т удовлетворяет соответствующему неравенству (7), (8). Пусть также порядок па бесконечности Я[С32/С33] меньше —/, если от-

312/311 /, С23/С33

Г Б3 .

менты о>12, ^13, ^32 м-ф П(£) равны нулю, и мы снова приходим к представлению

(Ю).

Таким образом, оказывается справедливой

Теорема 1. Пусть С(2) = ||3^(¿)||, *,^’ = 1,2,3, Д(2) = det С(2) = 0 -

Ир-непрерывная на Г м-ф, элемент 311 которой, а также соответствующие элементам 3^ миноры С^ ме обращаются в нуль на контуре. Пусть, далее, Д = Д+ Д-, 311 = 3+13-1, С^- = С+ С-, *,^ = 1,2, 3, - факторизация указанных функции с индексами Коши к, к11 и к*^, *,^ = 1, 2,3, соответственно. Если выполняется одно из следующих условий:

отношения 321/3п, 331/3и, С23/С33 есть предмьные значения на Г функций, аналитических в Б+;

каждое из отношений 312/311, 313/3и, С32/С33 есть предельное значение на Г Б/, т р

312/311 /,

С32/С33 Б-,

—/;

отношения g2i/gii, g3i/gn - предельные значения на Г функции, аналитических в D+, а отношение G32/G33 - предельное значение функции, аналитической в области D- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого p удовлетворяют неравенству (9);

каждое из отношений gi2/gn, Лз/ш есть предельное значения на Г функции, аналитической в области D- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого I или m удовлетворяет соответствующему неравенству (7), (8) и порядок на бесконечности Q[G32/G33] меньше —l, если отношение gi2/gii ~ полином степени l, а отношение G23/G33 - предельное значение функции, аналитической в D+.

Тогда факторизация м-ф G(t) сводится к факторизации треугольной м-ф.

Рассматривая м-ф Gi = Fij3j2G, G2 = GFij3j2, G3 = Fii3j2GFii3j2 и записывая для них соответствующее представление (6). получим еще три представления для м-ф:

G = Fi,3,2Gi = G2Fi,3,2 = Fi,3,2G3Fi,3,2-

При помощи перестановочных матриц, подставляя вместо элемента gii(t) м-ф G(t) другие ее элементы (это можно сделать для каждого элемента четырьмя различными способами), получим еще 32 представления вида (6). позволяющие сформулировать аналогичные указанным в теореме условия ее эффективной факторизации.

Summary

S.N. Kiyasov. Effective Factorization of Some Classes of Tliird-Order Matrix-Functions.

A matrix representation is derived for -continues third-order matrix-functions which are defined at a simple smooth closed curve. Some classes of matrix-functions admitting effective factorization are revealed.

Key words: liolomorphic functions, factorization of matrix-functions.

Список литературы

1. Веку а Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные

задачи. М.: Наука, 1970. 379 с.

2. Киясоа С.Н. Исследование разрешимости и оценки числа решений одного класса

сингулярных интегральных у равнений // Сиб. матем. жури. 2000. 6. С. 1357

1362.

3. Чеботарев Н.Г. Частные индексы краевой задачи Римапа с треугольной матрицей второго порядка // Успехи матем. паук. 1956. Т. II. Вып. 3. С. 199 202.

Поступила в редакцию 13.09.07

Киясов Сергей Николаевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета. Е-шаП: Кгуаи оь (ФтА. ги