CC BY
30
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 150, кн. 1 Физико-математические пауки 2008
УДК 517.544
ЭФФЕКТИВНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С. Н. Киясов
Аннотация
Получено матричное представление для Нм -непрерывной матрицы-функции третьего порядка, заданной па простом гладком замкнутом контуре. Выделены классы матриц-функций. допускающих эффективную факторизацию.
Ключевые слова: голоморфные функции, факторизация матриц-функций.
Пусть Г - простой гладкий замкнутый контур, разбивающий плоскость комплексного переменного па две области Б+ и Б- (ж € Б-). Под факторизацией -непрерывной на Г матрицы-функции (сокрагценно м-ф) С(£) будем понимать ее представление в виде С(£) = С+(£)С-(£), £ € Г, где С(г) - м-ф конечного порядка па бесконечности ([1], с. 12), det С(г) = 0 в конечной части плоскости, а на бесконечности порядок det С-(,г) равен сумме порядков к1, к2,..., кп строк м-ф С-(г). Эти числа называются частными индексам и, а их сумма к = inddet С(£)
- суммарным индексом м-ф С(£). Если на бесконечности сумма порядков строк det С- (г) больше порядка на бесконечности самого определителя, то будем называть такое представление м-ф С(£) нормальным представлением в силу того, что
X(г) = {С+(г), г € Б+ ;[С-(г)]-1, г € Б-}
является нормальной матрицей соответствующей однородной задачи линейного сопряжения и при помощи известного алгебраического алгоритма может быть приведена к канонической матрице [1, с. 30, 40], а значит, факторизуется эффективно.
В работе [2] в качестве приложения рассмотренных в ней сингулярных интегральных уравнений получено представление для -непрерывной па Г м-ф второго порядка С(£) = \\д^(£)||, = 1, 2, определитель которой Д(£), а также
элемент дц(£) не имеют нулей на контуре:
С(£)= С+(*)Со(*)С-1(*), (1)
где
G+
G
11
g+iP
9 21 gil
g+i
+ ^<Р g+i
Q
9 21 gil
(gil
Д+
/
gn gnQ
0
g!2
gil
\
+ — \q gii l д-gfi
P gl2 (gn)2l
Lgn_ Д- J
0
Д+ ~9ÍJ \
а м-ф
Оо
Я
р
р 312 (9п)2]
[дц_ д- ]
Я 321 (^)21 1 + ( р р 312 Ш2] Я Я 921 (^)21
[дц. Д+ ] 1 [дц. А- \ [дц. Д+ ]
Здесь Д = Д+Д-, дц = д+1д[1 - факторизация на Г указанных функций с индексами Коши к и кц соответственно, а Р и Я - операторы Р = [I + Я]/2, Я = [I — Я]/2 (/ - единичный, Я - сингулярный операторы). Из представления (1), в частности, получаем, что если отношение д2\/ди есть предельное значение на Г функции, аналитической в Б+, либо отношение дп/д\\ — предельное значение на Г функции, аналитической в Б- и исчезающей на бесконечности или полином, степень которого I удовлетворяет неравенству
I + 2к11 — к < 0,
то м-ф О0(£) становится треугольной и м-ф О(£) согласно результатам работы [3], в которой указан алгоритм построения канонической матрицы, факторизуется эффективно. Отметим, что можно указать явные формулы для нормального представления треугольных м-ф второго порядка, но мы их получим ниже как частный случай соответствующих представлений для треугольных м-ф третьего порядка.
Если все элементы дц(£), г,] = 1, 2, не имеют нулей на контуре, то, используя перестановочную матрицу, получим для О(£) еще три представления вида (1), позволяющие сформулировать соответствующие утверждения о ее эффективной факторизации.
Полученные условия фактически означают, что можно указать м-ф Н + (£) соответственно Н-(£), такие, что м-ф Н + (£)О(£) или О(£)Н- (£) становятся треугольными.
Однако подобное (1) представление для м-ф третьего порядка позволяет получить, на наш взгляд, более содержательный результат.
Пусть О(£) = ||дц(¿)||, г,] = 1, 2,3, Д(£) = det О(£) = 0 - Нм-непрерывная на Г м-ф, элементы дц которой, а также соответствующие им миноры Оц не
О;.
О++ Оц
и кц,
обращаются в нуль на контуре. Пусть Д = Д+Д , дц г,] = 1, 2, 3, - факторизация указанных функций с индексами Коши к, кц г,] = 1, 2, 3, соответственно. Непосредственно проверяется справедливость па Г представления
О=
1 0 0 д11 0 0 1 312
321 1 0 0 Сзз 0 0 дц
311 ди 1
031 С?23 1 / 0 0 Д
\911 Сзз Сзз^ 0 0
£13 \
дц
С*32
Сзз
1
(2)
н представления
Н
'а А ^'
0 в V
,° 0 7
Н +Н -
(3)
в котором а = а+а , в = в+в , 7 = 7+7 _ факторизация на на Г Нм-непре-
рывных функций а, в, 7, а
^а+ а+Р 0
Л
а+в-
в+
0
+Р
- Р
Q
в+Р
Y
/з+7-
в+Y-
+
а+в-
(4)
H-
/«-
о
\ о
e-Q
*+в-
Q
х + в-
Q [
+Q Y- Q
.в+Y
Y-
- Q
Q
.в+Y
*+в-
/
(5)
Представление (3)-(5) есть, вообще говоря, нормальное представление Нм-непрерывной па Г треугольной м-ф Н, позволяющее эффективно построить ее факторизацию. В частном случае ^ = V = 0 ,7 =1, миноры второго порядка, стоящие в левом верхнем углу м-ф (3) (5), определяют нормальное представление соответствующей м-ф второго порядка.
Пусть Р;^, *,.?’, к = 1,2, 3, г = ] = к - перестановочная матрица третьего порядка: (/и = /2^ = /зк = 1, а остальные элементы нулевые). При умножении м-ф О слева на Рг,],к первой становится строка м-ф О с номером г, второй - с номером ] и третьей — с номером к, а при умножении справа — первым становится столбец с номером г, вторым — с номером и третьим — с номером к (Р1,2,э = Е, где Е - единичная матрица). Очевидно, обратная к перестановочной матрице Р;,^ совпадает с транспонированной матрицей Р; ^ й.
Домножая м-ф Н слева и (пли) справа на соответствующую перестановочную матрицу, получим нормальные представления для треугольных м-ф другого вида.
Факторизуя в (2) диагональную м-ф, записывая нормальные представления треугольных м-ф, переставляя диагональные факторнзацнонные множители с соседними множителями полученных нормальных представлений и вновь записывая нормальные представления для полученных треугольных м-ф, после соответству-
Г
G(t) = H+(t)^(t)H -(t), в котором элементы м-ф соответственно равны
(6)
h+1 = g+1>
h +
h21
h+2 = h+3 = 0,
g+iP
g21
g11
G+
+ ^P g+1
Ж
G3+3
Q
g21
g11
h +
h22
9u ''
h+
h23
h+1 = g+P
g 31 g11
+
Р G23 Q 921
.G33 LgnJ
G3+3 giiGi3r) Д+ 4
G+
+ ^P g11
g31 _ p g11
G23
-Р
[G3+3]2
LgiiA+
_Сзз
G23 G33. Q
Р
Q
Mil2
G3+3
g21
-Q
g11 G23
G33
Q
g21
g11
[g+1]2
+
G3+3
Q
g21
g11
Л
0
«32
9кР
Зи
С23
С33
^11 = 1, ^12 = Р
д+
+ с^Р
«оо
33
И2
С.
Р
ЬпД+
312
С?23
Сзз
33
311
«+
«33
Д+
а>13 = Р
^21 = Я
Зп^ззр 313 -Я Gз2 Р 312
_ д- [311 _С?зз [311_
Ш2
Gtз
Я
321
311
Г^ззРр Gз2 Р Г [зи]2 р 312
1зиА- _Gзз 1. 633 [311_
^22
— Я
1+ ^12^21, ^23 = Р
Ш!Р
1зиА-
(?32
Сзз
+ ^21^13,
^31 = Я
З^С+з
д+
Я
331 _ р .311
С*23
Сзз
Я
321
311
-Р
[Сз+з]2
Я
С23
С33
Я
С33
9 21 311
^32 = Я
^33
[Сз+з]2 ^ 1_ЗиА+
С*23
Сзз
+ ^12^31,
1 + ^13^31 + Я «11 = 311, «12 = 311Я
[С33]
33] я
1-311Д3
С23
С33
Р
[Сзз]2
-ЗпА_
Р
С32
С33
312 + ^д Г[з 11]2 р 312
[311_ 3ц 1. Gзз №1_ .
13
31-1Я
313 -Я Gз2 Р 312 + — я Gз2 Я \[9п?р 312
[311 С зз [311_ 311 _Gзз . Gзз [311.
+ 7ГЯ
С33
Зп^зз 313 -Я Gз2 Р 312
_ Д- [311 С зз [311_
-Я
+
Г^ззРр Сз2 Р Г [зи]2 р 312
1зиА- _Gзз 1. Сзз [311_
/г21 = 0, /722 = 1г23 = ^Я
311311
«31 = «32 = 0,
С32
С33
«33 =
—д
Сзз
д-
^33
[С
33]' р
1311
д-
С32
С33
Рассмотрим частные случаи м-ф третьего порядка, для которых представление (6) позволяет получить нормальное представление, а значит, эффективно построить ее факторизацию. Это, очевидно, будет возможным, если м-ф будет треугольной, либо станет таковой при умножении ее на перестановочные матрицы.
2
Пусть отношения 321/311, 331/311, С23/С33 есть предельные значения на Г функций, аналитических в Б+. Тогда элементы 1^21, (^31, ^32 м-ф П(£) будут равны нулю и она становится треугольной.
Пусть каждое из отношений 312/311, 313/311, С32/С33 есть предельное значение на Г функции, аналитической в области Б- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого /, т, или р удовлетворяет соответствующему неравенству
/ + 2*11 - к33 < 0, (7)
т + к11 + к33 < 0, (8)
р + 2к33 — к11 — к < 0. (9)
Кроме того, если отношение 312/311 является полиномом степени /, а отношение С32/С33 есть предельное значение функции, аналитической в Б-, то порядок этой функции на бесконечности должен быть меньше — /. В этом случае элементы ^12, ^13, ^23 равны нулю, и м-ф П(£) также будет треугольной.
Пусть отношения 321/311, 331/311 являются предельными значениями па Г функций, аналитических в Б+, а отношение С32/С33 есть предельное значение функции, аналитической в области Б- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого р удовлетворяют неравенству (9), тогда элементы ^21. ^31, ^23 равны нулю, и м-ф П(£) становится треугольной при домножении ее слева и справа па перестановочную матрицу Е[д2. Поэтому представление (6) принимает вид
с(*) = я+(;)б1Д2^К3,2Е-(*), (ю)
в котором
^(¿) = Б1,312^(^)Б11312
есть треугольная м-ф.
Пусть каждое из отношений 312/311, 313/311 является предельным значением на Г функции, аналитической в области Б- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого / или т удовлетворяет соответствующему неравенству (7), (8). Пусть также порядок па бесконечности Я[С32/С33] меньше —/, если от-
312/311 /, С23/С33
Г Б3 .
менты о>12, ^13, ^32 м-ф П(£) равны нулю, и мы снова приходим к представлению
(Ю).
Таким образом, оказывается справедливой
Теорема 1. Пусть С(2) = ||3^(¿)||, *,^’ = 1,2,3, Д(2) = det С(2) = 0 -
Ир-непрерывная на Г м-ф, элемент 311 которой, а также соответствующие элементам 3^ миноры С^ ме обращаются в нуль на контуре. Пусть, далее, Д = Д+ Д-, 311 = 3+13-1, С^- = С+ С-, *,^ = 1,2, 3, - факторизация указанных функции с индексами Коши к, к11 и к*^, *,^ = 1, 2,3, соответственно. Если выполняется одно из следующих условий:
отношения 321/3п, 331/3и, С23/С33 есть предмьные значения на Г функций, аналитических в Б+;
каждое из отношений 312/311, 313/3и, С32/С33 есть предельное значение на Г Б/, т р
312/311 /,
С32/С33 Б-,
—/;
отношения g2i/gii, g3i/gn - предельные значения на Г функции, аналитических в D+, а отношение G32/G33 - предельное значение функции, аналитической в области D- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого p удовлетворяют неравенству (9);
каждое из отношений gi2/gn, Лз/ш есть предельное значения на Г функции, аналитической в области D- и исчезающей на бесконечности, либо полином, степень которого I или m удовлетворяет соответствующему неравенству (7), (8) и порядок на бесконечности Q[G32/G33] меньше —l, если отношение gi2/gii ~ полином степени l, а отношение G23/G33 - предельное значение функции, аналитической в D+.
Тогда факторизация м-ф G(t) сводится к факторизации треугольной м-ф.
Рассматривая м-ф Gi = Fij3j2G, G2 = GFij3j2, G3 = Fii3j2GFii3j2 и записывая для них соответствующее представление (6). получим еще три представления для м-ф:
G = Fi,3,2Gi = G2Fi,3,2 = Fi,3,2G3Fi,3,2-
При помощи перестановочных матриц, подставляя вместо элемента gii(t) м-ф G(t) другие ее элементы (это можно сделать для каждого элемента четырьмя различными способами), получим еще 32 представления вида (6). позволяющие сформулировать аналогичные указанным в теореме условия ее эффективной факторизации.
Summary
S.N. Kiyasov. Effective Factorization of Some Classes of Tliird-Order Matrix-Functions.
A matrix representation is derived for -continues third-order matrix-functions which are defined at a simple smooth closed curve. Some classes of matrix-functions admitting effective factorization are revealed.
Key words: liolomorphic functions, factorization of matrix-functions.
Список литературы
1. Веку а Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные
задачи. М.: Наука, 1970. 379 с.
2. Киясоа С.Н. Исследование разрешимости и оценки числа решений одного класса
сингулярных интегральных у равнений // Сиб. матем. жури. 2000. 6. С. 1357
1362.
3. Чеботарев Н.Г. Частные индексы краевой задачи Римапа с треугольной матрицей второго порядка // Успехи матем. паук. 1956. Т. II. Вып. 3. С. 199 202.
Поступила в редакцию 13.09.07
Киясов Сергей Николаевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета. Е-шаП: Кгуаи оь (ФтА. ги
