Эффект поступательной неравновесности в Тамм Мотт смитовской модели ударной волны Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.6.011

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3

ЭФФЕКТ ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ НЕРАВНОВЕСНОСТИ В ТАММ—МОТТ—СМИТОВСКОЙ МОДЕЛИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ*

М. М. Кузнецов1, Ю.Д. Кулешова2, Л. В. Смотрова3

1. Московский областной государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kuznets-omn@yandex.ru

2. Московский областной государственный университет, аспирант, juliaybogdanova@mail.ru

3. Московский областной государственный университет, аспирант, lilysmotrova@mail.ru

Работа посвящена аналитическому исследованию эффекта высокоскоростной поступательной неравновесности в сильных ударных волнах, когда относительная скорость молекул, сталкивающихся внутри фронта ударной волны, значительно превосходит по величине скорость звука в газовом потоке перед волной. Несмотря на протекшие три десятилетия с начала исследования этого эффекта (в основном численных), в его понимании остается все еще много невыясненных вопросов, в разрешении которых свою полезную роль может сыграть аналитическая бимодальная модель ударной волны. С точки зрения практических приложений наибольший интерес представляет исследование так называемой высокопороговой, высокоскоростной поступательной неравновесности, возникающей при протекании неравновесных химических реакций с высокими энергиями активации в сильно сжатых газовых смесях. Однако и при рассмотрении структуры сильных ударных волн в однокомпонентных многоатомных газах с неупругими столкновениями можно, как оказалось, установить существенное, четко определенное свойство высокоскоростной поступательной неравновесности, с необходимостью следующее из аналитической бимодальной модели ударной волны. Это свойство, по-видимому, незамеченное в численных исследованиях, сводится к тому, что в высокоскоростном «хвосте» бимодальной Тамм—Мотт—Смитовской функции распределения пар молекул, известный ранее [1] эффект «перехлеста», т.е. преобладания числа Nneq высокоскоростных пар внутри фронта волны над числом Neq в поступательно равновесной зоне за фронтом, имеет строгий максимум по величине Nneq / Neq, зависящий от степени сжатия в сильной ударной волне.

Воспользуемся аппроксимацией Тамма—Мотт—Смита для одночастичной функции распределения F(b,c) и функции распределения пар молекул G(g,b), следуя работе [2]:

F(b,A) = {(1 - b)noFo(с) + 6niFi(c)} [(1 - b)no + bni]-1. (1)

Здесь Fo, Fi — «холодное» и «горячее» распределения перед и за волной;

ч ( m \3/2 Г m(c — и, )2 , .

^ = [ъЩ) ехр ["> <2>

m — масса молекулы; щ, T,, щ — скорости, температуры и концентрации газового потока перед (i=0) и за (i =1) волной, k — постоянная Больцмана, (с — и,) — собственная скорость молекулы; коэффициент b задавался параметрически в интервале 0 < b < 0 при прохождении газа через фронт ударной волны [2].

*Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января— 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.

© М. М. Кузнецов, Ю.Д. Кулешова, Л. В. Смотрова, 2012

Величина относительной функции распределения 6?(<?, Ь) пар молекул имеет вид

С = (1 - Ь)2 £0СО + Ь2 +26 (1 - Ь) е0С?01 • [ео + (1 - £о) Ь]

(3)

где С = 0/01, Со = Со/С1, С?1 = 1, Со1 = Со1/С1, Со, 01, 0о1 —соответственно «холодная» (перед волной), «горячая» (за волной) и «перекрестная» моды распределений.

Распределения 0о и О1 являются максвелловскими функциями по относительным скоростям д:

Сг (д)

1

/ т 2а/7Г \т

3/2

2

д ехр

тд2

"йЖ

Перекрестная мода имеет вид [2]

Со1 (д) =

2пк(То + Т\)_

3/2

3 ,

- 1 ехр

и

т(д — и)2 ~2к(Т0 + Т1)_

ехр

т(д + и)2

(То + Т1)\

Макроскопические параметры, входящие в соотношения (1)-(3), связаны законами сохранения потоков массы, импульса и энергии в сечениях г =0 (перед волной) и г = 1 (за волной):

Т

—= 1 + Шо(1 — £д), То

По

и1

= — = ео = е(1 + т, П1 ио

), и = ио — и1 = ио(1 — ео).

Здесь то = е(1 — е) 1Мо, £ = (7 — 1)/(7 + 1), 7 — отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении ср и объеме су, 7 = ср/су = (1 + е)(1 — е)-1, Мо —число Маха перед волной, Мо = мо/ао, ао —скорость звука перед волной, ао = \/7кТо/т.

Выражение (3) позволяет сформулировать следующие теоремы о «перехлесте» сверхскоростной поступательной неравновесности в бимодальной ударной волне.

Теорема 1. Для сверхскоростного превышения («перехлеста», Стах > 1) величины поступательно неравновесной функции распределения пар молекул внутри фронта ударной волны над соответствующей равновесной величиной за волной необходимо, чтобы величина перекрестной моды Со1 удовлетворяла соотношению

2Со1 > 1 + Со

и достаточно, чтобы величина этой моды была больше единицы:

Со1 > 1.

(4)

Теорема 2. Величина сверхскоростного превышения (Стах > 1) в бимодальном однокомпонентном газе при выполнении соотношения (4) достигает своего максимального значения: ^ ^

С01 — Со

С — Сп

2Со1 — 1 — Со

Справедливость утверждений обеих теорем непосредственно следует из выражения (3), рассматриваемого как квадратное уравнение относительно параметра Ь, и анализа его дискриминанта на положительную определенность. Для представления

2

т

о том, как выполняется неравенство (4), рассмотрим асимптотический гиперзвуковой предельный переход в параметрах функции распределения пар молекул (3):

М0 >1 (Мо —> оо), т0 = ^М2

1 - е

M02 > 1 (mo ^ то).

Физически этот предельный переход соответствует случаю бесконечно сильной гиперзвуковой ударной волны, когда Мо ^ то, То/Т ^ 0.

В результате для выражений, входящих в формулы (2-3), получим

no u i n\ uo '

u ^ uo(1 — е), Go ^ m^"2 exp ( —

Goi V2e(l - e)g-1 1 -

exp

—2g

е(1 — е)

exp

jMl -2

4 9

2-(g-2)2 4e(l -e)

Применение асимптотического гиперзвукового предельного перехода позволяет получить простое аналитическое выражение для величины высокоскоростного «перехлеста» функции пар молекул

£

G;k m 5V ,-

Д/(2е)

где £ = ро/р1, £ — 1 — степень сжатия в волне. Значения этой функции приведены в таблице.

Газ А ш [О (Аз) нелин. Равн. дисс. воздух CsHi 6

7 5/3 7/5 9/7 7/6 11/10 22/21

£ 1/4 1/6 1/8 1/13 1/21 1/43

G-ф ,тах 1,31 2,37 4,84 36,28 1226 3,6 • 108

Величина е здесь задавалась в качестве параметра для случаев молекул газов с различным количеством атомов: одноатомных (А), двухатомных (A2), двухатомных (A)k с учетом колебаний, трехатомных (A3), многоатомных (типа Cs Ихв). В ней также учтен случай равновесного диссоциирующего воздуха с эффективным значением параметра е = е2 = 1/21 (7 = 72 = h/2 = 1,1) за скачком уплотнения [3] и, кроме того, рассмотрены отдельно случаи е = 1/6 (y=1,4) и е = 1/8 (7 = 9/7), соответствующие отсутствию или наличию возбужденных колебательных степеней свободы у двухатомных газов (A2), где 7 —отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении cp и постоянном объеме cv, 7 = cp/cv.

Таким образом, в данной работе показано, что в бимодальной ударной волне в од-нокомпонентном многоатомном газе эффект поступательной неравновесности (сверхскоростной «перехлест») ограничен сверху величиной G = Gmax.

Литература

1. Генич А. П., Куликов С. В., Манелис Г. Б., Черешнев С. Л. Поступательная релаксация в ударных волнах. Препринт ОИХФ АН СССР. Черноголовка, 1991. 68 с.

2. Куликов С. В., Терновая О. Н., Черешнев С. Л. Специфика поступательной неравновесности во фронте ударной волны в однокомпонентном газе // Химическая физика. 1993. Т. 12. №3. С. 340-342.

3. Агафонов В. П., Вертушкин В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в газодинамике. М.: Машиностроение, 1972. 344 с.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.

е