Единственность восстановления оператора свертки по спектру его негладкого одномерного возмущения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА 2. Допустимая почти эрмитова структура (J,g) является келеровой тогда и только тогда, когда Ща = 0 и ВаЬс = gadB^c симметричен по всем индексам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Х.Галаев С. В.. Челышев В. Т. О допустимых тензорных структурах на неголо-вомном многообразии // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 19 - 21.

2. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука,

1981.

3. Минин Ю И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.: Наука, 1984. А. Вагнер В. В. Геометрия (и-1)-мерного неголономного многообразия в

n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-225.

5. Яно К., Кон М. CR-подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях. М.: Наука, 1990.

УДК 517.984

С. А. Бутерин

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ ПО СПЕКТРУ ЕГО НЕГЛАДКОГО ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ *

Зафиксируем п > 1. Пусть А - совокупность всех характеристических чисел кк интегрального оператора А = A(M,g,v) вида

г I

Af = Mf + g{x)\f(t)v(t)dt, Mf=\M(x-t)f{t)dt, 0 < л- < 7\ (1) о о

где М(.т)е [0,7], M^(0)=8ji„_l, J = 07г, 5/-я.., - символ Кронекера,

g(x), v(jr)e ¿2 (О, Т). Пусть также существуют а, Ъ, 0<а<Ь<Г, такие, что

а+е Ъ

f,v(x)dx>Q (2)

а Ь-б

для любого s > 0. Будем рассматривать следующую обратную задачу.

ЗАДАЧА 1. По характеристическим числам А оператора А вида (]) найти функцию М(х) в предположении, что функции g(x), v(x) известны априори.

'Работа вьшолнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376), РФФИ (проек! 04-01-00007) и гранта Президент РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

Для случая у(дг)е[0,, в [1] доказана единст-

венность решения задачи 1, а в [2] получены условия, необходимые и достаточные для ее разрешимости. В [1,2] обратная задача сводится к гак называемому основному нелинейному интегральному уравнению, для вывода которого требуется гладкость функций g(x),v(x). В настоящей работе доказывается единственность решения задачи 1 при более слабых и в определенном смысле минимальных требованиях на функции g(x), v(x). Для этого используется иная идея, основанная на применении теоремы Е. Титчмарша о свёртке [3].

Наряду с оператором А будем рассматривать оператор А = а[м С те>1И же функциями у{х). Условимся, что если некоторый символ ос обозначает объект, относящийся к оператору А, то символ й будет обозначать аналогичный объект, соответствующий оператору А , и а = а - а.

ТЕОРЕМА 1. Если Л = Л, то М(х) = М(х) на [0,Ь — а\. В частности, если а = О, Ъ = Т, то задание Л однозначно определяет оператор А(М,%, у) в предположении, что функции у(х) известны априори. Замечание 1. В геореме 1 не исключен случай Л =0. Характеристические числа Хк оператора А вида (1) совпадают с нулями его характеристической функции: т

1.{Х) = \-Х^(х^{х,Х)с1х, где g(x,X)=(E-ХМ)18, (3)

о

Е - тождественный оператор. Согласно теореме Л.А. Сахновича об извлечении корня из оператора [4, 5], существует функция М,(х)е [0,Г],

Л/,(0) = 1, М[(о) = 0, такая, что М = М?, где М1/= Обо-

о

значим (х-1, X) - ядро оператора /?д(М] ) = (£'- л.И,) 1 Л-/,, тогда имеем

X

М[(д;,Л,) = ехр(Ъг)+ |^(.т,?)ехр(л.г)^ (44

о

с некоторой суммируемой с квадратом функцией К{х,{) [4]. Положим г т

Ио(*)= М'Ы*ц(х)=ц0(х)+ \К{г,х)\1й{1)^.

X X

Пусть /-[(Я.) - характеристическая функция оператора Л, = Л(А/], ЛЕММА 1. Имеют место формулы:

т

Ц(Х) = 1 -ц0(0)^-Х.2 |ц(д:)ехр(Ь:)£&, (5)

о

L(X)= 1 - - -— J|a(.x)Xexp(p«yx)i&, (6)

и о 7=1 где ря = л., R" =\, Rj * Rk при j * к.

ЛЕММА 2. Справедливо представление

L{X) = ехр (- Sj ц0 (0)л)П (1 ~ -f) expf ) ■ (7)

к\ Ч) \ hj

Доказательство теоремы 1. Пусть сначала п = 1. Тогда М = Мх. Так как (Е -лМ,)~' = Е + XRK(Mx), то в силу (3) имеем

L(X) = -X2 (v,Mxg) - A,3 (v, (л/,«,, (м| )-А?А(м, ))я), (8)

г

где /2 '}= [/,(х)/2(х)с/х. Поскольку МхR} (Мх)- MXR} (м, )= MXG}, где

о

G\ = (М,) + (Л/,)+ XRx (Л/, (М,), то (8) примет вид

L{X) = -X2{v,Mxg) - X3(v, MxGxg). (9)

Обозначим G(x -t,X) - ядро оператора G} . Тогда т т t

г.л7;<7;- |Л'(х)е(хД)с£с, N(x)= ¡v(t)dt\M[(t-x)g(x-x)dx. (10) о хх

Без ущерба для общности можно считать, что g(x) = 0 п. в. на (0,а), и v(x) = 0 п. в. на (Ь.Т). Иначе мы могли бы "подвинуть" точки a, b ближе к 0, Т соответственно, отчего утверждение теоремы только усилится. Положим vx(x) = v(b - х), хе(0,&), g[(x)=g(x + a), хе(0,Т-а). Тогда

х а t

N(b-a-x)= \Mx(x-t)dt\vx{t-x)gx(x)dx, хе[0,Ь-а]. (11) о о

.V

Гак как G(x,X) = Мх (х,X) + Мх (хД) + X \МХ (х -t,Х)Мх (t,X)dt, то формула

о

т/ т ^ (v,MlGlg) = r\ + xfixN{x)+jv{x,t)N{t)dt ехр(Xx)dx (12)

oV ж J

следует из (4), (10). Здесь г} - const, £>(x,i) = K(x,t)+ A'(x,f),

i X x+x ^ t

v(x,t) = |е(т,т-1 + x)dx + \dx {/ф,x)K{t -s,x- x)ds + 2+ jQ(t,x)dx.

t-x Ox x

В силу (7), (9), (11), (12) из условия теоремы следует

X t

J М, (х - t)dt jvj (t - x)gx (x)dx = 0, X e [О, b - a].

о о

Тогда с учетом (2) и определения функций gx (х), v,(x) теорема Е. Тигчмарша о свёртке дает А/,(х)=0 при хе[0 ,Ъ -а]. Пусть теперь

п> 1. Согласно (6), (7) ц(х) = Д(х), и в силу (5) (Я.) = 0. По первой части доказательства будем иметь Мх(х)= M-¡(x) при хе[о,6-а] и, следовательно, М(х)= М(х) при xe[o,í)-a]. Теорема 1 доказана.

Замечание2. Нетрудно увидеть, что если g(x) = 0, v(x)=0 п. в. на (О,а), (Ь,Т) соответственно, то никакая вариация функции М(х) на промежутке (b - а,Т] не изменит функцию Цл,), а значит, и Л .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. БутеринС.А. О единственности восстановления одномерного возмущения оператора свертки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2002 йг-гтт Л Г 15- IX

2. Бутерин С. А. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для одномерного возмущения оператора свертки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 8 - 10.

3. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.

X

4. СахновичЛ. А. Спектральный анализ операторов вида Kf = ^f(t)K(x - t)dt //

с

Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22. С. 299 - 308.

X

5. Юрко В, А. О порождающих элементах операторов вида Kf = Jf(t)K(x - t)dt

о

// Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. Вып. 3. С. 79 - 102.

УДК 517.51

Р. Р. Васюков

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КАНОНИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ

В книге [1] проводится восстановление вероятностной меры в случае 2-периодической последовательности канонических моментов меры на некотором отрезке. В данной статье решена задача восстановления в случае /я-периодической последовательности канонических моментов. Пусть

ь

ск =сЛн)= к> 1,

а

— последовательность обычных моментов меры ц на отрезке [а, й]. Для меры Ц с моментами ск, к > 1, положим

Ск =с*(й)=штсДл), с к =с;(ц) = тахс*(л), л п

где минимум и максимум берутся по вероятностным мерам, моменты которых до порядка к -1 совпадают с моментами меры ц. Тогда величины

17