CC BY
23
УДК 621.391: 517. 518:510.52
В.М. УДОВИЧЕНКО, канд. техн. наук, НТУ "ХПІ"
ДВОВИМІРНІ ОПЕРАТОРИ ПЕРЕТВОРЕНЬ ФУР’Є ТА ХАРТЛІ НА ПРЯМОКУТНІЙ СІТЦІ НА ОСНОВІ МЕТОДУ ФАЙЛОНА ТА Я-СПЛАЙНУ П’ЯТОГО СТЕПЕНЯ
Побудовано двовимірні фінітні дискретно-неперервні та дискретні оператори перетворень Фур’є та Хартлі на основі методу Файлона (Filon) та S-сплайну п’ятого степеня. Наведені теореми та тестовий приклад.
In this paper the operators of calculation of two-dimensional finite discretely-continual and discretely Fourier Transform and the Hartley Transform on the basis Filon’s metod and of B-spline of the fifth degree are researched. The example and the theorems are given.
Проблема, яку ми розв’язуємо в даній статті, полягає в побудові інструментарію інформаційних технологій [1, 2] - двовимірних фінітних операторів перетворень Фур’є та Хартлі (скорочено: оператори F&H) на прямокутній сітці на основі методу Файлона (Filon) [3] та двовимірного S-сплайну [4] п’ятого степеня для дійсних або комплексних функцій двох дійсних змінних на основі фіксованої кількості відліків наближуваної функції f (х,у), які б мали більш якісні характеристики точності, ніж "класичні" двовимірні оператори F&H. Тому проблема є актуальною.
В літературі, присвяченій перетворенням F&H, основними напрямками досліджень є різноманітні варіанти реалізації швидких алгоритмів дискретного перетворення Фур’є (ДПФ) [5 - 7], порівняння швидких алгоритмів ДПФ та швидких алгоритмів дискретного перетворення Хартлі (ДПХ) [8], створення багатовимірних варіантів ДПФ та ДПХ [9]. Двовимірні перетворення F&H
(де ссю(і)=со8(0 + 8Іп(/), F\Н - скорочено: Фур’є або Хартлі), в прикладних задачах, орієнтованих на комп’ютерні технології, використовують у вигляді "класичних" прямого та оберненого ДПФ та ДПХ [9]:
[9]:
ТО ТО
ZFkH (u, v) =| I f (x,у) I exp[—j 2n(ux+vy) ]\ cas[ 2n(ux+vy)] Jdxdy ;
—TO —TO TO TO
z f \
N1 —1 n2 —1
[4V2] = (NiN2)—1 E E f [Ті,Т2ІХ
r1=0 t2=0
N-1 N2 -1 H
f [Т1.Т2І = 2 S ZF'H [Vi,V2]
V1= 0 ^2 = 0
exp
( 2 v T ^
vo 17 s Ts
J2л2 -—-
s=1 NS
\ cos
( 2 v T ^ 2л 2 ' '
=1 N,
Ts = 0, Ns -1, s=1,2 . (2)
Двовимірне "класичне" дискретне перетворення Фур’є (1), (2) з точки зору характеристик точності має недоліки, які розглянуто в [10].
Метою роботи є побудова двовимірних операторів фінітних дискретно-неперервних та дискретних перетворень Г&И на основі методу Файлона та
2
5-сплайну п’ятого степеня по кожній змінній, з ^ (2Мр 5 +1) вузлами
,5=1 2п
2 МР7+1
пряшкутнш сітки S(xpvyp2), xps = ps As, Д s =—------ , ps =-Mps ,Mps
2
s=1,2, в квадратній області D = (-л, л) , які мали б нову властивість (порівнянно з "класичними" дискретно-неперервними та дискретними двовимірними операторами F&H) - можливість забезпечувати більш високі характеристики точності (при однаковій кількості вузлів). Ціною за ці переваги є деяке збільшення обчислювальної трудомісткості.
Побудуємо двовимірні фінітні оператори дискретно-неперервних та дискретних перетворень F&H на основі методу Файлона та 5-сплайну п’ятого степеня по кожній змінній. Під фінітними операторами F&H ми розуміємо операторами F&H від фінітної функції. Не зменшуючи загальності
ми вважаємо, що носій цих функції supp f (x,y)=Cr(D), D=[-л,л]2 та suppZF'H (u,v)=Cr(D), D=[-7t,7t]2 . Хай f (х,у)єСг(D)f]Lp(D),
r = 1,2,3,..., p=1,2 задовольняє вимогам двовимірної теореми Найквіста [11]. (Умова 1). Областю визначення дискретизованої функції f (xp1,yp2 ) є вузли прямокутної сітки
2 л ----------
S(xp1,Уp2), xpi = p1 A1, yp2 = p2 Д2 , As =2Mp +1, ps =-MpS ,Mps , s = 1, 2,
в області D = (-л, л) . (Умова 2). Для подальшого застосування умови 1 та 2 позначимо як умову " V".
Для наближеного обчислення коефіцієнтів двовимірних фінітних дискретно-неперервних та дискретних перетворень F&H комплексної
х
функції дійсного аргумента / (х, у)=Яе / (х, у)+у Іт / (х, у),
/(х, у) єЬ2(Д), О=[-л, л]2 , для якої виконується умова "V":
\Н,2<*,~ 1 Л Л „ Л ЄХР[-у (к1 Х + к2 У)
і к, (/)=—7 і і /(х , У) 1 '
’ 11 2 4л -_-_ І еда (к 1 х+к2 у)
dxdy,
(3)
N = {^ } , к5 =-N5, N5 , 5 =1,2 ,
в двовимірних сумах Р&Н :
£
N
(и, V) = ^
N2
52
*1 к 2 =-Л2
)[ у (к! и + к2 V)
р \н, 2^ І ЄХРІ
°^Г,к^,к2(ї) І , , , , ч
к1 =-N к7 =-N9 І са5 (к1 и +к2
послідовно до кожної змінної / (х, у) застосовуємо підхід Файлона, сформульований в [3] і модифікований в [12]. При цьому ми замінюємо в (3) / (х, у) двовимірним 5-сплайном п’ятого степеня. Внаслідок цього
р\Н 2$
отримуємо наближення с ^ к , к (/) функціоналом [13]:
р\н, 2d, £р5
а
JN, к1, к2 Мр2
л Мр1 (Р +3) А1
р\н, 2d, £р5 , ^ 1 Vі Г л^
’2М, N^,*2 (/) = ~Г 5 і Н5(х, рЪ А1) >
4 л'
р1 =-Мр1( р1 -3) А1
р2 =-Мр2 де [4]:
£р5 (р2 +г) 2 Гехр[-У(к1 х + к2у)]]
■р’РрХь р ^І2) 1 ^ у) П'
(4)
Н 5( х, р, А) =--------•<
120
0, х < хр-з::
/5, хр-з < х < xp-2, / = (х - хр-3)/А,
1 + 5/ +10/ +10/ + 5/ — 5/ , хр-2 < х < хр-1, / = (х — хр-2 ) І А,
26 + 50/ + 20/2 -20/3 -20/4 +10/5 , хр-1 <х <хр , / = (х-хр_1)І А, 66-60/2 + 30/4 -10/5 , хр <х<хр+1, / = (х-хр)І А,
26 - 50/ + 20/2 + 20/3 - 20/4 + 5/5, хр+1 < х < хр+2, / = (х - хр+1) ІА,
(1 - /)5, хр+2 < х < xp+з, / = (х - хр+2)І А,
0, х > х
р+3 ,
К М (ї) = ^£р5 ї(х«1,у«2) + c22d,£р5
+ / (хИ1, уп 2 +1) + / (хИ1-1, уИ 2 ) + / (х«1+Ь уИ 2 )
/ (xn1, у« 2 -1) +
/ (хпг у« 2 -2) +
+ £,2^, БрЬ
+ / (хИl, Уп 2 +2) + / (хп1 -2, Уп 2) + / (хп1+2; Уп 2) ] +
/ (хпх-1; Уп 2-1) + / (хn1-1, Уп 2 +1) + / (хn1+1, Уп 2 -1) +
+ / (хn1-1, Уп 2 +1)
+ с2^, БрЬ
У (хn1-1, У^ -2) + У (хп, -1, У^ +2 ) +
п1-
+ / (хп1+1, Уп 2 -2) + / (хп1+1, Уп 2+2) + / (хп1-2, Уп 2 -1) +
г2й, БрЬ + с 6
+ / (хп1 -2, Уп 2 +1) + У-(хп1 +2, Уп 2 -1) + / (хn1+2, Уп 2 +1)
/ (хп1 -2, Уп 2 -2) + У ( хп1 -2, Уп 2 +2) + / (хп1 +2, Уп 2 -2 ) +
+ / (хп 1+2, Уп 2+2)
-,іа, БрЬ _ 49
2847
п2й, БрЬ _ 47961 п2й, БрЬ _ 1533 п2й, БрЬ _
1 -- . ^ Л - . ^ Л -- —
1 14400 2 1800 3 28800
__ с2а, БрЬ _ 91
4 - 22Ь’ Ь - 3600’ С 6
Обчисливши функціонал (4), отримаємо [13]:
ь 2 М Нк2 І;%( /, Мь ми-івМН“Ь(/1 * °>Л <к 2 * °>
с
2й, БрЬ _
169
Ь7600
V
В2МН,2?,БрЬ(/),(к 1 *0)л(к2 -0) V б/ХН,2й,^рЬ(/),(к1 -0)л(к2 *0) V 2М,N,кь0 ^ 1 ' у 2 ' 3М, 1,0,к2 2 2 1 ’ у 2 7
В4мН’20йїрЬ ^•/),(к1 -0)л(к2 -0) 1, (5)
Мр1 Мр 2
вМН“;-Єь(1)єь(2) 2 2 «рру/)
р1--Мр1 р2 --Мр2
(
\
мр1
Мр 2
р1--Мр1 р 2 --Мр 2
р1; р2
Мр1 Мр 2
в3р\н,2$,Брь(/)-Є1^Ь(2) 2 2 к^рь (/)
3М, N ,0, к 2 ^Ь^ ^ 2. р1, р2
В
р\Н ,2$, Бр Ь
^р Ь
р--Мр1 р2 --Мр 2
Мр1 Мр 2
єхр - і 2 ра а. ■ї-1
Г 2 Л
2 рАА
«-1
ехр(-ір1 к А1)
ссз (р 1 к1 А1)
ехр(-]р2 к2 А2) сс» ( р к2 А2)
,Бр Ь
4м,N,0,0"рЬ(/)-е1е2 2 2 Крр;р2(/)>
р1--Мр1 р2 --Мр 2
V
Значення функції Г(х ,ур2 ) за межами прямокутної сітки, 5(хр ,уР2),
отримуємо, користуючись властивістю періодичності частотних характеристик перетворень F&H.
Оператори двовимірних фінітних дискретно-неперервних перетворень ^&Н на прямокутній сітці на основі методу Файлона та 5-сплайну п’ятого степеня:
Г(х,у)єЙг(О); г=1,2,3,... по її дискретних відліках Г(хрх,ур2 ),
теореми дискретизації [11] для вибору необхідних Мрі,Мр2 для даної функції Г ( х, у ).
Оператори двовимірних фінітних дискретних перетворень Г&Н на прямокутній сітці на основі методу Файлона та 5-сплайну п’ятого степеня отримуємо з (6) замінивши неперервні х, у на їх відповідні дискретні значення:
При застосуванні (7) враховуємо вимоги двовимірної теореми дискретизації [11] для вибору необхідних Мрі , Мр 2 для даної функції Г (х, у).
т МН,2 а, 5р 5
Ь М, N
к1=-N к2 =-N2
N1 N2
^\Н,2а,8р5 т М, N, к1, к 2 (Г )
Ns <Мр8, 5=1,2, (х,у)єО,
дозволяють обчислювати неперервне наближення функції
2
(хрі,ур2 )є(-п,п) . При застосуванні (6) враховуємо вимоги двовимірної
N1 N2
\СЯ5 X ^5 А , NS <Мр* , р5 =-Мр5 ,Мр5 , 5 =1, 2 . (7)
Теорема 1. Оператори двовимірних дискретно-неперервних перетворень Е&И, побудовані на прямокутній сітці на основі методу Файлона обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій та 5-сплайну п’ятого степеня, які задовольняють умову "V", мають властивості:
Ь
¥,2а,¡р5Ґ г._ т Н,2а,¡р5,
'М, ,=,Бр5, • (8)
Доведення виконується безпосереднім обчисленням.
Теорема 2. Оператори двовимірних дискретно-неперервних перетворень ^&И, побудовані на прямокутній сітці на основі методу Файлона обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій та 5-сплайну п’ятого степеня, в яких / (х, у) задовольняють умову "V":
N ! N 2
\ Я ,2 а, ¡р 5ҐГ. ¥\Н,2а,8р5 , Г.п ,, ."І,
иМр,Мр Р (Л = X X £м,ЫЛърг(/ )(ЄХР У к х + к 2 Уу
к1=-^ к 2 2
\ ваз (кі х У к 2 у) |, Ns =Мря, 5=1,2, х, ує^,
і2 0 М\нм%: ¡р 5(^ ,(кі * °)л (к 2 * о)^
°25(/),(к 1 *°)л(к2 = °)]^[^3мН/ам 5(^,(кі = °)л(к2*°) °4 мНмХор 5(f ),(к1 = °) л (к2 = 0)
¥\Н,2 а,8р5 ,
де 8м,!,,Ь I (Л =
V
(9)
V
(10)
Мр1 Мр2
°1™?(/)=айа® X X «¡р5„</)
р\=-мр\ р2 =-Мр2
P1, р2
Мр1 Мр 2
02МІН;%Ї5<л=ш>е2 X X «„.„(л
р1=-Мр1 р 2 =-Мр 2 Мр1 Мр 2
03 МНмТ5</>=X X «ї.!исл
р1=-Мр1 р2 =-Мр 2
Мр1 Мр 2
•2
Г 2 V єхр - і X рА а
V 5=1 ( 2 X р*к5 А
5=1 )
ехр(-і р1 к А1) ваз ( р 1 к1 А1)
ехр(-і р2 к2 А2) сда ( р2 к2 А2)
^ ¥ \ Н ,2а, ¡р 5 ^ X-1 X-1 о ¡р 5 /
04м,^,°/°р ся=е1е2 X X «¡р,р2с/ъ
р>1=-Мр1 р2 =-Мр 2
б 5(з) =
12°
(2Мр5 у 1)(219-112оо8(к5, А5)у13оо8(2к5, А5))
Мр* = М5 У 2;
Ns <Мр5 , А 5 = 2ЖЄ&
2Мр 5 +1
отримані як результат обчислення функціоналу [13]:
к5 =—Мр5,Мр5, 5=1,2,
г¥ \Н, 2а, Бр 5
(Г) =
, ¥\Н,2а, Бр5(П
0 2 М, N, к1, к2 (Г >
М,N, к1, к2 02 , к^5{ ЄХР[ У (к1 х + к2 у) ] \ са!і (к1 х + к2 у ) }
к5 =-Мр5,Мр 5, 5=1,2; мають властивості:
Тт ¥,2 а, Бр 5, Н ,2 а, 5р 5, ,-ч
и М,М , ) = и М, N (Г ) ,
(11)
де функціонал 02^^ ^, *р5(Г), к5 = -Мр5,Мр5, 5=1, 2; визначається (5). Доведення виконується безпосереднім обчисленням.
Теорема 3. Оператори и^Н^2 а, 5р 5( /) двовимірних дискретно-
неперервних перетворень ¥&Н, побудовані на прямокутній сітці на основі методу Файлона обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій та 5-сплайну п’ятого степеня, якщо Г(х, у) задовольняють умову "V", а також
Г(х, у)Є?ЛГ , N = {^}, 5 = 1, 2, де TN є множина тригонометричних поліномів степеня N, при N = Мр мають властивості:
иМН;Мр5р 5(Г)=г , (12)
тобто є точні на тригонометричних поліномах заданого степеня в області О = (-ж, ж) . Доведення виконується безпосереднім обчисленням.
Оператори двовимірних фінітних дискретних перетворень ¥&Н побудовані на прямокутній сітці на основі методу Файлона та 5-сплайну п’ятого степеня, в яких Г (х, у) задовольняють умову " V", отримуємо з (11), замінивши неперервні х, у на їх відповідні дискретні значення:
Мр1 Мр 2
Тг¥ \ Н ,2 а, Бр 5
Мр, Мр
Г (хр 1, хр 2 )
¥ \ Н ,2 а, Бр 5
^Мр, Мр, к1, к 2
ехр
( 2
\ сая
(13)
р5 =-Мр5 ,Мр5 , 5 =1, 2 .
= X X ;
к1=-Мр1 к 2 =-Мр 2 А'
X к5р5 А5
V я=1
При застосуванні (13) враховуємо вимоги двовимірної теореми дискретизації [10, с. 13], для вибору необхідних Мрі, Мр2 для даної функції
Г ( х, у ).
Теорема 4. Оператори двовимірних фінітних дискретних перетворень ¥&Н побудовані на прямокутній сітці, на основі методу Файлона та 5-сплайну п’ятого степеня, точні на тригонометричних поліномах заданого степеня, мають властивості:
им!м2 а, ^ 5 [Г( xp1, ур2 )]= Г( xp1, Уp2), р^ =-Мр5 , МРз , 5 =1, 2 , (14)
якщо Г(х, у) задовольняє умову "V" в області О = (-ж, ж) .
Доведення виконується безпосереднім обчисленням.
Для наступного застосування скористаємося теоремами 3, 4 [14, с. 185], з урахуванням яких маємо наступні теореми:
Теорема 5. Для двовимірних операторів перетворень М&Н , побудованих на прямокутній сітці на основі методу Файлона обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій та 5-сплайну п’ятого степеня, для функцій
2
Г(х,у), які задовольняють умову "V" в області О = (-ж, ж) , виконується наступне:
2Л ?«„,! <Л=( Щ-У'2Л К„>1<Л+[ '-¥)«“■2"?™і <Л- <|5>
MР,^ [ У(„) ] V 2 У МР,МР, [ У(„) ] V 2 У МР,МР, [ й(„)]
де й (п) = {(-^1,0)0 , (0, - ¿2 )1, (-1, - k2)2, (-1, + к2 )3 }, п =0,3 ;
ф(п) = {(+к1,0)0 , (0, + ¿2 )1, (+^1, + ¿2 )2 , (+^1, -¿2 )з}, п = 0 3 ;
Р\Н,2<І, 8р5 ( г [ЬР\Н,2<І, 8р5 ( г Р\Н, 2Л, 5р5 ( ) , _Г^— , ,
мЛф,Лф,(о),(о)^ ^-\^Лф,Лф,(о),(о)^ ^ &Мр,Мр,(°),(°)^ ' /’ 5 ’
тт • м\Н,2а, Бр 5 , ,
Доведення отримуємо при застосуванні до м Мр Мр (о} (о)(/) теореми З
[14, С. 185].
Теорема 6. Для двовимірних операторів перетворень ¥&И, побудованих на прямокутній сітці на основі методу Файлона обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій та 5-сплайну п’ятого степеня, для функцій
Г(х, у), які задовольняють умову "V", в області О = (-ж, ж) виконується наступне:
MР, ^[ у(„)] V 2 У МР, МР,[ у(„)] V 2 У МР, МР,[ й(п)]
¥\Я, 2сІ,5р5 , А _/ , ¥\Я, 2а, г А ІЛ//, 2а, , А \ ^
иМр,Мр, (о), (омр,мр, (о), (о)^/^ 8мр,Мр, (о), (о)^/
к5 =1, Мрх, 5=1, 2, п = 0, 3 .
Q (n) та W (n) визначаються в (15). Доведення отримуємо при застосуванні до маДф?(о?(о)СЯ теореми 4 [14, с. 185].
Тестовий приклад. В табл. наведені результати обчислення оцінки приведених похибок наближення модуля функції f (х, y), де:
f (х, y)=[cos(0,3 х) sin (1,7 y)+j cos (1,3 х) sin(2,7 y)] exp [-(|х| +1У)] за допомогою розглянутих операторів.
Таблиця
Mpi, Mp 2 max_ E2 max_e2 max_ E3 max_ e3
14 , 14 2,51 E-2 2,91 E-2 3,0 E-15 3,46 E-2
24 , 24 1,58 E-2 1,71 E-2 2,8 E-15 2,22 E-2
34 , 34 1,54 E-2 1,54 E-2 4,9 E-15 1,90 E-2
В табл. використанні наступні позначення:
max_e2 = max \^(xr, ys)|/0 ; max_E2 = max \и(хг, Уs)|/®;
—Rl <r<Rx —Mfi <r <Mpi
—R 2 <s<R 2 —Mp 2 <s<Mp 2
M(xr, ys)=f (xr, ys)—L MpjMpiPi'f'(xr, ys);
max_e3 = max U(xr, ys)|/0; max_E3 = max U(xr, ys)|/0;
—Rl <r<Ri —Mpi <r<Mp\
—R 2 <s<R 2 —Mp 2 <s<Mp 2
0 = -Rma^^ f (*r , ys ^ ’ A(xr , ys ) = f (xr , ys ) — UMH2MpSf(xr , ys );
—r2 <s<R2
Mp = [Mps I, R =|RsI, Rs = kMps, s=1,2, де k = 5 — кількість інтервалів інтерполяції.
Висновки. 1. Побудовано оператори двовимірних, фінітних, дискретно-неперервних та оператори двовимірних, фінітних, дискретних перетворень F&H на прямокутній сітці на основі методу Файлона обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій та 5-сплайну п’ятого степеня (5), (6), (7). Визначено їх властивості (8). 2. Побудовано оператори двовимірних, фінітних, дискретно-неперервних та оператори двовимірних, фінітних, дискретних перетворень F&H на прямокутній сітці на основі методу Файлона обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій та 5-сплайну п’ятого степеня, точні на тригонометричних поліномах заданого степеня (9), (10), (13).
Визначено їх властивості (11), (12), (14). 3. Наведено теореми, які визначають
’ u F, 2d, Sp5 ґ s-, і H, 2d, Sp5 ґ s--, F, 2d, Sp5,- s--,
зв язок між операторами b Mp, N'Q (Л - b Mp, N,Q f , та g Mp, N, Q(f) -
8мр2<n %- (15), (16). 4. Наведено тестовий приклад, який підтверджує
отримані теоретичні твердження. 5. Отримані оператори доповнюють існуючий інструментарій інформаційних технологій в базисах F&H. 6. Побудовані оператори F&H є подальшим розвитком методу Файлона [3] обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій.
Перспективи досліджень у даному напрямку автор вбачає у створені швидких алгоритмів обчислення запропонованих операторів F&M та їх застосуванні при вирішені деяких задач інформаційних технологій, наприклад, в системах автоматичного управління та регулювання, які застосовують сигнальні методи; у задачах математичного моделювання та комп’ютерної діагностики, у відомих непараметричних та параметричних методах спектрального оцінювання сигналів у цифровій обробці сигналів, у вимірювальній техніці при побудові комп’ютерних вимірювальних засобів, при побудові різноманітних систем кріптографії тощо.
Список літератури: 1. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Інструментарій інформаційних технологій в базисі Хартлі // Вестник Национального технического университета "ХПІ". Сб. научных трудов. Тематический выпуск "Приборы и методы неразрушающего контроля". - 2006. - № 38. - С. 69-74. 2. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Інструментарій інформаційних технологій в базисі Фур’є // Вестник Национального технического университета "ХПІ". Сб. научных трудов. Тематический выпуск "Автоматика и приборостроение". - 2007. - N° 10. - С. 119-127. 3. Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc. Roy.Soc. Edinburgh. - 1928. - Р. 38-47.
4. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. - Харків: Основа, 2002. - 541 с.
5. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978.848 с. 6. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990. -684 с. 7. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. - М.: Мир, 1990. - 175 с. 8. Болд Э.Дж. Сравнение времени вычисления БПХ и БПФ // ТИИЭР. - 1985. - № 12. - С. 184-185. 9. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. - М.: Мир, 1988. 10. Удовиченко В.Н. Точностные характеристики прямоугольного двумерного дискретного преобразования Фурье. / Методы и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов, SIAP-89. - Рига, 1989. - С. 204-206. 11. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. -М.: Мир, 1982. - 428 с. 12. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Оператори обчислення одновимірного фінітного дискретно-неперервного перетворення Хартлі на основі В-сплайнів третього степеня // Вестник Национального технического университета "ХПІ". Сб. научных трудов. Тематический выпуск "Інформатика и моделирование". - 2003. - № 19. - С. 95-100. 13. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 383 с. 14. Удовиченко В.М. Оператори Фур’є та Хартлі, побудовані на основі методу Файлона та кубічних В-сплайнів, точні на тригонометричних поліномах заданого степеня // Вестник Национального технического университета "ХПІ". Сб. научных трудов. Тематический выпуск "Інформатика и моделирование". - 2007. - № 19. - С. 182-190.
Поступила в редакцію 03. 09. 2007
