Оператори фінітного трьохвимірного перетворення Фур’є Текст научной статьи по специальности «Математика»

f

\

УДК 621.391: 517. 518:510.52

ОПЕРАТОРИ ФІНІТНОГО ТРЬОХВИМІРНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є

ЛИТВИН О. М, УДОВИЧЕНКО в.м.

Пропонуються оператори обчислення фінітного трьох-вимірного дискретно-неперервного перетворення Фур’є на основі методу Файлона (Filon) та кусково-сталих сплайнів, точні на тригонометричних поліномах заданого порядку. Досліджуються їхні інтерполяційні властивості. Наводиться тестовий приклад.

Постановка проблеми

Проблема, яку ми розв’язуємо в даній статті, полягає у:

1) побудові ефективних операторів фінітного трьох-вимірного дискретно-неперервного перетворення Фур’є для комплексних дискретних функцій трьох дійсних змінних на основі фіксованої кількості відліків

f(Xpi,yp2,Zp3), ps= -MS,MS, s=l,3

наближуваної функції з використанням методу Файлона [1] обчислення інтегралів від швидкоос-

цилюючих функцій і з заміною функції f(x,y,z) кусково-сталими по кожній змінній сплайнами— (ФTДHПФ_B-Sp0_FL);

2) побудові (при Ns < Ms, s=1,3 ) операторів, точних на тригонометричних поліномах порядку N = (N1 ,N2 ,N3) —ФTДHПФ_B-Sp0_FL_T.

Аналіз літератури

В літературі, присвяченій перетворенню Фур’є, основними напрямками досліджень є різноманітні варіанти реалізації швидких алгоритмів дискретно -го перетворення Фур’є (ДПФ) [2, 3], порівняння швидких алгоритмів ДПФ та ДПХ [4], створення багатовимірних варіантів ДПФ [5, 6]. Класичне трьохвимірне перетворення Фур’є

H(u,v,t)= j j j f(x,y,z)x

—<Х —<Х —<Х

xexp [-j2n(ux+vy + tz)]dxdydz, f(x,y,z)= J J J H(u,V,t)x

—<Х —<Х —<Х

xexp[ j2n(ux+vy + tz)] dudvdt

в прикладних задачах, орієнтованих на комп’ютерні технології, використовують у вигляді ДПФ [5, c.88; 6, c.245]:

H(Vi,V2,V3)

1 N1 -1 N2 -1 N3 -1

--------- Z Z Z f(T1, T2, T3 )x

N1N2N3 X1 = Q t2 = 0 -3 = O 1 2 3

<exp

3 V T

- j2 n z ■^-s

. s=1 Ns

V1=0,N1 -1, V2=0,N2-1, V3 =0,N3-1,

N1 -1 N2 -1 N3 -1

f(-1, -2, -3)= Z Z Z H(V1, V 2, V3 )x

V1 = 0 V2 = 0 V3 = 0 ’

4j2'I y1 ) ■

r1=0,N1 -1, r2 =0,N2 -1, r3 = 0,N3 -1. (1)

Трьохвимірне ДПФ (1) з точки зору характеристик точності має такі ж самі недоліки, як і двовимірне, що розглянуто в [7].

Метою роботи є:

1) побудова операторів ФТДHПФ_B-Sp0_FL з

3

n(2Ms+1) вузлами (xp1,yp2,zp3), ps= -Ms,Ms, s=1,3,

s=1

які мали б нову, порівняно з класичним трьохви-мірним ДПФ властивість — можливість формувати неперервне наближення функції по її дискретних відліках і при цьому забезпечувати більш високі характеристики точності, порівняно з класичним трьохвимірним ДПФ (при однаковій кількості вузлів);

2) побудова на їх основі при N<M , M = (M1 ,M2,M3) операторів ФТДНПФ_В-Sp0_FL_T;

3) дослідження властивостей отриманих операторів; зокрема, доведення, що вони при N=M є операторами інтерполяційного типу:

lm, м f (xp1 ,yp2 ,zp3) f (xp1 ,yp2 ,zp3) ,

ps= -Ms,Ms. s = 1,3 .

Побудова операторів ФТДНПФ_Б-8р0_ТЬ

Для наближеного обчислення коефіцієнтів Фур’є

и,

І if<x'y'z>-

_ТГ _тг _тг

—п — п — п

<exp[- j(k1x+k2 y +k3 z)] dxdydz;

ks = -Ns,Ns, s = 1,3

в трьохвимірній сумі Фур’є

N,

N9

N3

F,3d

(2)

sn (f) X X X bk1,k2,k3'

k1= _N1 k2= _N2 k3= _N3

xexp[j(k1 x + k2 y+k3 z)] комплексної функції дійсних аргументів

f (x,y, z) = Ref(x,y,z)+jImf(x,y,z),Ref(x,y,z); Imf(x,y,z)eCr(D), D = [-п,п ]3 , r = 1,2,3,...

130

РИ, 2004, № 4

використаємо підхід, запропонований в [1], модифікований у [8]. В даному випадку ми замінюємо функцію f (x, y, z) її трьохвимірним кусково-сталим сплайном по кожній змінній, який має вигляд:

M1 M2 M3

SpoMd(f;x,y,z)= Z Z Z h0(x,Pb Ai)x

Pj= -Mj p2= —M2 p3 = “M3

xhO(y,P2,A2)hO(z,P3,A3)f(xp1 ,yp2 ,zp3),

fiJt |< 0,5 1

h0(us,ps,As) = ^ ^.

|0,|t|>0,5j ’

t = us/As -ps, As=2nes,es=1/(2Ms+1),

S = 1,3, u1 = x, u2=y, u3 =z, xp1 = A1 p1,

yp2= A2p2, zp3= a3p3, (x,y,z)eD . (3)

Хай f (xp1 ,yp2 ,zp3) задовольняє умовам трьохви-мірної теореми дискретизації [9]. Підставляючи (3) в (2), отримуємо:

J(ks,As) = sin(ks As/2) / (nks),

Оператор:

ks = -Ns,Ns, s = 1,3

TTF,3d,Sp0rv ч

UN м f(x,y,z)=

N N2

N3

- E Z E aN3MS1pi0k„k,o^>

k1— N1 k2—N2 k3—N3

xexp^j(k1 x+k2 y+k3 z)], (x,y,z)eD (7)

дозволяє обчислювати неперервне наближення функції f (x,y,z)єСг(D); r = 1,2,3,... по її дискретних відліках f (xp1, yp2, zp3), (xp1, yp2, zp3) є (-n, n)3. При застосуванні (7) враховуємо вимоги трьохви-мірної теореми дискретизації для вибору необхідних M1, M2 , M3 для даної функції f (x,y ,z).

Лема. За умови: m= -M1 ,M1, n=-M2 ,M2 ,

F, 3d k1 ,k2 ,k3 (f) * F,3d,Sp0 (f)= 1 x 'aN;M;kl;k2;kз (I) ^

M1 М2 M3

z z Z f(xp1,yp2,zp3)x

p1 _M1 p2 _M2 p3 _M3

(p1+0.5) A1 (p2 + 0-5) A2 (p3+0-5) A3

x { j j exp[-j(k1x+k2y +

(p1 -0.5)A1 (p2-0.5) A2 (p3-0.5)A3

+ k3z)]dxdydz, (4)

ks= -NS,NS,NS <MS, s = 1,3 . (5)

Виконавши обчислення в (4) із врахуванням (3), (5), отримаємо:

a ® = П(k1,k2 ,k3 ,A1 ,А2 ,А3,J)x

M1 M2 M3

x Z Z Z f (xp1, yp2, zp3) x (6)

p1 M1 p2 M2 p3 M3

( 3 7

xexp

jZ ksps As ,

V s=1 7

де ^(k1,k2,k3,A1,A2,A3,J)^[j(k1,A1) J(k2,A2)x xj(k3, A3), Ф1 Ф0 л k2 ^0 л k3 Ф0)|v v[j(k1,A1)J(k2,A2)e3 ,(k1 Ф0лk2 ^0лk3 =0)]v v[j(k1,A1)e2 J(k3,A3), (k1 Ф0лk2 =0лk3 Ф0)]v v[ e1 J(k2,A2)J(k3,A3), (k1 =0лk2 ^0лk3 Ф0)]v v[e1 e2 J(k3,A3), (k1 =0 л k2 =0 л k3 ^0)]v v[ e1 J(k2,A2) e3 , (k1 =0 л k2 ^0 л k3 = 0)]v v[ J(k1,A1) e2 e3 , (k1 ^0 л k2 =0 л k3 =0)] v v[ e1 e2 e3,(k1=0 л k2=0 л k3=0)]} ,

s = -M3 ,M3, pr= -Nr ,Nr, Nr < Mr, r = 1,3

виконується рівність:

м1 m2 м3 ( 3 7

Z Z Z exp - jZ ksps As

k1=—M1 k2=_М2 k3=—М3 v s=1

xexp[j(k1 mA1 +k2 ПА2 +k3 sA3)] =

' 3

= П(2Mq+1), (p1=m)л(p2=n)л(p3=s);

‘ q=1

0, (p1 *m)v(p2 *n)v(p3 Фs).

Доведення проводиться на основі відомих однови-мірних рівностей [10, с.83].

Теорема. Нехай вузли і коефіцієнти формули (6), які використовуються для наближеного обчислення коефіцієнтів Фур ’є b F;3k2 k3 (f), задовольняють умову:

aN3lMSkp10k2,kjex^[j(p1 x + p2y + p3 z)]} =

= Sk1,p1 §k2,p2 5k3,p3 Yk1,k2,k3 . ks = -Ns,Ns,ps= -Ms,Ms .

Ns < Ms,s = 1,3 , де § s,t є символ Кронекера, Yk1, k2, k3 ф 0 e деякі числа. Тоді оператор (див. також [8]):

Т F;3d;Sp0r•, Ч

ln,m f(x,y,z) =

N1 N2 N3

= z z z

k1 N1 k2 N2 k3 N3

F, 3 d, Sp 0

N;M;k1;k2;k3

(f)x

xexp[j (k1 x+k2 y + k3 z)],

(x,y,z)єR3 , R = (-да,да),

(8)

РИ, 2004, № 4

131

a F,3d,Sp0 (f) rF,3d,Sp0 (f)_ dN,M,kbk2,k3 w ’ N,M,kj,k2,k3 ( ) ykl>k2>k3(Ai, A2, A3) ’

ks _-Ns,Ns, s_1,3 ;

Yki,k2,k3 (A1,A2,A3)_aFJ3MdkSPk02,k3 {exp[j(kiX+k2Y +

N,M,1 Mi M2

M3

1 iV11 iVA2 iV13

+k3z)}_—3 Z Z Z exp[j(ki

8п p1_-M1 p2_—M2 p3_-M3

xp1 +

F, 3d,Sp0f f N, M 1 -1 , якщо

f N1 N2 N3

jf_ I z Z Ck1,k2,k3x

1 k1_ - N1 7? II 1 2 w7* II 1 2:

xexp[j(k1 x+k2 y+k3 z)],VCk1,k2,k3 eR

o T F, 3d, Sp0

Г L

M, M

л(Ns <Ms ,s_1,3);

f(xpi,yp2,zp3)_

<exp

' 3

- jZ ks ps As

V s_1

kr_ -Nr, Nr, r_1,3

тобто (8) в цьому випадку має вигляд:

TF,3d,Sp0r-.- ч

LN,M f(Vb V2> v3)_e1 e2 e3 x

M1 M2 M3

x Z Z Z f(xp1,yp2,zp3)x

p1 M1 p2 M2 p3 M3

N1 N2 N3 f 3 A

X Z Z Z exp “ jZ ksps As k1_-N1 k2_-N2 k3_-N3 ^ s_1

exp

( 3

jZks Vs

V s_1

a

(V1, V2, V3)eD

Перейдемо від неперервних (V1, V2, V3) є D до дискретних змінних (u1m, u2n , u3s) є (- п, п)3 :

u1m _mAq , u1m є(-п,п), m_-Q,Q, Aq _2п1,

1 _1/(2Q + 1), u2n _nA W, u2n є (-п,п), n_-W,W, 132

AW _2пц, n_1/(2W + 1), s_-V,V, u3s _sAV , u3sє(-п,п), Av_2пy; у_1/(2V+1) .

Нехай виконуються умови:

(9)

Q_Mb N1_M1, m_ -M1 ,M1, Aq_ A1,

(p1 + 0.5)A1 (p2 + 0.5)A2 (p3+0.5)A3

+ k2 yp2 +k3 zp3 )J j j j exp[“j(k1x +

(p1 -0.5)A1 (p2-0.5)A2 (p3-0.5)A3

+ k2 y+k3z)]dxdydz_Q (k1,k2,k3,A1,A2,A3,J) (10) має такі властивості:

1o. l!

W _ M2, N2 _ M2 , n —M2 ,M2, Aw _ A2,

V _ M3, N3 _ M3 , s _ —M3 ,M3, Av _ A3 .

Тоді u1m _ xm, u2n _yn , u3s _zs і для (14) отримаємо (при N = M):

т F,3d ,Sp0 rv 4

LM,M f(xm,yn,zs)_e1e2e3X

M1 M2 M3

x Z Z Z f(xp1,yp2,zp3)X

p1 M1 p2 M2 p3 М3

M1

M2

M3

f 3 A

- jZ ks ps A!

V s_1

< Z Z Z exp

k1_—k2_—-M2 k3_—^^3

xexp[j(k1mA1 +k2nA2 +k3sA3 )], (xm,yn,zs)e(-п, п)3

(11)

_f(xp1 ,yp2 ,zp3),ps__Ms ,Ms ,s_1,3 . (12)

Доведення. Виконавши обчислення (9) з урахуванням (6), (10), отримаємо:

F,3d,Sp0 ,А

gN,M,k1,k2,k3 (f)_e1 e2e3 x

M1 M2 M3

x Z Z Z f(xp1,yp2,zp3)x

p1 M1 p2 M2 p3 M3

m_ - M1 ,M1 , n _ — Ml 2 ,M2 , s _ — MI3 ,M3 . (15)

Скориставшись твердженнями леми, отримаємо з (15):

L F’3d> Sp0 f (x y z )_

^ M, M 1 Vxm ’ Jn > Ls>

_f(mA1, nA2, sA3)_f (xm, yn, zs),

m —M1, M1, n —M2, M2, s —M3, M3 .

Властивість 1o доведена. Враховуючи однозначне зображення тригонометричного полінома степеня N за допомогою його значень в точках (xp1 , yp2, zp3)’ ps_-Ms,Ms, s_1,3,можна стверд-

й ’ J p2 ’ p3 жувати, що V Cp1, p2, p3 eR :

(13)

F,3d, Sp0 SF, 3d SF, 3d

N, M SN - SN

M1 M2 M3

z z z

V S

C

F, 3d

N

(14)

pbp2,p3

p1_-M1 p2_~M2 p3_—M3

xexp[j(p1 x+p2 y+p3 z)] .

Теорема доведена.

Тестовий приклад. В таблиці наведені результати обчислення приведеної похибки наближення функції:

f (x,y,z)_(j -1)cos(x/>/3) exp( - x/-\/13)cos (yA/5)x

xexp( - y/>/23) cos(z/%/7) exp( - z/V33)

для M1 _M2 _M3 _3,4,5 та R1 _R2 _R3 _7,9,11 відповідно:

a1_max |n(xr,ys,zt) |/0, a2_max |n(xr,ys,zt) |/0 Um1 Um2 ’

РИ, 2004, № 4

P1 = max |p(xr, ys ,zt) І/0, P2 = max |p(xr,ys,zt) 1/0 Um1 Um2 ’

у 1 = max |y(xr, ys, zt )| /0, y2 = max | y(xr, ys, zt )| /0 Umr Um2 ’

ви розглянутих операторів є подальшим узагальненням методу Файлона [11, с.519; 12, с. 118] обчислення інтегралів від швидко осцилюючих функцій.

П(xr,ys,zt) = f (xr,ys,zt)-SNf3df (xr,ys,zt) > p (xr,ys,zt)=f(xr,ys,zt) - UFN,M;d,Sp0f(xr,ys,zt), V (xr,ys,zt) = f(xr,ys,zt)-LFNNMId’Sp0f(xr,ys,zt),

0 = max| f (xr, ys, zt)| Um2 r 8 t 1 ’

"-M1 < r < M1 ^ '-R1 < r < R1N

Um1 = -M2 < s < M2 , Um2 = -R2 < s < R2

4-M3 < t < M3 j -R3 < t < R3 y

3

m=n (2MS +1) —кількість значень функції

s=1

f (xr, ys, zt) , що використовуються у формулі (4), а також кількість точок, у яких обчислюються

3

числа f(xr,Ys,zt); r=n (2Rs +1)—кількість то-

s=1

чок, у яких обчислюються числа а 2, р 2, у 2 ;

F 3d

S N f (xr, ys, zt) - сума фурЧ

UFN3M|-Sp0f(xr,ys,zt)

N, M

Sp0_FL; L Sp0_FL_T.

F,3d,Sp0

N, M

оператор ФТДНПФ_Б-оператор ФТДНПФ_Б-

Висновки

Наукова новизна. 1. Запропоновано оператори фінітного трьохвимірного дискретно-неперервно -го перетворення Фур’є на основі методу Файлона (Filon) та кусково-сталих сплайнів (6), (7). 2.По-рівняно з класичним трьохвимірним ДПФ розвинутий в даній роботі метод дозволяє обчислювати коефіцієнти Фур’є з більш високою точністю; при дискретних даних на вході запропоновані оператори формують на виході неперервне значення ап-роксимаційної функції з більш високою точністю. 3. З таблиці витікає, що при N;=M;, і = 1,3 для TF,3d,Sp0r-.< ч

оператора LM M 1 (x,y,z) дійсно виконуються інтерполяційні властивості (12)—(у 1 = 0). 4. Якщо f (x, y, z) є тригонометричним поліномом степеня N = (Nj ,N2 ,N3), то можна перевірити, що оператор

L N3M Sp0 f (x, у , z) дійсно збігається у всіх точках

з f(x,y,z), тобто оператор L N3M’Sp° f (x,y,z) є точним на тригонометричних поліномах степеня N = (N ,N2, N3). 5. Запропонований метод побудо-

Практичну значущість та перспективи подальших досліджень автори вбачають у застосуванні запропонованих операторів при вирішенні деяких задач сучасних інформаційних технологій, наприклад у деяких задачах математичного моделювання, відомих непараметричних та параметричних методах спектрального оцінювання сигналів, у цифровій обробці сигналів і особливо в тих випадках, де застосування класичного трьохвимірного ДПФ не забезпечує необхідних вимог по точності тощо.

Література: 1. FilonL.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals. //Proc. Roy. Soc. Edinburgh.-1928. 49.P.38-47. 2. РабинерЛ., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848с. 3. Марпл-мл.С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения.М.: Мир,1990. 684с. 4. Болд Э.Дж. Сравнение времени вычисления БПХ и БПФ. ТИИ-ЭР. 1985. №12. С.184-185. 5. Даджион Д, Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988. 488с. 6. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии. М.: Радио и связь. 1987. 296с. 7. Удовиченко В.Н. Точностные характеристики прямоугольного двумерного дискретного преобразования Фурье / Методы и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов, SIAP-89, Рига, 1989. С. 204-206. 8. Литвин О.М., Удовиченко В.М. Наближений метод відновлення функцій за допомогою тригонометричних сум, точний на тригонометричних поліномах заданого степеня / Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев, 1999. C.144-146. 9. Каппелини В., КонстантинидисА.Дж, Эмилиани. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 360с.

10. Удовиченко В.М. Одновимірне фінітне дискретно-неперервне перетворення Фур’є на основі сплайнів першого степеня / / Радиоэлектроника и информатика. 2003. №4. С.82-84. 11. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. Харків: Основа, 2002. 544с. 12.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва—Санкт-Петербург: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 630с.

Надійшла до редколегії 11.06.2004

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Овчаренко О.І.

Литвин Олег Миколайович, д-р фіз.-мат. наук, проф., зав. кафедрою “Прикладна математика” УІПА, м. Харків. Наукові інтереси: теорія наближення функцій багатьох змінних, цифрова обробка сигналів. Адреса: Україна, 61003, Харків, вул. Університетська, 16, тел. 771-05-45, e-mail: [email protected].

Удовиченко Володимир Миколайович, канд. техн. наук, доцент кафедри “Вимірювальна інформаційна техніка ” НТУ “ХПІ”, м. Харків. Наукові інтереси: математичний апарат цифрової обробки сигналів. Адрес: Україна, 61000, Харків, вул. Фрунзе, 21, тел. 40-00-12, e-mail: vlad [email protected].

m a1 P1 Y1 a 2 P2 Y 2 r

343 0,0597 0,0390 1,3E-15 0,062 0,0887 0,0955 6859

729 0,0524 0,0396 2,6E-15 0,0534 0,0648 0,0806 15625

1331 0,0481 0,0397 1,4E-14 0,0487 0,0557 0,0771 29791

РИ, 2004, № 4

133