Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы - v Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4 MSC 34C20

Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — V

В. В. Басов, А. С. Чермных

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Басов В. В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — V // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4. С. 556-571. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.403

Данная статья является пятой в цикле работ, посвященном двумерным однородным кубическим системам. В ней рассматривается случай, когда однородный векторный многочлен в правой части системы имеет линейный общий множитель. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных принципов выделяется простейшая система — нормальная форма третьего порядка, задаваемая матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов, относящее КФ к выбранному классу эквивалентности. Помимо классификации для каждой КФ приводятся: а) условия на коэффициенты исходной системы, б) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, в) получаемые значения ненормированных элементов КФ.

Ключевые слова: однородная кубическая система, нормальная форма, каноническая форма.

1. Введение. Настоящая работа является непосредственным продолжением работ [1, 2], ив ней сохраняются все введенные ранее обозначения. В связи с большим количеством ссылок на формулы из работы [1] их номера для краткости отмечаются сверху цифрой «1». Например, система (2.1) из [1] обозначается (2.1)1.

Также в работе имеются ссылки на доказательства, выполненные в пакете Maple и доступные в любом из хранилищ https://github.com/Vladimir-Basov/DE или https://github.com/ACherm/DE.

Эта работа завершает классификацию вещественных систем (2.1)1

x 1 = Pi(xi,x2), x2 = P^(xi,X2) (Pi = aix\ + bix1x2 + CiXix\ + dix^ ф 0),

в которых многочлены Pi и P2 имеют общий множитель ненулевой степени l.

Множество систем (2.1)i удалось разбить на классы линейной эквивалентности и выделить в каждом классе образующую — простейшую систему, названную кубической нормальной формой, и отождествляемую с матрицей коэффициентов ее правой части, названной канонической формой (КФ).

Предлагаемая классификация преследует цель максимально упростить сведение возмущенных систем (1.4)i с различными КФ в невозмущенной части к обобщенным нормальным формам. Определение обобщенных нормальных форм и кон-

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018 556 https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.403

структивный метод получения их всевозможных структур приведены в [1, разд. 1.3]. Далее, основываясь на рассуждениях из раздела 1.4, в [2, разд. 1] были разработаны структурные и нормировочные принципы, позволившие оптимально определить КФ.

Рассмотрим для сравнения классификацию двумерных однородных кубических систем, основанную на иных принципах выделения канонических форм.

А. Сима, Дж. Либре в [3] сначала осуществили классификацию однородных многочленов от двух переменных четвертого порядка с вещественными коэффициентами или, коротко, бинарных форм, найдя их алгебраические инварианты относительно линейных неособых замен и выделив образующие — канонические бинарные формы (КБФ). Для этого они адаптировали методы, применявшиеся Г. Гуревичем в [4] для классификации комплексных бинарных форм. Было получено десять КБФ.

Затем произвольной системе (2.1)1 была сопоставлена бинарная форма Г(х1 ,Х2) = Х1Р2(ж1,ж2) — Х2Р1Х ,Х2) и выделено трехпараметрическое семейство систем, которым также сопоставима полученная бинарная форма Г.

Было доказано, что линейная неособая замена, сводящая Г к какой-либо из КБФ, преобразует исходную систему к системе, сопоставимой с полученной КБФ.

Таким образом, была получена алгебраическая классификация систем (2.1)1, позволившая разбить их на десять линейно неэквивалентных классов с явно выписанными образующими — трехпараметрическими семействами систем, каждому из которых сопоставима своя КБФ. Выделенные семейства систем естественно называть каноническими формами данной классификации.

Полученные результаты позволили провести полную топологическую классификацию фазовых портретов в случае, когда многочлены Р1 и Р2 не имеют общего множителя, что справедливо для девяти КБФ и соответствует случаю I = 0 в терминах данного цикла статей. В случаях, когда I = 1, 2, 3, КБФ тождественно равна нулю.

Отметим также, что классификация двумерных однородных квадратичных систем, связанная с вещественными однородными многочленами третьего порядка, была осуществлена в [5].

2. Выделение канонических форм и их допустимых множеств при I = 1. Выделим из списка 1.1 работы [2] структурные формы до ЯГ^'1 включительно, относящиеся к случаю I = 1 (имеется 41 такая форма) и нормируем их согласно НП из [2, разд. 1.2]. Выясним, какие из полученных нормированных структурных форм (ЫБГ, см. [2, опред. 1.6]) являются каноническими формами (СГ, см. [2, опред. 1.10]).

(п 0 0 Л „ (1 0 0 0

' а,И

= а[У 01 0) (иг = ^МБЕ*? = а[и 00 Чж^1 = а'20 ^10 и 0) У ^ ' 22 ^0 1 1 0^ 37

0 0 и М,^ ■ 1 = 4и У У " и ^ ,тЕ5' 1 = а(и У 0 и " Л, МВЕ5 1 =

1 1 0 0у 1 ^0 0 1 у 2 ^0 0 1 1 у 5

и 0 у и + у \

001 1 I при всех допустимых значениях параметров линеиными заменами (2.2)1 сводятся к каким-либо предшествующим согласно СП из [2, разд. 1.1] структурным формам.

Утверждение 2.1. Только №Е4'1 = ст , ШЕ*'1 = а ,

0 0 11/ ' \1 г и 0

Доказательство. 1) ШГ4,1 заменой с в1 = —в2, т2 = 0 сводится к БГ54 2) ' 15 заменой с Г1 = —2иь-1Т2, в1 =0 сводится к БГ43

3) N5Г4 20 = и 1) заменой с в1 = 0, Т2 = ит1 сводится к БР1

,4,1 19 ;

4) №БГ221 заменой с в1 = — в2, Т2 = Т1 сводится к БГ42О;

5) МБЛ^1 заменой с в! = — в2, Т2 = Т1 при и = 1 сводится к БГ^ при и = —1 сводится к БГ43 ,114 к, а при и = ±1 заменой с в1 = — в2, т1 = иТ2 сводится к БГ4 ,217;

4 1

6) тГ5,1, №Г2,\ N5^,х заменой с в1 = — в2, т2 =0 сводятся к БГ5

Проверка показала, что остальные тридцать три NSГm,1 являются СГ^^1. □

Замечание 2.1. Здесь и в дальнейшем запись «сводится к какой-либо БГm, 1» означает, что получена указанная форма или одна из предшествующих ей форм.

Выпишем имеющиеся СГm,1, их допустимые множества (рв) и канонические множества (ев) из [2, опред. 1.8, 1.9], причем 03™^ будут установлены в последующих утверждениях 3.1, 3.2 (записи Ьрв, Ьев означают, что ограничений на параметры нет). Укажем также разложение каждой формы на строку (1,в) и матрицу О, как это сделано в системе (2.9)1 х = (а, в) хОд[2 (х), и результант Я2 =0 (см. [6]) матрицы О.

Список 2.1. Все CГ¡n',1 до СГ^1 включительно с указанием коэффициента в, матрицы О, результанта Д2, рв™^ и еs™l,1 (а, к = ±1, = 0, а =1, Д2 = 0).

I) 24 формы с в = 0 , ¿2 = 0, О — три первых столбца соответствующей CГ¡n,1) :

,14

715,1

715,1

4,1

1) = а

= а ■ 1

ал3,1. =

= а

0 0

0 1

0 0 и 0

1 0 0и

4- 2'1 грв2 ;

Я2

Я2 = и К

Я2 = ки,

С^1 = а

3,1 ^а'в;

2) ал3'1 = а

3) ар

ал3

ал3

алЗ

ал4

ал4

ала

2,1

и 0 0 1 0 1 и 0

1 0 0 1

0 1 0 0 0 и 1 1 V

0 0 и0

0 1

0 0 к0

3,1

Я2 = и (и + V), р4'2 = {V = -и};

0\ Я2 = 1,

СЛ41 = а

0/ ' Ьрв2'1;

ал4:1=а

ал3'1=а

ал,

4,1

и 1 0

V 0 и 1 1

0 1 и 1 0 V 0 1

0 0 1 1

Я2 = ки,

, , 3'1

¿РвАК Я2 = 1,

3 1 ¿Рва ДО;

Я 2 = 1,

¿рва22;

Я2 = ™,

, ¿рвп1;

Я 2 = 1, , tps41;;;

Я2 = v(u + V),

, р^о1 == -и};

Я2 = v(v — и),

1'1 _

ал.

3,1

ал.

3,1

ал

1,1 _

и 0 0

V

и 0 и 1 0 1 и 0

1 1

0 0 0

0 0 и1 0 0

и 0 1 0 0 1 0 и 1 1 1

0 0

0 0

Я 2 = 1

3,1

0

Я2 =

3'1

*рв3' ;

ал;

'4,1

ал;

'4,1

V 0 0и

'V 0

1 1 1 1 1

3'1 ¿рв^ ;

ал;

4,1

и 0 0 ' рв43 = {V = и};

ал8

5,1 _

1и00 '0010 1 V и 0 и V ад 0 0 110

Я2 = и (и — V), рвр1 = {V = и};

Я2 = ад,

, 4' 1 ;

Я2 = и2, 3'1

Я2

Ьрв'

Я 2 = 1,

, 3'1

;

Я2 = и2,

, * 4,1 ^5' ;

Я2 = v(u2 + V),

рвм1 = {V = —и2};

Я2 = и2 V + 1,

, Рв2?1 = ^ = —и2};

Я 2 = 1,

¿рв30 ;

Я2 = u(u — v+"ш),

рв^'1 = = V — и};

1

V

а

а

а

а

а

а

а

а

а

а

а

а

а

а

II) 9 форм с в = 1 и своими G (R2 = u и ps = tps в первых шести формах):

CF41 = а

CF3421 = а

u u 0 0

0 0 11

u 0 0 u 1

0 -1

0 0 u u 10 0

u

0 04 0 0 1 u —u u 1 -1

CF4'1 = а

0

0 0

11

u 0 —u 0 0 0 11

0 u 0 —u

10 0 1

CF51 = а

CF51 = а

u 0 u 0 u 1

1) tc^2'1;

2) tcs3 \

v v — u 1 0

0

u 1

u v — u

CF3461 = а

u

0 0

10-1

u —u 0 0 0 1 0 u —u 1-11

0

0 u'

-1 0,

u— v 1

v v — u 0 0 3'1

4,1 s12

cs5' = {u = 2} 3,1 14'K

u 0 u 1

3,1

v — u 1

v — u 1

—1 u — v 1

R2 =

Р^З'1

R2 =

{v = u};

5,1 í _L 1 ps6 = {v = u};

22 - u — uv + v ,

R2

5,1 r _L 1 ps7' = {v = u};

cs

{u = -v, 1/2; 4v(u - 1) > 1}

3,1

11'K

2,1 2,1 3,1 3,1 3) tcSfr , tcSfr ; tcs^ , tcs

cs cs

9 ; ,/L"59

^'1 = {u = ±1},

{u > 1/4};

{(к, u) = (1,1/2)}; cs<7'1 = {v = u, 2 - u-1, 2u(u + 1)-1}, 24 = {u =1/2, v < -1/2};

3,1

6 , tcs11'K, tcs17 , tcs19 , cs21

{u = 2}, tcs221;

4,1 _

= {u = -1/2, -2};

^p! = {u = -1/3, 2/3}, cs 14

= {u = v(v - 2)/4; (u, v) = (1, -2), (-1/9,1)}; cs4/ = {v = u(2u - 1)-2},

cs4;,1 = {v = u, -u2; v = u/2 при u > -1/2},

= {v = -u"2, (u3/2 ± 23/2)u

1/2/2; (u, v) = 4"2/3 • (3,1)}, 191 = {u = v2/4, (v3 - 8)(4v)-1}, cs481 = {u = -3, -3/4, 3/2, 6, 01}, 491 = {u = -1/2; v = -u, u2, (1 - 2u)/8, (1 - 2u)2/8; (u, v) = (03, 04)}, 4o1 = {u = -v-1, (v3 - 8)(4v)-1; (u, v) = (2, 3), (3, -3)}, 421 = {u = -3, -3/4, 3/8, 6},

= {u + 1; v (4u+ l)/2, (6w + 1 ± (2u + l)(8u + l)1/2)/16>, 361 = W -2, -1/8, 1 ± Зл/2/4, 1/4, 4}; CS3'1

= {v = u, 3.22}, cs5/ = {v = u, 3.23}

5,1

{v = u, 3.21}, = {w = v - u, 3.24}.

Здесь запись {..., 3.2¿} означает, что значения параметров не удовлетворяют условиям из пункта i (i =1, 2, 3, 4) следующего ниже утверждения 3.2.

Поскольку в список 2.1 входят CFmh1 только с в = 0 или с в = а, выясним, при каких условиях формы с такими в могут быть преобразованы друг в друга.

Утверждение 2.2. Пусть система (2.9)1 с Pq1 = ax1 + вх2 линейной неособой заменой (2.2)1 сводится к системе (2.11)1 y = PQj(y) Gq[2](y) c Pq1 = ах1 + ¡3x2, тогда 1) при а =1: /3 = 0 ^ s1 = —вs2, 2) при в = 0: /3 = 0 ^ s1 =0, 3) при в = 0 : а = в ^ r1 = s1 =0, 4) при а = в : в = 0 ^ s2 = -s1 = 0.

Доказательство. По теореме 2.1 из [1] а = аг1 + вr2, в = as1 + вs2. □

Набор 2.1. Числовые константы, используемые в дальнейшем: 01 = р+20р-1 + 5, 02 = ((\/29 + 27)/э2 —(10л/29 —130)/э+1000)/600, р = (4Л/29+92)1/3; 03 = ((3V29 - П)р2 + (4v^9 - 2А)р - 16)/24, 04 = ((72 - 13V29)р2 - (9V29- 59)р + 72)/36, 05 = (р + 4р-1)/6, i96 = 2(2p2 + 9p+8)/(p2-18p + 4), р = (20^29+ 108)1/3;

= (8/э2 + (Зл/57- 1)р+68)/12, = ((V57 + 85)р2 + 32(л/57 - 1)р+ 640)/96, i?g = (8p-1-p-l)/3, = ((11 - V57)p2+4(v/57 + 5)p + 32)/96, р = (3^57+ 1)1/3;

= ((^-9)р2-4(Vl7+l)p-40)/8, 0i2 = -р + 4^-1, р=(2л/17+2)1/3;

CF4'1 = а

CFo4,1 = а

13

28

1

0

uv

3

2

u

cs

6

013 = (Р2 - (^77 - 9)р - 16)/4, 014 = —3((л/77 - 9)р2 - + 24)/8,

015 =р/6 + 2(3р)-1, 016 = ((3^77-25)р2-(2^77-6)р-8)/24, р = (4^77+ Зб)1^.

3. Выделение канонических и минимальных множеств для СГт,1.

Утверждение 3.1. Только следующие формы с т < 4 из списка 2.1 при указанных значениях параметров сводятся к предшествующим структурным формам:

1) МБГ^3,1 при и = 2 заменой с т1 = —Т2, в2 =0 —к БГ22,1;

2) ШГ^1 при и < 1/4 заменой с в2 = (1 + (1 — 4и)1/2)в1/2, Т2 = 0 — к БГ53,1;

3) N5^4 к при к = 1, и = 1/2 заменой с т1 = 21/2т2, в2 =0 — к 3 ;

4) N5"Г2311 при и = 2 заменой с в1 =0, т2 = —т1 — к 5Г6,1;

5) МЪГ4,1: а/ при и = —1 заменой с т2 =0, в2 = —в1 — к ,1; Ь) при и =1 заменой с т1 = т2, в2 = —в1 — к 51Г'3^1;

6) N5Fз,1: а) при и = —1/2 заменой с т2 =0, в2 = —в1 — к 5Гз,:1; Ь) при и = —2 заменой с т2 =0, в2 = 2в1 — к 5Г4,1;

7) №5Г£4,1: а) при и = 1, V = —2 заменой с т1 =0, в2 = в1 — к 5Г22;

b) при и = v(v — 2)/4 заменой с т2 =0, в2 = (1 — v/2)s1 — к 5Г4,1;

c) при и = v(2v — 3)/9 заменой с т2 =0, в2 = (3 — 2v)s1/3 — к БFз,1;

8) №Г4,1 (V = и): а) при V = 2 — и-1 заменой с т1 = —и-1т2, в1 =0 — к Ь^31; Ь) при V = 2и(и + 1)-1 заменой с т1 =0, в1 = 2(и + 1)-1в2 — к

9) №Г41~1 при V = и(2и — 1)-2 заменой с в1 = 0, т2 = (1 — 2и)т1 — к 5Г54,1;

10) ^Г^1 (V = —и): а) при и = 1/2 заменой с в1 = —в2, т2 =0 — к 5^4^;

Ь) при 4v(u — 1) < 1 заменой с т2 = (1 + (1 — 4v(u — 1))1/2)^)-1 т1, в2 =0 — к 5Г4,1;

11) N5"Г131: а) при и = 2/3 заменой с т1 = 2т2, в2 = —в1 — к БГ|,1; Ь) при и = —1/3 заменой с т1 = т2/2, в2 = —в1 — к 5Г1411;

12) МЪГ^1 (V = —и2): а) при V = и/2, и > —1/2 заменой с п = (1 — (2и +1)1/2)т2/2, 31 = (1 + (2и + 1)1/2)з2/2 —к БГ44,1;

b) при V = и заменой с т2 = т1, в2 =0 — к БГ1411;

c) при и = —1/4, V = —1/12 заменой с т1 =0, в2 = 2в1 — к

13) №ЪГ1д1: а) при и = v2/4 заменой с т1 =0, в2 = —vs1/2 — к БГlg1; Ь) при и = (V3 — 8)^)-1 заменой с в1 = 0, т2 = ^т1/2 — к ЗГ3',1;

14) №ЪГ241 : а) при и =1/2 заменой с т2 =0, в2 = (1 — 2и)в1 — к 5Г^1;

Ь) при и = 1/2, V > —1/2 заменой с т1 = (1 + (2v + 1)1/2)т2, в2 =0 — к 5ГТ4,1;

15) ШГ^1 (V = —и-2): а) при V = и/2 ± (и/2)-1/2 заменой с п = ±(и/2)1/2Т2, в2 =0 — к 5Г54,1;

Ь) при и = 3/42/3, V = 4-2/3 заменой с т1 = 21/3т2, в1 = —3 • 2-2/3в2 — к 5Г1431;

16) ^Г^1: а) при и = —3 заменой с в1 = 2в2, т2 = —т1 — к 5Г221;

b) при и = 6 заменой с т1 = 2т2, в2 = —в1 — к 5Г54,1;

c) при и = —3/4 заменой с т1 = т2/2, в2 = —в1 — к

¿) при и = 3/2 заменой с в1 = 3в2/2, т2 = —т1 — к 5^2 ; е) при и = д1 заменой с в1 = ^2в2, т2 = —т1 — к 5^4 ;

17) №ЪГ291 (V = —и): а) при V = и2 заменой с т1 = ит2, в2 =0 — к БГ1411;

b) при V = (1 — 2и)2/8 заменой с т1 = (и — 1/2)т2, в2 =0 — к 5Г54,1;

c) при V = (1 — 2и)/8 заменой с т2 = 0, в2 = —2в1 — к

¿) при и = , V = заменой с т1 = •&5т2, в1 = — к 5Г131; е) при и = —1/2 заменой с в1 = —в2/2, т2 =0 — к 5Г271;

18) МЪГЗО)1: а) при и = —V-1 заменой с т1 = —v-1т2, в2 =0 — к БГ1411;

b) при и = (V3 — 8)^)-1 заменой с т2 = —vт1/2, в2 =0 — к 5Г£4,1;

c) при и = 3, V = —3 заменой с т1 = т2, в1 =0 — к 5Г131;

¿) при и = 2, V = 3 заменой с г1 = —г2, в1 =0 —к ЯГ^^1;

19) АЯТс/: а) при и = —3 заменой с в1 = 2в1, г2 = —г1 — к БГ^1;

b) при и = 3/8 заменой с г2 = 2г1, в2 = —в1 — к БГ4'1;

c) при и = 6 заменой с г1 = 2г2, в2 = —в1 — к БГ^1;

¿) при и = —3/4 заменой с г2 = —г1, в2 = 2в1 — к БГ^д1;

20) МБГ^1 (V = и): а) при и =1 заменой с г2 =0, в2 = —в1 — к БГ^д1;

b) при V = (4и + 1)/8 заменой с г2 = 0, в2 = —2в1 — к БГ^1;

c) при V = (6и +1 ± (2и + 1)(8и + 1)1/2)/16 заменой с Г1 = —(1 ± (8и + 1)1/2)г2/4, в2 =0 — к Б1Г54'1;

21) МБГ^б1: а) при и = —1/8 заменой с г2 = 2г1, в2 = —в1 — к БГ4'1;

b) при и = 4 заменой с г1 = 2г2, в2 = —в1 — к БГ^1;

c) при и = —2 заменой с в 1 = 4в2/3, г2 = — —к БР^1,

¿) при и = 1 ± Зл/2/4 заменой с в! = (1 ± 1 /л/2)«2, г2 = —г 1 — к БР^1; е) при и = 1/4 заменой с г2 = —г1, в2 = 2в1 — к БГ^д1.

Доказательство находится в файле statement1.mw в хранилище (см. введение).

В дальнейшем: 1) запись «... С = [ ?1 V г>1 ] ... п = [ ?2 V и>2 ] ...» означает, что или С = ?1, п = Я2, или С = и1, п = и2; 2) запись «6* : Р(6)» означает, что 6* — это любой вещественный нуль многочлена Р; 3) при сведении МБГ™1'1 из списка 2.1 к предшествующим формам замены выбираются с учетом утверждения 2.2.

Утверждение 3.2. Только при указанных значениях параметров ШГ:5'1 из списка 2.1 сводятся к предшествующим согласно одному из СП структурным формам:

1) МБГ5'1 (и = V): а) при V =[и — 3 V 3и — 1 V и + 1, и = 3] заменой с Г2 = — Г1, [ в1 =0 V в2 =0 V в2 = (1 — и)в1/2] — к БГ?'1;

b) при V = (и — 1)2и_1, и = —1 заменой с в1 = — ¡2, г2 = иг1 — к Б1Г54'1;

c) при V = 2(и — 1) заменой с г1 =0, в2 = —в1 — к БГ4'1;

¿) [и = — = —4 V V = 2и] заменой с г1 = [ ^/2 + 1)г2 V 0], в2 = —в1 — к БГ^1; е) при и = 07, V = 08 заменой с г1 = 09г2, в1 = 010в2 — к БГ^1; /) при V = 4и, и = —1 заменой с г1 = иг2, я2 = —в1 — к БГ1д) ;

д) при V = 3(и +1), и = —5 заменой с в1 = (и + 3)в2/2, г2 = —г1 — к БГ^1;

H) при V = (2и2 + 1 ± (2и + 1)(5 — 4и)1/2)(2и + 2)"1, (u,v) = (—5, —12) заменой с г2 = -п, 82 = (3 ± (5 - 4м)1/2)51/2 - к в^1;

г) V = и — 1 ± 2л/—и, и / -1 заменой с г2 = —г\, в2 = ±л/——к БРдд1; )) при и = —(35265 + 39664 + 83963 + 100562 — 12976* — 105)/46, V = —(32865 +4386^ + 84463 + 109862 — 10466* — 366)/23 заменой с п = 6*Г2, в2 = —(465 + 396* + 4963 + 11162 + 316* — 60)в1/138 — к БГ248\ 6* : 466 + 765 + 1364 + 1863 — 662 — 96 — 3; к) при 2и = 62 — 26* + 3, 2v = —363 + 662 — 116* заменой с г1 = 6*г2, в1 = — (63 — 62 + 36* + 3)52/2 — к БГ41, 6* : 64 — 63 + 262 + 36 + 3;

I) V = 2(и + 1)2(и + 2)_1, и = —3 заменой с г2 = —г1, в2 = (и + 2)в1 — к БГ331;

т) при 6и = —263 — 62 + 46* — 15, 3v = —463 — 362 + 86* — 21 заменой с п = 6*Г2, 51 = —(263 + 362 + 9)52/6 — к БГ361, 6* : 264 + 363 — 362 + 96 + 9; 2) МБ1Гб5'1(и = V): а) при V = 2 — 3и заменой с г1 = 2г2, в2 = —в1 — к Б1Г54'1;

b) при V = (3и — 2)/2 заменой с г2 = 0, в2 = —в1 — к БГ4'1;

c) при V = (3и + 1)/2 заменой с г2 = 2г1, в2 = —в1 — к БГ^1;

¿) при V = [3и —1V1 — и±2(и2—и+1)1/2, (и, V) = (8/3, 3) ] заменой с г2 = —г1, [ в2 = 0 Vs1 = (и — 2 т (и2 — и + 1)1/2)(и — 1)-1в2 ] — к БГ441;

е) при V = 3и + 3, и = —8/3 заменой с в1 = 3(и + 2)в2/2, г2 = —г1 — к БГ271;

¡) при V = (-и2 - 2и ± (2и + 1)(и2 + и + 1)1/2)(и + I)"1, (и, у) = (-8/3, -5) заменой с Г2 = -Г1, 52 = (и + 2 ± (и2 + и + 1)1/2)в1/3 - к БЕ^1;

д) при V = [и - 1 V -3и - 1 ] заменой с в1 = [0 V 2в2 ], г2 = -г1 — к БЕ30 ;

H) при V = (3и2 + 4и + 2)(2и + 2)"1, и = -4/3 заменой с в! = (и + 2)(2и + 2)"1в2, г2 = -Г1 — к ЙЕ^1;

г/ при V = [(-1т\/3)(3м- 1) VI - м±(4м2 -Зм + З)1/2, (м,г,) ^ ((14±4лД0)/9, (4± 2л/Т0)/3) V (2<93 - 4<92 + 46», + 1)((0* - 2){2в-,_ - 1)0*)-1, 0, ± -1] заменой с г1 = [(1 ± а/3)г2/2 V -г2 V 0*г2], в2 = (0 V -(4м2 - 9м + 1 ± 2м(4м2 - Зм + 3)1/2)(15м -3)"1в1 V (202 - 20* - 1)(30Ф)"1 в1 ] — к БЕ35'1, 0* : 2(и - 1)03 - (5и - 7)в2 + 2(и - 2)0 - 1; ]) при и = 35/3, V = 12 заменой с в1 = 2в2, г2 = -4г1 — к БЕ^1; к) при и = -35/3, V = -41/4 заменой с в1 = 2в2, г2 = -4г1 — к БЕ^1;

I) при и = -7/12, V = 3/2 заменой с г1 = 2г2, в2 = -4в1 — к БЕ^1; т) при и = -5/9, V = 17/12 заменой с г1 = 2г2, в2 = -4в1 — к БЕс^1.

3) ЛБЕ51 (и = у) : а) при V = 2и + 3 заменой с г1 =0, в2 = -в1 — к БЕ4'1;

b) при и = (у - 1)(у - 3)(у - 2)"1 заменой с г2 = (2 - у)г1, в2 = -в1 — к БЕс4'1;

c) при V = [2и V 3 - и] заменой с г1 = [0 V (и - 1)г2], в2 = -в1 — к БЕ^1;

¿) при и = V = 011 - 3 заменой с г1 = 012г2, в1 = -(0ц + 3)в2/6 — к БЕ^1;

е) при V = [и + 3 V 2и + 2 ± (и2 + 6и + 1)1/2, (и, у) = (-6, -9)] заменой с г2 = -г1, в1 = [0 V (и + 3 ± (и2 + 6и + 1)1/2)в2/2] —к БЕ^1;

/) при V = 3(и - 1), и = 6 заменой с в1 = (3 - и)в2/3, г2 = -г1 — к БЕ^1;

д) при и = -1804 - 2403 + 2502 - 160* +4, V = -(26104 + 456033 - 18702 + 1480* + 23)/5 заменой с п = 0*Г2, в2 = (904 + 39033 + 3702 + 20* + 7^/15 — к БЕ^1, 0* : 905 + 2104 + 403 + 302 + 30 + 1;

H) при V = (2и2 - 2и + 5 т (2и - 1)(1 + 4и)1/2)(2и - 4)"1, (и, у) = (6,15) заменой с Г2 = -Г1, 52 = (3 ± (1 + 4и)1/2)в1/2 — к БЕ2491;

г) при V = и + 1 т 2(и + 1)1/2 заменой с г2 = -г1, в2 = ±(и + 1)1/2в1 — к БЕс^1; ]) при и = 013, V = 014 заменой с г1 = 015г2, в1 = 016в2 — к БЕс^1;

к) V = (2и2 - 4и + 3)(и - 2)"1, и = 3 заменой с г2 = -г1, в2 = -(и - 2)в1 — к БЕс^1;

I) при и = -03 - 0* +2, V = -603 - 202 - 50* + 8 заменой с г1 = 0*г2, в2 = -0*в1 — к БЕ3461, 0* : 04 + 03 + 02 - 0 - 1;

т) при и = [у(3у - 10 ± (у2 + 12у - 12)1/2)(4у - 8)"1 V (-402 + 2(у - 1)0* +2у - 7)/3] заменой с п = [0 V (-202 + у0* - 2)г2 ], в2 = ((у + 2± (у2 + 12у - 12)1/2)в1 /4 V0*в1 ] — к БЕЗ?'1, 0* : 203 - (у + 2)02 + 2(у + 1)0 - 3;

п) при и = (0* - 0* - V + 1)(0* - 1)"1 заменой с г1 = 0*г2, в2 = ((2у - 3)0* + у)(0;3 -(у-2)0* -2)"1в1 —к БЕ65Д, 0* : 04 - (2у-3)03 + (у-3)(у +1)02 + (3у2 -6у + 4)0 + V2;

4) МБ'Е^'1 (т = V - и) : а) при V = -2 заменой с г1 =0, в1 = тв2 — к БЕ^1;

b) при V = [(2и - 1)/2 V (2и - 1)(3и - 1)"1 ], т = [ (и - 2)/4 V -(2и - 1)(3и - 1)"2 ] заменой с г1 = [ -г2/2 V -(3и - 1)"1г2 ], в2 = [0 V (3и - 1)(и - 1)(2и - 1)"1в1 ] —

к БЕ34'1; 4 1

c) т = у(иу - 2и + 1)(2и - 1) 2 заменой с в1 = 0, Г2 = (1 - 2и)у 1Г1 — к БЕ? ' ; ¿) при т = -у(и - 1)"1 заменой с в1 = 0, г2 = -(и - 1)у"1г1 — к БЕ^1;

е) при [V = (3и - 1)/2, т = (3и - 2)/4 V и = (т3/2 ± 1)(т1/2 т 2)"2т"1/2, V = (2т + 1)(тт1/2 + 2)"1 ] заменой с в1 = [-в2/2 V тт1/2в2 ], Г2 = [0 V (-1 ± 2т1/2)т"1/2(т1/2 т 2)"1Г1 ] —к БЕ^1;

/) при т = у(у - 2)(4и - 4)"1 заменой с г1 = 0, в1 = (2 - у)(2и - 2)"1в2 — к БЕ^1;

д) при т = V заменой с г1 = уг2 , в1 =0 — к БЕ^1;

Н) при и = -((16т + 18)02 + (4т2 - 2т)0* + т3 + 14т2 + 30т + 9)т"1(т + 6)"2, V = (т02 - 2т0* + т2 + 4т - 3)(т + 6)"1 заменой с в1 = 0*в2, г2 = (60;3 + 2т0* + 2т +

3)(w(w + 6))-1п — к SF^g1, 0* : 203 + (2w + 1)0 + w;

i) при w = (v + 2)(uv + v — 2u)(2u + 1)-2 заменой с r1 = 0, s1 = — (v + 2)(2u + 1)-1s2

к SF2gl;

j) при w = v2(4u) 1 заменой с r1 =0, s1 = — v(2u) 1s2 — к SF30 ; k) при u = (v2 + 2 T (v + 1)g)(3v — 6)-1, w = —(v +1)(v ± g) заменой с r1 = (v ± g)r2, S1 = (—v — 2 T 2g)s2/3, где g = (v2 + v — 2)1/2, —к SF^1;

l) при w = —(v + 1)u 1 заменой с r1 = 0, s1 = —(v + 1)u 1s2 — к SF^1; m) при v = —(2u2 +4u +1)(3u + 1)-1(u + 1)-1, w = — (5u2 +4u +1)(3u + 1)-2(u + 1)-1 заменой с s1 = —(2u + 1)(3u + 1)-1(u + 1)-1s2, r2 = (3u + 1)r1 — к SFgg1; n) при [v = —(we* — в* + u — 1)0-1 Vw = v(2uv — 3u +1)(3u — 1)-2Vw = (2v — u — 1)/4] заменой с r2 = [ 0*r1 V (1 — 3u)v-1r1 V 0], s2 = [ (u — 1)(w0*)-1s1 V 0 V—2s1 ] — к SF35'1, 0* : w203 — w02 — w(u +1)0 — u + 1;

0) при w = [v — 3u/4 V —((v — 1)0* + u — 1)0-2 ] заменой с r2 = [0 V 0*r1 ], S2 = [ — 2s1 V —0*(v0* +3u — 1)(v0* + u — 1)-1S1 ] — к SF^'1, 0* : v203 + (v2 + 2uv — 2v)02 + (6uv — 2v — 3u2 — 2u + 1)0 + 5u2 — 6u +1;

p) при [w = v(3uv — 3u + 1)(3u — 1)-2 V u = (v2 — v + 7)/9, w = 2 V u = ((13v — 16w — 6)02 + (4vw — v2 — 2w + 2v — 3)0* + 8w2 — 2vw + 3w)(30*)-2 ] заменой с r1 = [ —v(3u — 1)-1r2 V—r2 V 0* r'2 ], S2 = [0 V (v — 2)s1/3 V —(02 + (2v — 1)0* + w)(3w0* )-1S1 ] — к SF.5'1, 0* : 03 + (2v — 4w — 1)02 + w(v — 1)0 + 2w2.

Доказательство находится в файле statement2.mw в хранилище (см. введение). Следствие 3.1. В списке 1.1 указаны канонические формы со своими каноническими множествами систем с l = 1.

Доказательство. Канонические множества для каждой формы из списка 1.1 были получены путем удаления всех тех значений параметров из допустимого множества, при которых в соответствующем пункте утверждений 2.1 и 2.2 выбранная форма сводится к предшествующей. Все полученные канонические множества являются непустыми, поэтому каждая форма списка — каноническая. □

Утверждение 3.3. Только в следующих CFm'1 из списка 2.1 удается ограничить значения параметров в csm'1, а именно: 1) в CF31 при u = 2 замена с r1 = —1, s1 = 0, r2, s2 = 1, а в CFäK замена с —r1, s2 = —1, s1, r2 =0 изменяют знак а; 2) в CF53'1 при u* = u < 1 замена с r1 = 1, s1 = 1 — u*, r2 = 0, s2 = 1 дает u = 2 — u* (u > 1, u = 2); 3) в CF41 при а* = а, u* = u замена с r1, s2 = 0, s1, r2 = \u*\-1/2 дает а = а* signu*, u = u-1; 4) в CF.41 (v = 2 — u-1) при а* = а u* = u замена с r1 = \v — 1\1/2\u*v — 2u* + 1\-1/2, s1 = 0, r2 = (1— u*)(v — 1)-1r1, S2 = (v — 1)-1(u*v —2u* + 1)r1 дает а = а* sign((v —1)(u*v—2u* + 1)), u = (v — u*)(u*v — 2u* + 1)-1 и тем же v.

Следствие 3.2. В силу определения 1.12 из [2] имеем: acs^1 = {а = —1 при u = 2}, acs3' = {u < 1}, acs-^ к = {а = —1}, acs4 = {\u\ > 1}, acs7' = {u < 1 при v = 1}, у остальных канонических форм из списка 2.1 mcsm'1 = csm'1.

Набор 3.1. Константы, многочлены и замены, используемые в дальнейшем:

1) К1 = pf — 4p2, к 2 = (1 + p-1^2);

2) кз = p2(q1 — 2)2 — ql, кА = fä +4p2, K5 = q2 (1 + Ы-1^2),

K6 = (/22+4p2(g 1 — 1), к. = —1?2(1+\<?2\-1к1/2)(2p2)-1, Kg = (¡1 — (кб + \q/2\Kg/2)(2p2) —1; 3i) кд = ?2 + p + (112, к 10 = (1 + 2i~2, к11 = <72¿1 — p 1?1 — q 1t 2, к 12 = <72^1 — q 1^2, к 13 = p1t1—Ц, к 14 = +<72?1— p 1t 1, к15 = + </2?1, к1б = ¿2 + (/2?1, ^к17 = (/j2 —4p

к18 = 4p — q/22 + 2(Г1*2 — 4®i1, к1д = 4p 1^1 — (?2 — 2д 1^2, кю = <?1?2 — 2q2t 1,

= -71 ± к^2, к±2 = - 4р 171 + 7172 ± (¿1 + , к±3 = К10 ± к^2,

= 4р 1?1 - 72 - 2^2 + 2щ?1 ± кюк1/2, К25 = (2Ь2 - 71)2 + 8(/2?1,

к±6 = к10 ± к^2, к±7 = 2^ - <?1 ± к21/2, к±8 = 8р 1^1 - + 2(/ 172 - ± 71 к^2,

к±9 = 8р 1?1 - ¿г22 + 4</2?1 + ± кюк<1/2, к±0 = 4<72?1 - 7172 + 272 ± ^к.^^2;

3П) кэ^= ¿22 + 4р 1?Ь_ к±2^= ¿2 ± Кз1/2, к±з = (^2?1)1/2_± 2^2, К±4 = (®?1)1/2 ± 72,^ к±5 = 72 71 ± (¿/271)1/2^2 + 72, К36 = 90* - 27 22 + ¿1 ¿2 + 72, К37 = 30* - (?2 - (7 1^2 - 72, К38 = 902 - 3(72 - 271 ¿2 - 272)0* - ¿2(271 + 72)(272 + 47172 + 372) + ¿271к2о,

К39 = 0* + ¿172 + ¿22, К40 = 72 + ¿71 ¿2 - 2?2, К±1 = (2(71 + ¿2 ± к1/2)(<71 + ¿2)/3,

к±2 = к±1 + ¿7172 + 72, к±3 = 3к±1 - ¿2 - 7172 - 722, К44 = (г22 + 3(7 172 + 2722,

к±5 = (71 + ¿2_± к4/2)(27 1 + 3^2), к±6^= к±5 + 2(72 + 9^2(71 + ¿2), к±7 = к±5 + ¿7 172 + 72;

К48 = 7172 + ¿2_(72 - 3р 1), К49 = 3р 172 - 72(271 + ¿2),_ К50 = 4р171 - 72 + 72,

К51 = р171 -7172 + 72, К52 = р171 +7172 - 72, К53 = 7172 -¿27 1, К54 = 27172 -47271 -722,

К55 = 7^04 + 71 (¿2 + 71)03 + (571 ¿2 - 272 - 77271 - 272)02 + 72(72 + 71)0* + 72,

К56 = 47102 + (271 - ¿2)0* + 72, К57 = 71 ¿20* + (27172 - 37271 - 72)0* + 7272, К58 = 2720* + 71 (71 - ¿2)02 + (27172 - 4727 1 - 72)0* + 7272,

К59 = 27^04 + 571 (71 + 72)03 + (272 + 107271 - 57172 + 2Щ)0* - 72(71 + ¿2)0* - 72, к60 = 3р 171 + (72 - 3р 1)72, К61 = 7172 + (72 - 3р 1)72,

К62 = 7172 03 + (57172 + 272 -47172)02 - 72(271 + ¿2)0* - 7, к63 = 2^02 + (71 - 2^)0* - 72; 5*1(0) = 2703 - 3(771 + 572)(71 - ¿2)02 + (72 - 47172 - 3722)(271 + ¿2)20 + ¿2(71 + 72)(72 +

7172 + 72)(271 + ¿2)2; 52(0) = ¿"^б3 + (57271 - 47172 + 272)02 - 72(271 + ¿2)0 - 7.2, 53(0) = 27203 + (71 - 72)7102 + (271 ¿2 - 47271 - 722)0 + 7272; ^ = {г1 = 1, «1 = -в, Г = 0, в2 = 1},

= {Г1 = 1, 81 = 0, Г2 = -q2(2i2)-1, 32л = ¿-1}, ^ = {Г1 = 1, «1 = 0, Г2 = -Р17-1, .82 = 7—1}, ^ = {Г1 = 1, 81 = 0, Г2 = 0*, .82 = 1};

1) ь2л = {Г1 = \р 1 — 1/2, в1,Г2 = 0, Й2 = р 1Г1};

Ь^^ = {Г1 =0, = \р 1\-1/2, Г2 = р 1«1, в2 = к2в1/2}; ¿8'1 = {г1,82 =0, «1 = \р1\-1/2, Г2 = р2р-181};

2) Ы3'1 = {Г1 = (71 - 2)(7172)-1«2, 81 = 0, Г2 = 7-1«2, «2 = \7172\1/2\7 1 - 2\-1/2}, Ь23'1 = {Г1 = (4р 2)-1/4, «1 = 0, Г2 = р1/2Г1, «2 = (4р2)1/4};

Ь141« = {Г1,«2 = 0, «1 = \Р 2\—1/4\7 1 \3/47-1, Г2 = \р2\1/4\7 1 \ 3/4},

Ь17 ' = {г 1 = \72 \ 1/2, «1 =0, Г2 = к5Г1/2, в2 = 72Г1},

Ь27 ' = {г 1 = к Г 2, в1 =0, Г2 = \кг к8 \ —1/2, в2 = к8Г2 },

Ь^21 = {Г1 = 0, «1 = \71 - 2\1 /2\7 172\ 1 /2, Г2, «2 = 72(71 - 2)-1«1},

Ь24 = {Г1, в2 =0, в1 = \72 \ 1/2, Г2 = 72«1/2},

31) Ь9'1 = {Г1 = -71 \7 1 \-1/27^1, «1 = 0, Г2 = 7-172Г1, «2 = \71 \-1/2}, Ы3'1 = {Г1 = 271 к-01 \71\-1/2, «1 = 0, Г2 = -71(271)-1Г1, «2 = \71\-1/2}, Ь26'1 = {п = 7 1 \7 1 \—1/27:— 1, «1,Г2 =0, «2 = \71\-1/2}, Ьl2•l1« = {Г1 = \72\-1/2, «1,Г2 = 0, «2 = \71\-1/2},

Ь2\'1К = {Г1 = \р 1\-1/2, «1 = 0, Г2 = 7-172Г1, «2 = \71 \-1/2};

= {Г1 = (р 172)-1/3\71\1/6, «1 = 0, Г2 = 7-172Г1, «2 = \71\-1/2}; ь391 = {Г1 = 0, «1 = -22/3\71\5/6(727172)-1/3, Г2 = \71\-1/2, «2 = -71(271)-1«1}; Ь311 = {Г1 = 7 1 \7 1 \-1/2(72(71 + 72))-1/3, «1 = 0, Г2 = 7--172Г1, «2 = \71\-1/2};

Ь321 = {Г1 = 0, «1 = 71(к16¿2)-1/3\71\-1/2, Г2 = \71\-1/2, «2 = 7-172«1}; ыу = {Г1 = 4(к^6)-17^1\71\-1/2, «1 = 0, Г2 = к±7(471)-1Г1, «2 = \71\-1/2}, Ь25-1 = {Г1 = 717-1\71\-1/2, «1,Г2 =0, «2 = \71\-1/2}; Ь1411 = {Г1 = \72\-1/2, «1,Г2 =0, «2 = 7-172\72\-1/2},

^ti1 = {ri = \к12\-1''2\tl\1/2, Sl = 0, Г2 = t/t 2ri, S2 = K12ÍГ1 к-01Г1};

Llfi1 = {r1 = 0, S1 = 2t1K1o1\t1\r1/2, Г2 = \^\-1/2, S2 = -Ы2п)г181},

L2141 = {n,S2 = 0, S1 = t1\t1\r1/2í^1, Г2 = \t 1 \ 1 /2};

Ж = {r1 = -\ql\1/6(p 1 ^)-1/3, S1 = 0, Г2 = t/Vb S2 = \^\-1/2};

L^1 = {r1 = 0, S1 = \^\5/6(к14^^)-1/3, Г2 = М-1/2, S2 = t^1t2S1};

L^1 = {r1 = 0, S1 = ±кГ71/2^\^\-1/2, r2 = \t1 \-1/2, S2 = к±1 (2t1)r1s1};

L301 = {r1 = 0, S1 = 2\^\5/6(2к20Ц1Ц1)г1/3, Г2 = \?1\-1/2, S2 = -Ч1^1)г1в1};

L431 = {r1 =0, S1 = Ц к-o1 \f 1 \г 1/2, Г2 = \f 1 \г 1/2, S2 = tr1t2S1};

Lg = {Г1 = \t2\г1/2, S1 ,Г2 = 0, S2 = t2 \t2 \-1/21-1};

3ii) L11'1 = {r1 = s1, S1 = к3-1/4\2^(к±,)г1\1/2, Г2 = (2^)г1й1,

«2 = к±2(2?1)г1в1},

L21'1 = {п = «1, «1 = \р 1\г1/2, Г2 = к±2(2^)г1«1, «2 = 0};

LÚ'1 = {п = sb si = |(3gi -í2)(gi ~t2)ti1\-1/2, r2 = s2 = (t2 -2q1)t^1s1},

L2\l = {n = si, si = V3 |(2gi - 3i2)t2t^\-1/2, r2 =0, s2 = —{2q\ - 3t2)(3ti)-1si}, L33'1 = {n = «1, «1 = 4\(2t1 - 3Í2)(2t1 + ^)?гТ1\г1/2, r2 = -(2ql - 3^)(4^)г1 «1, «2 =0};

L1431 = {r1 = «1, «1 =2 \(2t1 - t2)ht/1^2, Г2 =0, «2 = -(2 t1 - ?2)(2?1)г1«1},

L2131 = {Г1 = «1, «1 = ±(t2t1 )1/2?2г1«2, Г2 = -(2(q2ql)1/2 ± ^)(к±;)г1«2,

«24 = (qt2ttl)1/4к3±з(Зк3±5)г1/2\кз±4tlJг1/2};

L28 = {r1 = Й1, в1 = K1o\K39К36^1\ 1/2, Г2 = -(З0* + 2 q 1Í2 + t2)(t1K10) 1Й1,

«2 = (60* - t1 q2 - 2q2)(qlKlo)г1Sl};

L421 = {rl = «1,«1 = \ql\1/2\x±\г1/2,Г2 = -(tl + tt^1*!,

Й2 =(Зк±1 - q22 + q2)(qlК10) 1в1};

L361 = {rl = «1, «1 = \ql\1/2\к±6\г 1/2, Г2 = -(2tl + 3Ь)1г!«1, «2 = (к±5 + 2tlq2 + 3q21)(qlKl0)г 15l};

LI3 ' = {rl, в1 = \pl\г1/2, Г2 = (t2 - зрOt/el, «2 = 0},

L2gд = {rl, «1 = \t2\г 1/2, r2 =0, «2 = ^2Ц!-Ч},

L3g Д = {rl, 81 = (tl - q2_)\K50p 1\г 1/2, r2 = -(2р lql - tl q2 + Ц )(ql(ql - q2))г 1«1,

«2 = (2plql + qlq2 - q2L)(ql(q 1 - Ц2))г «}; Ll6 д = {rl, «1 = \t2 \г 1/2, r2 =0, «2 =

L2g '1 = {rl, «1 = 30*\^59цг!\г1/2, r2 = -М2 + (2ql-q2)0* + Ц2)(ЗЦ10*)г 1«1, «2 =

ьу = -¡>1, «i = \pi\~1/2, г2 = (<й - -ípi)qi V, «2 = о},

L25'1 = {п, si = >/3|^бзГ1/2, = s2 = -(Щ + (2(/i - q2)0* + ®)(3qi0*)-1si}.

4. Три класса линейной эквивалентности систем при l = 1. Система (2.1)1 X = А([3](х) при l = 1 согласно (2.10)1 однозначно представима в виде (2.9)1:

x=(xl + ,0Х2)Н + ^ + tlx2)l = Pl(x) G q[2] (x), G = qi t^ , (4.1)

\P2X1 + q2Xl X2 + Í2X2 J \P2 q2 Í2 J

причем у нее R2 = 82t - SpqSqt = 0, так как l = 1, а значит, pl + р2 =0 и t-j2 +12 =0. Замена jq из набора 2.1 преобразует (4.1) в существенно более простую систему

A =[Ü1 f) = [pl Í1 0) , (*,¿) = (1,0), G = [^ t^ , (4.2)

b2 С2 d.2 J \Р2 (П t2 0J \Р2 q2 t2 J

вкоторой pl = Pl + ¡3p2, <Í1 = (1 + e((2 - 2pl) - 2¡32p2, tl = tl + e(t2 - (l) - в2(2 + в3Р2, P2 = P2, (2 = (2 - 2вр2, Í2 = t2 - /3(2 + ^2P2 (P\ + Pp2 = 0, ¿2 + ^ = 0, í?2 = R2 = 0),

так как согласно (2.12)1 при любой замене (2.2)1 х = Ьу матрица С = Ь 1СМ, Я2 = - 6рй6# = 52Е2, а = Г1 + , ¡3 = 81 + (с«2 + в2 =0) и 1 из (2.5)1. Сделав в (4.2) произвольную замену (2.2)1 с в! =0 (г1, 82 = 0), получаем

<Р1Г2 + 31Г1Г2 + 31Г2 (31Г1 + 231 Т2)в2 318^2 0

I —5'о(г^1 г2)г3в--1 32г2 - (31 - 232)г1г2 - 231Г2 (^п - ¿1^)82 0

где Ьо(0) = ¿103 + (¿1 -¿2)02 + (р1 - ¿2)0 -Р2, Р2 + р32, +¿2 = 0, «2+Й|, г2+г2 = 0.

В частности, при ¿1 =0 (¿2 = 0) система (4.3) принимает вид

/ (р1Г1 + 31Г2 )г1 31Г1в2 0 0\

\ч(р32Г2 - (р1 - 32)Г1Г2 - (¿1 - ¿2)^2 )г18 —1 (¿2Г1 + (232 - 31^2)п ¿2Г182 0)

(4.4)

Утверждение 4.1. Множество систем (4.2) разбивается на три линейно неэквивалентных класса условиями: 1) ¿1 = 0, ¿1 = 0; 2) ¿1 = 0, ¿1 = 0; 3) ¿1 = 0.

Действительно, приведенные условия являются линейными инвариантами системы (4.2), поскольку у любой замены, связывающей системы вида (4.2), 81 =0 по утверждению 2.2 п. 2, а значит, в системах (4.3) и (4.4) коэффициенты замены

Г1, 82 = 0.

Выделим в каждом из классов наиболее простую систему вида (4.3) или (4.4). 1) ¿1 = 0, ¿1 =0 (р1 =0, ¿2 = 0). Тогда система (4.4) примет вид

( р1т21 0 0 0\

\{р2Г21 + (¿2 - Р1)Г1 Г2 + ¿V2 )г1 8 —1 (¿2Г1 +272Г2)Г1 ¿2 п82 0у

и в ней всегда можно получить 62 =0, С2 = 1. В частности, замена ^ преобразует (4.2) в систему

А1 = р1 0 0 р1 = р1 (=0)^ (4 5)

\Р2 0 1 0 ' Р2 = (2р132 + 4P)2Í2 - ¿2)/4.

При р2 =0 система А1 является ЬЕ^.

2) ¿1 = 0, ¿1 =0 (¿2 = 0). Тогда в (4.4) всегда можно получить Й1 =0, С2 = 1. В частности, замена ^ преобразует (4.2) в систему

А2 =( 0 91 0 <Л 91 = 3l311 (= 0), 32 = Р1 + ¿2 - 2í3l31-1t2, (4 6)

\р2 32 1 0/ , Р2 = 3Г232(32Р? - 3231Р1 + p2 32)(= 0).

При 32 =0 система ^42 является ЬЕ424.

3) ¿1 = 0. Тогда в (4.3) можно получить 32 =0. В частности, замена Л^, где 0* € К1 — любой нуль Ь0(0), преобразует (4.2) в систему (4.3):

'Р 1 31 ¿1 0\ . Р 1 = Р1 + 310* + ¿102 (=0), 31 = 31 + 2^0*, 31 = ¿1, ,0 32 32 0/; 32 = ¿2 - (¿1 - 2^)0* - 21102, 32 = ¿2 - ¿10*.

При 31, 32,32 =0 система А3 является ЬЕ^'1. В свою очередь, при 32 =0 — это ЬЕ4 '1, при 32 =0 — это ЬЕ^1, при 31 =0 — это ЬЕ4 ^

Утверждение 4.2. В списке 1.1 указаны все канонические формы системы (4.1).

Доказательство. Произвольная система (4.1) сводится к системе (4.5), (4.6) или (4.7), а значит, отсутствуют канонические формы, которым предшествует CFg'1, получаемая нормировкой системы (4.7) с qi, 72,72 = 0. □

5. Сведение исходной системы к каждой из CFm'1. Ниже для систем (4.5), (4.6), (4.7) будут найдены условия на коэффициенты, а также замены (2.2)1, сводящие выбранную систему при этих условиях к соответствующей CF из списка 2.1, и приведены получаемые при этом значения параметров канонической формы.

Лемма 5.1. Любая система (4.5) линейно эквивалентна представителю какой-либо CFm'1 из списка 2.11. Ниже для каждой из трех таких CFm'1 приведены: а) условия на коэффициенты p 1(=0),p2 системы (4.5), b) замена (2.2)1,

преобразующая правую часть (4.5) при указанных условиях в выбранную форму,

m'1

с) получаемые при этом значения а и параметров из cs^ : CF22,1: a) p2 = 0, b) L2'1, с) а = signp 1;

2

CF3'1 CF3'1

a) p2 =0, K1 > 0, b) bl'1, с) а = signp 1, u = K2p - 1; a) p2 =0, K1 < 0, b) L3'1, с) а = signp 1, u = p2p-2.

Доказательство находится в файле lemma1.mw в хранилище (см. введение).

Лемма 5.2. Любая система (4.6) линейно эквивалентна представителю какой-либо CFm'1 из списка 2.12. Ниже для каждой из пяти таких CFm'1 приведены: а) условия на коэффициенты <1(=0), p2(= 0), q2 системы (4.6), b) замена (2.2)1, преобразующая правую часть (4.6) при указанных условиях в выбранную форму, с) получаемые при этом значения а и параметров из cs"1'1:

CF33'1: 1) а) <71 = 2, кз = 0, b) Llf1, с) а = sign((t? 1 - 2)<71 <72), u = <71; 2) а) p2 > 0, 71 = 2, 32 = 0, b) L23'1, с) а = 1, u = 2;

CF13|1K : а) p2 < 0, если сц = 2, 32 = 0, b) L31^K с) к = sign(p23 1), u = q-1;

CF7' : 1) а) <71 = 2, Х4 > 0, 32 = 0, b) L17' , с) а = sign <72, u = Х5qi-"1, v = 2; 2) а) <71 = 2, <72 = 0, Кб > 0, Kg = 0, b) L27'1, с) а = sign(x7xg), u = x-1^, v = <71;

CF121 : а) 7_= 2, 72 = 0, 4кз(1 - 71) > 7272, b) L^1, с) а = sign<72(7 - 2)),

u = 7 1, v = кз<71 17 2;

CF2Y: а) <71 = 2, Х4 < 0, <72 = 0, b) L^1, с) а = sign<72, u = 1/2, v = 2p2<7- 2.

Доказательство находится в файле lemma2.mw в хранилище (см. введение).

Договоримся о том, что приводимые ниже условия на коэффициенты системы, имеющие вид = 0, ^ = 0, означают, что = 0, =0 или = 0, =0, и выбор их первого или второго верхнего знака влечет за собой такой же выбор в приведенных далее коэффициентах замены и получаемых значениях параметров CF.

Лемма 5.3. Любая система (4.7) линейно эквивалентна представителю какой-либо CFm'1 из списков 2.13, 2.1ц. Ниже для каждой из двадцати пяти таких CFm' приведены: а) условия на коэффициенты p 1,11,q1, q2, t2 (p 1,11, <72 + 7 2 = 0) системы (4.7), b) замена (2.2)1, преобразующая правую часть (4.7) при указанных условиях в выбранную форму, с) получаемые при этом значения а и параметров

m' 1 из cs^ :

CFg2'1: а) К10 = 0, Х13 = 0, Х15 = 0, b) Ll'1, с) а = sign¿1;

CF2Y : а) Х10 = 0, хц = 0, Х15 = 0, b) ЬЦ, с) а = sign¿1, u = Х15(к1б72)2 2/3;

CF^1: а) Х10 = 0, Х15 = 0, Хц = 0, b) L^1, с) а = sign¿1, u = Хц^ 17172)- 2/3;

CFnK : 1) a) qi = 0, q2 = 0, b) Ы3^, c) a = signq2, к = sign(qiq2), u = piq—1; 2) a) Kio =0, q2 = 0, Ki4 = 0, b) L2\'lK, c) a = signpi, к = sign(p iqi), u = Ki3 (p iqi)-1;

CF^1: a) Kio = 0, q2 = 0, K13 = 0, xM = 0, K15 = 0, 3.1i5, b) L^1, c) a = signqi,

U = Ki5 (>ii4q2)-2/3, V = Ki3 (Ki4q2)-2/3;

CF23ii: a) Kio = 0, qi = 0, Ki2 =0, kq = 0, b) L^, c) a = signqi, u = Kio(qi + q2)-i/3 q--2/3;

CFiQ ^ a) Kio = 0, qi = 0, Ki2 = 0, kq = a Kir = 0, kiq = 0, b) LiQ , c) a = signqi, u = kq(Piqiq2)-2/3, v = -(qi + 2q2)(p iqiq2)-i/3;

CF33 : a) Kio = 0, Ki2 =0, kq = 0, 3.l2o, b) L3'3 , c) a = signqi, u = Ki2k—2, v = Ki6 q2K-o3;

CF^1 : 1) a) q2 =0, qi = 0, 3.1q, b) Lltf, c) a = signq2,

u = p lq2_1, v = qr2q2qi;

2) a) Kio = 0, q2 = 0, K11 = 0, 3.1q, b) L211 , c) a = sign(Ki2qi), u = Ki6K-21, v = 2

K12 Kio ;

CFfQ1: a) Kio = 0, K12, Kir = 0, b) Lfg , c) a = sign qi, u = -Kio(2q2q2)-1/3; CF3'1: 1) a) K12 = 0, kiq = 0, b) L13,i, c) a = signqi, u = 2qiq2K-o2; 2) a) qi =0, q2 = 0, b) L236'1, c) a = signqi, u = piqiq22;

CFcfo1 : a) Kio = 0, K12 = 0, Kir = 0, 3.1is, b) L^, c) u = Kio(2K2oqi)-1/3, v = 4Ki2(2K2oqi)-2/3, a = signqi;

CF41 : 1) a) Kio =0, qi = 0, K12 = 0, Kig = 0, 3.1i2, b) L^1, c) a = signqi, u = 4ki2K-02, v = -2k2ok-02 ;

2) a) qi =0, q2 = 0, q2 = 0, 3.1i2, b) L^i'^, c) a = signqi, u = q2q if-2, v = p iqiq-2; CF24Q1: a) Kir > 0, k±4 = 0, k^3 = 0, 3.1i7, b) L2Q , c) a = signqi,

u = ±K|iK2r1/2/2, v = ±K±iK22K2r3/2/4;

CF''1: 1) a) q2 = 0, K25 > 0, к±8 = 0, 3.1r, b) L1'1, c) a = signqi,

u = 4к±0(к26)-2, v = 2k±6(k26)-1; 4i

2) a) при q1 =0, q2 = 0, 3.1r, b) L2' , c) a = signq1, u = p1q1q2 2, v = q1q- 1;

CFg'1 : a) q1 = 0, q2 = 0, q2 = 0, 3.24, b) нормировка Lg'1, c) a = signq2, 8i i 2 8

u = piq2 , v = q iq2 , w = q2q iq2 ;

CF''1: 1) a) qi = 0, q2 = 2pi, q2 = 0, K31 > 0, 3.15, b) L1''1, c) a = isign^qi),

u = -k3f2(k32)"1^ 41

2) a) q2 = 0, q2 = 0, K31 > 0, qi = к3,2, 3.15, b) L21 ' , c) a = sign pi, u = к±2 q2(2p iqi)-1;

CjfF4 Д : 1) a) p 1 = qi(qi - q2)q-1, q2 = qi(3qi - 2q2)q^1, q2 = 3qi, q|2 + q2 = 0, 3.16,

b) L14 Д, c) a = sign(qi(3qi - q2)(qi - q2)), u = qi(qi - q2)-1;

2) a) p 1 = qi(2q 1 - 3q2)(9qi)-1, q2 = 0, q2 = 0, 3.16, b) L2' Д,

c) a = sign(qiq2(2qi - 3q2)), u = -qi(3q2)-1;

3) a) p 1 = (2qi - 3q2)(2qi + q2)(16qi)-1, q2 = q2(2qi - 3q2)(8qi)-1, q2 = 0, 3.16, b) L33Д, c) a = sign((2qi - 3q2)(2qi + q2)qi), u = -2q2(2qi + q2)-1;

CF'31 : 1) a) p 1 = (4q2 - t^)(12ti)~1, q2 = 0, q = (2qi - q2)q2(4qi)-1, 3.1ii, b) L1'3i, c) a = sign((2q 1 - q2 )q2qi), u = (2qi + q2)(3q))21;

2) a) q2 = 0, q2q 1 > 0, pi = (qqi)1/2K2=4K3=5(K3=3)-2q21, если к±3 = 0, qi = ±(2q2qi +

^Хк^'Л к±4 =0, b) L2iз1, c) a = sign(K32qi),u = -к32к33(3кз5)-1;

CF2g : a) qi = 0, -q2, -2q2, q2 =0, q2 = 0, p 1 = M-1, K38 = 0, K36, К3Г, k3q = 0, где в* G R1 —любой нуль S\(0), 3.116, b) L2g , c) a = sign(K36K3Qq1), u = K37 K—Q1;

CF321 : a) hi = 0, -i2,-2i~2, h = 0, i2 = 0, K40 > 0, = 0, P 1 = "¿¿Г1,

¿2 = ((hi + h2)2 - Зк^Г1, к4=2 = 0, к4з = 0, 3.119, b) Ь^, c) a = sign(^ti),

и = 3к4зкго ;

CF361: a) h =0, -h, -3^2/2, -2t2, t2 = 0, h = 0, K44 > 0, ^ = 0, p 1 = i-1,

t2 = -(Зк45 + 2q1t2 + 3^)£-1, к46 = 0, к47 = 0, 3.I21, b) Ь^, c) a = sign(^¿1),

_ ± -2

u = к47 к10 ;

CF3' : 1) a) ¿2 = 0, 3p 1, ¿1 = hi(2p q + ¿2h - 3t2p 1)(t2 - 3p 1)-2, ¿2 = 0, K48 = 0, —h 1 q?2, 3.21, b) L13' , c) a = -signp 1, u = K48(p 1 hi)-1, v = -(hq + K48)(p lhi)-1;

2) a) h = 0, ^ = h2(P 1h2 - 29192 + q2t2)(2q3)-2, hi = 0, ¿2 = 0, K49 = 0,p ih2, 3.21, b) L23' , c) a = signh2, u = p , v = >49 (¿2^ )-1;

3) a) h = 0,h2, h = foq? - (p ihi + 2t2)h2 -h2(2p ihi -+piii(4p ihi + ))t--1 (h 1 -h2)-2 = 0, h2 = 0, K50 = 0, K51 = 0, K52 = 0, 3.21, b) L35'1, c) a = -sign(K50p1), и = K51 (p 1 ti)-1, v = — (h 1 - h2)2(p 1 ii)-1;

CF65Л : 1) a) h = 0, ¿2 = 0, pi = 4к5зq2q-2/3, K54 = 0, 4K53 = 3к54, 3.22, b) Ь16Д, c) a = sign¿2, u = 4к5з(3322)-1, v = K541-2;

2) a) ¿1 = 0, ¿2 = 0, ¿2 = 0, p 1 = -*55(9М2)-1, K56 = 0, >557 = 0, K58 = 0, K59 = 0, K57 = К58, где 9« е R1 —любой нуль Б2(в), 3.22, b) Ь25 -1, c) a = -sign(>591 1), и = 3к579«к-91, v = 3к589Фк-91;

CF75 д : 1) a) ¿2 = 0, 3p 1, ¿2 =0, ¿1 = >6091(92 - 3p 1)-2, >61 = 0, -hq, 3.2з, b) Ь15 ' , c) a = signp 1, u = K61 (p lhi)-1 L v = (>61 + ¿1 h2)(p 1 hi)-1; 2) a) ¿1 = 0, ¿2 = 0, ¿2 = 0, p 1 = -K55(Ш^2)-1, K56 = 0, K59 = 0, 3к62, >62 = 0, >63 = 0, где 9« е R1 — любой нуль S3(9), 3.23, b) Ь2? -1, c) a = sign >63, u = >59 ^^f^2) 1, v = >62 (>63 i^)-1.

Здесь запись 3.1j означает, что элементы системы (4.7) таковы, что значения параметров, входящих в ее каноническую форму, не удовлетворяют условиям из пункта i утверждения 3.1; запись 3.2j понимается аналогично; константы •&, многочлены S(9) и линейные замены J, Ь приведены в наборах 2.1 и 3.1. Доказательство находится в файле lemma3.mw в хранилище (см. введение).

Теорема 5.1. При l = 1 любая система (2.1)1, записанная в виде (4.1) согласно (2.10)1, линейно эквивалентна представителю какой-либо CF™1'1 из списка 2.1. При этом, если коэффициенты fi,pk ,qk ,tk (k = 1, 2) системы (4.1) таковы, что:

1) в системе (4.2) ¿1 = 0, ¿1 =0 и для каждой из трех CF™1'1 из списка 2.11 выполняются условия на коэффициенты p 1, p2 системы (4.5), приведенные в лемме 5.1, то композиция замен Jq, Jq, Ь™'1 преобразует правую часть системы (4.1) в выбранную CF™1'1 со значениями параметров из леммы 5.1;

2) в системе (4.2) ¿1 = 0, ¿1 =0 и для каждой из пяти CF™1'1 из списка

2.12 выполняются условия на коэффициенты ¿1, p2, ¿2 системы (4.6), приведенные в лемме 5.2, то композиция замен Jq, Jq, Ь™1'1 преобразует правую часть системы (4.1) в выбранную CF™1'1 со значениями параметров из леммы 5.2;

3) в системе (4.2) ¿1 =0 и для каждой из двадцати пяти CF™'1 из списков

2.13 и 2.1ц выполняются условия на коэффициенты p 1, 11, qQ, ¿2, t2 системы (4.7), приведенные в лемме 5.3, то композиция замен Jq, Jq, Ь™1'1 преобразует правую часть системы (4.1) в выбранную CFm' со значениями параметров из леммы 5.3.

Доказательство. В разделе 4 показано, что исходная система (4.1) при помощи двух линейных замен сводится к одной из систем вида (4.5), (4.6) или (4.7). В свою очередь, в силу лемм 5.1, 5.2, 5.3 любая из перечисленных систем сводится к определенному представителю соответствующей CF™1'1 из списка 2.1. □

Литература

1. Басов В. В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы —I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 3(61). Вып. 2. С. 181-195.

2. Басов В. В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы —II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 3(61). Вып. 3. С. 355-371.

3. Cima A., Llibre J. Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane // J. Math. Anal. Appl. 1990. Vol. 147, N2. P. 420-448.

4. Gurevich G. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen: Noordhoff. 1964.

5. Date T., Iri M. Canonical forms of real homogeneous quadratic transformations //J. Math. Anal. Appl. 1976. Vol.56, N3. P. 650-682.

6. Окунев Л. Я. Высшая алгебра. М.; Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры. 1949. 434 c.

Статья поступила в редакцию 13 декабря 2017 г.; рекомендована в печать 2 июля 2018 г. Контактная информация:

Басов Владимир Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доц.; vlvlbasov@rambler.ru Чермных Александр Сергеевич — аспирант; achermnykh@yandex.ru

Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — V

V. V. Basov, A. S. Chermnykh

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Basov V. V., Chermnykh A. S. Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — V. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 4, pp. 556-571. https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2018.403 (In Russian).

This article is the fifth in a series of works devoted to two-dimensional cubic homogeneous systems. It considers a case when a homogeneous polynomial vector in the right-hand part of the system has a linear common factor. A set of such systems is divided into classes of linear equivalence, wherein the simplest system being a third-order normal form is distinguished on the basis of properly introduced principles. Such a form is defined by the matrix of its right-hand part coefficients, which is called the canonical form (CF). Each CF has its own arrangement of non-zero elements, their specific normalization and canonical set of permissible values for the unnormalized elements, which relates CF to the selected class of equivalence. In addition to classification, each CF is provided with: (a) the conditions on the coefficients of the initial system, (b) non-singular linear substitutions that reduce the right-hand part of the system under these conditions to the selected CF, (c) obtained values of CF's unnormalized elements.

Keywords: homogeneous cubic system, normal form, canonical form.

References

1. Basov V. V., "Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — I", Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 49(2), 99-110 (2016).

2. Basov V. V., "Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — II", Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 49(3), 204-218 (2016).

3. Cima A., Llibre J., "Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane", J. Math. Anal. Appl. 147(2), 420-448 (1990).

4. Gurevich G., Foundations of the Theory of Algebraic Invariants (Noordhoff, Groningen, 1964).

5. Date T., Iri M., "Canonical forms of real homogeneous quadratic transformations", J. Math. Anal. Appl. 56(3), 650-682 (1976).

6. Okunev L. Ya., Higher algebra (Gos. izdat. teh.-teor. lit., Moscow, 1949, 434 p.) [in Russian].

Received: December 13, 2017 Accepted: July 2, 2018

Author's information:

Vladimir V. Basov — vlvlbasov@rambler.ru Aleksandr S. Chermnykh — achermnykh@yandex.ru