CC BY
10
2017 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 4 (62). Вып. 2
МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
МАТЕМАТИКА
УДК 517.925 МЯО 34С20
ДВУМЕРНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: КЛАССИФИКАЦИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ —III
В. В. Басов, А. С. Чермных
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Данная статья является третьей в цикле работ, посвященном двумерным однородным кубическим системам. В ней рассматривается случай, когда однородный векторный многочлен в правой части системы имеет квадратичный общий множитель с вещественными нулями. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных структурных и нормировочных принципов выделяется простейшая система — нормальная форма третьего порядка. Фактически, нормальная форма задается матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов, гарантирующее принадлежность КФ к выбранному классу эквивалентности. Дополнительно для каждой КФ приводятся: а) условия на коэффициенты исходной системы, б) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, в) получаемые значения ненормированных элементов КФ. Библиогр. 6 назв.
Ключевые слова: однородная кубическая система, нормальная форма, каноническая форма.
Введение. Статья посвящена нахождению канонических форм вещественных однородных кубических систем, имеющих общий множитель второй степени с вещественными нулями, и состоит из трех разделов.
В первом разделе правая часть исходной системы, определяемая восемью коэффициентами, однозначно раскладывается в произведение общего множителя Рд (х) и вектора Нх, где Н — некая неособая матрица. При этом, как было установлено в [1], знак дискриминанта Б ее характеристического полинома инвариантен. Для каждого из случаев Б > 0, Б = 0, Б < 0 осуществляется первичное упрощение системы путем сведения матрицы Н к жордановой форме и выделением нового общего множителя. Именно для полученных сравнительно простых систем будут подбираться условия, позволяющие сводить их соответствующими линейными заменами к различным КФ.
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2017 БОТ: 10.21638/11701/зрЬи01.2017.201
Во втором и третьем разделах статьи с учетом инвариантности знака дискриминанта Dо общего множителя P2 рассматриваются случаи Dо = 0 и Do > 0. Для каждого из этих случаев приводятся списки канонических форм со своими каноническими и минимальными каноническими семействами допустимых значений параметров, введенными в [2]. Доказываются теоремы, подтверждающие линейную неэквивалентность приведенных КФ и демонстрирующие для каждой КФ в явном виде: а) все системы, относящиеся к классу линейной эквивалентности, порожденному данной КФ, б) линейную замену, сводящую любую такую систему к выбранной КФ, в) получаемые в результате замены значения параметров КФ из ее канонического семейства.
Эта работа является непосредственным продолжением работ [1] и [2], поэтому в ней сохраняются все введенные ранее обозначения. В связи с большим количеством ссылок на формулы, полученные в [1], будем для краткости отмечать их номера сверху символом «1». Например, систему (2.1) из [1] будем обозначать (2.1)1.
1. Первичное упрощение системы при l = 2. Рассмотрим систему (2.1)1 X = Aq[3](x), которая при l = 2 однозначно записывается в виде (2.14)1:
x = P02(x)Hx, р2 = ^ +,22вЖ1Ж2 + 7x2, H = (P1 , Spq = detH = 0, (1.1) 0 v ' Do = в2 - «7, \P2 42) pq
где a = 1 или a,j = 0, 2/ =1.
По теореме 2.2 из [1] любая линейная неособая замена (замена (2.2)1)
Ь = r1 y1 + S1У2, или x = Ly, L = (r1 s1) , S = detL = 0 (1.2)
1^X2 = Г2У1 + S2У2 v 2 s2 J
преобразует систему (1.1) в систему (2.17)1 y = (a, 2/3, 7) q[2] (y) Hy, у которой строка (a, 2/, 7) и матрица H с Spq = 0 описаны в (2.18)1.
Отметим, что система (2.17)1 с учетом обозначений (2.3)1 записывается в виде
A = b1 С1 ¿Л = f ap1 a 31 + 2/3p1 2,031 + 7p1 73Л (13)
\Й2 62 C2 ¿2/ \ap2 aq2 + 2/p2 2/?q2 + YP2 7® /
Приводить систему (1.1) к различным каноническим формам будем в два этапа.
На первом этапе выберем такую замену (1.2), которая сводит матрицу H системы (1.1) к жордановой форме H в получаемой системе (2.17)1. Вид замены будет, конечно, зависеть от знака дискриминанта D = (p1 + q2)2 — 4Spq из формулы (2.16)1 (см. [3, прил. 3.3, с. 112]).
Здесь и далее любая ссылка на приложение работы [3] позволяет в пакете программ, размещенном в этом приложении, найти необходимую программу, символьными вычислениями в Maple подтверждающую приводимые ниже результаты.
1) Пусть D > 0, тогда согласно (2.16)1 матрица H имеет вещественные различные собственные числа А1, Л2 = 0. Точнее говоря, пусть
, Pi +42 +cr0VD p1+q2-a0\<rD г—
Ai = ---, А2 = ---, АФ =pi - q2 +a0V-D ф 0, (1.4)
где сто = {1 при pi > (/2, —1 при pi < (/2}, тогда сто = sign А* и стол/Т* = Ai — А2.
Замена ^ = ^(6 = 2оо л/О А*) с учетом формул для Ро из (2.18)1
сводит систему (1.1) к системе, записанной в виде (1.3) или (2.17)1. При этом
1 = Со1 2^ ^ ?А») ; Н = (А :), а = аЛ2 + 4^. + М, (1,,
в = вА, - 2(а^ - 7Р2)А, - 7 = 7А, - +
2) Пусть Б = 0, тогда в формуле (2.16)1 будем иметь А1, А2 = V = (р1 + ®)/2 = 0, иначе det Н = 0.
21) Замена = ^ 2<^1р ^ для =0 (случай а), нормировка = ^0 Р ^
для = 0, р2 =0 (р1, = V) (случай б) сводят систему (1.1) к (1.3) или (2.17)1. При этом
~ = /о^ 2/^ ^ 0\ н = 0
«V + 2/3 2/^ + 7 ^у ' VI ^ (1 6)
а : а = 47^/? = 4в?1 - 27(р - 7 = 4а?2 - 4^1 (р1 - + 7(Р1 - Ы2, б : а = а, в = вР2, 7 = 7р2 (V = Р1).
22) Если , р2 =0, то в системе (1.1) матрица Н — диагональная и р1, ^2 = V = 0. 3) Пусть Б < 0 > 0, р2?1 < 0), тогда в (2.16)1 числа А1, А2 —комплексно-сопряженные. ( )
Замена = ^^ (<$ = 2р2\/—В) с учетом формул для Ро из (2.18)1
сводит (1.1) к системе, записанной в виде (1.3) или (2.17)1. При этом
1 = - ^ - 2вМ -7м) ; Н = ^ -м) , а=-аБ
«V + 2/?^ 2/^ + 7^ 7^/ V/ ' (1.7)
/3 = л/--С(а(Р1 - + 2/Зр2), 7 = "(Р1 - <й)2 + 4/Зр2(р1 - <й) +
где г/ = (р! + <й)/2 (= 11е А^), /х = \Z~Df 2 (= |1тЛ!^|) > 0, причем г/2 + /л2 = 5рч.
На втором этапе в линейно неэквивалентных системах (1.5)—(1.7) сделаем произвольную замену (1.2), сводящую каждую из них к системе (2.17)1, все составляющие которой вместо символа ~ будем сверху отмечать символом ^ .
В результате, учитывая (2.18)1, по аналогии с (1.3) получим систему
1= 61 С1 (Л = (ар 1 й<?1 + 2/Зр»1 2,0(/1 + 7р1 СсЛ ^ 8)
\Й2 62 С2 (¿2/ \ар2 «С2 + 2вр2 2/?С2 + 7Р2 7С2/ '
где а = аг2 + 2/?Г1Г2 + ?г2, в = (ав1 + /?«2)п + (/?в1 -) 752)^2, С = ав2 + 2/?«1«2 + ?в2,
р 1 СЛ _ Г1 V + г2^з + ^^
Н = р 1 С1 = <5-1 ' ^ ' ' 27 ^ ' ^ (det Н = = = ).
Остается подобрать коэффициенты замены (1.2) так, чтобы система (1.8) оказалась наиболее простой в соответствии с СП и НП [2, разделы 1.1 и 1.2].
Реализация указанного плана будет проводиться отдельно для каждого из трех классов систем, на которые разбивается (1.1) в соответствии со знаком дискриминанта )0 общего множителя Р2,
Бо общего множителя Р2, инвариантного согласно (2.19)1 относительно замен (1.2).
Таким образом, фактическое нахождение канонических форм будет осуществляться отдельно в каждом из девяти линейно неэквивалентных классов, разделяемых знаками дискриминантов Бо и Б системы (1.1) (см. [2, следствие 1.1]).
В этой работе будут рассмотрены сравнительно простые случаи Б о =0 и Б о > 0.
Набор 1.1. Константы и замены, используемые в дальнейшем: Б = (р-1 - д2)2 + 4р2<7ъ сто = {1 при рх > <72, -1 при рх < <й}, ^1,2 = (Р1 + 42 ± СТ0ч/Т))/2, К = Р1 - 42 + О"ол/Т>; * = (Р1 + 42)1% М = л/—^0/2; т = ф2- Й7)1/2, ф :
аа = signа, ав = {1 при 3 > 0, —1 при /3 < 0}, а7 П = /3 + ав3; 3 = (а3 — /32)1/2; = {^1, в2 = Л*, в1 = —2дь Г2
(23 )-1/2, = sign 3,
7 2 _ 71 -7 2
72Ь
2Р2}, 4, = {^
= {Г1 = 1, вь г2 = 0, в2 = р2}, -Я = {г 1 = \ 2. Построение С!™'2 при нулевом дискриминанте Р0. Система (1.1), у ко-
0, в! >, «1 =
= 2^1, в2 = 2, Г2 Р1 — Г2 = 0,
= ® — «2 = 2р2}.
торой Ро2 (х) является полным квадратом, имеет вид
Р02(ж)Нж, Р02 = (х + вх2)2 (7 = в2 ^ Б0 = 0, ёе! Н
5рч = 0).
(1.1=)
Выделим из списка 1.1 работы [2] структурные формы до 5Р1з2 включительно, относящиеся к случаю I = 2, Бо = 0 (см. [2, утверждение 1.2]), таких форм 5. Нормируем их заменой (2.6)1 согласно введенным НП, получая при этом Л5Рт'2'= (см. [2, определение 1.6]).
Докажем, что приведенный ниже список содержит все возможные канонические формы системы (1.1=) и описанные в нем множества являются каноническими множествами из определения 1.10 работы [2].
Список 2.1. Пять Срт'2'= и их се™' ' с указанием матрицы Н и дискриминанта Б из (2.16)1 (а, к = ±1, и = 0, (а, 2в, 7) = (1,0, 0)) :
ОР32 ' 2 ' = ^ =
ОТ
2, 2, =
7, к
ОТ
3,2, = ,<
ОТ
а,13
0 1 к 0 1 1 и 0 0 и
(и - 1)2
4к,
(и - 1)2
4и + 1,
(и - 1)2
„2,2,= 2,2,=
3,2,=
3,2,=
= {и = 1}, = {и = 1}; = {к = 1}, = {к = -1}; = {и = ±1}, = {и = 1};
= {и < -1/4};
= {и = 1}.
Утверждение 2.1. Только следующие формы из списка 2.1 при указанных значениях параметров сводятся к предшествующим согласно СП структурным формам:
АКР1?'2' '> при и = —1 заменой (1.2) с г1 = г2, в1 =0 сводится к ЙР2'2'
№5Р132'2'='>
(и > —1/4) и ЛВР1
3'2' = ' = 12
(и = —1/4)
заменой
(1.2)
.
с в1
= 0 и г1 =
2'2
(1 + л/1 + 4м)г2/2 сводятся к
Л5Р132'~'> (и = 1) заменой (1.2) с г2 = (1 — и)г1, в2 =0 сводится к 5Р3
Набор 2.1. Константы и замены, используемые в дальнейшем в разделе 2: = 2р2в + А*, ^2 = 2^1 — Л*в, ^з = (Р1 — Ыв — 2^1, = Р2в2 + 2р1в — = Р2 в2 + (Р1 — — = Р1 — ® +2р2в;
р?'2'= 7- 2'2' =
'>
7+1 з'2'='>
= {Г1 = [0 У|ш2Л2|-1/2 ], «1 = [1 V 0], Г2 = [ |ш2Л1|-1/2 V 0], «2 = [0 V 1]}; {^1, —в1 {Г1 = 0, в1
ГО2Г2, Г2, в2 = — Г2
|4ш2л2|-1/2}; И Л1|-1/2
«2 = Л1 (Л1 — Л2) 1Г2};
= а
а
7,к
ОТ3,2'-^ = а
7
а
3,2,-
7
7
<
а
а
3,2,=
3,2,-
=а
а
>
.
l3'2'='= = {ri = |pi|-1/2, si = -в, Г2 = 0, S2 = 1};
,pi| ' > si
L?'2'='= = {ri = 0, si = vr2, Г2 = [ |ет2v|-1/2 V |(ep2)2v|-i/2 ], S2 = [2ew3-ivr2 V -(eP2)-ir2 ]}; L3xi'='= = {n, S2 = 0, si = [\bpv\-W1 VM~1/2 ], r2 =
Ц^Г* = {rb S2 = (-Б)1/4(23/2р2^4)-1, -si,r2 = (pi +/3p2)(-£)-1/4(v/2Р2Ш4)-1}; L?22'=,< = {ri = (V + v(вР2 - ®)(-D)-1/2p-1, si = Spqn/6(-D)-1/2(4vp)-1, Г2 = (вР2 - q2)(2p)-i> S2 = Spq(4vp)-1}> где p = p2^|2v|1/2.
Теорема 2.1. Любая система (2.1)i с l = 2, записанная в виде (1.1=) согласно (2.1b)1, линейно эквивалентна системе, порожденной неким представителем соответствующей канонической формы из списка 2.1. Ниже для каждой CF™'2'-'* приведены: а) условия на P2 и H системы (1.1=), b) замены (1.2), преобразующие правую часть системы (1.1=) при указанных условиях в выбранную форму, с) получаемые при этом значения множителя а и параметра u из cs4 :
Cf32,2'='> : a) D > 0, [wx = 0 V=0], b) J2, L3'2'='>, c) а = [signAi Vsign A2 ], u = [A-iA2 V AiA-1 ];
CF72+i='> : a) D > 0, =0, Ai = -A2, b) J2, L?'+='>, c) а = sign A2;
Cf73,2'='> : a) D > 0, = 0, Ai = -A2, b) J2, L?'2'='>, c) а = signAi,
u = a-1 A2;
CF32'2'='= : a) D = 0, qi = 0, p2 = 0, b) L2'2'='=, c) а = sign pi;
CF73'2'='= : a) D = 0, [qi =0, етз =0 V qi = 0, p2 =0, в = 0], b) [ J2a V J2,],
7-3,2' = '= i
L7' ' ' , c) а = sign v;
CFi332'='= : a) D = 0, [qi = 0, в = 0, етз = 0Vqi = 0, p2 = 0, в = 0], b) [ J2a V J2,],
t 3'2' = '= )
L^ ' ' , c) а = sign v;
CF2'-f'< : a) D < 0, q2 = -pi, b) J32, L3'-'='<, c) а = 1;
CF322'='< : a) D < 0, v = 0, b) J32, L322'='<, c) а = sign v, u = -Spq(2v)-2. Доказательство. В зависимости от знака дискриминанта D из (2.16)1 система
J 2
ицей H и общим множителем Pq . этом > 0, a + 7 > 0, /З2 = «7 в силу (2.18)1, (2.19)1.
Далее в каждой из полученных систем сделана произвольная замена (1.2), преобразующая ее в систему (1.8), из которой и будут выделяться канонические формы. В системе (1.8) общий множитель P2 имеет следующие коэффициенты:
а > 0 : а = a-1(ari + вг2)2, в = a-1 (ari + /г2)(asi + /s2), Y = a-1(asi + /s2)2;
a = 0 (в = 0, 7 > 0) : a = Yr2, в = 7r2s2, 7 = Ys2. (2.9)
В формуле (2.9) всегда можно получить, например, в = 0, 7 = 0. Для этого в замене (1.2) достаточно зафиксировать следующую связь между si и S2 :
a = 0: s1 = -a-1,7s2, a = 0: s2 =0, (2.10)
в результате которой в системе (1.8) два правых столбца A будут нулевыми.
1) Рассмотрим D > 0 (Ai, А2 ф 0, Ai— А2 = oq\Td ф 0). Из системы (1.1=) заменой J2 получена система (1.5), у которой в P2 имеем a = ет2, в = ^1^2, 7 = ет2.
Пусть замена (1.2) при условии (2.10) сводит систему (1.5) к системе (1.8), коэффициенты PQ которой определены в (2.9) (см. [3, прил. 3.4.1, с. 114]).
(1.1 ) с y = в2 одной из замен J2, J2o или J|b, J3 сведена соответственно к одной из систем (1.5), (1.6) или (1.7) с жордановой матрицей H и общим множителем P2. При
11) Пусть a = 0 (7 > 0, S2 = 0). Тогда система (1.8) принимает следующий вид:
Ц(А, - A^W А°1 0 0) • ПР" 1 =°'Si = 1-r> = №1>-1/2 »о-cFP'='>
с а = sign Ai, u = А- 1А2 = 1.
12) Пусть а > 0. Тогда система (1.8) имеет вид
. = + a-,,,) (a^-^i ^ "Хп 0 0). (2.11)
12) Пусть / = 0 (7 = 0, 2i = 0). Тогда систему (2.11) можно записать в виде -2 U - AA;b:2-i А02 0 0). При ,2 =0,:2 = 1, ri = (a|A2|)-1/2 это-СР2'2'='>
с а = sign А2, u = А^-1 = 1.
122) Пусть /3 = 0. _
12a) Ai = —А2 pi + 92 =0. Тогда при ri = a-1/^ система (2.11) выглядит , 2 A 0 , 22 1 s 2 0 0
r A2 r2 s22 i 0 0 0
CF2 '+ 1= ' > с а = sign А2.
12ь) Пусть Ai = —А2. Тогда при ri = 0 система (2.11) имеет вид
/% (А2 — Ai)r-i :2 0 . При ,2 = (3|Ai |)-1/2, :2 = Ai (Ai — А2) —1 (3|Ai|)-1/2
2 J 1 --2 " У 11 У2 --J-Wl^t^ iiyn <1 - ^ j^y I 2 y^.-L-Lj UUH .Il/l^J
следующим образом: ^r^A2 ( 02i ,2 S2 0 0 ). При r2,s2 = (47|A2|)-1/2 это-
r2 s2 0 0 0
0 Ai 0 0
эта система — NSF73 '2 '=' > с а = sign A1, u = A-1A2 = ±1.
В системе (2.11) можно еще сделать 62 =0 или ai = 0, получая SF-j^2 или SF^ 'is, которым CF73 ' 2 '='> предшествует согласно СП2.
2) Рассмотрим D = (p1 — q2)2 +4p2q1 = 0, т. е. в (2.16)1 Ai, А2 = v = (p1 + q2)/2 = 0. 21) Из системы (1.1=) с 7 = /2 при q1 = 0 заменой Jfa получена система (1.6) с a = 4/2, / = —2/((pi — 92)/ — 2qi), 7 = ((pi — 92)в — 2qi)2 согласно (1.6a), а при q1 =0, p2 =0 (q2,p1 = v) заменой J|b — (1.6) с a = 1, /5 = /p2, 7 = (/p2)2 согласно (1.6Ь).
Пусть замена (1.2) при условии (2.10) сводит (1.6) к системе (1.8), коэффициенты P0 которой определены в (2.9) (см. [3, прил. 3.4.2, с. 116]).
21) Пусть a = 0 (7 > 0). Тогда система (1.8) примет следующий вид: ri + v,2 si 0 0^ ^_____ n __ /~I..I\-1/2 =
7,2 2 -1 n п Г При ri = 0, r2 = (7|v|) 1/2, si = vr2 (:2 = 0) это —
у— г2:-1 vr2 — r1 0 0J
CFj3 ' 2 '=' = с а = sign v, u =1.
В системе (1.83) помимо Й2 =0 можно получить 62 =0 или й- = 0, что превратит
ее в SF-2 или SFa is, которым CF7' '=' = предшествует согласно СП2.
22) Пусть a = [4/2 V 1 ] > 0. Тогда система (1.8) имеет вид
A = (ri + a-1 /г2)((avri + e2)r11+ evr2 ^l/^2 0 0) . (2.12)
\ ar2s- (avr- — /)ri + /vr2 0 0/
22a) Пусть в = 0 )s1 =0) ^ [= 0 V / = 0]. Тогда (2.12) будет иметь
вид ar2 (riV-1 0 0 . ПРи r1 = ^ИГ^ r2 = 0 s2 = v-1,1 это — CFa313= ' = с а = sign v. Далее делается перенумерация (2.7)
22Ь) Пусть в = 0 (Y > 0). Тогда при ri =0 система (2.12) выглядит следующим
образом: Yr^ ^ в ^ s2 0 0) . При r2 = (7|v|)-1/2, s2 = ^Y--^^ (si = vr2)
это — CF3 ' 2 '=' = с а = sign v, u =1.
Случаи 2i) и 22&) для q1 = 0 (в = 0 и в = 0) объединены в формулировке теоремы.
Из системы (2.12) можно получить также последующие SF-^2 или SF3 i8. 22) Пусть qi = 0, p2 =0 (q2 = pi), т.е. в самой системе (1.1=) H — диагональная матрица. Замена (1.2) с ri = |pi|-1/2, si = -в, r2 = 0, s2 = 1 сводит (1.1=) к CFg ' 2 '=' = (u = 1) с а = sign p1.
3) Рассмотрим D < 0 (p2</i < 0). Из системы (1.1=) заменой J32 получена система (1.7) с а = —D, ¡3 = \/—Dvje, 7 =
Пусть замена (1.2) при условии (2.10) сводит (1.7) к системе (1.8), коэффициенты Po которой определены в (2.9) (см. [3, прил. 3.4.3, с. 118]). Иными словами, система (1.8) имеет вид
( , — i в ) A(av + /м)г1 + (/v - a^)r2 -a-1(a2 + в20 0Л
(ri a 2) V м(г2 + r2)s-1 (av - вмЬ + (/v + aM)r2 0 0y
2 72 (2.13)
31) Пусть v = 0 ^ q2 = -pi, при этом a2 + в2 = -4Dp2^4 = 0, так как дискриминант равен D, а D = 4(pi + p2qi). Тогда при r2 = a-1/?ri система (2.13) принимает
вид a-3(a2+/2)V2 ( 0-1 -r1 s2 0 0). При ri,s2 = a3/2(a2+в2)-1м-1/2 это —
r1s2 0 0 0
CF2'- i= ' < с а = 1.
32) Пусть v = 0 ^ pi + q2 =0, при этом a2 + /2 = -4Dp2ro5 = 0, так как дискриминант ет равен D. Тогда в системе (2.13) при ri = a1/2(a^ + /v)p, r2 = a1/2(вм - av)p, s2 = a3/2(v2 + )(2v)-1 p, где p = |2v|-1/2^-1(a2 + в2)-1, элемент b2 = 0. Система (2.13) —это CF^2 '='< с а = sign v, u = -(v2 + ^2)(2v)-2 < -1/4.
В (2.13) можно еще сделать a- = 0, получая SF с большим индексом. □ В результате оказалась доказанной полнота списка 2.1 CF™'2 ' = при нулевом дискриминанте общего множителя Po2 и их линейная неэквивалентность друг другу.
Приведем линейные неособые замены, которые для CF из списка 2.1 позволят выделить минимальные канонические множества, введенные в определении 1.11 из [2].
2 2 = 3 2 = >
Утверждение 2.2. Только в CF7 и CFf' из списка 2.1 удается ограничить значения параметров cs™ '2 '=' : в CF2 'К ' = нормировка (2.6)1 с r1, -s2 = 1 изменяет знак а; в CF7' 2 '='> при З = а, u = u замена с r1 = |u|-1/2, s1 = 0, r2 = (1 - u)|u|-1/2, s2 = u|u|-1/2 дает а = аsignu, u = u-1.
Следствие 2.1. Согласно определению 1.12 из [2] имеем acs^ ' К' = = {а = -1}, acs3 ' 2 '='> = {|u| > 1}; для остальных форм из списка 2.1 — mcsm '2 '='* = csm '2 '='*.
3. Построение CF™'2 при положительном дискриминанте P^. Система (1.1) с положительным дискриминантом многочлена P2 (ж) имеет вид
Ж = P2(x)Hx Po2 = ax2 + 2/ж1ж2 + Yx2, Do = /2 - aY > ° (1 1>)
ж Po (X)HX a = 1 или a, y = 0, 2/ = 1; (det H = Spq = 0). ( )
Выделим из списка 1.1 в [2] структурные формы до SF^2 включительно, относящиеся к случаю l = 2, Do > 0 (см. [2, утверждение 1.2]), таких форм 9. Нормируем их согласно НП и выясним, какие NSFm '2 '> оказываются каноническими формами.
Докажем, что приведенный ниже список содержит все канонические формы системы (1.1>) со своими каноническими множествами из определения 1.10 из [2].
Список 3.1. Семь СР™ '2 '> и их се™ '2 '> с указанием строки (а, 2,0,7), матрицы Н и дискриминантов Бо и Б из (2.16)1 (а, к = ±1, и,« = 0) :
ОТ
4
ОТ2'2^ = а
ОТ
10
ОТ
16
0 1 к 0 1 1 и 0
от:
4,2,>,>
8,-1
ОТ
4,2,>,> _
а,14,-1
ОТ
23
и 0 -и 0 0 10 -1 -1 0 1 0 0 и и 0 0 и V 0' 0 110
(0,1, 0), (0,1, 0), (0,1, 0), (0,1, 0), , (1, 0,-1) (1,1,0), . (0,1, 0), а
1/4, (и -1)2; 1/4, 4к;
1/4, (и -1)2;
1/4, 4и + 1;
а
и0 01 -1 1 0и
V 1
(и -1)2; 1/4, (и +1)2; 1/4, (и - 1)2 +4v.
св^ ' 2 '> ' > = {и = 1}, с«4' 2 '> ' = {и = 1};
сФ2 '> ' > ={и = 1} с«3о2'>3= ={и =1};
2 2 > > «8, к' ' = {к =
= {к =1},
2 ' 2 ' > ' < г «8 ' к' ' = {к =
= {к = —1};
= {и > —1/4}, с42'> ' = = {и = —1/4}, с42'> ' < = {и < —1/4};
»16 = {« > —1/4}, с«1б
«4 ' 2 '> ' > = {и = ±1}; сЖ'> = {и = —1, —2, —3};
СЙ СЙ
88 '-1
4 2 > > >'=
{и =1, V > —(1 — и)2/4, V = и, (2и — 1)/4, и(2 — и)/4},
23 - {и = —1 « = —(1 — и)2/4} с«23
0и 00
4 2 > <
{V < —(1 — и)2/4}.
4 ' 2 ' > = а
Л5Г
4 2 > 12 =
—и 1
Утверждение 3.1. АКР. из списка 3.1 не являются СР4 ' 2 ' >.
4 2 > 3 2 > >
Доказательство. А5Р7' ' заменой с «1 = — «2, г2 = 0 сводится к СР^ или СР42 ' 2 '> '=, а Л5Г422 '> той же заменой сводится к СР^2 '> ' > или СР42 ' 2 '> ' >. □
Набор 3.1. Константы и замены, используемые в дальнейшем в разделе 3: у>1 = п2Л1 — а3Л2, ¥2 = П2Л2 — а3Л1, ¥з± = 2г^ав ± 7,
Ь ' 2 '> ' > = {Г1 = 1, «1 ,Г2 = 0, «2 = (2вЛ2)-1}; Ы3о2'> ' > = {Г1 = —|7|1/2Б1/4(2^Л2)-1аоа7, «1 = —7^ «2 = |7|-1/2Б-1/4},
Ь232о2'>'> = {Г1 = 0, «1 = |а| 1/2б-1/4, Г2 = |а|1/2Б1/4(2в3Л1)-1аоаа, «2 = —ап-1^}; ' '>'> — {п = |4аЛ11—1/2, «1 = —7п-1«2, Г2 = —ап-1Г1,
¥>4"" = 27^ав ± (а + 7)^;
з-1«2, Г2 = 0,
Ь
ь
8' + 1 4,2,>,> 8,-1
«2 = 147Л11—1/2 };
{—•1,81 = «1/4(1+ «1/2)-1/2, Г2,82
Ь13б2'>'> = {Г1 = ф23|аЛ11-1/2, 31 = —
Ь2;62'>'> = {Г1 = —7п-1Г2, «1 = 7(2,Й)-1Г2, Г2 = ф2П1^Л21-1/2, «2 = —ап-1
7П 1 «2, Г2 =
4б2'>'> = {Г =
23
= {г1 = |2а|-1/2Б-1/4, в1 = —3тп-1^, Г2 = —
«-1/4(1 + «1/2)-1/2 };
-1 Г1, 52 = а(2,в)-1 п}, «1};
-ап
-ап 1Г1,
-7п 1«2, Г2 =
Ь1
«2 = —|а|1/2Б1/4(—2а7)-1/2(2^)-1аоаа }
Ь2232'>'> = {Г1 = ф|п|1/2|а|-1/2Б-1/4, «1 = —■
«2 = ф|п|3/2|а|1/2Б1/4¥-1 аоа«ав}; Ь1442->1'> = {^1, «1 = 1, Г2 = 0, «2 = —2}, Ь2442->1'> = {Г1 =0, «1 = (и — 2)^/2, Г2, *2 = 2|и(и — 2)|-1/2};
п, «1 = ф47(Р1 п)—1, г2 = —а, «2 = ф>4р-1};
ап 1Г1
ь2'2'>'= = {п
Ь
,2,>,
1о 186
{Г1 = —7п 1Г2, «1 = |2/3|'
1/2,
Г2
«1, «2 = —ап 1 «1};
а
а
1
а
=а
V
Ы^2 '>' = = {Г1 = —7П-1Г2, = —ф/2, Г2 = —ф>П7-1 , в2 = —7п-1в1}, Ь2362 '>' = = {г 1 = ф, в1 = —7п-1в2, Г2 = —ап-1 ГЪ «2 = Фп(27)-1 }; Ь^2'>' = = {^1 = Ф, «1 = —77-1«2, Г2 = —ап-1Г1, в2 = ФП(^з )-1 }; Ь28'->' = = {Г1,в2 = |п|1/2(а2 + /32)-1М-1/2, «1 = —7П-1 в2, Г2 = —ап-1Г1};
Ь1?62 '_>'< = {Г1 = —7П-1Г2, «1 = Ф(72 + П2)1/2(7 + 7)-1(4м)-1/2, Г2 = Фп((72 + П2)м)-1/2, в2 = —7п-1«1},
Ь2?62 '> '< = {Г1 = ФПС(72 + п2)м)-1/2, «1 = —7П-1«2,
Г2 = —7п-1Г1, в2_= Ф(72 + п2)1/2(7 + 7)-1(4^)-1/2};
Ь^з2 '> '< = {Г1 = Фп((72 + П2)м)-1/2, в1 = —'7П-1«2, Г2 = — 7п-1Г1,
«2 = ф((72 + п2)м)1/2М-}.
Утверждение 3.2. Только следующие формы из списка 3.1 с указанными значениями параметров сводятся к предшествующим в силу СП структурным формам:
1) Ж^Р^1'-'-> '> : а) при и = —1 заменой с г2 = —г1 в1 = в2 сводится к йр '2; Ь) '-'>' = (и = 1) той же заменой сводится к '2;
2) №5Р142-'1'> : а) при и = —3 заменой с г1 = 0, в1 = —2в2 сводится к -1;
Ь) при и = —2 заменой с г2 = —г1, в2 =0 сводится к ^р^2;
-> ' (и = —1) той же заменой сводится к ;
3) №5Р2з2 '> '> : а) при а = а, и =1 (V > 0, V = 1) заменой Ь"^ '-> '> сводится к СР84Д>' > с а = —а, и = (1 — v1/2)(1 + v1/2)-1 е ( — 1,1) (|и| < 1);
b) при и = и = 1, V = (2и — 1)/4 (и = ±1/2) заменой Ы^2—'> сводится к Ср^2--! '> с и = —2и — 1 (и = —1, —2, —3);
c) при а = а, и = и = 1, V = и(2 — и)/4 (и = ±2) заменой Ь2442->1' > сводится к СР1442->' > с а = —аsign(U(U — 2)), и = —(и + 2)и-1 (и = —1, —2, —3).
Теорема 3.1. Любая система (2.1)1 с I = 2, записанная в виде (1.1>) согласно (2.15)1, линейно эквивалентна системе, порожденной неким представителем соответствующей канонической формы из списка 3.1. Ниже для каждой '2 ' > ' * приведены: а) условия на коэффициенты системы (1.1>), Ь) замены (1.2), преобразующие правую часть системы (1.1>) при указанных условиях в выбранную форму,
\ т ' 2 ' > ' *
с) получаемые при этом значения множителя а и параметров и, V из :
' 2 '> ' > : а) Б > 0, в (1.5) 7 = 0, 7 = 0, Ь) 4?, Ь ' 2 '> ' >, с) а = 1, и = А1 А-1; '> ' > : а) Б > 0, в (1.5) [7 = 0, 7 = 0 V 7 = 0, 7 = 0], Ь) 4, [ы3о2 '> ' > V Ь2302 '> ' > ], с) а = [ —а0а7 V а0аа ], и = [ А1А-1 V А-1 А2 ];
СР82;+]> ' > : а) Б > 0, в (1.5) в = 0, V = 0, Ь) 42, ¿8 ' > ' >, с) а = аоаа;
СР84''-'>' > : а) Б > 0, в (1.5) в = 0, V = 0, Ь) 4, Ь1432 '> ' >, ¿4 ' -> ' > с V = Б^)-2,
с) а = —аоаа, и = (^ — Б1/2)(^| + Б1/2)-1; з 2 > >
u ■
CF62 • >• > : a) D > 0, в (1.5) 7,/3,7 = 0, 27v = [аоБ1/2V -аоБ1/2], b) J?,
[ L1362 '> '> V L2362 '> '> ], c) а = [ааsign Ai V а7sign А? ], u = -77(2/7)-2;
CF4!?-!' > : a) Б > 0, в (1.5) 7, /3,7 = 0, 27v = ±D1/21/5|, 4V = [2U - 1 V U(2 - U)], где U = , 3 = -D7YnV-2, b) J^, L2232'> ' >, [L^-i> V^^-l'> ], c) а = [аоаа V
а0ааsign(U(2 - U)) ], u = [ -(1 + 2U)-1 V -U(U + 2)-1 ];
CF2432 '> ' > : a) D > 0, в (1.5) 7, в, 7 = 0, 27v = ±D1/2|/3|, 47 = U(2 - U), (2U - 1), где U = <£>1<£>-1, V = -D(57n2^-2, b) Jj2, L24g2 '> ' >, c) а = аоаа, u = U, v = 7; CF2' 2 '> ' = : a) D = 0, qbp2 = 0, b) ¿4 ' 2> '=, c) а = 1;
CF102 '> '^ : (1.1>) npuD_ = 0, [91 =0 V 93 = 0=, p2 =0], в [(1.6a) V (1.6b)] 7 = 0 заменами [ J2a V J|b ], Lj^O ' >' = сводится к CF-|_0 ' >' = с а = а^;
СР1362 '> ' = : 1) а) Б = 0, [ 91 =0 V 91 = 0, р =0], в [(1.6») V (1.6Ь)] 3 = 0, =0, Ь) [¿2» V 4 ], Ь1;62'> '=, е) а = —ав;
2) а) Б== 0, [91 = 0 V 91 = 0, р =0], в [(1.6») V (1.6Ь)] 3 = 0, = 0, Ь) [4» V ¿2Ь ], Ь216' > ' = е) а = ав;
СР2432 '> ' = : а) Б== 0, [91 = 0 V 91 = 0, р =0], в [(1.6») V (1.6Ь)] 3 = 0, = 0, Ь) [¿» V ¿ь], ¿432'> '=, е) а = ав, и = <+ (<-)-1, V = —32(<Г2;
СР82Д>' < : а) Б < 0, V = 0, в (1.7) а + 3 = 0, Ь) ¿2, ' -> ' <, е) а = ав; СР362 '> ' < : а) Б < 0, V = 0, в (1.7) [= 0V<- =0], Ь) ¿2, [Ь1?62 '> ' <VЬ2?62 '> ' < ], е) а = [ —авV ав];
СР2432 '> ' < : а) Б < 0, в (1.7) V2 + (а + З)2 = 0, = 0, Ь) ¿2, Ь4;2 '> ' <, е) а = ав, и = (<4 )-1, « = — М2(а2 + п2)(32 + п2)п-2(<-)-2.
Доказательство. В зависимости от знака дискриминанта Б из (2.16)1 система (1.1>) с в2 > а7 одной из замен ¿2, ¿» или сведена соответственно к одной
из систем (1.5), (1.6) или (1.7) с жордановой матрицей Н и общим множителем Р2, причем 3, |п| > 0, так как Бо = 62Бо в силу (2.19)1.
Далее в каждой из полученных систем сделана произвольная замена (1.2), преобразующая ее в систему (1.8), из которой и будут выделяться канонические формы.
В системе (1.8) коэффициенты а, 3 общего множителя Рд всегда можно сделать нулевыми, в результате чего А из (1.8) будет иметь элементы З1, Й2 =0 и ¿1, ¿2 = 0. Для этого в замене (1.2) достаточно зафиксировать следующие две связи:
«1 = —3п-1 в2, г2 = —ап-1г1 (3 = (в2 — а3)1/2, п = в + ав3, sign0=1), (3.14)
при выполнении которых имеем 6 = г^ — Г2«1 = 23п-1авГ1 «2, в системе (1.8) — в = 232п-1 г1«2. Если а3 = 0, то 3 = |в| =0, а если в = 0, то 3 = п = (—аЗ)1/2 > 0.
4 2 > 4 2 >
Однако никакими заменами при условии (3.14) не получить Л5Р8 , Л5Р» 14 —
4 2 >
из списка 3.1. Но эти формы предшествуют только Л5Р23 ' и именно из нее будут получены согласно утверждению 3.2з в п.п. Х}/ и \\с соответственно.
1) Рассмотрим Р> > 0 (А1,А2 ф 0, Ах — Л2 = оол/Р 0). Из системы (1.1>) заменой ¿2 получена система (1.5) (см. [3, прил. 3.5.1, с. 119]).
Произвольная замена (1.2) при условии (3.14) сводит (1.5) к системе (1.8) вида
23 а /0 (А1 — a77 2А2)r1 s2 —3^ 1(A1 — A2)s2 ^ (315) 270 an-1(Ai — А2)r2 (А2 — a3r2Ai)ris2 0' . (3 )
11) Рассмотрим случай aY = 0 (/ = 0, 7 = |в|, n = 2/).
1-) Пусть a,7 = 0 (ri,S2 = 0). Тогда система (3.15) приобретает вид 0 2/^1ris2 0 0A „ 1 ,0зЛ ч 1 „„2 '2,> ' > ,
0 0 2/3A2riS2 0). При ri = 1, S2 = (2/3A2) 1 это — с а = 1,
u = A1 A-1 = 1.
12) Пусть a = 0, 3 = 0. Тогда система (3.15) примет следующий вид:
(0 2"АГ lAi—Asf2 0)' Пр» r. = —|3(Ai — Л,)|./2R^W,,s2 =
|3(Ai — А2)|-1/2 это — CFfo2 '> ' > с а = —аоsign3, u = А.А-1 = 1.
13) Пусть 7 = 0, a = 0. Тогда система (3.15) будет иметь вид
(0 «Г—Ги S2 0). При r. = |a(A. — А'2)|-1/'2' S'2 = |a(Ai —
188 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 2
А2)|1/2(2/5а,) 1 а0аа это — CF^ 1о> ' > с u = А- ^ = 1, а = а0аа. Перенумерация (2.7)1 сведет ее к ог.о с теми же а, u.
12) Рассмотрим случай <5 = 0, 3 = 0 (3 = |/?|). Тогда в (3.15) имеем с i 62 = 0. 12) в = 0, тогда a7 < 0 и 3,3 = (—a3)1/2. Поэтому система (3.15) имеет вид
0 2(—a3)1/2 (Ai + A2)ri S2 — 23(Ai — А2):2 0А ( )
0 2a(Ai — A2)r2 2(—a7)1/2(Ai + A2)riS2 0] ^ (36)
12a) Пусть A2 = —а, ^ q2 = —p,. Тогда система (3.16) при г, = |4aA,|-1/2, S2 = 143А1121/2 — это CF82''+i> ' > с а = sign(3Ai) (= аа ао = аа sign p, = —аоа7).
1,ь) Пусть А2 = — а,. Тогда (3.16) при S2 = —|a(Ai — А2)|1/2(—233)-1/2(а, + А2)-1аоаа, r, = |23(А, — А2)|-1/2 —это NS^2 '> ' > с а = sign(3(A, — А2)) (= аоаа), u = 1, v = D(A, + А2)-2 (v > 0 , v = 1). По утверждению 3.2з она не является
4 2 > >
канонической, так как сводится к C F —i . 12) Пусть 3 = 0. Тогда 6 , + сЦ =0.
12°) с2 =0 ^ А2 = «Зп-2А, 3(А, + А2) = |/?|(А1 — А2), так как «7 = /5 гг (олк\ (0 8/?32n-2Air,S2 —4332'3-2Ais2 0А ^
(в— авт)пу. Тогда (3.15) это система I 433,3-2A,r2 0 2 0). пРи
r, = ?у(2т)-1 |3А, |-1/2, S2 = пй^/Зг)-1 |3А, |-1/2 это — CF-^2 '> ' > с а = аа sign А,, u = —33(2/?)-2 > —1/4.
12ь) 6, = 0 ^ А, = а7Пу-2А2 ^ 3(А1 + А2) = —|/?|(А1 — А2). Тогда система
(3.15) имеет вид 432п-2А2^ _. При r, = 33(4/?т)-1 |7А21-1/2 S2 =
П(2г)-1|3А2|-1/2 это — CF3 '26> ' > с а = а7 sign А2, u = —а7(2/3)-2 Далее делается перенумерация (2.7)1.
12е) 61, С2 =0 ^ 3(А, + А2) ± |/3|(А, — А2) = 0. Тогда система (3.15) при r, |1/2|3(Ai — А2)|-1/23, S2 = |П|3/2|3(А1 — А2)|1/2ф^-1аоааав — это ЛГЗДТ'> ' > с а
са=
аоаа, и = <1 <-1 (и = 1), V = —а3п2(Л1 — Л2)2<-2 (V = и, 4« > —(1 — и)2).
Теперь при V = (2и — 1)/4 или V = и(2 — и)/4 полученная ЛК'РЦ4;!2>>'> не является канонической, так как согласно утверждению 3.2з сводится к СР^ -> ' >. А если V = (2и — 1)/4, и(2 — и)/4, то ЛЗР^2 '> ' > = СР2432 '> ' >. 2) Рассмотрим Б = 0 (Л1, Л2 = V = (р1 + 92)/2 = 0) (см. [3, прил. 3.5.2, с. 128]). 21) Пусть 91 =0 или 91 = 0, р2 = 0 (92 = р1 = V). Из (1.1>) заменой ¿» или получена система (1.6), которую любая замена (1.2) при условии (3.14) сводит к (1.8) вида
23(0 <3+п-1Г2 —^2^:2ав«2 0) (<± =23vав ± 3). (3.17)
^0 авг2 <3 п 111«2 0) у 3 в ' у 7
21) Пусть 3 = 0 (3 = |в|, п = 2/3). Тогда система (3.17) принимает вид '0 vr1s2 0 0Л ч0 г2 vrl«2 0у
и =1. И далее осуществляется перенумерация (2.7)1.
22) Пусть 3 = 0. Тогда в системе (3.17) З2С1 = 0, &2 + с2 = 0. 22») 3 1 = 0 ^ = 0. Тогда (3.17) можно записать в виде
/0 0 —2372п-2 ав в2 0\ ^ 2 > =
(0 23авг2 — 4?зп-lгlвs22 0) . При Г1 = —ф/2 «2 = —фп7-1 ав это — СР»3д26> '=
2/3(0 Т vr0S2 0) . При ri = |2в|-1/2, S2 = v-1 r, это — CF3i20> ' = с а = ав,
,0 23 ав r2 —4г3П 2г,:2 0у с а = —ав, u = —1/4 и соответствует (2.7)1.
22Ь) с2 = 0 ^ =0. Тогда (3.17) будет выглядеть следующим образом: /0 4Г7П-1 Г1в2 -2Г72П-2 ав в2 0\ тт I ^г?3 , 2 ,>, =
21 ав г2 0 о) . ПРИ Г1 = Ф'52 = Фп(21) 1 ав это —
с а = ав, и = -1/4.
22с) Ь1с2 = 0 ^ =0. При г1 = ф, в2 = (^ПК^з)-1 ав система (3.17) — это С^2432-> - = с а = ав, и = V = —72(^_)_2 (и = ±1, 4« = -(1 - и)2),
4 2 > = 4 2 > _
так как по утверждению 3.2 N5^23 ' ' не может быть сведена к N£^8 ' или
№5Р1442-> -=.
22) Пусть 91 =0, р2 = 0, т.е. в самой системе (1.1>) Н — диагональная матрица с диагональю (р1,р1). Тогда замена (1.2) с г1 = п, «1 = Ф47(Р1 П)_\ г2 = —а, «2 = ф4^1 сводит (1.1>) к СК42 - 2 -> - = с а = 1 (и = 1).
3) Рассмотрим В = (р1 — д2)2 +4р2^1 < 0 (р2^1 < 0). Из (1.1>) получена система (1.7) (см. [3, прил. 3.5.3, с. 135]).
Произвольная замена (1.2) при условии (3.14) сводит (1.7) к системе (1.8) вида
(0 VPÏnsi -(72+^У2)М«2 fj2 \0 (а2 + ry2)yU,r2 fjfÂriS2 0
= 27va^ + (й + 7)м)- (3.18)
3i) Пусть v = 0 (^ p1 + q2 = 0), й + 7 = 0. Тогда 7 = (а2 + /32)1/2 и (3.18) имеет
0), аз + ■ j — и. тогда / — (О'2 1 32
виД (0 4j2j0^ -4j о MS2 и) . ПРи ri,s2 — ф2|п|1/2М-1/2 п°лучаем CF82;5f
с a — sign/3.
З2) Пусть v2 + (a + j)2 — 0, тогда b1 + c2 — 0.
31) b1 — 0 ^ — 0 (v(cj + j) — 0). Тогда система (3.18) имеет вид
2tjmt£ (0 0 -(72 + ^У2)«2 0
V
2 U (й2 + n2)r2 -27(а + Y)ris2 0l'
При Г1 = ф(72 + п2)1/2(а + 7)з1(4м)_1/2, «2 = Фп((72 + П2)м)_1/2 это — СР3'126> - < с а = —ав, и = —(а2 + п2)(72 + П2)(27(а + 7))_2 < —1/4. И далее делается перенумерация (2.7)1.
32) с2 =0 ^ =0 (V(а + 7) = 0). Тогда система (3.18) примет вид
27цар /0 27(й + 7)г1в2 -(72 + 72)«2 0\ 72 уо (й2+72)г? 0 0/
При «2 = Ф(а2 + п2)1/2(а + 7)з1(4м)_1/2, Г1 = фп((а2 + П2)м)_1/2 это — СК^2 -> - < с
а = ав и и из 32).
32) 61С2 = 0 ^ = 0. При Г1 = фп((а2 + п2)м)_1/_, «2 = ф((а2 + п2)м)1/2(^_)_1
система (3.18) —это СК^2 '> ' < с а = ав, и = )_1, V = —^2(а2 + п2)(72 +
n2)n_2(^33)_2 (4« < —(1 — и)2), так как по утверждению 3.2 №£К232 '> '< не сводится
< -(1 - u) к NSF84;5> ' < и NSF4!2^! ' <• □
Приведем линейные неособые замены, которые для CF из списка 3.1 позволят выделить канонические минимальные множества, введенные в определении 1.11 из [2].
Утверждение 3.3. Только для следующих CFm '2 '> из списка 3.1 удается огра-
m 2 >
ничить значения параметров в cs' '2 '>, а именно:
1) в CF4'2 '> нормировка (2.6)1 с ri, — s2 = 1 изменяет знак а; при u = u, |u| > 1 замена с r1, s2 = 0, s1 = 1, r2 = u-1 дает u = u-1;
2) в CFg '-1> перенумерация (2.7)1, а в CF^2— '> при u = 1 .замена с —ri, r2,s2 = 3-1/2, s1 = 2s2 изменяют знак а;
3) в CFg '-1> '> при а = а, U = u, |U| > 1 .замена с ri,S2 = 0, s1,r2 = |U|-1/2 дает а = —а sign U, u = U-1;
4) в CF^2 '> '> при а = а, U = u, |U| > 1, v = v замена с r1, S2 = 0, S1 = |v|3/2(Uv)-1, Г2 = |г>|-1/2 дает а = àsignv, u = U-1, v = U-25.
Следствие 3.1. Согласно определению 1.12 из [2] имеем acs4 '2 '> '> = {|u| > 1, а = —1}, acs4 '2 '>' = = {а = —1}, acs^ '-> '< = {а = —1}, 4 , 2 ,> , > ri I ^ п 4 ,2 ,> , > г 1 п 4 , 2 ,> , > ri I__-il
acs8 '-1 = {|u| > 1}, acs14 -1 = {а = —1 при u = 1}, acs23 = {|u| > 1}; для остальных канонических форм из списка 3.1 — mcsm '2 ' > ' * = csm '2 ' > ' *.
Дополнение. В работах А. П. Маркеева [4, 5] на основе линейных вещественных канонических преобразований осуществлена классификация невозмущенных автономных гамильтонианов третьего и четвертого порядков и выделены согласно нашей терминологии канонические формы таких гамильтонианов. Тем самым, для гамиль-тоновых систем получены все гамильтоновы нормальные формы второго и третьего порядков. Их интересно сравнить с нормальными формами второго порядка, впервые полученными К. С. Сибирским в [6] и позднее, на основе иных принципов выделения, В. В. Басовым с соавторами (см. в библиографии к работе [1] статьи [12, 13]), а также с нормальными формами третьего порядка, получаемыми в настоящем цикле. И в случае совпадения, а такие совпадения имеются, интересно сравнить структуры получаемых гамильтоновых и негамильтоновых обобщенных нормальных форм.
Отметим также, что в [5] отдельные канонические гамильтонианы третьего порядка были использованы в качестве невозмущенных для последующей нормализации гамильтоновых возмущений любого конечного порядка, после чего был получен ряд результатов по устойчивости или неустойчивости положения равновесия, определяемой условиями, накладываемыми на соответствующие члены нормальных форм.
Литература
1. Басов В. В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы—I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 3(61). Вып. 2. С. 181-195.
2. Басов В. В. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы—II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2016. Т. 3(61). Вып.3. С. 355-371.
3. Басов В. В., Чермных А. С. Канонические формы двумерных однородных кубических систем с квадратичным общим множителем // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2016. №3. С. 66-190. иИ.Ь: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/basovch.pdf (дата обращения: 03.03.17).
4. Маркеев А. П. Упрощение структуры форм третьей и четвертой степеней в разложении функции Гамильтона при помощи линейного преобразования // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. №4. С. 447-464.
5. Маркеев А. П. О преобразовании Биркгофа в случае полного вырождения квадратичной части функции Гамильтона // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. №2. С. 343-352.
6. Сибирский К. С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. Кишинев: «Штиинца», 1982. 168 с.
Статья поступила в редакцию 6 ноября 2016 г.; рекомендована в печать 22 декабря 2016 г. Сведения об авторах
Басов Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент;
[email protected] Чермных Александр Сергеевич — магистрант; [email protected]
TWO-DIMENSIONAL HOMOGENEOUS CUBIC SYSTEMS: CLASSIFICATION AND NORMAL FORMS — III
Vladimir V. Basov, Aleksander S. Chermnykh
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]
This article is the third in a series of works devoted to the two-dimensional cubic homogeneous systems. It is considered a case when a homogeneous polynomial vector in the right-hand part of the system has a square common factor with real zeros. The set of such systems is divided into classes of linear equivalence, in each of them on the basis of properly introduced structural and normalization principles the simplest system is distinguished — the normal form of the third order. In fact, the normal form is defined by the coefficient matrix of the right-hand part, which is called the canonical form (CF). Each CF has its own arrangement of nonzero elements, their specific normalization and canonical set of permissible values for the non-normalized elements, which guarantees CF's belonging to the selected class of equivalence. In addition, for each CF are given: a) the conditions on the coefficients of the initial system, b) non-singular linear substitution reducing the right-hand part of the system under these conditions to the selected CF, c) obtained values of CF's non-normalized elements. Refs 6.
Keywords: homogeneous cubic system, normal form, canonical form.
References
1. Basov V.V., "Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — I", Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 49(2), 99—110 (2016).
2. Basov V. V., "Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — II", Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 49(3), 204-218 (2016).
3. Basov V. V., Chermnykh A. S., "Canonical Forms of Two-dimensional Homogeneous Cubic Systems with a Common Square Factor", Differential Equations and Control Processes (3), 66-190 (2016). Available at: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/EN/numbers/2016.3/article.1.7.html (accessed 03.03.17) [in Russian].
4. Markeev A. P., "Simplifying the structure of the third and fourth degree forms in the expansion of the Hamiltonian with a linear transformation", Nonlinear Dynamics 10(4), 447-464 (2014) [in Russian].
5. Markeev A. P., "On the Birkhoff transformation in the case of complete degeneracy of the quadratic part of the Hamiltonian", Regular and Chaotic Dynamics 20(3), 309-316 (2015).
6. Sibirskii K. S., An introduction to the algebraic theory of invariants of differential equations (Izd. Shtiintsa, Kishinev, 1982, 168 p.) [in Russian].
Для цитирования: Басов В. В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — III // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 2. С. 179-192. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.201
For citation: Basov V. V., Chermnykh A. S. Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — III. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 2, pp. 179-192. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.201
