CC BY
5
% 1И..1..й1 г?
2022. Т. 41. С. 121—130
Онлайн-доступ к журналу: http://mathizv.isu.ru
Серия «Математика»
Научная статья
УДК 517.957, 517.958, 532.5.032 МЯО 76Б05, 45К05, 76Б45
Б01 https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.121
Двумерное термокапиллярное движение жидкости в открытом канале
Е. Н. Лемешкова1
1 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Российская Федерация
И elena cher@icm.krasn.ru
Аннотация. Изучается задача о двумерном термокапиллярном движении жидкости в плоском канале. Температура в жидкости распределена по квадратичному закону, что согласуется с полем скоростей типа Хименца. На дне канала температура зависит от времени, что позволяет управлять движением внутри слоя. В качестве математической модели взяты уравнения Обербека - Буссинеска. Возникающая начально-краевая задача является сильно нелинейной и обратной относительно градиента давления вдоль канала. Для её решения применен модифицированный метод Галёркина, где в качестве базисных функций выбраны полиномы Лежандра. Коэффициенты разложения есть функции времени, на которые была получена система нелинейных ОДУ. В результате применения метода Рунге - Кутта - Фельберга было найдено решение, которое с ростом времени стремится к решению стационарной задачи, если стабилизируется температура на дне канала.
Ключевые слова: свободная граница, термокапиллярность, обратная задача, уравнения Обербека - Буссинеска, метод Галеркина
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 2001-00234).
Ссылка для цитирования: Лемешкова Е. Н. Двумерное термокапиллярное движение жидкости в открытом канале // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 41. О. 121-130. https://doi.org/10.26516/1997-7670. 2022.41.121
Research article
Two-dimensional Thermocapillary Fluid Motion in an Open Channel
Elena N. Lemeshkova1
1 Institute of Computational Modelling SB RAS, Krasnoyarsk, Russian Federation K elena_cher@icm.krasn.ru
Abstract. The problem of two-dimensional thermocapillary fluid motion in a flat channel is studied. The temperature in the liquid is distributed according to the quadratic law, which is consistent with the velocity field of the Himentz type. At the bottom of the channel, the temperature depends on the time, which allows you to control the movement inside the layer. The Oberbeck-Boussinesq equations are taken as a mathematical model. The resulting initial - boundary value problem is highly nonlinear and inverse with respect to the pressure gradient along the channel. To solve it, a modified Galerkin method was used, where Legendre polynomials were chosen as the basis functions. The expansion coefficients are functions of time for which a system of nonlinear ODES was obtained. As a result of the application of the Runge-Kutta-Felberg method, a solution was found that, with increasing time, tends to solve a stationary problem if the temperature at the bottom of the channel stabilizes.
Keywords: free boundary, thermocapillarity, inverse problem, Oberbeck-Boussinesq equations, Galerkin method
Acknowledgements: The study was financially supported by the Russian Foundation for Basic Research (Project No. 20-01-00234 ).
For citation: LemeshkovaE. N. Two-dimensional Thermocapillary Fluid Motion in an Open Channel. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2022, vol. 41, pp. 121-130. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.121
1. Введение
В настоящее время появились новые приложения, вызванные необходимостью предсказывать динамику движения жидких сред с поверхностями раздела, в частности, со свободной границей, при пониженной гравитации: рост кристаллов, сварка, пленочные течение и т. д. При этом существенное влияние оказывает зависимость поверхностного натяжения от температуры [11; 13]. Этот важный фактор вызывает многообразие динамики межфазной поверхности при наличии в системе неоднородного поля температур.
В статьях [4; 6] изучена стационарная задача о термокапиллярной конвекции невесомой жидкости со свободной поверхностью и подогреваемым дном в случае квадратичной зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В результате разделения переменных была получена нелинейная двухточечная краевая задача, описы-
вающая движение жидкости в слое, где постоянная продольный градиент давления играет роль собственного значения, а числа Прандт-ля и Марангони — параметры. Установлена неединственность решения этой задачи. В случае полупространства подобная задача исследована в [7], только, в отличие от [4; 6], на свободной границе поддерживается линейное распределение температуры.
Отметим, что в большинстве задач, связанных с эффектом Марагно-ни, среда предполагается ньютоновской. В работе [2] исследована задача для пограничного слоя нелинейной обобщенно-ньютоновской вязкой жидкости. Установлена теорема единственности решения. Обобщение теоремы существования и единственности классического решения системы уравнений температурного пограничного слоя для плоскопараллельного течения жидкости в вязкой неньютоновской среде приведено
в [3].
Данная работа посвящена исследованию решений начально-краевой задачи, которая возникает при описании двумерного течения вязкой теплопроводной жидкости, находящейся в открытом плоском канале. Температура в слое распределена по квадратичному закону, а коэффициент поверхностного натяжения, в отличие от [4; 6; 7], линейно зависит от температуры. Стационарная задача в такой постановке изучена в работе [10]. Возникающая начально-краевая задача является сильно нелинейной и обратной относительно градиента давления вдоль канала. Для решения нестационарной задачи применяется тау-метод, где в качестве базисных функций выбраны полиномы Лежандра. Коэффициенты разложения есть функции времени, на которые была получена система нелинейных ОДУ. В результате применения метода Рунге - Кутта было найдено решение, которое с ростом времени стремится к решению стационарной задачи, найденному в работе [10], если с ростом времени стабилизируется температура на дне канала. Приведены результаты расчётов, показывающие различные способы управления движением внутри канала с помощью задания температуры на нижней твёрдой стенке.
2. Постановка задачи
Рассматривается плоское движение вязкой теплопроводной жидкости с нижней твёрдой стенкой у = 0 и верхней свободной границей у = I = const > 0 в отсутствии массовых сил. Поле скорости и температуры системы уравнений вязкой теплопроводной жидкости в слое будем искать в виде
Ui(x,y,t)= w(y,t)x, U2(x,y,t)= v(y,t), ( )
9{x,y,t) = a(y,t)x2 + b(y,t).
Такое представление поля скоростей соответствует известному решению Хименца [8]. Подстановка (2.1) в уравнения движения и переноса
-р = d(y,t) - f—, dy = Wyy - vt - Wy, (2.3)
тепла и их анализ на совместность приводит к следующим следствиям: функции w(y), v(y), а(у) и Ь(у) есть решения нелинейной системы уравнений
Wt + VWy + W2 = VWyy + f, w + vy = 0,
at + 2wa + vay = xayy, (2.2)
bt + vby = xbyy + 2xa, где p > 0,v > 0,x > 0 — постоянные плотность, кинематическая вязкость и температуропроводность жидкости, f — произвольная функция времени. Давление в жидкости распределено по закону
jр = d(y,t) -
так что функция f характеризует градиент давления вдоль оси х.
Будем считать, что на твёрдой стенке у = 0 (подложке) задано распределение температуры в(х, 0,t) = a\(t)x2 + b\(t). Следовательно, температурное поле имеет в точке х = 0 экстремум: при a\(t) < 0 — максимум, а при a\(t) > 0 — минимум. Таким образом, на твёрдой стенке для искомых функций заданы условия
w(0,t)= v(0,t) = 0, a(0,t) = ai(t), b(0,t) = bi(t). (2.4)
с известными функциями a\(t),b\(t).
На свободной границе у = I выполнены условия
v(l, t) = 0, Wy (I, t) = -2жр-1а(1, t) (2.5)
kay (l,t) + 7a(l,t) = 0, kby (l,t)+ -)b(l,t) = 0. (2.6)
Условия (2.5) есть следствия кинематического и динамического условий, соответственно. В условиях (2.6), которые следуют из условия теплового контакта [1], к > 0 — коэффициент теплопроводности, j = const ^ 0 — коэффициент межфазного теплообмена. При выводе условий (2.5) было учтено, что коэффициент поверхностного натяжения а линейно зависит от температуры: а(в) = а0 — ж(в — в0), а0, ж,в° = const > 0. Из условия для нормальных напряжений получается, что свободная поверхность остаётся плоской. Данное предположение может выполняться, например, при действии достаточно большого капиллярного давления (величина а0 достаточно велика) [11].
Для полной постановки задачи необходимо добавить начальные условия
w(y, 0) = W0(y),v(y, 0) = V0(y),a(y, 0) = a0(y),b(y, 0) = b0(y). (2.7)
Замечание 1. Поставленная задача является обратной, поскольку наряду с функциями w, v, a, b градиент давления вдоль слоя f также неизвестен. Само давление по известным v и f определяется по формуле (2.3).
ДВУМЕРНОЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ... 125 3. Численные результаты
Учитывая, что из второго уравнения (2.2)
у
у(у^) = — ! 'ш(г^) йх (3.1)
выпишем полностью полученную нелинейную начально-краевую задачу (2.2), (2.4)-(2.7) в безразмерном виде для функций ■ш(у^), а(у,1) и / (^
) = — РгЖк + ^ ^^ 2 + ^ = 0,0 = у/1 < 1,
0 (3.2)
Ь2(Ш,А) = Аг — + А^ ^ Ш — 2AW = 0, 0 <{< 1, (3.3)
ж (С, 0) = А(£, 0)= Ао(0, (3.4)
№ (0,Ь) = 0, А(0,г) = Аг(г), ^ (1,Ь) = —2МА(1,Ь), (3.5)
1
А^(1,ь)+ Б[А(1,Ь) = 0, ^(г, г) йг = 0, (3.6)
0
где Рг = у/х — число Прандтля, М = жа13/х^ — число Марангони, Б1 = 71/к — число Био. В (3.2)-(3.6) в качестве характерных масштабов дли-
I2 у у2
ны, времени и функций -ш, а и / взяты величины I, —, , а, , соответственно, а = тах(й1(£)). Интегральное условие в (3.6) получено
из первого условия (2.5) с учётом (3.1) и является дополнительным для определения Р.
Приближённое решение задачи (3.2)-(3.6) будем искать в виде сумм [5]
п п
= £№к(0, МЫ) = ЕАк(№(О, (3.7) к=1 к=0
где Кк(£) — смещённые полиномы Лежандра. Из интегрального условия (3.6), учитывая ортогональность полиномов Лежандра на отрезке [0,1] с весом 1 [12], следует, что Ш0(1) = 0. Неизвестные коэффициенты Шк (£), Ак (I) и градиент давления Р(£) находятся из системы галёркинских приближений (т = 0, ...,п — 2)
1 1 I Ь1(Шп, Р)Кш(0 = 0, I Ь2(Шп, Ап)Пт(0 = 0, (3.8)
и преобразованных граничных условий (3.5), (3.6)
п п
£ (-1)кWк(I) = 0, £ (-1)кАк(I) = А!(I),
к=0 к=0
№ № № ^
£ Wк№'к(1) = —2М £ Ак(I), £ Ак(1)В!к(1) + Б! £ Ак(I) = 0.
к=0 к=0 к=0 к=0
(3.9)
В частности, неизвестный градиент давления Р(¿) определяется по из-
1
вестной Шп из уравнения / Ь1(Шп, Р)Ло(£) ^ = 0, а неизвестные ко-
0
эффициенты с номерами п, п — 1, используя граничные условия (3.9), исключаем из уравнений (3.8). Таким образом, уравнения (3.8) образуют замкнутую систему нелинейных ОДУ на коэффициенты Шк(£), Ак(¿), к = 0, ...,п — 2 и градиент давления Р(¿). Для её решения был применен метод Рунге - Кутта - Фельберга.
На рис. 1 построены профили безразмерных градиента давления Р(Ь) (рис. 1, а) и вертикальной скорости V(рис. 1, б) для случая, когда Рг = 0.2, Б1 = 2, М = 10, п = 10, А1(г) = 1 — е-0М ът(Ы). При этом разность значений полученных при £ = 1000, п = 10 и 11 для Р(Ь) составляет порядка 10-11. Видно, что с ростом времени решение выходит на стационарный режим, причем градиент давления стремится к стационарному значению Ря = 4.5359. Здесь и далее верхний индекс 'в' означает стационарное решение. Отметим, что в работе [8] при таких значений безразмерных параметров и А5(0) = 1 было найдено три различных решения стационарной задачи. На рис. 2 построены профили безразмерных градиента давления Р(Ь) (рис. 2, а) и вертикальной скорости V(рис. 2, б) для случая, когда М = —10, = 1 — 2е-ом 8т(5£). Здесь также наблюдается сходимость к стационарному режиму, причем градиент давления стремится к одному из трех стационарных значений Р3 = —1.3368, найденных в работе [8]. На рис. 2 видно при £ = 1 и £ = 2 градиент давления имеет разный знак, при этом направление движения жидкости вдоль свободной границы также меняется: при £ = 1 вдоль свободной границы формируется возвратное течение, т. е. жидкость движется в противоположном направлении оси у. Все численные расчёты проводились для случая, когда продольный градиент температуры на нижней твёрдой стенке распределён по закону А1(1) = 71 + ^2е-1зЬ з'т^^), где коэффициенты 72, отвечают за амплитуду и частоту колебаний соответственно. Установлено, что, если Ав (0) = 71 = 0 и > 0, то будет наблюдаться сходимость решения к стационарному режиму (рис. 1, 2), а при ^ 0 предел функции А1(Ь) при £ ^ те не существует и решение не стремится к стационарному (рис. 3). Следовательно, задавая различный вид градиента температуры на нижней твердой стенке, мы можем управлять движением жидкости в слое.
Рис. 1. Профили безразмерных градиента давления Р(а) и вертикальной скорости V(£,£) (б) при М = 10 и А]_(£) = 1 — е-0'64 sin(5í); стационарное
решение (—)
Рис. 2. Профили безразмерных градиента давления Р(£) (а) и вертикальной скорости V(£,£) (б) при М = —10 и Ах(€) = 1 — 2е-0'6г sm(5í); стационарное
решение (—)
В случае теплоизолированной свободной границы (Б1 = 0) решение нестационарной задачи стремится к единственному решению стационарной задачи Ря = 3.97. На рис. 4 изображен случай, когда А1(1) = 2е-0М 8т(5£). Здесь решение с ростом времени выходит на единственное стационарное решение — покой.
Рис. 3. Профили безразмерных градиента давления Р(а) и вертикальной скорости V(£,£) (б) при М = 10, А1(£) = вт(£); стационарное решение (—)
Рис. 4. Профили безразмерных градиента давления Р(£) (а) и вертикальной скорости V(£,£) (б) при М = 10, Б1 = 0 и Аг(Ь) = е-0'5 вт(5£)
4. Заключение
Изучена начально-краевая задача о двумерном движении жидкости в плоском канале, на дне которого поддерживается заданное распределение температуры, а верхняя стенка — свободная граница. Численно установлено, что если продольный градиент температуры со временем стабилизируется, то решение нестационарной задачи выходит на стационарный режим. Приведены результаты расчётов, показывающие различные способы управления движением внутри канала с помощью задания температуры на нижней твёрдой стенке.
1
2
3
4.
5.
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
Список источников
Андреев В. К., Захватаев В. Е., Рябицкий Е. А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск : Наука, 2000. 279 с.
Кисатов М. А. Система уравнений пограничного слоя Марангони в среде с реологическим законом О. А. Ладыженской // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021. Т. 498. С. 41-44. https://doi.org/l0.31857/S2686954321030097
Кисатов М. А., Самохин В. Н., Чечкин Г. А. О температурном пограничном слое в вязкой неньютоновской среде // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 502. С. 28-33. https://doi.org/10.31857/S2686954322010076
Bobkov N. N., Gupalo Yu. P. The flow pattern in a liquid layer and the spectrum of the boundary-value problem when the surface tension depends non-linearly on the temperature // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1996. Vol. 60, N 6. P. 999-1005. https://doi.org/10.1016/S0021-8928(96)00122-0 Fletcher C. A. J. Computational Galerkin methods. Berlin ; Heidelberg ; New York : Tokyo Springer-Verlag, 1984. 302 p.
Gupalo Y. P., Ryazantsev Y. S. Thermocapillary motion of a liquid with a free surface with nonlinear dependence of the surface tension on the temperature // Fluid Dynamics. 1988. Vol. 23. P. 752-757. https://doi.org/10.1007/BF02614155 Gupalo Y. P., Ryazantsev Y. S., Skvortsova A. V. Effect of thermocapillary forces on free-surface fluid motion // Fluid Dynamics. 1989. Vol. 24. P. 657-661. https://doi.org/10.1007/BF01051714
Hiemenz K. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder // Dinglers Poliytech J. 1911. Vol. 326. P. 321-440.
Legros J. C., Limbourg-Fontaine M. C., Petre G. Influence of a surface tension minimum as a function of temperature on the marangoni convection // Acta Astronautica. 1984. Vol. 11. P. 143-147. https://doi.org/10.1016/0094-5765(84)90005-5
Lemeshkova E. N. Two-Dimensional Plane Steady-State Thermocapillary Flow // Fluid Dynamics. 2019. Vol. 54. P. 33-41. https://doi.org/10.1134/S0015462819010087
Naranyan R., Schwabe D. Interfacial fluid Dynamics and Transport Processes. Springer, 2003. 372 p.
Sege G. Orthogonal Polynomials American Mathematical Society Providence. Rhode Island, 1939. 440 p.
Zeytounian R. Kh. The Benard-Marangoni thermocapillary-instability problem // Physics-Uspekhi. 1998. Vol. 41, N 3. P. 241-267. http://dx.doi.org/10.1070/PU1998v041n03ABEH000374
References
Andreev V.K., Ryabitskiy E.A., Zachvataev. V.E. Thermocapillary instability. Novosibirsk, Nauka Publ., 2000, 279 p. (in Russian)
Kisatov M.A. System of equations for the Marangoni boundary layer in media with rheological law og O.A. Ladyzhenskaya. Doklady Mathematics, 2021, vol. 103, no. 3, pp. 130-132. https://doi.org/10.1134/S1064562421030091
3. Kisatov M.A., Samokhin V.N., Chechkin G.A. On thermal Boundary layer in a viscous non-newtonian medium. Doklady Mathematics, 2022, vol. 105, pp. 23-27. https://doi.org/10.1134/S1064562422010070
4. Bobkov N.N., Gupalo Yu.P. The flow pattern in a liquid layer and the spectrum of the boundary-value problem when the surface tension depends non-linearly on the temperature. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1996, vol. 60, no. 6, pp. 999-1005. https://doi.org/10.1016/S0021-8928(96)00122-0
5. Fletcher C.A.J. Computational Galerkin methods. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984, 302 p.
6. Gupalo Y.P., Ryazantsev Y.S. Thermocapillary motion of a liquid with a free surface with nonlinear dependence of the surface tension on the temperature. Fluid Dynamics, 1988, vol. 23, pp. 752-757. https://doi.org/10.1007/BF02614155
7. Gupalo Y.P., Ryazantsev Y.S., Skvortsova A.V. Effect of thermocapillary forces on free-surface fluid motion. Fluid Dynamics, 1989, vol. 24, pp. 657-661. https://doi.org/10.1007/BF01051714
8. Hiemenz K. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Dinglers Poliytech J, 1911, vol. 326, pp. 321440.
9. Legros J.C., Limbourg-Fontaine M.C., Petre G. Influence of a surface tension minimum as a function of temperature on the marangoni convection. Acta Astronautica, 1984, vol. 11, pp. 143-147. https://doi.org/10.1016/0094-5765(84)90005-5
10. Lemeshkova E.N. Two-Dimensional Plane Steady-State Thermocapillary Flow. Fluid Dynamics, 2019, vol. 54, pp. 33-41. https://doi.org/10.1134/S0015462819010087
11. Naranyan R., Schwabe D. Interfacial fluid Dynamics and Transport Processes. Springer, 2003, 372 p.
12. Sege G. Orthogonal Polynomials American Mathematical Society Providence. Rhode Island, 1939, 440 p.
13. Zeytounian R.Kh. The Benard-Marangoni thermocapillary-instability problem. Physics-Uspekhi, 1998, vol. 41, no. 3, pp. 241-267. http://dx.doi.org/10.1070/PU1998v041n03ABEH000374
Об авторах
Лемешкова Елена Николаевна,
канд. физ.-мат. наук, науч. сотр., Институт вычислительного моделирования СО РАН, Российская Федерация, 630036, г. Красноярск, elena_cher@icm.krasn.ru, https://orcid.org/0000-0002-9059-2876
About the authors Elena N. Lemeshkova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Researcher, Institute of Computational Modelling SB RAS, Krasnoyarsk, 630036, Russian Federation, elena_cher@icm.krasn.ru, https://orcid.org/0000-0002-9059-2876
Поступила в 'редакцию / Received 18.03.2022 Поступила после рецензирования / Revised 13.05.2022 Принята к публикации / Accepted 20.05.2022
