Научная статья на тему 'Слоистая конвекция Марангони при учете теплообмена по закону Ньютона-Рихмана. Сообщение 1. Исследование поля скоростей'

Слоистая конвекция Марангони при учете теплообмена по закону Ньютона-Рихмана. Сообщение 1. Исследование поля скоростей Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
12
2
Поделиться
Область наук
Ключевые слова
КОНВЕКЦИЯ МАРАНГОНИ / УРАВНЕНИЯ ОБЕРБЕКА-БУССИНЕСКА / ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ / СДВИГОВОЕ ТЕЧЕНИЕ / СЛОИСТОЕ ТЕЧЕНИЕ / ПРОТИВОТЕЧЕНИЕ / ЗАСТОЙНАЯ ТОЧКА / MARANGONI CONVECTION / OBERBECK-BOUSSINESQ EQUATION / EXACT SOLUTION / SHEAR FLOW / LAMINAR FLOW / COUNTERFLOW / STAGNANT POINT

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Алексенко Е.А., Горшков А.В., Просвиряков Е.Ю.

Рассмотрено слоистое конвективное движение несжимаемой диссипативной жидкости в бесконечной полосе в рамках модели Обербека-Буссинеска для стационарной задачи. На твердой поверхности имеют место условие прилипания и условие идеального теплового контакта (равенство температур). На свободной границе с внешней средой задан теплообмен по закону Ньютона-Рихмана и термокапиллярный эффект, который связан с температурной зависимостью поверхностного натяжения. Исследована структура распределения гидродинамических полей. Показано, что существование более двух застойных точек у компонент скорости невозможно.

LAYERED MARANGONI CONVECTION DURING HEAT TRANSFER ACCORDING TO THE NEWTON’S LAW OF COOLING. PART 1. INVESTIGATION OF THE VELOCITY FIELD

The shearing steady convective motion of a viscous incompressible fluid in an infinite horizontal layer is studied in this paper. The flow of the fluid is due to the thermocapillary effect, heat exchange according to the Newton-Rikhman law, and a thermal source at the boundaries of the fluid layer. The effect of the thermocapillary effect is due to the inclusion of tangential capillary forces on the upper (free) boundary. Heat transfer according to the Newton-Richman law is carried out at the upper boundary. The horizontal temperature gradients are given at the lower boundary. The pressure is set at the upper limit. For the Oberbeck-Boussinesq system, a new exact solution has been found. The boundary problem describing the complex convection of Marangoni is overdetermined. The system of Oberbeck-Boussinesq equations consists of five equations for determining two velocities, pressure and temperature. For the Oberbeck-Boussinesq system, a new exact solution has been found. The velocity field depends only on the vertical (transverse) coordinate. The pressure and temperature fields are linear forms with respect to horizontal (longitudinal) coordinates. The coefficients of linear forms depend on the vertical coordinate. This exact solution identically satisfies the equation of incompressibility. This allows us to solve the initial boundary value problem. To determine the unknown functions that determine the velocity field, the temperature field and the pressure field, a system of ordinary differential equations is obtained. This system of differential equations is integrated. An exact polynomial solution of this system is obtained. The procedure for reducing the exact solution to the dimensionless form is described in the paper. Two characteristic scales for coordinates have been introduced, which allows to describe large-scale flows of a viscous incompressible fluid (fluid flow in a thin layer). The velocity field in this paper is studied in detail. To study the polynomial exact solution for velocities, the Routh-Hurwitz theorem is used. It is shown at what number of similarities in the fluid there is a counterflow in the case of large-scale fluid motion. Thus, there are stagnant points in the liquid layer. The existence of stagnant points leads to the vanishing of the kinetic energy. The kinetic energy can take one zero value or be zero at two points. The nonmonotonic distribution of the kinetic energy over the layer thickness is due to the consideration of several factors that cause convective fluid motion. Examples of localized viscous incompressible fluid flows are given. Such examples demonstrate the possibility of a local description of spiral fluid flows. In addition, for classical liquids, the thickness of the layer is determined, at which the tangential stresses at the lower boundary are zero. For anomalous fluids in which the surface tension coefficient is negative, shear stresses cannot take zero values.

Текст научной работы на тему «Слоистая конвекция Марангони при учете теплообмена по закону Ньютона-Рихмана. Сообщение 1. Исследование поля скоростей»

УДК 523.51+517.958

СЛОИСТАЯ КОНВЕКЦИЯ МАРАНГОНИ ПРИ УЧЕТЕ ТЕПЛООБМЕНА ПО ЗАКОНУ НЬЮТОНА-РИХМАНА. СООБЩЕНИЕ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ

1,2алексенко е. а., 1,2горшков а. в., 1,2просвиряков е. ю.

1 Институт машиноведения УрО РАН, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34

2 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

АННОТАЦИЯ. Рассмотрено слоистое конвективное движение несжимаемой диссипативной жидкости в бесконечной полосе в рамках модели Обербека-Буссинеска для стационарной задачи. На твердой поверхности имеют место условие прилипания и условие идеального теплового контакта (равенство температур). На свободной границе с внешней средой задан теплообмен по закону Ньютона-Рихмана и термокапиллярный эффект, который связан с температурной зависимостью поверхностного натяжения. Исследована структура распределения гидродинамических полей. Показано, что существование более двух застойных точек у компонент скорости невозможно.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: конвекция Марангони, уравнения Обербека-Буссинеска, точное решение, сдвиговое течение, слоистое течение, противотечение, застойная точка.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных вопросов механики сплошной среды является изучение конвективных движений жидкости, потому что в большинстве случаев необходимо учитывать влияние температуры на структуру гидродинамических полей. Существует два вида конвекции: вынужденная (перемещение вещества обусловлено действием внешних сил) и естественная. При естественной конвекции нижние слои вещества нагреваются, становятся легче и всплывают, а верхние слои, наоборот, остывают, становятся тяжелее и опускаются вниз, после чего процесс повторяется снова и снова, при этом все границы жидкости неподвижны (напряжения жидкости на границах слоя не совершают механической работы). В конце 19-го столетия Бенар [1, 2] вел наблюдение за этим явлением. Были и попытки качественного описания естественной конвекции, которая возникает в веществе самопроизвольно при его неравномерном нагревании в поле тяготения. А развитие её количественных моделей началось несколько позже. Используя инженерно-технический подход, благодаря многократным экспериментам и обобщению результатов старались ответить на вопрос, какое количество тепла может быть перенесено конвективным процессом. Но недостатком такого подхода является то, что не рассматриваются стратификация температуры и детали гидродинамической стороны явления. Поэтому наряду с инженерно-техническими методами развивался физико-математический подход, в котором используются не только экспериментальные методы, но и применяется строгий математический аппарат, позволяющий изучить распределение температуры и характер движения частиц в жидкости. После экспериментальных и теоретических исследований естественной конвекции её выделили как самостоятельный раздел механики жидкости. Механизмы естественной конвекции определяют различные процессы, имеющие прикладную ценность и познавательную значимость.

К изучению свободной конвекции с точки зрения точных решений уравнений движения впервые подошел Остроумов в своей монографии [3], при написании которой он старался восполнить существенный пробел в научных представлениях о тепловых процессах в жидкости. Он понимал трудности, возникающие при математической трактовке вопроса, его стремлением было не ограничиваться только механической стороной явления, но и дать четкое освещение тепловой его стороны. Остроумов описал движение жидкости при гравитационной тепловой конвекции в вертикальном канале круглого сечения. В работе [4] Бирихом было найдено точное решение уравнений свободной конвекции при наличии

зависимости поверхностного натяжения от температуры (эффекта Марангони [5]) для плоского горизонтального слоя жидкости с постоянным градиентом температуры на границах слоя, капиллярная конвекция рассматривалась ранее Левичем [6]. Явление естественной конвекции для диссипативной несжимаемой жидкости в поле тяготения можно изучать в рамках модели Обербека-Буссинеска [18, 19], которая включает: уравнение Навье-Стокса, уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости, выражающее закон сохранения массы. Система Обербека-Буссинеска является приближением, но достаточно хорошо отражает существенные особенности тепловой конвекции. В данной работе исследуем течение несжимаемой диссипативной жидкости в бесконечной полосе в условиях нормальной гравитации. Будет использовано точное решение Сидорова-Аристова [7, 8, 10 - 12], при граничных условиях: снизу жидкость ограничена твердой плоскостью, а сверху верхняя граница жидкости свободна и коэффициент поверхностного натяжения жидкости зависит от температуры. Также будет рассмотрен вопрос о существовании застойных (критических) точек гидродинамических полей для данных граничных условий, которые и определяют физический смысл задачи. Следует ожидать наличие таких точек, где какая-либо из компонент вектора скорости равна нулю, так как мы имеем дело с взаимодействием вихрей; и при переносе количества движения поля скоростей термокапиллярного течения вязкой жидкости будут наблюдаться противотечения, то есть эффект расслоения скорости на положительные и отрицательные участки. Вопрос о смене направления скорости при изучении явления тепловой свободной конвекции исследовался в работах [20].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматриваются уравнения тепловой конвекции вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, в приближении Обербека-Буссинеска для стационарной задачи:

(V, у)у = -УР + УАУ + gbT, V -УГ = хАГ, У- V = 0. (1)

В (1) введены обозначения У = (Ух, Уу, Ух) - вектор скорости; Р - давление, деленное на постоянную среднюю плотность р жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости; g - ускорение свободного падения; Ь - температурный коэффициент объемного расширения жидкости; Г - отклонение температуры от равновесного значения; С - коэффициент температуропроводности жидкости; У и А - дифференциальные операторы Гамильтона и Лапласа соответственно [9]. Все функции, входящие в общую систему, описывающую стационарную конвекцию в несжимаемой жидкости в приближении Обербека-Буссинеска (1), являются непрерывно дифференцируемыми по всем переменным до второго порядка включительно.

Рассматривается течение неоднородно нагретой жидкости между двумя плоскими поверхностями, параллельными плоскости Оху, ось Ох направлена вверх. На твердой поверхности имеют место условия прилипания и идеального теплового контакта (равенство температур). А на свободной границе с внешней средой рассмотрим теплообмен по закону Ньютона-Рихмана и термокапиллярный эффект [5], который связан с температурной зависимостью поверхностного натяжения. Запишем систему Обербека-Буссинеска (1), описывающую крупномасштабные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости, в проекциях на оси инерциальной декартовой прямоугольной системы координат для стационарной задачи:

С Э 2У Э2У Э У ^

У

ЭУ •+У ЭУ + У ЭУ ЭР

=--+п

Эх у Эу Эх Эх

эуу ЭУ ЭУу ЭР

у + Уу у + У у =--+ п

Эх у Эу Эх Эу

Эх2 Эу2 Эх2

ч ^ У

иу иу иу ЭР С Э2Т/ Э2

у

ЭУ Э 2у Э2у,

—У + —у + —у

. Эх2 Эу2 Эх2 ,

\ ^ У

d¥z Jr d¥z Jr d¥z Vx—^ + V—^ + Vz—z-Эx Эу dz

ЭТ „ ЭТ

-+v

v Эх2

f Э2

V—+V—+Vz —= %

ж

Э^ f Э 2V Э2к Э2^ ^ Эz

ЭТ

Эу2 Эz

+gbT,

Эх y Эу z Эz

Э2Т Э2Т Э2Т

2

+-

dVx dVy x-+—-+-

Эх2 Эу2 Эz2

0.

Эх Эу dz

Подобная задача для нестационарного случая рассмотрена в статье [21]. Решение будем искать в виде полиномов, линейных по части координат, которые были получены в работах [7, 8, 10 - 12]:

Vx = U (z), V- = V (z), Vz = 0, P = Po (z) + P (z) x + P2 (z)у, T = To (z) + T (z) x + T2 (z)y. (3)

Обобщением для данных решений является класс точных решений, предложенный впервые Ц. Ц. Линем (C. C. Line) в своей статье [17] для задач магнитной гидродинамики.

Скорости одномерны по координатам, зависят только от вертикальной координаты z, так как рассматривается однородное слоистое (сдвигое) движение неизотермической жидкости. А температура и давление имеют три измерения, по двум из которых линейны. Точные решения (3) описывают конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии вертикальной компоненты завихренности Wz.

Сформулируем граничные условия для задачи (2), учитывая, что решение находим в виде (3). На нижней (твердой) z = 0 границе выполняются условия:

U = V = 0, T0 = 0, T = A, T2 = B. (4)

Для верхней (свободной) z = h границы справедливы соотношения

P0 = 0, P = 0, P2 = 0, f = -1(С -T0 ), f -l(D -% ),

= -a( E - T2), dz 1V 2;'

dU „ dV Л-= -sT1, h— = ■

dz dz

-0T2.

(5)

Здесь а, 1, ^, б - коэффициенты теплообмена, теплопроводности, динамической вязкости, температурный коэффициент поверхностного натяжения жидкости соответственно. На свободной границе давление, отнесенное к постоянной средней плотности, в качестве отсчетного значения примем нуль. Выражение температуры (4) означает, что на нижней недеформируемой поверхности задано тепловое возмущение

ТС1 = Ах + Ву,

а (5) - распределение температуры внешней среды на свободной недеформируемой границе

ТС 2 = С + Вх + Еу.

Подставив выражения (3) в систему (2), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, у получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

d %

= 0,

dP

d1=gbT1,

dz

d % dz2 dP

= 0,

v

d 2U

dz2

P, v

dz

d 2V

gbT2.

dz2

P

f=gT

dz

С

d %

dz

20 = ut+VT2.

(6)

ТОЧНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ

Проинтегрировав систему (6), получаем общее решение с произвольными постоянными интегрирования:

Т = С12 + C2,

Т2 = С3 г + ^

Р = gP

С х2 ^

С--+ Сх

1 2 2 ч ^ У

+С5, Р2 = gp

Л

С х2

С3— + С4х

ч 2 У

+ С

4

и = ^

V

3

х х С—+С2 —

ч 124 2 6 У

С х

2

+—— + С7 х + С8, V 2 7 8

4

У

V

3

Сз — + С4 — ч 3 24 4 6 У

С 2 +—6—+Сл + С,

V 2

Т = 1 10

С

1008v

(С1 + С32) х7 +

144v

(ОД + СзС4 ) х6 +

1 ^у(С2 + С4 ) + СС5 + СзС6 ]

^ ч 3

I 5 , 1 С СпС^ + СлС,

\х +-,

12 ч 2v

5 ■ 1 + С1С7 + С3С9 | х^ +

+-1 — (С22 + С42) +

^ ^ . 3 . . ч 2

г

+ т(С1С8 + С2С7 + С3С10 + С4С9 ) х3 + "( С2С8 + С4С10 ) х " + С11х + С12

Р = М 1 0

С

8064v

+ С2) х8 + (С1С2 + С3С4) х7 +

(С12 + Сз)

1008v

+-

1 (у С2+С42)+С1С5+С3С6 ]

I 6 , 1 С СпС^ + СлС,

\х +-,

60 ч 2v

6' 1 2 5 4 6 + С1С7 + С3С9 I х5 +

(7)

240v ч 3

+ (С1С8 + С2С7 + С3С10 + С4С9) х4 +1 (С2С8 + С4С10) х3 +1 24 6 2

Используя граничные условия (4) - (5), находим постоянные интегрирования, подставляем их в уравнения (7) и получаем решения для заданных граничных условий, которые представим в безразмерной форме. Используем следующие величины: И и / - характерные геометрические масштабы по вертикали и горизонтали соответственно;

А/, ^р/

2 Agр/3

V

- параметры нормировки температуры, давления, скорости.

Частное точное решение краевой задачи (4) - (6) в безразмерной форме имеет вид:

Ш5(1 - ё) Ш8( Ь - е)

Т =-;—--^ 2 +1, Т2 =-—^-7 + Ь,

1 (1 - №8) 2 (1 - Ш8)

№82 (1 - ё), 2 ^ . Ш82 (Ь - е), 2 ч

Р =-—^-2 -1) + 8(7-1), Р2 = -Мг2 -1) + Ь8(7-1),

1 2 (1 - Ш8) 1 ; 1 ; 2 2 (1 - Ш8) V ^ V ^

и = г

Ш(1 -ё)84, 3 ч 8% 2 ч

—^—Ц-( г3 - 6г+8)+—(г2 - 3г+3)--

24 (1 - ' 6К ' Яа

у = г

№( Ь -е )84 (г> - +8)+(г ■ - 3г+3)-М«8.

24 (1 - ' 6К ' Яа

Мв8 С ^8(1 - ё) + ^ \ (1 - Ш8) +

С Ш8( Ь - е)

(1 - Ш8)

-+

Ь)

Т0 = г

!87 ((1 - ё )2 +(Ь - е )2)

4 (1 - Ш8)2

252

.г6-±г4+!г3 181

20

630

+

+

ЯаКи86 (1 - ё+Ь (Ь - е)) С 1

2 (1 - №8)

72

г5 — г4 +—г3 +-г2 -

20

24

20

+

1

9

9

9

+

Яа85 (1 + Ъ2) ( 1 , 1 1 7

V ) 1 гу4 1 гу3 . 1 72 '

_24 7з + ±22 __ | _

30

\2

10

МвКи255 ((1 _а)2 + (Ъ_!)2) (23 _ Мв53 (1 + Ь2) ^22 _2 |_

12 (1 _ ЫиЪ)2 М§№84 (1 _ й + Ъ (Ъ _ е)) ^ 1

ЯаКи

Р =

+

6 (1 _ ЫиЪ) 88 ((1 _й)2 +(Ъ_е)2) 12 (1 _ №8)2 ЯаШ87 (1 _й + Ъ (Ъ _е)) ( 1

1

23 + 22 _

1

-28 __!-26

672 40

3 У 2

13л Ш8с

2 у 1 _ Ш8

1 7>_1817'

15 420

1303 3360

+

4 (1 _ Ш8)

27 _±26 + — 25 + — 24 _—22 + — I +

252 60 60 18 20 105 )

Яа86 (1 + Ъ2) ( 1 1 1 7 531

+-^-1 —26 _—25 +124 _ — 22 + 53 I _

8 У 90 15 6 10 90) МКи286 ((1 _й)2 + (Ъ _ е)2) ^25 _ 5 22 + 23! _ Мв84 (1 + Ъ2) П ^4 _ ^2 + ^ ' 12 (1 _ Ш8)2 15 2 +10) 3 [ 8 + 8,

_ М§Ки85 (1 _й + Ъ (Ъ _е)) ^ +1 _ 13 + 58| _ Ш82с

12 (1 _ Ыи8)

5 2 2 10) 2 (1 _ Ш8)

2 .

(8)

Здесь X = Х, У = —, 2 = — - безразмерные координаты; Мб = --число

- - к ЛХ

Марангони [5]; № =— - число Нуссельта; Яа = яЬА-

1 ПХ

число Рэлея; Ъ = В, й = В, АА

Е

е =--отношение

А

горизонтальных

градиентов температуры соответственно;

Ск

с =--отношение температур; 8 =--отношение геометрических масштабов.

А- -

АНАЛИЗ ТЕЧЕНИЯ ПРИ РАВЕНСТВЕ ГРАДИЕНТОВ

Рассмотрим частный случай, когда градиенты температуры на верхней и нижней границах совпадают, то есть А = В, В = Е . Выражение (8) для скорости принимает вид кубического многочлена:

и = 2

( 83

6

(22 _32 + 3)-

М§5 Яа

Л

V = Ъ2

( 83

)

6

(22 _32 + 3)-

М§5 Яа

Л

)

Тогда топология поля скоростей определяется распределением корней квадратного многочлена

Я = 863(2= _ 32 + 3) _ М8 6 Яа

на множестве 2 е [0,1]. Решая уравнение я = 0, замечаем, что иметь два корня на интервале (0,1) оно не может. Но возможно существование одного корня при выполнении условий

(8 Л/Г,Л( 82 Л/ьЛ

< 0,

.1< МБ < 1 82 МБ |( 82 МБ

12 Яа82 2

У 2 Яа )

У 6 Яа )

4

6

3

Мв 82

что говорит о противотечениях. При-= — многочлен g имеет корень 2 = 0 кратности 2,

Яа 6

Мв

а корень 2 = 1 кратности 3 имеет при-= 0, тогда поток вязкой несжимаемой жидкости

Яа

является однонаправленным. Годограф скоростей и и У представляет собой прямую.

Приведем выражения для касательных напряжений, возникающих при движении жидкости:

т =Зи=83(2-1)2-Мв8 т =ЗУ=Ь83(2-1)2 ьмв8

Хх2 32 2 ( ) Яа , %Г2 32 2 ( ) Яа . Вычислим касательные напряжения на твердой поверхности 2 = 0

ди,_, 83 Мя8 /т ЗУ... Ь83 ЬМя8 V(0)=^(0)=т--5а-. т,-г(0)=ЗХ(0)=--—,

которые обращаются в нуль при определенном значении отношения чисел Марангони и

Рэлея, зависящего только от показателя анизотропии бесконечного слоя жидкости Мв = —.

Яа 2

Таким образом, совершая обратный переход к размерным переменным, существует такая толщина слоя И =

V

2ар

что касательные напряжения тХ2 и тГ2 на нижней границе

обращаются в нуль одновременно. Рассуждения, приведенные для жесткой границы г = 0

Мв 82

справедливы для любого 2 е (0,1) при 0 < —. При 2 = 1 касательные напряжения

Мв

могут принимать нулевое значение при -= 0. В вязкой несжимаемой жидкости сила

Яа

трения может обратиться в нуль при определенном значении отношения чисел Марангони и Рэлея, значение которого определяется, прежде всего, характерными размерами слоя, а не вязкостью жидкости и коэффициентом поверхностного натяжения.

АНАЛИЗ ТЕЧЕНИЯ В НЕОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Скорость и в формулах (8) представлена полиномом четвертой степени с нулевым свободным членом

и = г

№(1 -ё)84(23 -62 + 8) +Ъ-(!2-32 + 3)-Мв8С№8(1 -ё) '

24(1 - Ки8) 6 Яа ч (1 - Ш8)

- +1

№8(1 - ё) Мв тт г-,

Введем замены ф1 =- и ф2 =-, запишем и как и = ] (2)2 . Заметим,

(1 - Ш8) Яа

что топология поля скоростей на множестве 2 е [0,1] определяется распределением корней кубического многочлена

ф 83 83

/ = ф8-(23 -62 + 8) + 8-(22 -32 + 3)фф +1).

24 6

Тепловой поток за счёт конвекции всегда превышает по своей величине тепловой поток за счёт теплопроводности, поэтому Ки > 1 [14, 15]. Кубический многочлен /(2) может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два комплексных с действительными коэффициентами. Используем идею того, что корни многочленов могут находиться между локальными экстремумами. Экстремумы функции содержатся среди ее критических точек. Для исследования многочлена / (2) на интервале (0,1) надо рассмотреть равенство нулю производной функции, так как это является необходимым условием наличия экстремума. Найдем производную функции /(2).

ф 83 83 //(2) = Ф^о,(322 _6) + (22_3).

24 6

Рассмотрим уравнение / '(2) = 0, его можно заменить эквивалентным

3ф122 + 82 _ 6ф1 _ 12 = 0. (9)

Находим корни полученного квадратного уравнения (9)

_ =_4 16 + 18ф1(ф1 + 2)

21,2 = , . 6Ф1

Так как нас интересуют корни 2 квадратного уравнения (9) на интервале (0,1), то накладывается ограничение 0 < 212 < 1. Рассматривая это неравенство, приходим к выводу, что ф1, удовлетворяющих данному условию, не существует. Это говорит о том, что двух экстремумов на (0,1) быть не может. Если есть экстремум у функции /(2), то он один, и нулевое значение она принимает не более двух раз. Можно посмотреть уравнение / (2) = 0 графически, например, заменив его равносильным / = /2, здесь

/ =^(25

83

■62 + 8), /2 =_—(22 _ 32 + 3) + ф282(ф1 +1).

24 2 6

Производная /'(2) может принять нулевое значение на интервале, когда выполняется двойное неравенство

_2< Ки8(1 _й) <_4

(1 _ Ш8) 3.

Многочлен / имеет корень 2 = 0 кратности 2 при

Ш8(1 _ й) 1 _ Ш8

_2,

МБ Яа

О! 6

а корень 2 = 1 кратности 3 имеет при

Ш8(1 _ й)

4

3:

МБ

= 0.

1 _ Ш8 3 Яа

Чтобы у функции / было 2 корня на интервале необходимо, чтоб существовал экстремум, т.е. накладывается условие

_2 < N«8(1 _ й) <_ 4 1 _ Ыи8 3,

и значения функции на концах должны быть одного знака

ш83(1 _ й)+О2 _ МБ (ш8(1 _ й)+1 3(1 _ №8) + 2 Яа У 1 _ Ш8 + ,

Ш83(1 _ й) + 5^ _ МБ ( Ш8(1 _ й) +1 8(1 _ Ш8) + 6 Яа I 1 _ Ш8 + ,

> 0.

Соответственно, чтоб у функции / был один корень возможны ситуации; нет

экстремума, функция может монотонно возрастать при

Ш8(1 _ й)

< _2 или монотонно

убывать при

Ш8(1 _ й) > 4 1 _ Ш8

> —. 3

1 _ Ш8

и принимать значения на концах отрезка противоположных

знаков

Ш83(1 _ й) +_8 _ МБ ( №8(1 _ й) +1 3(1 _ №8) + 2 Яа У 1 _ №8 + ,

Ш83(1 _ й) 8(1 _ Ш8) 6

МБ ( №8(1 _ й) Яа I 1 _ Ш8

+1

< 0;

если существует экстремум на интервале, то к условию противоположности знаков Ш8(1 _ й) 4

добавляется _2 <

< —. У функции / не будет корней на интервале, если 1 _ №8 3

значения на концах отрезка будут с одинаковыми знаками, и

Ш8(1 _ й)

-1

1 _ Ш8

(_¥ _2)и ( _ ^ ¥ ].

Вторая производная имеет вид

/ "(2 ) Ф 7 + 63.

4 3

При положительных ф1 смена знака у второй производной не происходит, значит и точек перегиба у графика функции /(2) нет. Но среди отрицательных ф1 можно найти такие значения, при которых /"(2) сменит знак на интервале (0,1), что будет свидетельствовать о наличии точки перегиба функции. Поэтому нельзя говорить о симметрии графиков функции / (2) при положительных и отрицательных значениях ф1 (рис. 1).

Рис. 1. Профили скоростей и и V. Кривая 1 характеризует наличие двух корней, т.е. противотечения; кривая 2 - наличие кратного корня при 2 = 1; кривая 3 - наличие экстремума; кривая 4 - монотонное возрастание компоненты скорости; кривая 5 характеризует наличие одного корня, когда нет экстремума, т.е. противотечения

Касательные напряжения имеют вид

х =эи = 3 _ 32 + 2) Д , - 22 +1) - М8 Г +Д

Х2 д2 6(1 - Ш5) 2 Яа ^ 1 - Ш8 )

= Ш = ЩС*^ (23 - 32 + 2)+Ь#(2 2 - 22 + ц - М8 Г Ши6(Ь - е) + Ь 1.

72 Э2 6(1 - Ши5) 2 Яа ^ 1 - N08 )

Введем обозначения:

= ШО^(23 _32 + 2)^2 _22 +1), х, = ГШбЙ-Й + Д 1 6(1 - Ши5) 2 Яа ^ 1 - Ши6 )

И проанализируем касательные напряжения, заменив уравнение хХ2 = 0 равносильным х1 = х2. Перегруппировав члены в функции х1, её можно представить в виде:

Г N0-55 (2 + 2)+11 (2 -1)22 83. 6(1 - Ши5) 2 )

Замечаем, что существует корень 2 = 1 (рис. 2) кратности 2, также х1 может принимать нулевое значение на интервале (0,1) при выполнении условия

_ 3 < Ши(1 - а )5 <_1 2 (1 - Ши5) ,

если оно не справедливо, то корней нет. В свою очередь, функция х2 является константой.

х1

Рис. 2. Годографы скоростей и и V.

Если градиенты температуры совпадают, то годограф представляет собой прямую: а) - кривая 1 характеризует наличие двух корней у и; кривая 2 - наличие кратного корня при Z = 1 у компоненты и и одного корня у V ; кривая 3 - наличие кратного корня при Z = 1 у компоненты и. б) - кривая 1 характеризует наличие двух корней у и и двух корней у V (спиральное течение); кривая 2 - наличие двух корней у и и наличие кратного корня при Z = 1 у компоненты V

Вычислим касательные напряжения на твердой поверхности Z = 0 :

Ъ (0) = Ш- (0) = №(1 - Ч)8 Д - М» Г N"80 - Ч) +1),

Э^ 3(1 - N"8) 2 Яа I, 1 - N"8 )

^ (0)=ЭК. (0)=+ »81 - М8. Г +ь 1.

Э^ 3(1 - N"8) 2 Яа ^ 1 - N"8 )

Вычислим значение показателя геометрической анизотропии 8, при котором касательные напряжения принимают нулевые значения на твердой поверхности. Рассмотрим уравнение (0) = 0 :

N"(1 - Ч )83 +82 - М Г N"8(1 - Ч) +^ = 0

3(1 - N"8) 2 Яа ^ 1 - N"8 ) .

Для дальнейшего анализа умножим последнее уравнение на число 1 - N"8 и приведем подобные слагаемые, представив в виде многочлена относительно 8 :

N"(1 + 2Ч )83-82-М№Ч8 + М = 0 (10)

6 2 Яа Яа = .

По теореме Декарта [22] количество положительных корней многочлена с вещественными коэффициентами равно количеству перемен знаков в ряду его коэффициентов или на чётное число меньше этого количества (корни считаются с учётом кратности, нулевые коэффициенты при подсчёте числа перемен знаков не учитываются). Но все эти корни должны лежать на интервале (0,1). Учитывая оба этих условия, приходим к выводу, что трех корней на интервале (0,1) у кубического многочлена (10) быть не может.

Возможные случаи — либо существование 2 действительных корней, либо - одного корня, либо отсутствие корней на интервале (0,1). Для определения числа корней в правой полуплоскости вещественного многочлена можно воспользоваться методом Рауса [16], который связывает число корней многочлена с его коэффициентами. Число корней вещественного многочлена, лежащих в правой полуплоскости, равно числу перемен знака в первом столбце схемы Рауса. Первый столбец содержит коэффициенты:

Ш(1 + 2й) _ 1 MgNu(1 - й) 6 , 2, 3Ra . Учтем теоремы Рауса и Декарта, наложив ограничения на коэффициенты. Для того чтобы уравнение (10) имело на интервале (0,1) два корня, должны выполняться условия:

-1 < й < 1, ^ > 0. 2 Ra

Для существования одного корня необходимо, чтоб были справедливы либо условия

1 Mg Mg

й < —, -> 0, либо 0 < й < 1,-< 0. Соответственно, чтоб не существовало

2 Ra Ra

положительных корней, все коэффициенты должны быть одного знака.

Существует такая толщина слоя, при которой касательные напряжения равны нулю одновременно. Это явление будет наблюдаться, если вектора градиента температуры на границах слоя коллинеарны. Представим характерные графики удельной кинетической энергии

Е = 2 V + V,2),

приведенные на рис. 3. Наличие локальных экстремумов у графиков кинетической энергии свидетельствует о немонотонности профилей скоростей (рис. 3). Отметим, что кинетическая энергия может принимать дважды нулевое значение при конвективном движении вязкой несжимаемой жидкости (рис. 3). Разгон жидкости после остановки в слое обусловлен неоднородным распределением температуры на границах, действием тангенциальных сил Марангони и учетом теплообмена на верхней (свободной) границе.

а) б)

Рис. 3. Графики кинетической энергии: а) - 1 - отсутствие корней у скоростей и и V ; 2 - наличие кратного корня при X = 1 у скоростей и и V ; 3 - существование одного корня у скоростей и и V ; 4 - наличие одного корня у скорости и и отсутствие корней у V. б) - наличие кратного корня при X = 1 у скоростей и и V

Вычислим компоненты вектора завихренности

О, =_ъ =_-_ 1)2 + , о, = ^=^(х_ 1)2_»М*, йг = 0.

х 72 йХ 2 Яа 7 х2 йХ 2 Яа 2

В общем случае координаты вектора завихренности не нулевые, что говорит о существовании вихрей в жидкости. Заметим, что закон изменения касательного напряжения 172 совпадает с _Ох, а тх2 - с Ох. Учитывая условие равенства нулю касательных напряжений, можно говорить о том, что существуют такие слои жидкости, где отсутствует сила трения и завихренность жидкости равна нулю. То есть существуют такие слои, где вихревое течение жидкости, обладающей диссипативными эффектами вязкости и теплопроводности, вырождается до потенциального.

ВЫВОДЫ

Были рассмотрены слоистые течения конвекции Бенара-Марангони вязкой диссипативной несжимаемой жидкости при учете теплопередачи на верхней границе по закону Ньютона-Рихмана. Исследована структура распределения гидродинамических полей. Представлены профили распределения скоростей для разных режимов: при отсутствии противотоков (однонаправленный режим) и при возникновении противотечений. Проведен анализ зависимости того или иного режима от определяющих параметров. Показано, что существование более двух застойных точек на интервале (0,1) у компонент скорости невозможно. Проведен анализ случаев, когда касательные напряжения могут принимать нулевое значение одновременно. Также рассмотрены условия, когда вихревое течение жидкости, обладающей диссипативными эффектами вязкости и теплопроводности, вырождается до потенциального движения. Наглядно представлены характерные графики годографов скоростей и кинетической энергии, иллюстрирующие немонотонное распределение скоростей по толщине слоя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bénard H. Les Tourbillons Cellulaires dans une Nappe Liquide Transportant de la Chaleur par Convection en Régime Permanent // Annales de Chimie et de Physique, 1901, vol. 23, serié 7, pp. 62-144. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k34923p/f60.image (дата обращения 7 февраля 2017).

2. B'enard H. Etude exp'erimentale des courants de convection dans une nappe liquide. R'egime permanent: tourbillons cellulaires // Journal de Physique Théorique et Appliquée, 1900, vol. 9, no. 1, pp. 513-524.

3. Остроумов Г. А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М., Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1952. 256 с.

4. Бирих Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1966. № 3. C. 69-72.

5. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

6. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика Москва: Физматлит, 1959. 700 с.

7. Сидоров А. Ф. Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции // Сборник статей «Численные и аналитические методы решения задач механики сплошной среды». Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. С. 101-117.

8. Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // Прикладная механика и техническая физика. 1989. Т. 30, № 2. C. 34-40.

9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

10. Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. 155 с.

11. Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. Киров: ВятГУ, 2011. 207 с.

12. Аристов С. Н., Князев Д. В., Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // Теоретические основы химической технологии. 2009. Т. 43, № 5. С. 547-566.

13. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть вторая. М.: Физматлит, 1963. 728 с.

14. Дрейцер Г. А. Основы конвективного теплообмена в каналах. Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ, 1989. 82 с.

15. Горшков-Кантакузен В. А., Жуперин С. Е. Эффект GCZh при больших значениях Ra в вычислении числа Нуссельта при конвекции Рэлея-Бенара // Материалы XXII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Том 1. М.: Изд-во ООО"ТРП", 2016. С. 85-86.

16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

17. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1957, vol. 1, iss. 1, pp. 391-395.

18. Boussinesq J. V. Theorie Analytique de la Chaleur. Paris: Gautheir-Villars, 1903. 625 p.

19. Oberbeck A. Über die Wärmeleitung der Flüssigkeiten bei Berücksichtigung der Strömungen infolge von Temperaturdifferenzen // Annalen der Physik, 1879, vol. 243, iss. 6, pp. 271-292.

20. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9, № 4. С. 651-657.

21. Горшков А. В. Просвиряков Е. Ю. Слоистая конвекция Бенара-Марангони при теплообмене по закону Ньютона-Рихмана // Компьютерные исследования и моделирование. 2016. Т. 8, № 6. C. 838-850.

22. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. СПб.: Изд-во Лань, Физматкнига, 2007. 432 с.

LAYERED MARANGONI CONVECTION DURING HEAT TRANSFER ACCORDING TO THE NEWTON'S LAW OF COOLING. PART 1. INVESTIGATION OF THE VELOCITY FIELD

1,2Aleksenko E. A., 1,2Gorshkov A. V., 1,2Prosviryakov E. Yu.

institute of Engineering Science, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, Russia

2B.N. Yeltsin Ural Federal University, Ekaterinburg, Russia

SUMMARY. The shearing steady convective motion of a viscous incompressible fluid in an infinite horizontal layer is studied in this paper. The flow of the fluid is due to the thermocapillary effect, heat exchange according to the Newton-Rikhman law, and a thermal source at the boundaries of the fluid layer. The effect of the thermocapillary effect is due to the inclusion of tangential capillary forces on the upper (free) boundary. Heat transfer according to the Newton-Richman law is carried out at the upper boundary. The horizontal temperature gradients are given at the lower boundary. The pressure is set at the upper limit. For the Oberbeck-Boussinesq system, a new exact solution has been found. The boundary problem describing the complex convection of Marangoni is overdetermined. The system of Oberbeck-Boussinesq equations consists of five equations for determining two velocities, pressure and temperature. For the Oberbeck-Boussinesq system, a new exact solution has been found. The velocity field depends only on the vertical (transverse) coordinate. The pressure and temperature fields are linear forms with respect to horizontal (longitudinal) coordinates. The coefficients of linear forms depend on the vertical coordinate. This exact solution identically satisfies the equation of incompressibility. This allows us to solve the initial boundary value problem. To determine the unknown functions that determine the velocity field, the temperature field and the pressure field, a system of ordinary differential equations is obtained. This system of differential equations is integrated. An exact polynomial solution of this system is obtained. The procedure for reducing the exact solution to the dimensionless form is described in the paper. Two characteristic scales for coordinates have been introduced, which allows to describe large-scale flows of a viscous incompressible fluid (fluid flow in a thin layer). The velocity field in this paper is studied in detail. To study the polynomial exact solution for velocities, the Routh-Hurwitz theorem is used. It is shown at what number of similarities in the fluid there is a counterflow in the case of large-scale fluid motion. Thus, there are stagnant points in the liquid layer. The existence of stagnant points leads to the vanishing of the kinetic energy. The kinetic energy can take one zero value or be zero at two points. The nonmonotonic distribution of the kinetic energy over the layer thickness is due to the consideration of several factors that cause convective fluid motion. Examples of localized viscous incompressible fluid flows are given. Such examples demonstrate the possibility of a local description of spiral fluid flows. In addition, for classical liquids, the thickness of the layer is determined, at which the tangential stresses at the lower boundary are zero. For anomalous fluids in which the surface tension coefficient is negative, shear stresses cannot take zero values.

KEYWORDS: Marangoni convection, Oberbeck-Boussinesq equation, exact solution, shear flow, laminar flow, counterflow, stagnant point.

REFERENCES

1. Bénard H. Les Tourbillons Cellulaires dans une Nappe Liquide Transportant de la Chaleur par Convection en Régime Permanent. Annales de Chimie et de Physique, 1901, vol. 23, serié 7, pp. 62-144. http://gallica.bnf.fr/arky12148/bpt6k34923p/f60.image (accessed February 7, 2017).

2. B'enard H. Etude exp'erimentale des courants de convection dans une nappe liquide. R'egime permanent: tourbillons cellulaires. Journal de Physique Théorique et Appliquée, 1900, vol. 9, no. 1, pp. 513-524. https://doi.org/10.1051/jphystap:019000090051300

3. Ostroumov G. A. Svobodnaya konvektsiya v usloviyakh vnutrenney zadachi [Free convection under internal conditions]. Moscow, Leningrad: GITTL Publ., 1952. 256 p.

4. Birikh R. V. O termokapillyarnoy konvektsii v gorizontal'nom sloe zhidkosti [Thermocapillary convection in a horizontal fluid layer]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics], 1966, no. 3. pp. 69-72.

5. Gershuni G. Z., Zhukhovitskiy E. M. Konvektivnaya ustoychivost' neszhimaemoy zhidkosti [Convective stability of an incompressible fluid]. Moscow: Nauka Publ., 1972. 392 p.

6. Levich V. G. Fiziko-khimicheskaya gidrodinamika [Physico-chemical hydrodynamics]. Moscow: Fizmatlit Publ., 1959. 700 p.

7. Sidorov A. F. Ob odnom klasse resheniy uravneniy gazovoy dinamiki i estestvennoy konvektsii [On a class of solutions of the equations of gas dynamics and natural convection]. Sbornik statey Chislennye i analiticheskie metody resheniya zadach mekhaniki sploshnoy sredy [Numerical and analytical methods for solving problems]. Sverdlovsk: UNTs AN SSSR Publ., 1981, pp. 101-117.

8. Sidorov A. F. O dvukh klassakh resheniy uravneniy mekhaniki zhidkosti i gaza i ikh svyazi s teoriey begushchikh voln [On two classes of solutions of the equations of fluid and gas mechanics and their connection with the theory of traveling waves]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics], 1989, vol. 30, no. 2, pp. 34-40.

9. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika. Tom 6. Gidrodinamika [Theoretical physics. Volume 6. Hydrodynamics]. Moscow: Nauka Publ., 1988. 736 p.

10. Aristov S. N., Shvarts K. G. Vikhrevye techeniya advektivnoy prirody vo vrashchayushchemsya sloe zhidkosti [Vortex flows of advective nature in a rotating fluid layer]. Perm: PGU Publ., 2006. 155 p.

11. Aristov S. N., Shvarts K. G. Vikhrevye techeniya v tonkikh sloyakh zhidkosti [Vortex flows in thin fluid layers]. Kirov: VyatGU Publ., 2011. 207 p.

12. Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2009, vol. 43, no. 5, pp. 642-662.

13. Kochin N. E., Kibel' I. A., Roze N. V. Teoreticheskaya gidromekhanika Chast' vtoraya [Theoretical hydromechanics. Part two]. M.: Fizmatlit Publ., 1963. 728 p.

14. Dreytser G. A. Osnovy konvektivnogo teploobmena v kanalakh. Uchebnoe posobie [Basics of convective heat transfer in channels. Tutorial]. Moscow MAI Publ., 1989. 82 p.

15. Gorshkov-Kantakuzen V. A., Zhuperin S. E. Effekt GCZh pri bol'shikh znacheniyakh Ra v vychislenii chisla Nussel'ta pri konvektsii Releya-Benara [The GCZh effect at large Ra values in the calculation of the Nusselt number under Rayleigh-Benard convection]. Materialy XXII Mezhdunarodnogo simpoziuma «Dinamicheskie i tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstruktsiy i sploshnykh sred» im. A.G. Gorshkova. Tom 1 [Materials of the XXII International Symposium "Dynamic and Technological Problems of Mechanics of Constructions and Continuous Media" named after AG Gorshkov. Volume 1]. Moscow: OOO TRP Publ., 2016, pp. 85-86.

16. Gantmakher F. R. Teoriya matrits [Theory of matrices]. Moscow: Nauka Publ., 1967. 576 p.

17. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1957, vol. 1, iss. 1, pp. 391-395. doi: 10.1007/BF00298016

18. Boussinesq J. V. Theorie Analytique de la Chaleur. Paris: Gautheir-Villars, 1903. 625 p.

19. Oberbeck A. Über die Wärmeleitung der Flüssigkeiten bei Berücksichtigung der Strömungen infolge von Temperaturdifferenzen. Annalen der Physik, 1879, vol. 243, iss. 6, pp. 271-292. doi: 10.1002/andp. 18792430606

20. Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. O sloistykh techeniyakh ploskoy svobodnoy konvektsii [On laminar flows of planar free convection]. Nelineynaya dinamika [Russian Journal of Nonlinear Dynamics], 2013, vol. 9, no. 4, pp. 651-657.

21. Gorshkov A. V. Prosviryakov E. Yu. Sloistaya konvektsiya Benara-Marangoni pri teploobmene po zakonu N'yutona-Rikhmana [Layered B'enard-Marangoni convection during heat transfer according to the Newton's law of cooling]. Komp'yuternye issledovaniya i modelirovanie [Computer Research and Modeling], 2016, vol. 8, no. 6, pp. 838-850.

22. Kurosh A. G. Kurs vysshey algebry [The course of higher algebra]. St. Petersburg: Lan', Fizmatkniga Publ., 2007. 432 p.

Алексенко Екатерина Андреевна, магистрант 1 курса направления подготовки «Механика и математическое моделирование», ИЕНиМ УрФУ, тел. +7(902)4446654, e-mail: zokaty@bk.ru

Горшков Александр Васильевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник сектора нелинейной вихревой гидродинамики ИМАШ УрО РАН, тел. (343)375-35-92, e-mail: Alex55gor@mail.ru

Просвиряков Евгений Юрьевич, доктор физико-математических наук, заведующий сектором нелинейной вихревой гидродинамики ИМАШ УрО РАН, тел. 8(343)374-20-38, e-mail: evgen_pros@mail.ru