ДВУХРЕСУРСНЫЕ СЕТИ С МАГНИТНОЙ ДОСТИЖИМОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 519.1 DOI 10.18522/1026-2237-2020-3-4-10

ДВУХРЕСУРСНЫЕ СЕТИ С МАГНИТНОЙ ДОСТИЖИМОСТЬЮ

© 2020 г. Х. Абдулрахман1, В.А. Скороходов2

1Ростовский государственный экономический университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

BIRESOURCE NETWORKS WITH MAGNETIC REACHABILITY

H. Abdulrahman1, V.A. Skorokhodov2

1Rostov State University of Economics, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Абдулрахман Хайдар - ассистент, кафедра фундаментальной и прикладной математики, факультет компьютерных технологий и информационной безопасности, Ростовский государственный экономический университет, ул. Большая Садовая, 69, г. Ростов-на-Дону, 344002, Россия, e-mail: abdulrahm.haidar@gmail.com

Скороходов Владимир Александрович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail:pdvaskor@yandex.ru

Haidar Abdulrahman - Assistant, Department of Fundamental and Applied Mathematics, Faculty of Computer Technologies and Information Security, Rostov State University of Economics, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: abdulrahm.haidar@gmail.com

Vladimir A. Skorokhodov - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: pdvaskor@yandex.ru

Изучены эргодические двухресурсные сети с магнитной достижимостью. Особенность распределения двух ресурсов в таких сетях - один из ресурсов имеет приоритет при распределении величин ресурсного потока. Ресурс с большим приоритетом называется первым, или главным. Рассмотрены два случая таких сетей. В первом случае для каждой дуги указана только общая пропускная способность, во втором - две величины пропускной способности t\(u) и ^(u) . Ставится условие, что для каждой дуги u величина второго ресурса, проходящего по ней, не может превышать величину ^(u). Для каждого вида сетей с магнитной достижимостью адаптированы правила распределения ресурсов, основанные на построении вспомогательной сети; для случая полуэргодической вспомогательной сети модифицирован метод нахождения предельного состояния для произвольной величины суммарного ресурса. Для сетей с двойными пропускными способностями разработан метод нахождения порогового значения T'. Оно является максимальной величиной первого ресурса, при которой оба ресурса распределяются независимо друг от друга. Значение T в каждой сети зависит от суммарной величины второго ресурса.

Ключевые слова: ресурсная сеть, двухресурсная сеть, распределение потока, нестандартная достижимость, предельное состояние, пороговое значение.

In this paper, ergodic biresource networks with magnetic reachability are studied. A special feature of the distribution of two resources in such networks is that one of the resources has priority in the distribution of resource flow values. A resource with a high priority is called first or main. Two cases of such networks are considered. In the first case, only the total

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 3

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

throughput is specified for each arc. In the second case, two values of throughput ^(u) and ?2(u) are specified for each arc u, and there are condition that the value of the second resource which is passing through any arc u cannot exceed the value (u). For each type of networks with magnetic reachability, resource allocation rules, which are based on the construction of an auxiliary network, are adapted. For the case of a semi-ergodic auxiliary network, the method for finding the limit state for an arbitrary value of the total resource is modified. Also, for networks with double throughputs, a method for finding the threshold value T', which is the maximum value of the first resource at which both resources are distributed independently of each other, is developed. The value of T'for each network depends on the total value of the second resource.

Keywords: resources network, biresource network, flow distribution, nonstandard reachability, limit state, threshold value.

Введение

Ресурсные сети впервые введены и довольно хорошо исследованы О.П. Кузнецовым и Л.Ю. Жиля-ковой в работах [1-6]. В частности, в статьях [3, 4] рассмотрены процессы стабилизации потоков в несимметричных ресурсных сетях. Наиболее полно полученные в этой области результаты изложены в [2]. В работе Е.О. Басанговой и Я.М. Ерусалимского [7] введены в рассмотрение новые графовые объекты - графы с ограничениями на достижимость. На них допустимыми являются не все пути, а только те из них, которые удовлетворяют дополнительным условиям формирования последовательности дуг пути. Такие условия называются ограничениями нестандартной достижимости [7-13]. Наиболее полно общая теория графов с ограничениями на достижимость представлена в [8]. В [14] начато изучение двухресурсных сетей, т.е. ресурсных сетей с распределением двух ресурсов. Отличительная особенность таких сетей - один из ресурсов имеет приоритет при распределении. Изучена модель распределения таких ресурсов, разработан метод нахождения порогового значения Т и предельного состояния Q для произвольных суммарных величин ресурсов. В [15] исследованы процессы распределения ресурсов в эргодических сетях с магнитной достижимостью.

Данная статья является продолжением исследований, начатых в работах [14, 15]. Нами изучены процессы распределения ресурсов в двухресурсных сетях с магнитной достижимостью, разработан метод нахождения порогового значения Т', а также предельного состояния Q для произвольных величин суммарных ресурсов в случае полуэргодиче-ской вспомогательной сети.

Распределение двух ресурсов в сети с магнитной достижимостью

Рассмотрим ресурсную сеть О(Х, и, /). Состоянием сети в момент времени t будем называть пару ^1©, Q2(1)) такую, что

Qi(t) =

( qk,l(t) qk/(t) qk~l'l(t) q2"1'1(t)

qi0,1(t) qv/(t)

0,1/

' qk,2(t)

Q2(t) =

qk ,2(t)

qk_1,2(t) qk_1,2(t)

q0,2(t)

q0'2(t)

q^(t) ^ qk "U(t)

q°At)

qk,2(t)' qk "U(t)

qk'2 (t)

где (/) - величина 5-го ресурса j-го уровня магнитности 1-й вершины в момент времени t, 1 = 1,...,п , 7 = 0,...,к.

Далее будем полагать, что рассматриваемые двухресурсные сети являются эргодическими, а их вспомогательные графы - полуэргодическими.

Для распределения ресурсов на двухресурсной сети с магнитной достижимостью выделим два случая:

1. Первый ресурс вершины х- глобально является главным. Это означает, что распределение ресурсов происходит в таком порядке: сначала распределяется первый ресурс, имеющий уровень магнитности, равный к, затем первый ресурс, имеющий меньшие уровни магнитности, и, наконец, второй.

2. Первый ресурс является главным, но с учетом магнитности. Это означает, что сначала распределяется первый ресурс, имеющий уровень магнит-ности, равный к, затем второй ресурс, имеющий уровень магнитности, равный к, далее первый ресурс, имеющий меньшие уровни магнитности, и, наконец, распределяется второй ресурс.

1. Первый ресурс глобально является главным.

Будем полагать, что распределение ресурса на вспомогательном графе О' (а значит, и на исходном графе О) происходит по правилам (правила функционирования сети):

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

qf(t +1) = qf(t) - IFf(t) + IFf (t).

(1)

j=1

j=1

У/е[1;п]г , Л = {1,2},

где Е (г) = ^ (г) + ^2(0, (0 и Е^г) - величины первого и второго ресурсных потоков, проходящих по дуге и = (у; у ■ ) в момент времени ?,

определяются следующим образом:

Шаг 1. Величина потока первого ресурса, проходящего по дуге ик в момент времени I, имеет вид

Fl(uk, t ) = min

( к r (U ) k,1,rt r(u ), ^ , ч • qk (t)

I r (v)

r

F y, t) = q?,1(t)

k-1 a=0

iU1(t) I r (v) - IF 1(v, t)

1 q (t) 1+ 4i 1+

x min j

g1(u',t)

k-1

I q?'\t), I r (v) - I F1(v, t)

?=° vs[X? 1+ 4k]+

\F\uk ,t), 1°

дящего по дуге u в момент времени t, имеет вид

F 2(uk, t ) = min

r (uk, 1^(t )

I r (v, t )

-k 1+

Шаг 2. Величина потока первого ресурса, про-

I

ходящего по дуге и в момент времени ?, имеет вид

г (и') - gl(u', г) ^

дуга и соответствует такой дуге и ,

что |А| = к+1;

в противном случае. Шаг 3. Величина потока второго ресурса, прохо-.к

где г '(и', г) = г (и') - ^ Е 1(у, г). В случае если

у^Л

г'(и', г) = 0, будем полагать Е2(ик, г) = 0 .

Шаг 4. Величина потока второго ресурса, про-

I

ходящего по дуге и в момент времени ?, имеет вид

д?,2(г) г '(и', г) - g2(u', г) ^

F2(u ', t) =

k-1

I q?,2(t )

I r '(v, t) - IF2(v, t)

a=0

M

^ 1+

k-1

x min -j I q?,2(t), I r' (v, t) - I F2(v, t)\,

a=0

M

& 1+

g 2(u ', t) = j

F2(uk,t), если дуга u'соответствует

такой дуге и,что|Аи| = к +1;

0, в противном случае.

Пример 1. Рассмотрим эргодическую сеть О с магнитной достижимостью для к = 2 (рис. 1). Дуги сети О таковы, что /(щ) = (х, Х2) , /(и2) = (Х2, Х1) , f (и3) = (х2, х3), /(и4) = (х3,х^ . Пропускные способности дуг заданы следующим образом: г(и1) = 4, Г(и2) = 2, г(и3) = 3, Г(и4) = 5 . Положим им ={и1, из, и 4 }, ин ={и2 }. Вспомогательный граф О' также показан на рис. 1.

Рис. 1. Сеть G и вспомогательная сеть G' / Fig. 1. Network G and auxiliary network G

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

Пусть начальное состояние сети имеет вид (2 2 5 1 ( 3 3 21

Qi(0) =

1 2 0

V1 2 1 у

Q2(0) =

0 1 1

V1 1 3У

(2)

Вычислим несколько шагов распределения

зсов и найдём предельное состояние \

Г5 3 2,5N Г 3 3 21

Q1(1) = 1 1,5 0,5 , Q2(1) = 0 1 1 ;

V1 0,5 1 у V 1 1 3 у

Г 4 4 31 Г 4 3 11

Q1(2) = 1 0 0 , Q2(2) = 0 1 1

V 1 0 0 у V1 1 3 у

3 5 31 5,25 3 0

Q1 (3) = 3,5 0 0 , Q2(3)= 1,75 0 0,75 ; • •

V 1,5 0 0 у 2 0 2,25

3 9,98 31 0 11,75 01

Q1(11) = 0,02 0 0 , Q2(11) = 2,22 0,28 0

0 v 0 0 у 0,75 0 0 у

Г 3 10 31 0 11,03 01

Q1(12) = 0 0 0 , Q2(12) = 2,63 0,31 0 ; • • • ;

V 0 0 0 у 1,03 V ' 0 0 у

Г 3 10 3 1 '0 15 0Л

Q 1 = Q1(12) =

0 0 0 0 0 0

, Q 2 = Q2(19) =

0 0 0 0 0 0

сурсов, проходящих по дуге u t, имеют вид

F V, t ) = min <

г (uk ),

Г (uk )

S г(V)

Ф г

• qk\t )

F2(uk,t)=

= min <

r (uk ) - F1(uk, t ), r (uk ) - F1(uk, t )

5 r(v) - SF1(v, t) ^q (t)

6 Г vs[xk ]+

Шаг 2. Величины потоков первого и второго ресурсов, проходящих по дуге и (где

(Р1 ° /)(и') = х? , I = 1,-,п, а = 0,---,к-1) в момент времени t, имеют вид

■(„',,) = *''<'> . Г<"'> - '> х

j=0

vek ]+

x min <

k-1

S qiд(0, s r (v) - S F(v, t)

j=0

M ve[xf ]+

F 2(u, t) =

q?'2(t ) r(u) - Fl(u,, t ) - gз(u,, t )

kSS1qj,2 (t ) S (r (v) - F1 (v, t )) - S F (v, t )

j=0 ' ve[*ff ve[xk ]+

x min <

где

k-1

S q/,2(t), S (r (v) - F1(v, t)) - S F (v, t )

j=0 ve[xf]+ ve[xf]+

2. Первый ресурс является главным, но с учетом магнитности.

Будем полагать, что распределение ресурса на вспомогательном графе О' (а значит, и на исходном графе G) происходит по правилам, аналогичным соотношению (1), где величины ресурсных потоков первого и второго ресурсов определяются следующим образом:

Шаг 1. Величины потоков первого и второго ре-

.к

^(ик, t), если дуга и' соответствует

g3(u',t) = I такой дуге и,что|Л^ = к +1;

0 в противном случае.

Пример 2. Рассмотрим ресурсную сеть G из примера 1. Начальное состояние определяется по (2)

(5 2 2| (1 4 3|

в момент времени

Q1(1) =

Q1(2) =

2 1 0 2 1 1

ч

Г 3

Q2(1) =

4 2 1

0 1 1 1 1 3

2,67 0,33 0 2,67 0,33 1

, Q2(2) =

Г 4 3 Л 0,33 0,67 1

V 1,33 0,67 3у

' 2 4 3 1 ' 4,33 4 01

Q1 (3) = 3,67 0 0 , Q2(3) = 2 0 0,67

ч 3 о 0,33 у V 2 0 2 у

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

f 3 9,91 3^ f 0 9,8 01

Q1(18) = 0,09 0 0 , Q2(18) = 3,29 0,3 0

0 v 0 0; / ч 1,61 0 0 ;

f 3 10 31 f 0 10,41 01

Q1(19) = Q* = 0 0 0 , Q2(19) = 2,98 0,3 0

,0 0 0 ; ч i?1 0 0,

f 3 10 31 f 0 15 01

* Q1 = 0 0 0 , q2 = Q2(27) = 0 0 0

,0 0 0 ; ,0 0 0 ;

Распределение двух ресурсов в сети с магнитной достижимостью и пропускными способностями для каждого ресурса

Рассмотрим двухресурсную сеть О такую, что для каждой ее дуги и указаны две величины пропускной способности: ^(и), Г2(и). При этом имеет место условие: величина второго ресурса, проходящего по дуге и , не может превышать величи-2

ну г2(и), т.е. Е (и) < Г2(и).

Рассмотрим два случая для распределения ресурса на вспомогательной сети двухресурсной сети с магнитной достижимостью и двумя пропускными способностями: 1. Первый ресурс глобально является главным. 2. Первый ресурс является главным с учётом магнитности.

1. Первый ресурс глобально является главным. Распределение ресурсов на вспомогательном графе О' происходит следующим образом:

Пусть дуги ик и и', соответствующие дуге и исходного графа, такой что (Р1 о /)(ик ) = хк,

(р1 о /)(и') = х? (где I = 1,..,п, а = 0,...,к-1). Тогда в шагах 1 и 2 рассмотрим вспомогательный граф О' с состоянием 01 (г) и пропускными

способностями Г1(ик) = Г1(и') = г(и),

r'(uk,t) = r'(u',t) = min \r2(u), r(u) - XFl(v,t)l в

l veAu J

момент времени t. Для них находим величины потоков второго ресурса, т.е. величины F2(uk,t) и F2(u', t). Таким образом, проходящие потоки по

дугам uk и u в момент времени t имеют

вид F (uk, t) = Fl(uk, t) + F2(uk, t) и F (u', t) =

= Fl(u' ,t)+F2(u',t) соответственно.

2. Первый ресурс является главным с учетом магнитности. Распределение ресурсов на вспомогательном графе G' происходит следующим образом:

Шаг 1. Величины потоков первого и второго ресурсов, проходящих по дуге uk в момент времени t, имеют вид

F \uk, t ) = mn

F2(uk,t) =

r(uk

I r (v)

ve[xk]+

qk ,1(t )

F l(u ', t ) = min

Г2(и ) = Г2(и') = Г2(и), Т.е.

г(ик) = г1 (ик) + г2(ик) = г(и) и

г (и') = г1 (и') + г2 (и') = г (и). Для них находим величины потоков первого ресурса на вспомогательном графе, т.е. величины Е^(ик,г) и Е^(и' ,г) .

В шагах 3 и 4 рассмотрим вспомогательный граф О' с состоянием 02(г) и дугами ик и и', которые имеют пропускные способности Е (и ,г) = тп"

r2(uk),r(uk) - F1(uk,t), = mni mm{r2{uh),r(uk) -Fl(uk,t)} k,2

-]--qi (t)

Imin{ r2(v), r(v) - F (v, t)}

ve[xk]+

Шаг 2. Рассмотрим дугу и , где (р1 о /)(и') = х? , I = 0,1,.,п , а = 0,.,к -1), соответствующую дуге и исходного графа. Данная дуга имеет пропускные способности

Г '(и', г) = Г (и) - тп {Г (и), Е1 (ик, г)} и г[(и ', г) = == г (и) - Е2(ик, г). Положим г'(и', г) = г[(и',г)+г2' (и', г). Тогда величины потоков первого и второго ресурсов, проходящих по дуге и' в момент времени имеют вид

ru, tX-ï^- • q?'(t) I r (v, t)

ve[ x?]+

r[(u', t), r'(u', t) - Fl(u', t),

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

min{r2'(u', t), r'(u', t) - F 1(u', t))}

qî >\t )

£ min{ r[ (v, t), r'(v, t) — F1 (v, t)}

ve[ X? ]+

Предельное состояние и пороговое значение в случае полуэргодической вспомогательной сети

Рассмотрим задачи нахождения предельного состояния и порогового значения T' в эргодической двухресурсной сети G с магнитной достижимостью и парой пропускных способностей для каждой дуги, имеющей полуэргодическую вспомогательную сеть G'. Здесь пороговым значением T' является максимальная суммарная величина первого ресурса, для которой оба ресурса в сети распределяются независимо друг от друга.

Поскольку вспомогательная сеть G' (X' ,U', f') является полуэргодической, на ней можно выделить единственную изолированную компоненту сильной связности G ( X ,U , f ) . Заметим, что величины предельных потоков, проходящих по дугам U U", будут равны нулю. Последнее означает, что в предельном состоянии суммарный поток первого и второго ресурсов распределяется только на подграфе G", т.е. пороговое значение T' можно находить пошагово.

Шаг 1. Рассмотрим вспомогательную сеть G' с одним ресурсом Q2 и одной пропускной способностью r (u' ) . Тогда предельное состояние Q2 и пороговое значение T2 можно найти так, как это было показано в работе [14]. Здесь отметим два случая.

Если W > T, то предельное состояние Q2 на вспомогательном графе G зависит от начального состояния в сети [4, 6].

Если W2 < T2, то предельное состояние Q2 существует и единственно в случае регулярности компоненты G". Если же компонента является k-циклической (k>0), то единственность предельного

состояния Q2 может быть только в случае W2 = T2 [5, 16].

Шаг 2. Обозначим через q2* величину предельного потока, проходящего по дуге v. Рассмотрим вспомогательный граф G' с пропускными способностями дуг, равными ~(v) = r(v) — q2*, с одним ресурсом Q . Согласно [15], построим систему уравнений, описывающую правила функционирования сети относительно неизвестных z . Решение

S

данной системы существует и единственно [15], а

величина порогового значения T' первого ресурса может быть определена по формуле

n(k+1)

t ' =1 г. •

е=1

Пример 3. Рассмотрим двухресурсную сеть G из примера 1. Положим r (и ) = 4, Г (U ) = 1,

Г (иг ) = 2, r (и7) = 3 , Г (U) = 3, Г U) = 3 , r1(u4) = 2, r2(u4) = 5 . Пусть начальное распределе-

'3 3 2^

ние второго ресурса имеет вид Q (0) = 0 1 1

V1 1 3,

Тогда T = 12.

Литература

1. Kuznetsov O.P., Zhilyakova L.Yu. Bidirectional resource networks: a new flow model // Doklady Mathematics. 2010. Vol. 82, No. 1. P. 643-646.

2. Жилякова Л.Ю., Кузнецов О.П. Теория ресурсных сетей. М.: РИОР: ИНФРА-М, 2017. 283 с.

3. Zhilyakova L.Yu. Asymmetrical Resource Networks. I. Stabilization Processes for Low Resources // Automation and Remote Control. 2011. Vol. 72, No. 4. P. 798-807.

4. Zhilyakova L.Yu. Asymmetric resource networks. III. A study of limit states // Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73, No. 7. P. 1165-1172.

5. Жилякова Л.Ю. Эргодические циклические ресурсные сети. I. Колебания и равновесные состояния при малых ресурсах // Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 2013. Вып. 43. С. 34-54.

6. Жилякова Л.Ю. Эргодические циклические ресурсные сети. II. Большие ресурсы // Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 2013. Вып. 45. С. 6-29.

7. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Частично ориентированные графы и различные виды смешанной достижимости // Алгебра и дискретная математика. Элиста, 1985. С. 70-75.

8. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А., Кузьми-нова М.В., Петросян А.Г. Графы с нестандартной достижимостью: задачи, приложения. Ростов н/Д.: Изд-во Южн. фед. ун-та, 2009. 195 с.

9. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Достижимость на графах с условиями затухания и усиления // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск: Математика и механика сплошной среды. С. 110-112.

10. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Общий подход к нестандартной достижимости на графах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. Спецвыпуск: Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. С. 64-67.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3

11. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Графы с вентильной достижимостью. Марковские процессы и потоки в сетях // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 3. С. 3-5.

12. Ерусалимский Я.М. Графы с затуханием на дугах и усилением в вершинах и маршрутизация в информационных сетях // Инженерный вестник Дона. 2015. № 1. URL: www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2015/2782 (дата обращения: 25.06.2020).

13. Skorokhodov V.A., Chebotareva A.S. The Maximum Flow Problem in a Network with Special Conditions of Flow Distribution // J. of Applied and Industrial Mathematics. 2015. Vol. 9, No. 3. P. 435-446.

14. Абдулрахман Х., Скороходов В.А. Полные двух-ресурсные сети с петлями // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. № 2. С. 10-16.

15. Абдулрахман Х., Скороходов В.А. Ресурсные сети с магнитной достижимостью // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2016. № 4. С. 4-10.

16. Скороходов В.А. Задача нахождения порогового значения в эргодической ресурсной сети // Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 2016. Вып. 63.С. 6-23.

References

1. Kuznetsov O.P., Zhilyakova L.Yu. (2010). Bidirectional resource networks: a new flow model. Doklady Mathematics, vol. 82, No. 1, pp. 643-646.

2. Zhilyakova L.Yu., Kuznetsov O.P. (2017). The theory of resource networks. Moscow, RIOR, INFRA-M Publ., 283 p. (in Russian).

3. Zhilyakova L.Yu. (2011). Asymmetrical Resource Networks. I. Stabilization Processes for Low Resources. Automation and Remote Control, vol. 72, No. 4, pp. 798-807.

4. Zhilyakova L.Yu. (2012). Asymmetric resource networks. III. A study of limit states. Automation and Remote Control, vol. 73, No. 7, pp. 1165-1172.

5. Zhilyakova L.Yu. (2013). Ergodic cyclical resource network. I. Oscillations and equilibrium states with small resources. Administration of large systems. Moscow, Institute of Management Problems Puss, RAS, iss. 43, pp. 34-54. (in Russian).

6. Zhilyakova L.Yu. (2013). Ergodic cyclic resource networks. II. Large resources. Administration of large systems. Moscow, Institute of Management Problems Puss, RAS, iss. 45, pp. 6-29. (in Russian).

7. Basangova E.O., Erusalimskiy Ya.M. (1985). Partially oriented graphs and various types of mixed reachability. Algebra and discrete mathematics, Elista, pp. 7075. (in Russian).

8. Erusalimskiy Ya.M., Skorokhodov V.A., Kuz'mi-nova M.V., Petrosyan A.G. (2009). Graphs with nonstandard reachability: problems, applications. Rostov-on-Don, Southern Federal University Press, 195 p. (in Russian).

9. Erusalimskiy Ya.M., Skorokhodov V.A. (2004). Reachability on graphs with attenuation and amplification conditions. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science). Special Issue: Mathematics and Continuum Mechanics, pp. 110-112. (in Russian).

10. Erusalimskiy Ya.M., Skorokhodov V.A. (2005). General approach to nonstandard reachability on graphs. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science). Special Issue: Pseudodifferential Equations and Some Problems of Mathematical Physics, pp. 64-67. (in Russian).

11. Erusalimskiy Ya.M., Skorokhodov V.A. (2003). Graphs with valve reachability. Markov processes and flows in networks. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 3, pp. 3-5. (in Russian).

12. Erusalimskiy Ya.M. (2015). Graphs with attenuation on arcs and amplifification in vertices and routing in information networks. Inzhenernyi vestnik Dona, No. 1. Available at: www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/ n1y2015/2782 (accessed June 25, 2020). (in Russian).

13. Skorokhodov V.A., Chebotareva A.S. (2015). The Maximum Flow Problem in a Network with Special Conditions of Flow Distribution. Journal of Applied and Industrial Mathematics, vol. 9, No. 3, pp. 435-446.

14. Abdulrahman H., Skorokhodov V.A. (2016). Complete biresources networks with loops. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 2, pp. 10-16. (in Russian).

15. Abdulrahman H., Skorokhodov V.A. (2016). Resource network with magnetic reachability. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 4, pp. 4-10. (in Russian).

16. Skorokhodov V.A. (2016). The problem of finding the threshold value in ergodic resource networks. Administration of large systems, Moscow, Institute of Management Problems Puss, RAS, iss. 63, pp. 623. (in Russian).

Поступила в редакцию /Received

2 июля 2020 г. / July 2, 2020