CC BY
50
УДК 364.35
ДВУХПЕРИОДНАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ ПОКОЛЕНИЙ С ЭКЗОГЕННЫМ ПРЕДЛОЖЕНИЕМ ТРУДА: ЭФФЕКТЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И ДОХОДА В УСЛОВИЯХ СОЛИДАРНОЙ ПЕНСИОННОЙ СИСТЕМЫ
Ю.Ф. КАСИМОВ, АС. ЛУЗГИНА
Настоящая статья посвящена изучению эффектов замещения и дохода в модели перекрывающихся поколений Даймонда-Самуэльсона с экзогенным предложением труда. Основное внимание уделено модели с солидарной пенсионной системой; модели с фондируемой пенсионной системой или же не предполагающие пенсионной системы вообще здесь фактически сводятся к ее частному случаю. Полученные результаты дают более четкое представление о поведении индивидов, их реакции на изменение рыночной конъюнктуры.
Ключевые слова: макроэкономические модели, солидарные пенсионные системы, эффект замещения, чувствительность
Модель перекрывающихся поколений, впервые предложенная Самуэльсоном (1958) и Даймондом (1965), представляет собой динамическую экономическую модель. Модель предполагает, что экономическая ситуация определяется общим поведением индивидов, компаний и правительства.
Главными контролируемыми переменными являются объем сбережений и предложение труда. Официальная налоговая ставка регулируется политикой правительства. Параметрами модели являются: предельная доля сбережений в доходе, норма временного предпочтения, уровень неприятия риска, норма амортизации капитала, темп прироста населения и темп роста технологического прогресса, темп роста отчислений в пенсионный фонд. Главным параметром состояния является удельный объем основного капитала.
В данной статье мы ограничимся рассмотрением простейшей модели, согласно которой жизненный цикл индивидов состоит из двух жизненных периодов: до и после выхода на пенсию. В этом случае в каждый момент времени имеются два поколения: молодое и пожилое. Предполагается, что индивиды в каждом поколении стремятся максимизировать свою выгоду (функцию полезности), в то время как фирмы стремятся максимизировать прибыль. Также вводится предположение, что индивиды в пределах одного поколения идентичны. Предложение труда является экзогенным параметром, что означает, что все молодые индивиды обеспечены полной занятостью, т.е. затрачивают одну единицу труда. Будем считать, что эластичность функции полезности произвольна, одинакова для обоих жизненных периодов индивида и не меняется с течением времени.
Далее приведен анализ эффектов замещения и дохода, которые возникают при изменении рыночной конъюнктуры (конкретнее, ставки доходности на инвестированный капитал) и обусловлены стремлением индивидов распределить ресурсы во времени наиболее выгодным образом.
1. Эффекты замещения и дохода в условиях отсутствия пенсионной системы
Обратимся сначала к простейшему случаю, когда пенсионная система отсутствует. Этот вопрос был подробно рассмотрен Дэвидом Блэйком в книге "Pension Economics”(2006). Поскольку, как известно, фондируемая пенсионная система (при некоторых предположениях) нейтральна для экономики, то приведенные ниже результаты распространяются также и на этот случай.
Итак, отсутствие пенсионной системы предполагает, что потребление пожилых индивидов финансируется исключительно за счет сбережений, сделанных в первом периоде жизни, и начисленных на них процентов.
Таким образом, индивиды, рожденные в период t, стремятся максимизировать свою прямую функцию полезности
модели.
Введение
с учетом бюджетного ограничения
Здесь Су , С+ - уровни потребления в молодом и пожилом возрасте соответственно; р - субъективная ставка дисконтирования; Щ - уровень заработной платы; гм - ставка инвестирования; и (С,) есть некоторая функция полезности. Ограничимся рассмотрением изо-эластичной функции полезности, т.е. для заданного коэффициента эластичности предельной полезности а~1 функцию полезности будем определять по следующей формуле
и (С, ) =
С
1п С
а > 0, а ф 1
а = 1
Соответственно как решение задачи на условный экстремум находятся оптимальные уровни потребления, которые, очевидно, будут пропорциональны ставке заработной платы с соответствующими коэффициентами, определяющимися параметрами модели
(С) =&'■ (р, к+1,а)Щ, (С+ )* = 0° (р, К+1,а)Щ
где
0° (А К+1,а) =
1 + к+
- +
/ 1 \а^ 1
' 1 + р '
V1 + К+1у
V - ■ ^+1 у
Отсюда можно понять, что с ростом ставки доходности будет увеличиваться потребление во втором жизненном периоде индивида. Однако относительно потребления в первом периоде окончательный вывод можно сделать лишь для конкретно заданных параметров модели: с ростом ставки доходности оно может увеличиваться, уменьшаться или же оставаться неизменным.
Чтобы понять причину такой чувствительности к параметрам модели, рассмотрим функцию сбережения 5, = «(Щ, К ,1) , для которой выполнено
5, = Щ _ С,у ; См = 5, (1 + к+!).
Это означает, что, во-первых, сбережения формируются из заработной платы молодых индивидов за вычетом текущего потребления и, во-вторых, потребление пожилых индивидов финансируется за счет сбережений и начисленных на них процентов.
Можно показать, что
э
> >
■5 (Щ, К+1)_ 0 в а-1.
< <
Таким образом, в зависимости от степени расположенности индивида, распределить потребление равномерно по времени. Имеются 3 случая:
1) а> 1.
В этом случае с ростом ставки доходности индивиды увеличат объем сбережений за счет потребления в молодом возрасте, что, в свою очередь, приведет к еще большему увеличению потребления во втором жизненном периоде. Следовательно, мы можем наблюдать эффект замещения: потребление в первом периоде замещается более ’’дешевым” потреблением в пожилом возрасте;
2) а < 1.
В этом случае с ростом ставки доходности индивиды, напротив, уменьшат объем сбережений, израсходовав больше средств на потребление в первом периоде. Здесь мы можем наблюдать эффект дохода: поскольку рост ставки доходности приводит к увеличению суммы начисленных процентов, то для
1
1
обеспечения фиксированного уровня потребления в пожилом возрасте будет достаточно меньшего объема инвестированного капитала;
3) а = 1.
Случай логарифмической функции полезности. Эффекты сбережения и дохода полностью компенсируют друг друга.
2. Эффекты замещения и дохода в условиях солидарной пенсионной системы
Перейдем теперь к рассмотрению более сложного случая. Как известно, солидарная система предполагает выплату пенсионных компенсаций пожилым индивидам из средств, полученных от молодых индивидов в качестве отчислений в пенсионный фонд; т.е. если Ь( - число индивидов, рожденных в
период ^, р и Т - размер пенсионной компенсации и пенсионных отчислений за соответствующий период, то
т р = ТТ
^г-1Гг 1-'г1г .
Пусть % - темп роста отчислений в пенсионный фонд, п - темп прироста населения. Тогда единое бюджетное ограничение для индивида принимает вид
Л */ (1 + г )-(1 + %)(1 + п) 1
щ = щ-1 ^ —>- Т = су +-—с;+1.
1 + Г+1 1 + г+1
Аналогичным образом находятся оптимальные уровни потребления
(С у )* = 0у (р, г+1, а)Щ ; (С01 )* = 00(Р, г+1, а)Щ.
Очевидно, в условиях данной модели сбережения будут формироваться из располагаемого дохода (т.к. из зарплаты удерживаются пенсионные отчисления) за вычетом текущего потребления. Введем
функцию сбережения £ = £ (Щ, г+1, Т), такую что
£ =(Щ - Т)-су = С1+г ,1 )-(1+% )(1+п) 1,,
= I1 - 0у (Р, г+1, а)} щ -11 - 0У (Р, г+1, а) -
и исследуем ее частную производную по второму аргументу.
Можно показать, что
-3- £ (щ, г+„ Т |р+1 - с;„ (1 -а)}
Зг,+1 (1+г+,)
= 0^ | (1 + г +1)}
I1+г+1)
Получим
д р д 5(Щ,гм,Т)>0 « р+-> 1 -а,
или, что то же самое,
дг у ’ С
и'і+1 '“'ї+1
д 5(Щ,г+1,Т)>0 « 5(1+г+1)£а.
Зг V í, *+^ *> со
СУЛг+1 ^+1
Таким образом, параметр а в данном случае уже не является единственным фактором, определяющим реакцию индивидов на изменение ставки. Имеется положительная зависимость между объемом сбережений индивидов и ставкой доходности в том и только том случае, если после выхода на пенсию доля пенсионной компенсации в их потреблении не менее величины 1 - а, или, что то же самое, когда доля отложенных на старость средств с учетом процентов в потреблении пожилого индивида не превышает величину а . Очевидно, что "а > 1 это условие будет выполнено.
Учитывая, что S характеризует степень расположенности индивидов распределить потребление неравномерно по времени, это означает, что индивиды, склонные к дисбалансу, однозначно увеличат объем сбережений при росте ставки доходности, т.к. это сулит им большую прибыль в будущем и наоборот.
С другой стороны, индивиды, склонные распределить потребление равномерно по времени
se (0,1), принимая решение о сокращении объема сбережений при уменьшении ставки доходности,
будут руководствоваться тем, достаточна ли сумма пенсионной компенсации; если нет, то сбережения являются «жизненной необходимостью», и сокращение их объема невозможно, несмотря на падение доходности. Напротив, индивиды вынуждены будут увеличить объем сбережений, чтобы достичь оптимального уровня потребления в пожилом возрасте, несмотря на падение начисляемых на сбережения процентов. Т.е. индивиды могут позволить себе « играть» на ставке доходности лишь в определенной мере, которая зависит от их степени неприятия риска.
Если же оптимальный уровень потребления пожилого индивида практически полностью финансируется за счет выплачиваемой государством пенсии (и необходимость делать сбережения мала), то уменьшение ставки доходности подтолкнет всех индивидов, вне зависимости от их уровня неприятия риска, уменьшить объем сбережений. Коррекция на ставку сбережений, однако, в этом случае будет мала в силу непрерывности функции сбережения по второму аргументу.
3. Заключение
При помощи двухпериодной модели перекрывающихся поколений Даймонда-Самуэльсона с экзогенным предложением труда исследованы эффекты замещения и дохода, которые возникают при изменении рыночной конъюнктуры. Выведены условия их доминирования.
Показано, что помимо коэффициента неприятия риска в модели с солидарной пенсионной системой определяющую роль играет доля пенсионной компенсации в потреблении пожилого индивида.
ЛИТЕРАТУРА
1. David Blake, Pension Economics, John Wiley & Sons, 2006.
2. David de la Croix, Philippe Michel, A Theory of Economic Growth Dynamics and Policy in Overlappig Generaions, Cambridge University Press, 2002.
3. Birgit Mattil, The pension systems: Sustainability and Distributional Effects in Germany and the United Kingdom, A Physica Verlag Heidelberg product, 2006.
THE TWO-PERIOD DIAMOND-SAMUELSON OLG MODEL: INCOME AND SUBSTITUTION EFFECTS IN A PAYG SYSTEM
Kasimov Y.F., Luzgina A. S.
The article is devoted to the analyses of income and substitution effects in the two-period Diamond-Samuelson OLG model with exogenous labor supply. We paid particular attention to the PAYG system; the conclusions derived for the fully-funded scheme or a model without state pension scheme can be regarded as its special case. The obtained results give a better indication of the agent’s behavior, their response to the turn of market.
Key words: macroeconomics models, solidary pension system, substitution effect, model’s sensitivity.
Сведения об авторах
Касимов Юрий Федорович, 1946 г.р., окончил МГУ (1970), заведующий лабораторией МГТУ ГА, автор более 30 научных работ, область научных интересов - теоретическая и прикладная информатика, актуарная и финансовая математика.
Лузгина Анна Сергеевна, студентка РУДН, область научных интересов - математические модели пенсионных систем.
