CC BY
77
УДК: 621.317.39.084.2
ДВУХПАРАМЕТРОВЫЙ ДАТЧИК УРОВНЯ ЖИДКОСТИ
1 2 Джежора А.А. , Рубаник В.В.
'Витебский государственный технологический университет, г. Витебск, Республика Беларусь 2Институт технической акустики НАН Беларуси, г. Витебск, Республика Беларусь
Предложен двухпараметровый датчик уровня жидкости, состоящий из трех цилиндрических электродов разной длины с варьируемым потенциалом среднего электрода. Методом интегральных уравнений проведено численное ЗО-моделирование конструкции датчика. Программа численного расчета реализована в MAPLE. Проведена проверка на адекватность модели реальным конструкциям датчиков. Экспериментально и теоретически показаны преимущества разработанного датчика, позволяющего в отличие от широко используемых однопараметровых датчиков одновременно измерять диэлектрические свойства жидкости и ее уровень без дополнительной калибровки. (E-mail: Jezhora@mail.ru)
Ключевые слова: двухпараметровый датчик уровня жидкости, модель, адекватность модели.
Введение
Для контроля уровня топлива в настоящее время используют однопараметровые датчики уровня топлива (ДУТ) различных модификаций
[1]. Принцип их работы основан на линейной зависимости емкости коаксиального конденсатора от высоты уровня жидкого диэлектрика. Емкость конденсатора определяется диэлектрической проницаемостью топлива, диэлектрической проницаемостью паров над уровнем топлива, высотой уровня топлива, геометрическими параметрами самого конденсатора. В связи с тем, что диэлектрическая проницаемость топлива зависит от сортности топлива
[2], его температуры, наличия присадок, сторонних добавок, абсорбированной влаги, то погрешность измерения уровня топлива посредством коаксиального цилиндрического конденсатора велика и может достигать 10-20 %.
Цель работы - разработать двухпараметро-вый датчик, дающий возможность контролировать уровень топлива с погрешностью, меньшей чем в однопараметровых датчиках, и позволяющий проводить оценку сортности топлива. Конструктивно датчик представляет собой три коаксиальных цилиндра (рисунок 1). Длина внутреннего цилиндрического электрода 1 меньше длины охватывающих его цилиндрических электродов 2 и 3. Средний электрод 2 с помощью коммутатора попеременно подключается к цилиндрическим электродам 1 и 3, что
позволяет попеременно измерять диэлектрические параметры контролируемого топлива в объемах У2 = л(д52 - Д42 )• 12 и У1 = л(яз2 - Я22 )• 11
цилиндрических конденсаторов длиной 1 и 1 Для нахождения аналитических выражений взаимосвязи диэлектрических параметров контролируемой жидкости, ее уровня с емкостями цилиндрических конденсаторов двухпараметро-вого датчика создана математическая модель датчика с учетом реальных геометрических размеров электродов, решены прямая и обратная задачи.
Рисунок 1 - Поперечное сечение двухпараметрового датчика уровня топлива
Моделирование
Математическая модель датчика строилась исходя из длины и толщины его цилиндрических электродов, с учетом электрических свойств контролируемой жидкости.
Для численного 3,0-моделирования использован метод интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В отличие от метода конечных элементов, данный метод менее требователен к вычислительным ресурсам и позволяет проводить расчеты емкостных датчиков без потери точности за более короткий промежуток времени.
При создании математической модели датчика каждый из трех электродов рассматривался в виде соосных бесконечно тонких цилинри-ческих эквипотенциальных поверхностей с различной плотностью заряда ст 5 (Я5, t). Такой подход позволил учесть реальные геометрические размеры электродов, их толщину и исследовать характер распределения поля вне межэлектродного зазора. В силу этого поверхностная плотность заряда для каждой из эквипотенциальных поверхностей электродов цилиндрического датчика является функцией одной переменной t вдоль оси 02 ст5 (Я5, t) [3]. В качестве исходного выражения при составлении интегральных уравнений использовали зависимость для потенциала [3]:
V =
' м
4П8081
is) -
1-Ja(s)—1—ds ,
£0£1 s rMN
(1)
где СТ5 - поверхностная плотность заряда на электродах; 5 - поверхность интегрирования.
С учетом того, что расстояние в цилиндрической системе координат между точкой наблюдения М(гм, ам, г) и переменной точкой N(гы, а ы, t) определяется:
rMN = - Z)2 + rM + rN - 2rM rN C0S (а 2 - а1 ) , (2)
для электродов цилиндрического датчика, расположенного в двухслойной среде,
s при z > h, q = 1,
£( z) = 1 1 ь
I £ при z < h, q = 2,
(3)
система интегральных уравнений примет вид:
lm 2п
s R , t )Rsdt J — = 4П£о £ qVn ,
0 rMNs
(4)
где Я5 - радиусы внутренних, внешних поверхностей цилиндрических электродов; ст 5 (Л5, t) -соответствующие им поверхностные плотности заряда; г - диэлектрическая проницаемость
среды, в которой находятся электроды либо часть электродов; Ут - потенциалы на электродах, 5 = 1, 2, 3, 4, 5, 6; т = 1, 2, 3. Высокопо-тенцильный электрод 1 имеет потенциал у1, низкопотенцильный электрод 3 - потенциал У3. Потенциал электрода 2 попеременно принимает значения потенциала первого электрода У1, затем третьего У3.
В результате алгебраических преобразований системы (4) ядра алгебраических уравнений после подстановки координат точек наблюдения вместо г принимают вид:
2п
R J
da
- Zjm ) + R + Rl - 2RmRs cos (a) (5)
= K (zjm, t),
где модуль эллиптического интеграла к :
к =
i
4R.R
FZ~77(R;+Rmj
(6)
Решение системы интегральных уравнений осуществлялось методом Крылова-Боголюбова. Для дискретизации функций ст 5 , t) цилиндрические поверхности электродов разбивались на кольца, в пределах которых поверхностная плотность заряда принимает постоянные значения. Для улучшения сходимости решения шаг интегрирования по цилиндрическим поверхностям задавался переменным и записывался с помощью геометрической прогрессии. Границы интегрирования для поверхностей электрода 1:
a t = l2 - /j / 2 - /j (1 - qN-M )/ 2(1 - qN1), рг = /2 - IJ2 - lx (1 - qN-i )/2(1 - qN1),
(7)
(8)
где i = 1, 2, ..., N1; для верхней половины:
аi = l2 -11 / 2 +11 (l - q1-Nl-1)/ 2(l - qf1),
(9)
ßi = /2 -/1/2 + /1 (1 -q{~N )/2(1 - qf1), (10)
Pi _
J K (zJm, t )dt = Z^RR
PJi
J
K (k )
W 4RR - k2 (r + R„ )2
dk
(17)
где i = N +1, N + 2,..., 2N ; - длина внутреннего электрода 1; - знаменатель геометрической прогрессии; 2 N - число разбиений 11.
Разбиений цилиндрических поверхностей для электродов 2 и 3 до координаты 2 = 12 —11 осуществлялось подобно разбиению для электрода 1, т.е.
а, = (h -
(/2 - /1) / 2 - (/2 - 4 - q4N+No-i>1)/2(1 - qf0), (11)
ßi = (/2 - /1)/2 - (/2 - /1)! - qf1 +No-i)/2(1 - qf0), (12)
где интервалы интегрирования:
kßj ={4RsRm /[(ßi - zjm
(18)
Индекс 5 отвечает поверхности интегрирования, т - эквипотенциальной поверхности, для которой записывается выражение потенциала.
Система линейных алгебраических уравнений в однородной среде примет вид:
ai = (/2 - /1) / 2 + (/2 - /1 )1 - q3-4f-No-1)/ 2(1 - qf0), (13) ß i = (/2 - /1) / 2 + (/2 - /1 )(1 - q3-4N1 -N0 )/2(1 - qf0), (14)
где 2 N0 - число разбиений на отрезке длиной /2 - /1.
Выше z > /2 - /1 границы интегрирования совпадали с границами интегрирования для электрода 1. В результате система интегральных уравнений (4) примет вид:
12 N + 8 N 0 12 N +8 N 0 ßi
X X о JK (zJm, t) dt=
j=1 i=1 a,. (15)
= 4nS0SqVm ,
где
zjm =(aj +ßj)/2; j = 1, 2,..., 12f + 8No, (16)
индекс m = 1, 2, 3.
ßi
Интеграл J K(zjm, t) dt может быть записан
ai
в новых переменных через модуль эллиптического интеграла k. Тогда:
12N1+8N0 12N1+8N0_ß,
X X °i hkRJ-
K (k)
j=1 i=1 = 4ns0£qVm .
О, wRmR3 I , "vv dk =
„kV4RR - k2 R + Rm )2 (19)
Недостающее уравнение для определения взаимосвязи потенциалов У1, V и К3 составляется исходя из равенства нулю общего заряда цилиндрического конденсатора:
2N1
4N1
2nRX°i(ßi - ai)+2яД2 X^(ßi - ai)+
i=2 N1 + 1
6 N1+ 2N0
8N1+4N0
2nR3 X (ßi - ai)+2nR4 X О (ßi - ai)+
(20)
i=4N1 +1
i=6 N1+ 2N0+1
^ '"■■0 1 0 + 2nR X О(ßi -ai)+2nR6 Xct.(ß-ai)= 0.
i=8 N1+4N0+1
i=10N1 +6 N0+1
Исходя из найденных решением (19) и (20) дискретных значений ai в зависимости от значения потенциала на электроде 2 емкость цилиндрического датчика в воздухе ( е1= 1) записывается: в случае У2 = Уъ:
2п/1
Q =-
R1X О (ßi-а,-) + R2 XX О (ßi-а,-)
(21)
V - V
k
и
=1
+
i=1
в случае v2 = V1:
2%L
C2 =■
2
6N, +2 N 0
8N] +4 N0
R3 X (P;-a-)+^4 (в-a-)
;=4N, +1
;=6 N1 +2 N0 +1
(22)
V - V3
Экспериментальные результаты
Классическое выражение емкости цилиндрического конденсатора не учитывает толщину цилиндрических электродов и полагает, что их длина бесконечно велика по сравнению с радиусами цилиндров.
Расчетные картины распределения заряда по поверхности цилиндрических электродов для датчика с размерами электродов я1 = 1,6 мм, я2 = 2,6 мм, я3 = 5,95 мм, я4 = 7,0 мм, я5 = 8,9 мм, Я6 = 9,95 мм, 11 = 299 мм, 12 = 204 мм в воздухе (е1 =1), представлены на рисунках 2 и 3.
Рисунок 2 - Расчетная картина распределения зарядов по поверхности электродов радиусов Я6, (У3 = У2)
Рисунок 3 - Расчетная картина распределения зарядов по поверхности электродов радиусов Я6, (У1 = У2)
Из кривых распределения заряда по поверхности электродов видно, что поле однородно, за исключением поля на торцах электродов. В случае когда потенциал электрода 3
совпадает с потенциалом электрода 2 измеренная емкость датчика c1= 13,70 пФ, рассчитанная численно СЧ"сл = 13,80 пФ, аналитически с™ = 2ns081/1/ln(^3/ R2 ) = 13,63 пФ. В случае когда потенциалы V1 = V2, характер поля изменяется и емкость возрастает. Измеренная емкость датчика с2 = 69,62 пФ, рассчитанная численно Сч2исл = 69,75 пФ, рассчитанная аналитически с2ш = 2n8081/2 /ln(r5/r4) = 69,24 пФ.
Ошибка расчета емкостей двухпараметрового датчика численным методом не превосходит 1 %. Несколько выше ошибка расчета емкостей с помощью классического аналитического выражения. Но и эта ошибка не превышает 1 %. Этот факт говорит о том, что в случаях, когда межэлектродные зазоры датчика R3 - R2, R5 - r4 на порядок меньше длин электродов /1 и /2, с достаточно высокой степенью точности для решения прямых и обратных задач может быть использовано аналитическое выражение емкости цилиндрического конденсатора 2П8081//ln(R^/Rs) .
На рисунке 4 представлена расчетная картина эквипотенциальных линий поля двух парамет-рового датчика (v3 = v2). Как видно, поле сконцентрировано в пределах межэлектродного зазора R3 - R2 между первым и вторым цилиндрами
по всей длине /1 . Об этом говорит и малое различие между расчетными и измеренными значениями емкостей датчика ( SC < 1 %).
Рисунок 4 - Расчетная картина эквипотенциальных линий поля ( V3 = V2)
Экспериментальные результаты взаимосвязи уровня жидкой среды и емкости датчика, представлены на рисунке 5. Прямая 1 соответствует дизельному топливу без добавок (е2 = 2,13), 2 - с добавками (в2= 2,15), прямая 3 - рапсовому маслу (в2= 3,01), прямая 4 - подсолнечному (е2 = 3,03). Графики на рисунке 5 подтверждают, что зависимость емкости датчика С2 от высоты уровня жидкости имеет линейный характер.
Рисунок 5 - Экспериментальная зависимость между высотой уровня жидкости И и емкостью и датчика с2
Изменение потенциала на электроде 2 позволяет измерять две емкости датчика С1 и с2. Емкость датчика с1 определяется глубиной погружения электродов в жидкость И - (/2 -11), емкость С2 определяется глубиной погружения и. Различие в глубинах погружения позволяет определять диэлектрическую проницаемость контролируемой жидкости через
разность нормированных емкостей
с2 (и) с 2 (0)
с (и) с (о)'
как:
е, = -
/ - /
'2 '1
гс2(и)/ - с(и)^
ч с 2 (0) 2 с1 (0) 1,
(23)
где С2 (И) = ! И + 82 И . С1 (И) 12 - И + е2 И - 12 + 11
1 Дс -гт = 1---1---5 —ГГ =--1---
С 2 (0) / 2 е1 / 2 С1 (0) /1 е1 /1 и определяются диэлектрической проницаемостью контролируемой жидкости, длиной электродов и высотой уровня И; с1 (0) и с2 (0) - емкости в воздухе.
В процессе измерения, пока уровень не опустится ниже /2 - /1, расчитывается диэлектрическая проницаемость жидкости, а затем, исходя из измеренных значений с1 (и) и с2 (и), вычисляется высота уровня жидкости для каждого значения потенциала на электроде 2:
И
с2(и)-С2(0) е/ е2 -е1 С2 (0)
с1 (и)-с1 (0) 81/1 82 -81 С1 (0)
+ /2 - /1 .
(24)
(25)
Высота уровня зависит только от одного неизмеряемого параметра - диэлектрической проницаемости газообразной среды е1. Колебания е1 незначительны и могут быть усредненным (е1 и 1,0006).
Так как высота уровня жидкости описывается аналитическими выражениями (24) и (25), то рассмотреный датчик может выполнять калибровку самостоятельно, в независимости от диэлектрической проницаемости жидкости. Графики построенные согласно выражениям (24) и (25) ложатся на экспериментальные прямые, представленные на рисунке 5. Для всех исследуемых жидкостей (дизельное топливо, подсолнечное и рапсовое масла ) ошибка расчета уровня не превышала 1,5 мм. В зоне краевого эффекта, когда И = /2 - /1 = 95 мм, ошибка определения уровня составила 2,0 мм.
Заключение
Предложен двухпараметровый датчик уровня топлива, позволяющий одновременно контролировать диэлектрические свойства жидких сред и проводить оценку сортности топлива. Погрешность измерения уровня топлива не превышает 1 %. Датчик не требует предварительной калибровки; он имеет такие же размеры как и традиционный одно-параметровый датчик уровня топлива.
И
31 '2
ь
Список использованных источников
1. Zhao, Y.R. New Type Multielectrode Capacitance Sensors for Liquid Level. Journal of Physics: Conference Series. - 2006. - Vol. 48. P. 223-227.
2. Скворцов, Б.В. Статистическое моделирование компонентного состава углеводородных топлив и исследование взаимосвязей детона-
ционной стойкости с их электродинамическими параметрами/ Б.В. Скворцов, Е.А. Си-лов, Л.В. Солнцева // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С П. Королёва.-2010. - № 1. - C. 166-173.
3. Джежора, А.А. Цилиндрический электроемкостной датчик уровня / А.А. Джежора // Датчики и системы. - 2010. - № 9. - С. 7-11.
Jezhora A.A., Rubanik V.V.
The two parameter sensors of the liquid level
It is considered two parameter the sensors of level of a liquid. The sensors contains three cylindrical electrodes of unequal length. The potential of an average electrode varies. For the control of dielectric properties of a liquid the length of an internal electrode differs from length of two external electrodes. For numerical 3D sensors modelling the method of the integrated equations and mirror displays is used. The program of numerical calculation is realised in MAPLE. Check on adequacy of model to real designs is checked up. (Email: Jezhora@mail.ru)
Key words: two parameter the sensor of level of a liquid, model, adequacy of model.
Поступила в редакцию 16.04.2012.
