CC BY
40
• оптимизация поверочных потоков СИ в рабочей поверочной схеме с учетом географического расположения эталонных СИ и их пропускной способности; она проводится путем построения ориентированного графа состояний рабочей поверочной схемы, использования алгоритма Фалькерсона для упорядочения элементов графа и решения задачи о максимальном потоке, проходящем через рабочую поверочную схему [4].
В Ы В О Д
Таким образом, на основе предложенных методик расчета параметров рабочих поверочных схем для СИ с помощью принципа много-критериальности возможно построить математические модели определения оптимальных па-
раметров рабочих поверочных схем для СИ с целью эффективного управления ими.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Система обеспечения единства измерений Республики Беларусь. Поверка СИ. Организация и порядок проведения; СТБ 8003-93: Введ. 01.07.1994. - Минск: Бел-стандарт, 1993. - 62 с.
2. Поверочные схемы. Построение и содержание; СТБ 8025-2005 ГСИ: Введ. 01.05.2006. - Минск: Госстандарт, 2005. - 9 с.
3. Методика определения параметров поверочных схем / МИ 83-76 ГСИ // Утв. Научно-техническим советом ВНИИМ от 18.12.1974. - Введ. впервые; Введ. с 01.01.1976. - М.: Изд-во стандартов, 1976. - 67 с.
4. Червяковская, Н. Н. Разработка рабочих поверочных схем для средств измерений на основе принципа мно-гокритериальности / Н. Н. Червяковская // Отчет о НИР. -Минск: БелГИМ, 2003. - 47 с.
Поступила 26.12.2006
УДК 621.317.001.891.573
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СПОСОБА ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНИЗОТРОПИИ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОЕМКОСТНОГО ЗЕРКАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
Канд. техн. наук, доц. ДЖЕЖОРА А. А., докт. техн. наук РУБАНИК В. В.
Витебский государственный технологический университет,
Институт технической акустики НАН Беларуси
Для неразрушающего контроля изделий электроемкостными методами в последнее время широко используют зеркально-симметричные конструкции преобразователей [1, 2], которые обладают широкими функциональными возможностями: позволяют контролировать анизотропию физических свойств плоских материалов [3], осуществлять послойный контроль [4], устранять погрешности, обусловленные температурными изменениями геометрических размеров электродов и диэлектрических
свойств подложек электроемкостных преобразователей [5]. Для практической реализации таких конструкций требуется построение математической модели, позволяющей оптимизировать параметры преобразователя.
В данной статье приводится расчет математической модели многосекционного ленточного зеркально-симметричного накладного измерительного конденсатора (ЗСНИК) с дополнительным охранным электродом. Рассматривается случай, когда исследуемый матери-
ал расположен между электродами ЗСНИК (рис. 1), для которого диэлектрическая проницаемость
Гв = в3, если у > Ь + И2;
8(у) = <8 = є2, если *2 < У + К +Ь; (1)
[8 = 81; если у <И1.
Наведенные на границах раздела слоев заряды учтем, используя метод зеркальных отображений [6]. Тогда коэффициенты отражений для зарядов нижней части зеркально-симметричного накладного измерительного конденсатора А,ь А,2, коэффициент повторных отражений у и коэффициент пропускания А,3 для зарядов верхней части и соответственно наоборот будут равны:
К 3 —
83 +8 2
48183
(83 +82 ) (82 +83 )
,_( 82 - 81 )( 82 - 83 )
'; т
( 81 +82 )( 82 +83 ) ( 81 +82 )( 82 +83 )
. (3)
К —
_ 81 — 82 . _ 48182 (82 83 )
, К 2 =
К3 —
81 +8 2
48183
( 81 +82 ) ( 82 +83 )
(82 - 81 )(82 - 83 ) ; (2)
(81 +82 ) (82 +83 ) (81 +82 ) (82 +83 )
Положим, что длина электродов намного больше их ширины, а число секций N бесконечно велико (рис. 1). В этом случае электромагнитное поле можно рассматривать как плоскопараллельное и расчеты производить на единицу длины электродов. Так как число секций бесконечно велико, функция распределения зарядов одинакова на всех электродах и симметрична относительно их оси. Это упрощает расчеты и позволяет составить интегральные уравнения для потенциалов электродов только одной центральной секции с учетом влияния остальных секций.
Через с(х) обозначим поверхностную плотность зарядов на потенциальных электродах, а через т(х) - на охранных электродах. Очевидно, что в силу геометрической симметрии будет иметь место и электрическая симметрия:
Рис. 1. К расчету электростатической емкости многосекционного зеркально-симметричного преобразователя
о ( х, у = 0 ) = о ( х, у = Ь ) =
= -о (-х, у = 0 ) = -о (-х, у = Ь );
т ( х, у = 0 ) = т ( х, у = Ь ) =
= -т (-х, у = 0) = -т (-х, у = Ь ).
(4)
(5)
Для упрощения введем новую переменную г = ^ - d. С учетом условий симметрии (4) и (5):
о'(d - г) = о"(d + г) = о(г); (6)
т (г) = -т (2d + г) = т (2d - г) = -т (-г) . (7)
Тогда, принимая потенциалы потенциальных электродов равными ±У, а потенциал на охранном электроде равным нулю, согласно теории потенциалов для плоскопараллельных полей получим для потенциального электрода:
| т ( г ) 1п г + х dг + | т ( г ) 1п
( г + х )2 + 4* ( г - х)2 + 4*1
X у 5-11т (г)1п
( г + х )2 + ( 22 + Ь5 )2
( г - х )2 + ( 2*1 \2 + Ь5 )
Е(-1Г 1т (г) 1п
N 5-1 с
-XИГ1Е у 5-11т (г) 1п
(2dn - г + х)2 + 4*12 (2dn + г - х)2 + 4*12
(2dn - г - х)2 + 4*12 ( 2dn + г + х )2 + 4*12
2 ( \ 2 ( 2dn - г + х) + (2*1 + Ьи) 2 ( \ 2 ( 2dn + г - х) + (2И1 + Ь$)
(2dn - г - х)2 +(2* + Ь8) ( 2dn + г + х )2 +( 2* + Ь,$)
+
а
| о ( г ) 1п
- г + х
- г - х
^ + — | о ( г ) 1п
(d - г + х)2 + 4*
■Е у 5-11о (г)1п
5=1 0
(d - г - х)2 + 4* (d - г + х)2 +(2* + Ьs)
(d - г - х)2 +(2* + Ь5)
N а
X иг11о (г) 1п
(d (2п +1) - г - х)2 + 4*12 (d ( 2п -1) + г + х )2 + 4*12
(d (2п +1) - г + х)2 + 4*12 (d ( 2п -1) + г - х)2 + 4*12
-ЕНГ1 Е у 5-11о (г) 1п
п=1 5=1 0
(d ( 2п +1)- г + х) 2 +( 2* + Ь5 ) (d ( 2п -1) + г + х) 2 +( 2* + Ь5 )
(d ( 2п +1)- г + х) 2 +( 2* + Ь5 ) (d ( 2п -1) + г - х) + ( 2* + Ь5 )
+ -
с
~1 т ( г ) 1п
( г + х )2 + (*1 + *2 + Ь )2
( г - х )2 + ( *1 + *2 + Ь )2
а
1 о ( г ) 1п
(d — г + х) + (* + * + Ь )~
(d - г - х) + (* + И2 + Ь )
ёг-
N 5 с
^Е(-1)П+1 Е у51т (г) 1п
п=1 5=0 0
(2dn + г - х)2 + (2(*2 + Н1 + Ья) + Ь)2 (2dn - г + х)2 + (2(И2 + Н1 + Ь5) + Ь )2
(2dn - г - х)2 + (2(И2 + И1 + Ь5) + Ь )2 (2dn + г + х )2 + (2(И2 + Н1 + Ь5) + Ь )2
dг +
л N
Х3
-ЕНГ1 Е у5-11о (г)1пх
п=1 5=1 0
п=1
п=1
(С (2п +1) - г - х)2 + (2(Н2 + Н1 + Ь5) + Ь)2 (С ( 2п -1) + г + х)2 + (2(к2 + *1 + Ь5) + Ь )2
(С (2п +1) - г + х)2 + (2(*2 + *1 + Ь5) + Ь)2 (С ( 2п -1) + г + х )2 + (2(* + *1 + Ь5) + Ь )2
ёг +
+
п=1
с Г т ( г ) 1п ( 2Сп - г + х) ( 2Сп + г - х)
1 11^1 П! _ 0 (2Сп - г - х)(2Сп + г + х)
+
а
1 о ( г ) 1п
(с (2п +1) - г - х)(с (2п -1) + г + х)
(С ( 2п -1) - г + х) (С ( 2п -1) + г - х)
Сг
ёг +
■ = 2ле0е1У.
(8)
где х - некоторая точка на потенциальном электроде С - а < х < С, у = 0.
Для охранного электрода интегральное урав-
нение выглядит аналогичным образом: с правой частью, равной нулю, и координатой точки на охранном электроде 0 < х < с, у = 0.
1 т ( г ) 1п г + х Сг + 1 т ( г ) 1п
( г + х )2 + 4*12
( г - х) + 4 *
1 Е(-1Г1 т ( г) 1п
( г + х )2 +( 2* + Ь5 )2
( г - х) +(2Иг + Ь,$)
Сг +
X- N
(2Сп - г + х)2 + 4*12 (2Сп + г - х)2 + 4*12
(2Сп - г - х)2 + 4*12 ( 2Сп + г + х )2 + 4*12
Сг +
X N
ЕНГ1 Е у 5-11т( г) 1п
2 ( \ 2 ( 2Сп - г + х) +(2*1 + Ь5) 2 ( \ 2 ( 2Сп + г - х) +(2*1 + Ь5)
(2Сп - г - х)2 +(2* + Ь5) ( 2Сп + г + х )2 +( 2* + Ь$ )
Сг +
+1о (г) 1п с - г - хСг+"Г 1о (г) 1п
к
2
(С - г + х)2 + 4*12
(С - г - х)2 + 4*12
Сг +
X N
1ЕНП о (г ) 1п
л N 5-1 с
, X (-1)"+1 X Т11 о (г) >п
1 у*11о ( г )1п 0 (С ( 2п +1)- (С - г + х)2 +(2* + Ь5) Сг + + г + х) + 4*1
(С - г - х)2 + г - х)2 + 4*12 2* + Ь5) (С ( 2п -1'
(С (2п +1) - г + х)2 + 4*12 (С ( 2п -1) + г - х)2 + 4*12
Сг +
( С ( 2п + 1)- г + х )2 + ( 2* + Ь,?) (С ( 2п -1) + г + х )2+( 2* + 1
(С(2п +1) - г + х)2 + (2*1 + Ь5) (С(2п -1) + г - х)2 + (2кх +Ь5)
Сг +
+
с
“1 т ( г ) 1п
( г + х )2 + (к1 + *2 + Ь )2
( г - х) +(Н1 + *2 + Ь )
Сг + — 1 о ( г ) 1п
(С — г + х) +(*1 + *2 + Ь )2
(С - г - х) +(*1 + к2 + Ь )
ёг +
п=1
п=1
N Ь ^
Ч (-Г! г ‘ }ф) 1п
п=1 5=0 о
(2ёп + * - х)2 + (2(Н2 + И + Ьі)+Ь )2 (2ёп - * + х)2 + (2(Н2 + И + Ьі)+Ь )2
(2ёп - * - х)2 + (2(И2 + И + Ьі) + Ь)2 (2ёп + * + х)2 + (2(Н2 + И + Ьі)+Ь )2
ё* +
+-Ї і (-і)"1]-; т 5і°(*)1п
п=1
5=1
0
(ё(2п+1)- * - х)2 +(2(И2 + И + Ьі) + Ь)2 (ё (2п -1) + * + х)2 + (2(И2 + И + Ьі) + Ь)2
(ё (2п +1) - * + х)2 + (2(И2 + И + Ьі) + Ь)2 (ё (2п -1) + * + х)2 + (2(И2 + И + Ьі) + Ь)2
ё* +
+
(2ёп - * + х) (2ёп + * - х)
(2ёп - * - х)(2ёп + * + х)
+
а
| а (*) 1п
(ё(2п + 1 I - * - х) (ё (2п -1) + * + х)
(ё (2п -1 I - * + х) (ё (2п -1) + * - х)
= 0, (9)
где Ь - число отражений.
Выражения для электродов верхней части зеркально-симметричного накладного измерительного конденсатора, когда ё - а < х < ё,
у = Ь + И + И2 и 0 < х < с, у = Ь + И +і
запи-
сываются аналогичным образом с учетом замены местами И1 о И2 и е1 о е3.
Решение полученной системы интегральных уравнений осуществим методом Крылова - Боголюбова, в соответствии с которым промежуток интегрирования разобьем на участки, где искомые функции о (х) и т (х) принимают постоянные значения о. (х), т. (х) и выносятся за
знак интеграла. Таким образом, система интегральных уравнений преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений, решение которой дает дискретные значения искомых функций. Для улучшения сходимости решения шаг интегрирования выберем переменным и зададим с помощью геометрической прогрессии. Если координаты краев электродов секции ±с и ±(С - а), то границы интегрирования для нижней части секции можно записать в виде:
1 - а'-1 1 - а1
а. = а—; р. = а----------^ 1 = 1,2, 3, ..., К;(10)
1 1 - дк 1 1 - дк
а = с-
1 - Чг2к-1 1 - 4
; в = с
1 - ^2- к 1 - 4М
і = к +1, к + 2,..., к+М;
верхней части: а = а
(11)
1 - чГк -М-1. о а 1 - чГк -М
’ Рі~и , к
1 - 41
і = к + М + 1,...,2к + М ;
1 і-2 к -М-1 1 і-2 к -М
1 - 42 о 1 - 42
а = с------------ —-------------; рг. = с---------- -------------
(12)
1 - 4 2М
1 - 4 2М
і = 2к + М + 1,...,2к + 2М .
М
(13)
а участки интегрирования ^ = Р. - а., где А”, М - число разбиений для потенциального и охранного электродов нижней и верхней частей секции соответственно; а1, а2 - знаменатели геометрической прогрессии для потенциального и охранного электродов нижней и верхней частей секции соответственно.
Тогда:
а(* ) =
1 - 4 1 - 42
а ,если а----------— < * < а--------1
о *
1 - <-1
а ,если а-----------5— < * < а;
к’
т(*) =
1 - 42
т ,если0 < * < с----------—;
к+г 1 - 4М
1 -<
1 - 42
т , если с-------------
к+2 1 - 4м
< * < с-
2
1 - 42м
1 - 4м-1
т , если с------------2— < * < с;
к +М’ 1 - 4М
Ф) =
°к+М+1,если0 < г < а
1 - д1 . 1 - д? .
°К+М+2 ,ЄСЛИ а
1 - д1 1 - дК
< г < а
1 - д2.
1 - дК.
1 - дК-1 , если а---------1—~ < г < а.
1 - д1К
т(г) =
1 - д2 .
1 - дМ.
12 К + М +2 5
1 - д2 1 - д2
если с---------^ < г < с-----------— •
1 - дМ
М
1 - дМ (14)
1 - чМ
Т2К+2М , еСЛИ С “-----М- < * < С.
1 - 42
Подставляя (14) в (8), (9), получим систему интегральных уравнений, в которой координаты точек на электродах определяются выражениями:
а . + В .
Х1 = й - \ при у = 0,7 < К,7 = 1, 2, 3, ..., К; 2
х- =
а і + В і
—- при у = 0; К <і < К + М;
і = К + 1, К + М;
а і + в і
х} = й--------при у = Ь; К+ М<- < 2К + М;
- = К + М + 1, ..., 2К + М;
х- =
а 7 + в ,■
1 1 при у = Ь; 2К+ М<7 < 2К + 2М;
7 = 2К + М + 1, ..., 2К + 2М. ( 15)
Решение системы интегральных уравнений дает значения функций распределения поверхностных зарядов ог- (х) , тг- (х) . Рабочая емкость, обусловленная потоком силовых линий в области контролируемого материала, определяется выражением
К К +М ^
Еа/- Е т/
і=1_____і=К+1
2Г
X,
(16)
где о' (х) , т' (х) - значения функций распределения поверхностных зарядов, рассчитанных для случая однородной среды (б! = В2 = 83 = 1) при Ь = да ; Ь - длина ленточных электродов.
В случае анизотропной среды, диэлектрические свойства которой описываются тензором второго ранга
(17)
необходимо произвести изотропизирующее преобразование координат [7], сведя задачу к расчету в изотропной среде. В этом случае коэффициенты отражений и пропускания заменяются на аналогичные с учетом в2 = ^в2хв2у [7]:
А,! ^ , А2 ^ X2, А3 ^ ^3; у ^ у";
2 0 0
82 = 0 2 0
0 0 21
8 2 х82у
Г2 =
хз =
481^/82х82у (\/82х82у 83 )
(81 + д/82х82у ) (^/82х82у + 83 )
48183
(81 +у182х82у )(д/
,, (^/82х82у - 81 )(^/82х82у - 83
(81 + ^82х82у )(^
8 2 х82у + 8 3
)
8 2 х82у + 8 3
)
)'
(18)
Длина электродов Ь и размеры электродов а, с, й претерпят изменения и будут определяться по формулам [7]:
( к
С = N
2К +М
К +М
2К+2М
Еа/ + Е а/ - Е ті/і- Е т/
=2^+М+1
X = I 008 а+—^sin а, а1 = ^а;
V 8 2 х 8 2 у
С1 = ^с; й = ^й; /и = £/,
где
5=
8 2 х 8 2 у
2 у
—0082 а+-2г- sin2 а
"2 у
8Іп2 аcos2 а+———
82х82у
а - угол между осью анизотропии ОХ и плоскостью силовых линий электрического поля.
Решение системы интегральных уравнений будем осуществлять, как и ранее, методом Крылова - Боголюбова. Рабочая Ср и паразитная Сп емкости трехзажимного многосекционного зеркально-симметричного накладного измерительного конденсатора будут определяться следующим образом:
( К 2К +М К +М 2К+2М
Есі/1і + Е сі/1і- Е ті/1і- Е ті/1і
С =
=2к+М+1
2V
К К +М \
Е°"/,- Е т/
і=1______і=К+1
2V
(21)
N1;
Е ті/1і Е ті7і
С = 1=К+ АЫ - ЬЫ.
V
2V
(22)
На рис. 2 представлены рассчитанные кривые распределения поверхностной плотности заряда, полученные для ортотропного диэлектрика (материал береза), и кривые, полученные аналитическим путем [1] (обозначены сплошной линией). Константы тензора диэлектрической проницаемости для выбранного материала: 8Х = 3,14; 8у = 3,90; 8г = 3,38 и частного случая изотропной среды 8Х = 8у = 8г = 1. Размеры электродов: г0 = 0,45 ; г1 = 1,5; г2 = 3, толщина материала Ь = 2 мм, толщина воздушного зазора *1 = к2 = 0,05 мм.
Из анализа кривых следует, что имеется хорошее совпадение расчетных результатов поверхностной плотности заряда с результатами точного решения для изотропной среды [1].
В Ы В О Д
Разработана математическая модель, позволяющая моделировать электрические поля в ортотропных слоистых средах и исключать
Рис. 2. Распределение поверхностной плотности заря-дана электродах: 1 - в случае трехслойной среды;
2 - в случае однородной среды
влияние воздушных зазоров в межэлектродном пространстве преобразователя за счет оптимизации его конструкции, что значительно повышает точность измерений.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Джежора, А. А. Электроемкостный датчик анизотропии физических свойств / А. А. Джежора, В. В. Руба-ник // Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления «Датчик-2003»: материалы XV междунар. науч.-техн. конф. - Судак, 2003. -С. 65-66.
2. Джежора, А.А. Конструкции датчиков для измерения анизотропии диэлектрических свойств тонких диэлектрических материалов / А. А. Джежора, В. В. Клубович; ВГТУ. - Витебск, 1988. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.06.1988. - № 5154-В88 // Весщ Акадэмл навук БССР. Сер. ф1з.-тэхн. навук. - 1989. - № 3. - С. 114.
3. Способ измерения анизотропии свойств полимерных материалов: а. с. 1549327 / А. А. Джежора, В. В. Щербаков, В. Л. Шушкевич, Л. И. Кузнецова // Бюл. изобретателя. - 1990. - № 9.
4. Способ контроля тонких диэлектрических материалов по толщине: а. с. 1430859 / А. А. Джежора, В. Л. Шушкевич, В. В. Щербаков // Бюл. изобретателя. - 1988. -№ 38.
5. Скрипник, Ю. А. Измерение толщины диэлектрических материалов / Ю. А. Скрипник // Изв. вузов. Технология легкой промышленности. - 1980. - № 5. - С. 106-109.
6. Джежора, А. А. Расчет емкости датчика с симметричной системой плоских ленточных электродов в случае контроля гетерогенных сред / А. А. Джежора. - Витебск: ВГТУ, 1989. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.02.1989. -№ 1099-В89 // Весщ Акадэми навук БССР. Сер. ф1з.-тэхн. навук. - 1990. - № 1. - С. 110.
7. Джежора, А. А., Рубаник, В. В. Электрические поля накладных измерительных конденсаторов в ортотроп-ных средах / А. А. Джежора, В. В. Рубаник // Весщ НАН Беларуси Сер. ф1з.-тэхн. навук. - 2005. - № 1. - С. 82-86.
Поступила 21.11.2006
8
2 г
