Двухканальное оптимальное по быстродействию управление процессом нестационарной теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2018. № 1 (57)

Информатика, вычислительная техника и управление

УДК 681.5

ДВУХКАНАЛЬНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ *

Э.Я. Рапопорт, Н.А. Ильина

Самарский государственный технический университет Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

E-mail: edgar.rapoport@mail.ru; ilina.natalyaa@yandex.ru

Аннотация. Предлагается постановка и метод решения задачи оптимального по быстродействию управления температурным полем неограниченной пластины с двумя граничными управляющими воздействиями по величине внешнего теплового потока на ее поверхностях в условиях заданной точности равномерного приближения конечного температурного распределения по толщине пластины к заданному. Предлагаемый метод использует процедуру предварительной параметризации управляющих воздействий на основе аналитических условий оптимальности, последующую редукцию к специальной задаче математического программирования и способы ее решения, базирующиеся на альтернансных свойствах искомых параметрических характеристик и знаниях физических закономерностей предметной области. Приводятся расчетные результаты и их анализ для различных вариантов кривой результирующего температурного распределения.

Ключевые слова: оптимальное управление, двухканальное управление, альтернанс-ный метод, задача полубесконечной оптимизации.

Постановка задачи оптимального управления

В качестве объекта управления рассматривается процесс нагрева неограниченной пластины, температурное поле которой Q(x, t) описывается с учетом неравномерности температурного распределения только по одной координате x линейным однородным уравнением теплопроводности следующего вида [1]:

2

а^О = а S2^, x е [0, R];t е [0, T] (1)

8t 8x2

*Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 18-08-00048а).

Эдгар Яковлевич Рапопорт (д.т.н., проф.), профессор кафедры «Автоматика и управление в технических системах».

Наталья Андреевна Ильина, магистрант.

с заданными начальными

Q( x,0) = Qo( x) = 0 (2)

и граничными условиями 2-го рода

Ox g01(); (3)

Л OQ(R,t) = g (t)

Л—;-= gll(t),

ox

где R - толщина пластины;

a, Л - теплофизические постоянные;

g0i(t),gii(t) - сосредоточенные граничные управляющие воздействия, стесненные заранее известными пределами их изменения (рис. 1):

g01min ^ g01(t) ^ g01max; gllmin ^ gl1(t) ^ gl1max (4)

Рис. 1. Иллюстрация двухканального управления Требуется обеспечить заданную точность s равномерного приближения конечного распределения температуры Q(x, T) к заданному Q* (x) = Q* = const:

max Q(x,T) - Q * <s .

xe[0,ñ]

(5)

Качество процесса управления оценивается интегральным функционалом

T

I = \dt = T ^ min

о

ueü

(6)

Метод конечных интегральных преобразований [2, 3] приводит к описанию управляемой функции Q(х, £) в (1) в зависимости от пространственной координаты х е[0, и времени £ е[0,Г] бесконечной системой дифференциальных уравнений для временных мод Qи (ип, £) разложения Q(х, £) в сходящийся в среднем ряд по собственным функциям рп (цп, х) начально-краевой задачи (1)-

(3):

= -Мп 2 д„ (мп, г ) + ^ 0!(Г) + Еп(г )cosяn) , п = 1,2, ... ; аг ЛЕп

0п (м ,0)=00 (м )=0; (7)

= 2 0п (Мп, г)-Ф(мп, х). (8)

п=0

Здесь фп (мп, х), собственные числа м1 и коэффициенты Еп определяются

соотношениями [3]:

х

Еп I Я) п Я

Фп(^п,х) = 1 cos| ппХ | ; Мп =-1а%п, п = 0,1,2, ... ; Еп =

Я, п = 0;

Я 1 о

—, п = 1,2, ... 2а

(9)

Интегрирование уравнений (7) с последующей подстановкой результата в (8) приводит к следующим зависимостям температурного поля от внешних воздействий по граничным условиям:

0(х,г) = [Ыо + gn(т))dz + -^2ссзГ^пХ]• 1(?01(^) + (-1)и^11(т))-е(г-х)Л . (10)

Таким образом, может быть сформулирована следующая задача оптимального по быстродействию управления. Требуется определить такие программные

управляющие воздействия g щ (г), ^ (г), стесненные ограничениями (4), которые переводят объект управления (7) из заданного начального состояния в требуемое конечное согласно (5), где 0(х, г) определяется выражениями (8)-(10) при минимальном значении критерия оптимальности (6).

Параметризация управляющих воздействий и редукция к задаче

полубесконечного программирования

На основании необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина оптимальное по быстродействию управление устанавливается в форме релейных функций времени, попеременно принимающих только свои предельно допустимые значения согласно (4) [4]:

go*l(t) = ^1тах + + ^1тах -

2 - (11)

gOl (г) = ^1тах + ^ + ^1тах - gl1m^п 81еиМ2 (г),

где

М(г) = ссз(яп) • у* • ехр(-м„2(Т - г)), ) = • у* • ехр(-мДТ - г))

п=0 п п=0 п

и у* - конечные значения уп (Т) сопряженных переменных уп (г).

В соответствии с (11) %*1(£) и %*(£) определяются в параметризованной

форме

^0), £) ,

А(

(N0) _

0

=(А? о) ) '=11

= 1, N

0

и

£),

А(Л?1) =(а(1^1) ) 1 = 1, N1 с точностью до числа N0 и N1 длительностей А(^0) и

А

(N1)

их постоянства:

(N0) ^ = %01Шах + %01Шщ , ( ^У+1 %01ШЗх

3-1

1а^0) <£<ХА^0),] = 1,N0 , А00 = 0;

¡=0

¡=0

^(д(N1) {)= %11тах + , ( ^У+1 %11шах

3-1

<£<^А^0),] = 1,N1 , Аю = 0.

¡=0

¡=0

(12)

где согласно (2) = %01тах; %11(£) = в пределах первого интервала

постоянства.

Подстановка управляющих воздействий вида (12) в выражение (10) приводит к параметризованной форме представления конечного температурного состояния Q(x, А((No), А(1Л^')) после вычисления интегралов в (10) при £ = Т . В частности, ограничиваясь здесь и далее случаем двухинтервального управления при N0 = N = 2 , будем иметь в результате:

Q(x, ^ А(12) )= %01шах •Л0l(x, А(021) + А(022)) + (%01ш1п - %01шах) •Л0l(x, А(022)) +

+ %11шах •Л1l(X, А(121 +А^) + (%11ш1п - %11шах) ^Л11 ^ ^ )

(13)

где переходные функции объекта Л01(х,£) и Лп(х, £), представляющие собой реакции объекта на единичные ступенчатые воздействия по граничным управлениям %01 (£) и %ц(0, определяются следующими выражениями [1]:

Л 01 (х, г) = Я

аг 1

Я2 + 2

Я - х Я

- 2£

(-1)" (жп(Я - х) ^ „ п

п=1

2 2 ж п

СО^

Я

• е

(14)

Л11( x, 0 = Я

а£ 1 Я2 + 2

2 Л

ЯУ 3

ч ~ у

- 2}Г (Ж со^^ е

п=1

22 ж п

Я

(15)

При полученном параметрическом представлении искомых управляющих воздействий можно представить критерий оптимальности (6) в виде простой

2

х

суммы длительностей отдельных интервалов постоянства оптимального управления:

I = А^ + А2) = А® + А(122) ^ ш1п (16)

А01 ^^02 ^^12

в условиях одинаковой продолжительности процесса управления для обоих управляющих воздействий, а условие (5) оценки конечного распределения температур представляется в форме

ф(а(2), а(2 )= ^(х, а(2), а^ )- q

хе[0, Я]

<8, 8> 0. (17)

где Q(x, А(02), А(2)) определяется по формуле (13).

Таким образом, производится точная редукция исходной задачи к задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) (16)-(17) на минимум целевой функции (16)

(2) (2)

конечного числа переменных А(0, А( ) с бесконечным числом ограничений (17) для всех точек х е [0, Я] [4,5].

Решение задачи полубесконечной оптимизации альтернансным методом

Задача (16)-(17) разрешима только для 8 > 8^ в (17), где 8^ - минимально достижимая величина 8 в рассматриваемом классе граничных управлений:

(18)

8ш1п = т^ | т«^ А(o2), а(2))-Q 0

А(2),А(2) [хе[0,Я]

—(2) —(2)

В этих условиях искомое решение задачи А0 , А1 (16)-(17) обладает базовыми альтернансными свойствами [4], [5], согласно которым при некоторых обычно выполняющихся в прикладных задачах допущениях максимальные от-

Ь(х, А(02), А(12)) - Q 0 в (17), равные 8 , достигаются в некоторых точках

клонения

х0 е [0,Я], j = 1,Ях . Суммарное число Ях этих точек оказывается равным числу всех неизвестных в ЗПО (16), (17), включая длительности интервалов постоянства А^Д А(2), I = 1,2 и величину минимакса при 8 = 8(2П в (17). Иначе го-

воря, на отрезке [0,Я] найдутся Ях точек х0 е[0,Я], j = 1,Ях , в которых выполняются равенства [4, 5]:

^(х0, А(02), А(2))- Q * = = 1Я , (19)

где

Г5 8 > 8(2) • Ях=г г (20)

I* + ! 8 = 8(т2)п.

^ « д( No) д(

Здесь 5 - число свободно варьируемых параметров в составе А0 , А1 ,

*

равное N0 + N1 -1 в условиях одинаковой длительности процесса управления для обоих управляющих воздействий.

В рассматриваемом случае N0 = N1 = 2 получаем отсюда

5 = 3 (21)

Редукция системы равенств (19)-(21), замкнутой относительно искомых параметрических характеристик оптимального процесса, к однозначно фиксируемой системе уравнений, разрешаемой относительно этих неизвестных, должна

быть выполнена путем определения координат точек х® и знаков разностей

х0, А( ), А( ) б * в каждой из них. Эта задача может быть решена только

при известной конфигурации кривой температурного распределения

т(2) т(2) I Ч0

х, А0 , А I - б о на отрезке [0, Я] э х при двухинтервальном граничном

управлении, устанавливаемой на основании физических закономерностей процессов нестационарной теплопроводности в зависимости от величины е .

Анализ этих закономерностей [4, 5] приводит к двум вариантам по форме

- А 7(2) 7(2) 1л* (2)

кривой ^ х А 0 , А1 -б о в условиях е = ет/п в (17) (рис. 2) в зависимости от

выбора согласно (20) в качестве трех независимо варьируемых параметров

А(2) А(2) А(2) А(2) А(2) А(2)

А11 , А12 ,А01 (рис. 2, а) или А01,А02, А11 (рис. 2, б) в условиях равенства

А(2) +А(2) =А(2) +А(2) = Т

А01 + а02 А11 + А12 1 . В первом случае следует принять А^ = А(2) + А(2) - А(2), а во втором А(2) = А^-) + А^ - А^ (рис. 3).

>§01

А

(2)

а(2) А 02

Т t

А2)

Аи

А(2) А12

<---а

Т t

01

0

0

Рис. 3. Оптимальные по быстродействию граничные управления

При этом согласно (19)-(21) в обоих случаях Ях = 5 +1 = 4, и формам кривой результирующих температурных состояний, указанным на рис. 2, а и рис. 2, б, отвечают соответственно системы (22) и (23), составляемые на основании равенств (19), дополняемых условиями существования экстремума функции

х, А(), А( )б * во внутренних точках х2°,х3°,х4 отрезка [0,Я] для определения их координат.

Q[ х0,А02),А(2))-Q* =вш2)1; Ql х0,А02),А(2))-Q* =-еш2)1;

Q[ х40,А02),А(2))-Q* =8ш2)п; (22)

Q[ Я, А 02), А(2))- Q* =-еш2)1; дQ [ х0, А 02), А(2)

= 0, j = 2,3,4.

дх

Q{ 0, А02), а(2) )-Q * = -еш2>п; Qr х20, А 02), А(2) V Q* = вш2)п;

Ql х0, А 02), А(2) V Q* = -еЩ^; (23)

Q( х40, А 02), А(2))- о* = вш2)п; дQr х0, А 02), А(2) ^

-4-у = 0, j = 2,3,4.

дх

Эти системы семи уравнений решаются стандартными численными методами относительно семи неизвестных А^, А^, А^е^, х^, х°, х° в (22)

и а(2) а(2) а(2) 8(2) х0 х0 х0 в (23)

и А01 , А02 , А11 ,8m1n, х2 ,x3, х4 в (23).

Численные результаты решения систем уравнений (22), (23) в программной среде МЛТЬЛБ для исходных данных, указанных в табл. 1, приведены в табл. 2 и на рис. 2. Решение систем уравнений производилось с учетом первых 10 членов бесконечного ряда в (14), (15). Оптимальным считается вариант с наименьшей длительностью процесса управления.

Таблица 1

Исходные данные для расчета

Материал Титановый сплав

Толщина пластины Я, м 0,2

Начальная температура Q0, С 0

Требуемая конечная температура Q *, °С 960

Коэффициент теплопроводности титанового сплава X, Вт / м2 -°С 35

Коэффициент температуропроводности а, м2/ с 4,34 -10 -6

Коэффициент теплопередачи а, Вт/м2 С 260

Максимальная температура в рабочем пространстве печи Qп , °С 1600

Материал Титановый сплав

Максимальная величина теплового потока g01тах, Вт / м2 416000

Минимальная величина теплового потока golmin> Вт/м -62400

Максимальная величина теплового потока gllmax, Вт/м2 208000

Минимальная величина теплового потока gllmjn, Вт / м2 -31200

Таблица 2

Расчетные результаты при двухканальном управлении

Решение системы (22)

д(2) с д11 , с Д(2) с д12 , с Д(2) с д 01 , с е(2) Ш1П X0 , м х0, м х0, м

4276 3952 1260 7 0,032 0,1 0,167

Решение системы (23)

Д(2) с д 01 , с Д(2) с д 02 , с д(2) с д11 , с е(2) Ш1П x 0, м х0, м х°, м

3880 4374 1745 10 0,03 0,112 0,1803

Для сравнения решалась задача одноканального управления как со стороны внешнего теплового потока g01(/) на границе х=0, так и отдельно для случая, когда управляющее воздействие g11(t) сосредоточено на границе х=Я . Тогда вместо систем (22) и (23) имеет место система четырех уравнений относительно

А(2) А(2) (2) 0 А(2) А(2) (2) 0 тт четырех неизвестных: до1,д^>ет/п'х2 или дп ,^ х2 .Численные результаты решения для двух случаев одноканального управления приведены в табл. 3.

Таблица 3

Расчетные результаты при одноканальном управлении

Со стороны теплового потока g11 (?)

д?1, с д?2, с е(2) Ш1П х°, м

4031 892 13,6 0,134

Со стороны теплового потока g 01 (?)

д(2) с д 01 , с д(2) с д 02 , с е(2) Ш1П х 0, м

4031 891 13 0,065

На рис. 4 приведены два варианта пространственного распределения управля-

(2)

емой величины в конце оптимального процесса с отклонениями £т{п от заданного состояния.

На основе полученных результатов отметим, что двухканальное управление процессом нестационарной теплопроводности обеспечивает более высокую точность приближения конечного распределения температуры к заданному.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел - М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

2. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные инженерные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1986. - 303 с.

3. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003. - 299 с.

4. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2009. - 677 с.

5. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000. - 336 с.

Статья поступила в редакцию 15 января 2018 г.

TWO-CHANNEL TIME-OPTIMAL CONTROL OF THE PROCESS OF NONSTATIONARY HEAT CONDUCTIVITY

E.YA. RAPOPORT, N.A. ILINA

Samara State Technical University

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation E-mail: edgar.rapoport@mail.ru; ilina.natalyaa@yandex.ru

Abstract. Proposed formulation and the method of solution of the problem of time-optimal control of temperature field of an infinite slab with two boundary control actions by the value of the external heat flux on its surfaces in conditions of a given accuracy of uniform approximation of the final temperature distribution of the thickness of the slab to a given one is proposed. The proposed method uses the procedure of preliminary parametrization of control actions based on analytical conditions of optimality, subsequent reduction to a special problem of mathematical programming and methods of its solution based on the alternance properties of the desired parametrical characteristics and knowledge of physical regularities of the subject area. The results and their analysis for different variants of the resulting temperature distribution curve are given.

Ключевые слова: optimal control, two-channel control, alternance method, semi-infinite optimization.

Edgar Ya. Rapoport (Dr. Sci. (Techn.)), Professor. Natalya A. Ilina, Postgraduate Student.