Оптимальное по расходу энергии управление процессом индукционного нагрева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2019. № 4 (64)

УДК 681.5

ОПТИМАЛЬНОЕ ПО РАСХОДУ ЭНЕРГИИ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА

A.M. Воронцова, Э.Я. Рапопорт

Самарский государственный технический университет Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

E-mail: chernoivanova.nastena@mail.ru; edgar.rapoport@mail.ru

Аннотация. Предлагается постановка и способ решения задачи оптимального по расходу энергии программного управления процессом индукционного нагрева металлических полуфабрикатов перед обработкой давлением в условиях заданной точности равномерного приближения результирующего пространственного распределения температурного поля нагреваемого изделия к требуемому состоянию перед последующими операциями пластического деформирования. Предлагаемый алгоритм использует специальную процедуру предварительной параметризации управляющих воздействий в краевой задаче принципа максимума Понтрягина и дальнейшую редукцию к задаче полубесконечной оптимизации, которая решается с помощью аль-тернансного метода.

Ключевые слова: оптимальное управление, альтернансный метод, процедура последовательной параметризации.

Постановка задачи

В качестве объекта управления рассматривается процесс индукционного нагрева неограниченного цилиндра. Температурное поле цилиндра Q (x, t) описывается линейным неоднородным уравнением теплопроводности в зависимости от пространственной координаты x и времени t в относительных единицах

внутреннего тепловыделения [1-3];

- заданная длительность процесса управления. Начальное распределение температур принимается равномерным по всему объему цилиндра:

ВоронцоваАнастасия Максимовна, магистрант.

Рапопорт Эдгар Яковлевич (д.т.н., проф.), профессор кафедры «Автоматика иуправление в технических системах».

[1-3]:

Q(x,0) = Q0 (x) = Q0 = 0, x e [0,1], (2)

В типовом случае моделирования тепловых потерь в окружающую среду с нулевой температурой по закону конвективной теплопередачи граничные условия 3-го рода принимают следующий вид [1-3]:

8Q ( 0 t) = 0,

Oh Л ' ' (3)

+ BiQ (1, t ) = 0,

ox

где Bi - значение безразмерного критерия Био.

К конечному температурному состоянию Q (x, tKOH ) предъявляется требова-ние обеспечения требуемой точности £0 равномерного приближения к заданному распределению температур Q (x j = Q = const > Q0:

max

xe[0,Z ]

Q(x,tKOh)-Q" (x)<So- (4)

Метод конечных интегральных преобразований приводит к модальному описанию температурного поля объекта (1) - (3) бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно временных мод Qn (цп, t) разложения Q (х, t) в ряд по собственным функциям моделиобъекта [4]:

dQn ^, (vn, 0 + Wnu (t), n = 1,2...;

dt

(5)

Qn ,0 ) = Qo К ) = 0,

где ^n ~ собственные числа;

Qo (цп ) — моды начального температурного состояния и ; Жп — моды конечных интегральных преобразований Ж (х) :

1

Ж = | Ж (х, xJ0 (цпХ) сХ. (6)

0

W(x,определяется выражением [1-3]

W(x) = g ber'2^X + be{2^\ . berZjber + bei^bei

Здесь ./0 (м*пх) - функция Бесселя нулевого порядка;

(7)

berz, ber z, beiz, bei z - функции Кельвина и их первые производные [5];

- характерный параметр; ц, — собственные числа, которые являются корнями уравнения

BiJo M-J (ц) = 0, (8)

где ^ (ц) - функция Бесселя первого порядка.

Температурное поле 2(х,7) определяется значениями 2п (цп,7) при известных собственных функциях Jo (ц,пх) и описывается бесконечным рядом

[1-3]:

2<х-'2^I^ л■'). (9)

п=1 (Цп + В )^(^п )

Применительно к модальному описанию (5) - (9) объекта управления (1) -(3) требования (4) к конечному температурному состоянию предъявляются в форме соотношения

тах

хе[0,1]

2В J0 (цпх) ^ ( /П**/ \

_1 (и^Ж)2•' )"2 (х)

<е. (10)

Пусть качество процесса управления оценивается интегральным функционалом J , характеризующим расход энергии на процесс управления [6-9]:

кон

I = Г и2 (7)Ж ^ тт. (11)

0 ^ ;

Требуется найти оптимальное программное управляющее воздействие

и* (7), которое переводит объект (5), (9) из заданного начального состояния (2)

втребуемое конечное согласно (10) при минимально возможном значении критерия оптимальности (11).

Алгоритмы оптимального программного управления

На сформулированную задачу распространяется [10] принцип максимума Понтрягина [11]. В рассматриваемой задаче оптимального по критерию (11)

управления объектом (5) функция Понтрягина Н (2(7),и (7), А,(7)) принимает

следующий вид [10, 11]:

да

Н (2(?),и (7), Ц7)) = -и2 (0 + ^« (+ Ки (7)), (12)

п=1

где 2 (7 ) = 2п (?), п = 1,2 ...; ) = Хп(г) и;

Хп (7) - сопряженные переменные, описываемые системой дифференциальных уравнений:

^-Н, , = 1,2... (13)

ж д2г

Функция Понтрягина, рассматриваемая как функция одной переменной и (?), при соответствующих оптимальному процессу значениях 2* (7) и сопряженных переменных Х*п (7) достигает своего максимума по этой переменной при оптимальном управлении в любой момент времени [11]:

Н (е* (х)и (х), Я* (х)) = тахН (д* (г),и (х),X* (х)),х е [0,]. (14)

Уравнения сопряженной системы согласно (13) имеют следующий вид:

^ = |А- (х), г = 1,2... (15)

Их решения X* (х) определяется через конечные значения X* {хкон) согласно (15) в экспоненциальной форме:

(х ) = >.* (хкон) е <х" -х}. (16)

Рассмотрим сначала случай, когда на управляющее воздействие и (х) не

накладываются ограничения по его величине на протяжении всего процесса управления. Решение задачи оптимального управления в такой ситуации позволяет определить предельные возможности по достижимым значениям критерия оптимальности (11) и обосновать исходя из полученных результатов требования к выбору предельно допустимых значений и (х) . Очевидно, что данный вариант оказывается возможным только при заданном значении хкон , превышающем длительность оптимального по быстродействию процесса управления, при котором управление принимает только свои предельно допустимые значения [10]. В таком случае условие (14) максимума Н (и) заменяется условием стационарности функции Понтрягина [11]:

дН

ди

из которого имеем:

= 0, (17)

и =и

1 «>_

и* (х) = 2^(х). (18)

2 г=1

После подстановки (16) в (18) найдем явную форму оптимального управления:

1 х __2

и" (х) = ^Х* (х™К^""0, (19)

2 г=1

определенного при заданном хкон с точностью до конечных значений сопряженных переменных X* {хкон ), которые в дальнейшем будем рассматривать как параметрическое представление и* (х).

В [12] представлена и обоснована процедура последовательной параметризации управляющих воздействий вида (18) на конечномерных подмножествах

величин X* {хкон), формируемых в виде Л-мерных векторов Х*кон = X* (хкон ) ,г = 1, N конечных значений N первых сопряженных переменных при равных нулю остальных величинах X* {хкон ) для всех п > Ы\

Коп (хкон ) ,г = ЪЛ;С, = 0, п > Л; N > 1. (20)

Параметризуемое подобным образом оптимальное управление (19) описывается конечной суммой экспонент:

1 N __2

и" (0 = (tKOH(21)

2 i=1

Интегрирование уравнений (5) модели объекта с управлением (21) приводит к следующим выражениям для модальных составляющих температурного поля:

Q* (С,,t) = W-ZWе"1*" (e"2i - ), " = 1,2— (22)

V ! 2 U К + h

Подстановка полученного результата в (9) для t = tKOH определяет линейную по вектору А,кон в (20) параметризованную зависимость Q ^x, Х*кон j :

Q (^ Ь§ (Ц J1 n) ä (^ )■ (23)

Далее ограничимся наиболее просто реализуемым управляющим воздей-

* / * * \ ствием вида (21) с вектором Xкон =(^1(tKOH),X2(tKOH) I минимальной размерности

N = 2, имея в виду, что при подобном двухпараметрическом представлении оптимальных по быстродействию процессов индукционного нагрева, как правило, достигается удовлетворяющая типичным технологическим требованиям точность нагрева, оцениваемая по величине в в (10) [1-3]. В этом случае получаем вместо (22):

Q(x, А*,А*2) = у 2Bi2 Jo Ш) К (щ e~Ätm U't _ ^t ) +

^ , 1, ^ £ fc+Bi2)J12 (Ця) 2 ч 1 I >

(24)

W (tgo») e-^kOH [_ ^ 2 vi+^2 ' ,

После подстановки u(t) в виде (20) при N = 2 в (11) и выполнении проце-

(* * \

Д 2 I критерия

оптимальности от Акон.

В результате осуществляется точная редукция задачи оптимального управления к задаче минимизации функции I ^ X** j двух переменных с бесконеч -

ным числом ограничений, диктуемых требованием (10) для всех x е [0,1] (задача полубесконечнойоптимизации [10, 13]):

I(А,*,А*2min; (25)

А*,А2)= max Q(x,А*,Х2)-Q (x)

Х& 0,l II

< s. (26)

Решение задачи альтернансным методом

Задача (25), (26) может быть решена по схеме альтернансного метода [10, 13]. Согласно специальным альтернансным свойствам искомых решений, установленным в условиях малостесненных допущений, в некоторых точках

х0 е [х0, х1 ], у = 1,Я достигаются строгие равенства в (26):

Q (x0, Я*, А*)-Q** (x0)

= в, j = 1, R,

(27)

где число точек Ху равно числу всех искомых параметров оптимального процесса. В качестве неизвестных в задаче (25), (26) выступают параметры А,*, Х.2

(2) (2) и величина минимакса в случае £ = £^111 в (25):

R = •

IN = 2,

N + 1 = 3,

(2) •

8 >8

mm -

8 = 8^ , min'

где

(2)

-w - mi

Х-1 ,Х-2

max

Ц x0, xi]

Q (x, Xi, )-Q (x)

(28)

(29)

Следовательно, соотношения (27), (28) образуют замкнутую систему равенств относительно всех искомых неизвестных.

В целях редукции этих равенств к конкретной расчетной системе уравнений

необходима дополнительная информация о характере зависимости Q^x,А,*,^2)

от переменной x е[0,1]. Для этого нужно идентифицировать точки x0 в (27) и установить знаки разностей QI xj,X2 I - Q в каждом из соотношений (27).

Физические закономерности температурных полей индукционного нагрева и базирующиеся на них свойства результирующих температурных распределений оптимальных процессов, устанавливаемые в условиях (28) [1-3, 13], приводят в типовом случае Q(**\x) = Q(**) = const к форме кривой Q ^x, А,*, ^2 QQ *, показанной далее на рис. 1, согласно которой равенства (26), дополняемые условием экстремума во внутренней точке x\ е (0,1), редуцируются к системе четы -

(2)

рех уравнении при s = Smin :

-_е(2) •

Q (0, Я*, ^2 )-Q = -е

Q (x2°, Я*, ^2 )-Q*

Q (1, А.*, ^2)-Q** =-г

( 0 * * \ dQ [x2, Х1, X 2 j

min' = E(2) •

min' -_e(2) •

(30)

8x

= 0.

Система (30) решается известными численными методами относительно

неизвестных А,*,А,2, , х0. Результаты решения системы (30), полученные

**

в программной среде MATLAB [14, 15] для исходных данных Qo = 0, Q = 0.5, % = 4, Ы = 0.5, 1кон = 0.45, приведены в табл. 1 и на рис. 1 и 2.

Таблица 1

Расчетные результаты

л; ¿2 (2) £ mm Х2

3.1927 10.2839 0.0196 0.6887

Рис. 1. Температурное распределение в конце оптимального процесса без ограничений на управляющее воздействие для случая tK0H = 0.45.

и'СО

Рис. 2. Алгоритм программного оптимального управления без учета ограничений на управляющее воздействие

Учет ограничений на управляющее воздействие

В условиях наличия заведомо фиксируемого ограничения на управляющее воздействие

0 < и* (х)< 1, (31)

которое может быть нарушено, как следует из показанных на рис. 2 результатов, полученных без учета условия (31), применение принципа максимума Понтря-гина приводит на основе соотношений (12), (14) вместо (18) к следующему алгоритму оптимального управления:

1 -

если - X* (X)> г

2 г=1

л <Х>

1ТТ, ^ С),

если

Л <Х>

о < 1 тт, ^ (х)

< и„

1=1

0,

2 ;=1

1 -

если ,К (х) ^ 0 .

2 г=1

(32)

В иллюстрируемом рис. 2 наиболее типичном варианте достижения предельно допустимых величин и* (X) только на начальном и конечном участках

оптимального процесса параметризуемое согласно (21) программное оптимальное управление при N = 2 принимает следующий вид (рис. 3):

'( х ) =

2 *

^ 1=1

2 V

^ г=1

^[0, хх ];

1, хфь Х2 ];

Их2 , Х3 ];

0, Хб[Х3, Хкон ],

(33)

где неизвестные заранее моменты времени Х1, ?2, Х3 выхода и схода с ограничений фиксируются равенствами:

2

и* (х1 )=1 ¿т (х*оя ) = 1;

г=1

1

(Х2 К

*е-Ц? (Хкон ~х2 ) = 1-

(34)

г=1

(Х3 ) = 1 **е ^ ("Х3 }= 0.

г=1

Интегрирование системы уравнений (5) с управляющим воздействием (34)

* / * * \

приводит к следующему выражению для I А1, А^, XI: 26

е*(**,4,^ )=

ж

2

2

2 V,

I —. * е v '

2ж **

г=1

2 2

(и2,

Г ' -1

2 , Л

2

2 [ е~А ) _ е"^2 "¿1) ^2

Теперь задача (25), (26) редуцируется к системе уравнений вида (30), дополняемой равенствами (34), при сохранении аналогичной рис. 1 формы кривой

е (х, я,*, х*).

Решение системы известными численными методами относительно неиз-

* * (2) 0

вестных А,*, X2, 8^/*, х2 и 13 найдено в программной среде МЛТЬЛБ

для прежних исходных данных. Полученные результаты приведены в табл. 2 и на рис. 3 и 4.

Таблица 2

Расчетные результаты

я!2) (2) £ тт Х2 1г *2

3.0632 12.4591 0.0183 0.6812 0.1914 0.2676 0.4278

№

----г 1 1 1 ! ! !

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 ! ! 1

1 1 ! 1 1 м

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

Рис. 3. Алгоритм программного оптимального управления с учетом ограничений на управляющее воздействие

ЙИ, Л2,0 0.52

Q.515

0.51

0.505

<?" 0.5

0.495

0.49

0.4 S 5

0.48 _i_i_<_i_i_i_._i_i_ х

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 4. Температурное распределение в конце оптимального процесса c учетом ограничений на управляющее воздействие для случая tK0H = G.45

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. - М. : Металлургия, 1993.

2. Rapoport E., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. London, New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, 2007.

3. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Оптимальное управление температурными режимами индукционного нагрева. - М.: Наука, 2012.

4. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высш. шк., 2003.

5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. - М.: Наука, 1964. - 344 с.

6. Егоров АН. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. - М.: Наука, 1978.

7. Красовский H.H. Теория управления движением. - М.: Наука, 1968.

8. АтансМ., ФалбП. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 1968.

9. Душин С.Е., Зотов Н.С., Имаев В.Х., Кузьмин H.H., Яковлев В.Б. Теория автоматического управления. - М.: Высш. шк., 2003.

10. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Высш. шк., 2009.

11. Понтрягин Л. С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальныхпроцессов. - М.: Наука, 1983.

12. Плешивцева Ю.Э., Рапопорт Э.Я. Метод последовательной параметризации управляющих воздействий в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами // Изв. РАН. ТиСУ. - 2009. - № 3. - С. 22-33.

13. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000. -336 с.

14. Потемкин В.Г. Введение в Matlab [Электронный ресурс]. - М.: Softline Co, 2001. - Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/ml/book1/index.php

15. MATLAB.Exponenta [Электронный ресурс]: Optimization Toolbox 2.2 Руководство пользователя / авт. А.Г.Трифонов. - Электрон. и текстовые данные. - Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/

Статья поступила ередакцию 1 сентября 2019 года

OPTIMUM OPERATION FOR OPERATING THE ENERGY HEATING PROCESS

A.M. Vorontsova, E.Ya. Rapoport

Samara State Technical University

244, Molodogvardeiskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Abstract. A statement and a method for solving the problem of optimal energy consumption for the programmed control of the process of induction heating of metal semi-finished products before pressure treatment under the conditions of a given accuracy of uniform approximation of the resulting spatial distribution of the temperature field of the heated product to the desired state before subsequent plastic deformation operations are proposed. The proposed algorithm uses a special procedure for preliminary parameterization of control actions in the boundary value problem of the Pontryagin maximum principle and further reduction to the semi-infinite optimization problem, which is solved using the alternance method.

Keywords: optimal control, alternance method, sequential parameterization procedure.

REFERENCES

1. Rapoport E.Ya. Optimization of induction heating of metal. M.: Metallurgy, 1993. (In Russian).

2. Rapoport E., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. London, New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, 2007.

3. Rapoport E.Ya., Pleshivtseva Yu.E. Optimal temperature control of induction heating. M.: Science, 2012. (In Russian).

4. Rapoport E.Ya. Structural modeling of objects and control systems with distributed parameters. M.: Higher. school., 2003. (In Russian).

5. Janke E., Emde F., Lesch F. Special functions. M.: Nauka, 1964. 344 s. (In Russian).

6. Egorov A.I. Optimal control of thermal and diffusion processes. M.: Nauka, 1978. (In Russian).

7. Krasovsky N.N. Motion control theory. M.: Nauka, 1968. (In Russian).

8. Atans M., Falb P. Optimal control. M.: Mechanical Engineering, 1968. (In Russian).

9. Dushin S.E., Zotov N.S., Imaev V.Kh., Kuzmin N.N., Yakovlev V.B. Theory of automatic control. M.: Higher. school, 2003. (In Russian).

10. Rapoport E.Ya. Optimal control of systems with distributed parameters. M.: Higher. school, 2009. (In Russian).

11. Pontryagin L.S., Boltyansky V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. Mathematical theory of optimal processes. M.: Nauka, 1983. (In Russian).

12. Pleshivtseva Yu.E., Rapoport E.Ya. The method of sequential parameterization of control actions in boundary value problems of optimal control of systems with distributed parameters. Izv. RAS. TiSU. 2009. No 3. S. 22-33. (In Russian).

13. Rapoport E.Ya. Alternance method in applied optimization problems. M.: Nauka, 2000. 336 p. (In Russian).

14. Potemkin V.G. Introduction to Matlab [Electronic resource]. M.: Softline Co, 2001. Access mode: http://matlab.exponenta.ru/ml/book1/index.php

15. MATLAB.Exponenta [Electronic resource]: Optimization Toolbox 2.2 User manual / ed. A.G. Trifonov. The electron. and text data. Access mode: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/

Anastasia M. Vorontsova, Postgraduate Student. Edgar Ya. Rapoport (Dr. Sci. (Techn.)), Professor.