Двойственная регуляризация в оптимизации, оптимальном управлении и обратных задачах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДВОЙСТВЕННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ В ОПТИМИЗАЦИИ, ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ 1

© М. И. Сумин

Введение. Рассматриваются новые результаты, связанные с регуляризацией в оптимизации, оптимальном управлении и обратных задачах на основе теории двойственности [1] - [5]. Основным объектом является параметрическая задача минимизации

(Pg) fq (z) — min, Aq z = hq + q, z eV С Z, q e H— параметр,

где верхний индекс 5 ^ 0, 5 e [0,5°), 5° > 0 — некоторое число, характеризует ошибку задания исходных данных и случай 5 = 0 означает, что исходные данные в задаче заданы точно. Здесь: V — ограниченное выпуклое замкнутое множество, Z, H — гильбертовы пространства, f5 : Z — R1 - сильно выпуклый функционал с не зависящей от 5 постоянной сильной выпуклости, A5 : Z — H — линейный непрерывный оператор, hq e H — заданный элемент, такие, что

\fs(z) - f0(z)| < C5(1 + ||zH), A - A°\\ < C5, \\hs - h°\\ < C5.

Единственное решение задачи (P°), если оно существует, обозначим через z°. В зависимости от конкретного вида она может иметь смысл обратной задачи [1], уравнения первого рода в гильбертовом пространстве [2] или задачи оптимального управления [3].

Двойственная регуляризация. Двойственная регуляризация [1] - [4] для задачи минимизации (P°) заключается в непосредственном решении возмущенной двойственной к (P°) и регуляризованной по Тихонову задачи

Ri’a(\) = V5(Л) - а||А||2 — sup, Л e H, Vq(Л) = minl5(z, Л), (1)

q q q z£V q

Lqq(z, Л) = fq(z) + X, Aqz - hq - q), zq[Л] = argmin{L^(z, Л) : z e V}, Asq,a = argmax{Rsq’a(\) : Л e H}, dVqs(Л) = Aqzq[Л] - hq - q.

При условии согласования 5/a(5) — 0, a(ö) — 0, 5 — 0 и субдифференцируемости f0 справедлива сходимость к решению невозмущенной задачи (P 0) в метрике

Z: zq[4а(5)] — z°, 5 — 0. Параллельно конструируются также необходимые условия опти-

мальности в задаче (P°) [4].

Итеративная двойственная регуляризация. Под итеративной двойственной регуляризацией [1] - [4] понимается процедура построения сходящейся по аргументу минимизирующей последовательности в задаче (P 0) на основе итерационного процесса

Лк+1 = Лк + ßkdvf (Лк) - 2ßkakЛк, k = 1,2,...; Л1 e H, (2)

в котором

\dvq(Л) - dvq°°(Л)\| < rk(1 + ||Л|), rk = cVd*,

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты №04-01-00460, №07-01-00495).

а последовательности тk, ак, ßk, к = 1, 2,..., удовлетворяют условиям согласования

ak

тk ^ 0, ак > 0, ßk > 0, lim (тk + ak + ßk) = 0, -k+1 < Co, (3)

k^<x ak+i

' 1 _ ak\ ßk тk

k,3 ok 1 < C, -ß^3 < C, < C^ akßk = +TO.

k )3ßk (ak )3 (ak )3 k=

При согласованном в смысле (3) стремлении к нулю величины тk, шагового множителя ßk и параметра регуляризации ak имеет место сильная сходимость в метрике Z приближенных решений zs [\k] к решению z0 невозмущенной задачи (Р°).

На основе случая с ограниченным множеством D конструируется ограниченная по норме минимизирующая последовательность в задаче (1°) и при неограниченном D. Итерационный процесс (2), (3) снабжается правилом останова при фиксированной конечной ошибке задания исходных данных 5 > 0. Алгоритм двойственной регуляризации с его итеративным вариантом распространяется и на случай задачи (1°), в которой целевой функционал f0 и его возмущение fq являются лишь выпуклыми на D. В этом случае задача (1°) аппроксимируется по Тихонову задачами с сильно выпуклыми функционалами цели и с параметром регуляризации е > 0, а соответствующая сильная сходимость регуляризованных решений при согласованном стремлении к нулю параметров 5, а, е происходит к нормальному решению задачи (Р£). Идеология двойственной регуляризации распространяется также и на нелинейные задачи [5].

Сходимость алгоритмов (1) и (2), (3) имеет место вне зависимости от того, разрешима или нет, невозмущенная двойственная задача У®(Л) ^ sup, Л G H. Однако «качество» этой сходимости напрямую зависит от дифференциальных свойств функции значений задачи (Pg) как функции параметра q [1]-[3]. Эти дифференциальные свойства тесно связаны с седловыми точками функции Лагранжа L0(z, Л), а также с принципом Лагранжа задачи (I*).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин М.И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, №11. С. 2001-2019.

2. Сумин М.И. Итеративная регуляризация градиентного двойственного метода для решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода // Вестник Нижегородского университета. Серия Математика. 2004. Вып. 1(2). С. 192-208.

3. Сумин М.И. Регуляризованный двойственный алгоритм в задачах оптимального управления для распределенных систем // Вестник Нижегородского университета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. 2006. Вып. 2(31). С. 82-102.

4. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, №4. С. 602-625.

5. Сумин М.И. Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной задачи математического программирования // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, №5. С. 794-814.

Сумин Михаил Иосифович Нижегородский государственный ун-т Россия, Нижний Новгород e-mail: msumin@sinn.ru

Поступила в редакцию 5 мая 2007 г.