Движение воды и воздуха в тающем снеге Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546 + 536.425

А.А. Папин, А.А. Коробкин, В.А. Гоман Движение воды и воздуха в тающем снеге*

A.A. Papin, A.A. Korobkin, V.A. Goman Movement of Air and Water in Melting Snow

Тающий снег рассматривается как трехфазная среда, состоящая из воды, воздуха, льда. Математическая модель, учитывающая фазовые переходы и движение льда, строится на основе уравнений сохранения энергии и законов Дарси и Лапласа. Проведено аналитическое исследование задачи.

Ключевые слова: двухфазная фильтрация, автомодельные решения, тепломассоперенос.

Melting snow is considered as a three-phase medium consisting of water, air and ice. The mathematical model takes into account phase transitions and movement of ice. The model is based on the equations of energy conservation and Darcy’s law and the law of Laplace. Analytical study of the problem was conducted.

Key words: two-phase filtration, self-similar

solutions, heat and mass transfer.

1. Постановка задачи. Снег рассматривается как пористая среда, твердый каркас которой составляют частички льда. В процессе таяния в пористой среде происходит совместное движение воды, воздуха и льда. Тающий снег является трехфазной средой, состоящей из воды (1 = 1), воздуха (1 = 2) и льда (1 = 3). Для описания процесса используются уравнения сохранения массы для каждой фазы [1]

^ + div(piUi) = i = 1, 2,3,

j=i

* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2011 гг.)» (проект №2.2.2.4/4278), а также при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (государственные контракты №14.740.11.0355, №14.740.11.0878).

ми между водой и воздухом)[2]

3 дй

i=1

i=1

дрЗаз

= div( XcV0) + v—, (3)

dt

а также уравнение движения льда [3]

о , диз , , о

азРз^~дГ + ^Пз ' -)мз') = -^з«з - Урз+

2

+ 1л3Аи3 - -

(из - uj). (4)

Iji — lij , 53 — 0 (1)

i,j=1

система уравнений двухфазной фильтрации Маскета-Леверетта для воды и воздуха [1]

k

-v3 = -K0 — (Vpi + p°g), * = 1,2,

Mi

2

P2 - Pi — pc(si, й), 53 si — 1, (2)

уравнение сохранения энергии для тающего снега (в пренебрежении сублимацией и обменом масса-

Для сжатия ледяных кристаллов в снеге принимается реологическое соотношение [3, с. 319]

ди3

dz

— А:

1 — а3

аз

~Рз,

где А* - коэффициент пропорциональности.

В системе уравнений (1)-(4) приняты следующие обозначения: щ - скорость 1-й фазы; р* - приведенная плотность, связанная с истинной плотностью р0 и объемной концентрацией а* соотношением р* = а*р0 (условие ^23=1 а* = 1 является следствием определения р*); 1^ - интенсивность перехода массы из ]-й в 1-ю составляющую в единице объема в единицу времени; щ = тв*щ - скорости фильтрации воды и воздуха; т - пористость снега; в1, в2 - насыщенности воды и воздуха («1 = тв1, «2 = тв2, «з = 1 — т), Щз = (1 — т)из; Ко

- тензор фильтрации; к0* - фазовые проницаемости (ко* = ко*(в*) > 0, ко*|я.=0= 0); р* - динамическая вязкость; р* - давления фаз; рс - капиллярное давление, д - вектор ускорения силы тяжести; в - температура среды (в* = в, 1 = 1, 2, 3,

з

ci — const > 0 - теплоемкость i-й фазы при постоянном объеме; v — const > 0 - удельная теплота плавления льда; Ас - теплопроводность снега (Ас — ас + 6ср2, pc — J23=1 P°ai, ac — const > 0, bc — const > 0).

Следует отметить, что в работе [4] задача о движении воды в тающем снеге рассматривалась при постоянной температуре, без фазовых переходов и учета движения льда. В [5] лед предполагался неподвижным (из — 0), а температура была специальным образом связана с насыщенностью воды (отдельно уравнение для температуры не вводилось). В настоящей заметке учитывается движение льда, что является обобщением соответствующего результата из [6].

2. Простое решение. Введем конечные значения температуры й-, 01 и й+. Пусть 0 < й- <01 < й+. Считаем, что для всех й G (0, то) имеют место соотношения

0,

в > в+,

аз (в)

1 — m — ті(в — ві), 1 — m—, в < в1.

в1 < в < в+,

Здесь m— = т(в-) Є (0,1), ті = (1 — m—)/(в+ — в1) - заданные параметры. Кроме того, предполагается, что пористая среда однородна (Ко = const > 0); р0 = const > 0, в системе координат xyz вектор g = (0, 0, —g); входящие в систему (1)-(4) функции зависят от z,t. Вместо уравнения (4) рассмотрим модельное уравнение следующего вида:

Au3zz — козмз = 0,

Для системы (5)-(10) рассмотрим задачу: снег занимает область (—то,с4), 4 > 0. При г = —то вода отсутствует (в1 =0, «1 = 0, из = 0), воздух и лёд неподвижны («2 =0, из = 0), и задана температура в = в- (ниже температуры плавления льда), при г = с4 известны скорости воды («1 = «+), воздуха («2 = «+), давление воздуха (р2 = р+), задано движение льда (из = и+), и задана температура в = в+ (равная температуре плавления льда). Полагая, что все искомые функции зависят лишь от переменной £ = г — с4 (с -неизвестная постоянная), из (5)—(10) получаем

-с±(гпаіР°1) + ±(Р%) = із1; _c|(mS2/,o) + |(A2)=°;

—(Рзіі - m)) + ~77(Рзуз) = Ііз', d£ d£

k0i / dPi 0 N

Vi-V3 = -K0 — (— - Pig),

(11)

(12)

(13)

Mi d£

P2 — Pi = pc(si,e), si + S2 = 1; (14)

d2U3

-----^03 «3 = 0;

(15)

о / .. de о dm d ,4 de. , ,

= jjIA.jj); (16)

Si

£——— oo

eL = в—

I£— — to

<90, _

U3

—to=0; (17)

|£——to

где A — const > 0 и коз — const > 0.

После этих предположений приходим к следующей системе уравнений:

д д — (msip?) + ^(Ai) = hi,

д д д

^(mS2^) + -(^2) + -(^2) = 0;

дд _((!— т)^) + _(^3) = /13;

Vi-v3 = -К0 — ----ftgrj

i = 1, 2,

Mi дг

P2 — Pi = pc(si,e), si + S2 = 1;

д2из

----козиз = 0;

дг2

о дв о дв

(¿^PiWil-XT + iZ^Pi ) al

i=i

i=i

90

<9z

дв

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

д ,, дв. 0дm

= й(А“а;»-^ж- <10>

w—(0)

P2 (0) = P+ vi(0) = v.

в(0) = в+, i = 1, 2, 3. (18)

Искомыми являются функции в1(£), «*(£), Р*(£), в(£) и постоянная с. Решение задачи (11)-(18) строится следующим образом. Интегрируя уравнения (11)—(13) и (16), находим постоянную с и получаем представления для скоростей фильтрации и температуры. Используя эти представления и (14), приходим к уравнению для насыщенности в1(£). Исследование разрешимости задачи для в1(£) завершает построение решения задачи (11)-(18).

Положим

в1 = в, в2 = 1 — в; рс(в,в)= ро(в)7 (в),

^У< о.

ав

При в € (—то, +то) фазовые проницаемости ко* определим следующим образом:

0, < 0, ког = •{ 0)«Г% 0 < < 1,

ко*(1, 0), в* > 1.

0

0

0

V

+

+

u

3

3

3

Здесь постоянные п > 1. Предполагается, что функция а(в) = —7'^01^02 > 0 при в € (0,1) и а(в) = 0 при в < 0 и в > 1.

Введем также следующие обозначения:

Si < 0,

ао

-^1^27', g = g(pi-p2),

- - - Рз -

A — p1if2+P2iPi^ -В — Ml“o^2 + M2^1j

Р0

Ро

dpo _

Ив'

Mi

1, 2.

Коког

3. Определение скоростей фильтрации.

Из (11)-(13) следует, что

p?vi + р3(1 - т)мз-

— c(ms1p1 + (1 — m)p3) = A1 = const, (19)

Р2^2 — cms2p2 = A2 = const. (20)

Из (19) и (20) с учетом условий при z = —то: вода отсутствует (si = 0, S2 = 1, vi = 0), воздух и лёд неподвижны (v2 =0, м3 =0) в = в- выводим

Ai = — cp3(1 — m-), A2 = —cm-p2.

— ft —

4. Представления для температуры.

Из (21) имеем

О1 С^Р°(^ — с«®) =

¿=1

= ср3(1- т)(с1 —Сз)+А1 С1+А2 С2+С3Р0 (1—т)из,

В дальнейшем используется предположение о малом влиянии движения льда на изменение температуры. Тогда для О принимается зависимость

О1 = ср3(1 — т)(с1 — сз) + А1С1 + А2С2,

поэтому из (16) следует

и

cp0 (ci — С3^(1 — m(C))dC + (A1C1 +

о

. , 0 -i de

+ A2C2)0 — i/p3cm — Ac— = const.

d£

Из условия (17), получаем

de

A c— = cpl](ci — сз)М(в) + (_Aici+

ПРи z = 0 имеем: vi = v+,v2 = v2+ ,в = в+, u3 = + A2c2)(e — в-) — vp0c(m — m-) = Д(в), (22)

1, в > в+, m- + mi(e — ei), m- , в < в1.

ei < в < в+,

Поэтому

Ai

p°v+ — cm+s+p0,

А2 = р2«2 — ст+(1 — в + )Р2-Исключая А1 и А2, получим систему для неизвестных параметров с, в+(в1 = в, в2 = 1 — в):

+

p3

= ф+-^(1-то-))? pi

+

= c(1 — s+ — m ),

где m(e+) = 1, p3 < pj.

Решение этой системы имеет вид:

(а) s+ =1 — m- , c (

при v+ = 0, v+ < 0;

(b) s+ = (1 — m-) ^3 pV c=

при v+ = 0, v+ < 0;

(c) s+ :a) = 1—m~ 1+A (A + P% \ pV

(1-m-)(1-p°/p°)

<0

v+

_________Z_2_________

(l-m—)(1 -рЦрЧ)

<0

С = (1-т-|(Л1 -ро/р» < 0 ПРИ ^ < °> ^ < °> ГД6 А = «+/«+ > 0.

Условия (а)-(с) будем называть условием I. Возвращаясь к (19), (20), получим представления для скоростей фильтрации:

, Рз( - N Рз

VI = ств + с—к[т — то)-----------п^з,

р01 р01

V2 = cm(1 — s) —

cm

где М(в) равна (1 — то )(^в+— в + 5^1), при 0> 6»+; (1-то-)(6»-6»-)-^(6»-6»1)2, при вг<в < <9+; (1 — т-)(в — в-), при в < 01.

Для решения уравнения (22) справедлива оценка в(£) > в- для всех £ € (—то, 0) [6]. Поэтому при в € [в-, то) функции т(в), М(в) можно считать заданными, причем

/1(в) = ср3(с1 — С3)М1 + (А1С1 +

+ А2С2)(в — в-) — ^ср3(1 — т-), в(£) > в+;

fi(e) = cp3(ci — c3)[(1 — m )(в — в ) —

- ^toi(6» - 6*i)2] + (Aici + А2с2)(в - 6>“)— vcp3mi(e — ei), ei < в(£) < в+;

fi(e) = (cp0(ci—c3)(1—m-)+Aici+A2c2)(e—в-),

в- < в(£) < в1.

Эта функция непрерывна в точках в = в1, в = в+ и /1(в-) = 0. Положим

а = cp3(ci— c3)Mi—vcp0(1—m-)— в-(Aici+A2c2), b = Aici + A2c2 = —c(p3(1 — m-)ci + p0m-c2),

6i = ~ctti 1 Рз(с 1 - c3),

(21) di = cp0 (ci — c3)(1 — m-) + Aici + A2c2 — vcp^i,

n,-

0 < si < 1

si > 1

+

u

3

m

1

2

v

а1 = (в1 — в )(ср3(с1 — с3)(1 — т )+ А1С1 + ^-2^^ 62 = ср3(с1 — С3)(1 — т-) + А1С1 + А2С2.

Тогда

а+ 66», 9>9+,

Л(^) — ^ (в ~ ^1)2(^1 + (в%!) ) + аЬ ^ — ^+’ 62(в — в-), в- < в < в1.

Пусть данные задачи удовлетворяют условиям

0 < р2 < р2 < р? < то, 0 < С3 < С1 < С2 < то.

Из определения А?, А2, с, т? следует 62 = —ср3с?((1 — т-)с3/с? + т-с3р°/с!р?) > 0, а1 = 62(^1 — 0_) >0, 61 > 0, Ь > 0,

¿1 = 62 — ^ср3т? >62 > 0, поэтому при в € [в-, то) функция /1 (в) неотрицательна, монотонно возрастает и, в частности, в(£) € [в-, в+].

Решение задачи (17), (18), (22) можно представить в виде

в+ °

т=I т=I т='НШ)’

в «

в(£) = 1-1(^(АС (£))). (23)

При в € [в1,в+] из (23) получаем

в+

¿С

61(С — в1)2 + ¿1(С — в1) + а1

Отметим, что условие

— > (1- -)№ -в-) с1 с1

= ^(Ас(0).

(24)

является достаточным для приведения функции /1 на отрезке в € [в1, в+] к виду 61[(в—в1+а)2 —в2], а = ¿1/261, в2 = (¿1 — 4а161)/4б1. Из [6] следует, что ^/с1 > 60К, С3/С1 < 1/2 и для реальных процессов в1 — в- < 2^/с1, т.е. выполняется условие (24), с учетом которого имеем

в+

¿с

6х} (С — в1 + а)2 — в2

в

^(Ас (£)),

«1

0(0 = 0- + (в1 -0-)ехр(-Ь21

(К

МО

). (26)

Таким образом, при заданной функции Ас(в, в) представление (23) и его частные случаи (24), (25) определяют температуру для всех £ € (—то, 0).

5. Определение насыщенности воды.

Из (14) и (21) имеем

р03

VI — "Уз = стой + с—(то — то) —

р1

р03

к°1 Ф1

----д(1 — то)мз — (1 — то)мз — —Ко (“77 Р\д)

р1

М1 ¿£

«2 — «3 = ст(1 — в) — ст — (1 — т)м3 =

&02 , (1р2 о \

= -К о-----(— -/92-7).

М2 «£

Исключая из этих соотношений р1 и р2 с помощью второго уравнения в (14), получаем

¿Р С

— ко\ко2 Ко —— = М1^02^1 + М2^01^2 + М1^'02г’3 —

«£

—М2к°1 «3 + Коко1к°2 з(р° — р°).

Используя введенные ранее обозначения, уравнение для насыщенности представим в виде

=-------- 5, + Ро7^- +

«£ Р° V Ас У

И-----1с|товА---------|с|(то — то )В—

Р° Р°

(1 — т)\ип\еУ А [_ _ _ Мз ,

М1^2 - М2^1 + М1^2^о ) ’

Р°

в(0) = в+. (27)

Пусть £ € (0, 1), ае(в) = а°(в) + е > 0. При £ < 0 вместо (27) рассмотрим задачу

¿ве

¿ве

/1(ве)

в € [в1,в+]. (25)

Вследствие монотонности в(£) существует такая точка £1, что в(£1) = в1. Из (25) вытекает условие для определения £1: 1 (в1) = ^(АС(£1)). При в € [в-, в1] из (23) получаем

ве(0) = в+, ве (0) = в+. (28)

Функция в(£) непрерывна на отрезке [£1, 0], и, следовательно, существует значение в1 = в(£1) € [0,1]. Поэтому можно рассмотреть задачу

Л в

ао(*Ь- = /20м «£

£<£1, в(£1) = в1

¿в

_ МО .

^ Ас(в,0)”

в(£1 ) = в1, (29)

Лемма 1. Если ве(£) - решение задачи (28) и в+ € [0,1], то 0 ^ ве(£) ^ 1.

Доказательство. В (28) представим функцию

„ , /,(»*)

Ро = >^ШЖ)в

виде Р° = (Р°)+ — (Р°) , где

к

в

(Р°)+ = тах(0, Р°), (Р°) = тт(0, Р°), после чего

уравнение примет вид

ds y>iy>2 ^1^2, D S+

= ----3 Н-----(Р°)--------(Р°) +

Ро Ро Ро

И---|c|mseA----|с|(т — т~)В-\-

Ро Ро

^2(1_4)(1-т)К+|е^«+

Ро

Pi

Unip-l м -l-i ,/Mi

Н---------(1 — m)|Mg|eV а

Ро

ве(0) = в+, ве(0) = в+. (30)

Из (30) получаем

-Ж~К°£ = -^

R

Роае

1».4+г^1и + ^РИ(Р,)++

se

+-----—М2(! - т)КleV А

Q = --------(|с|(т — то )В + ¥>iy>i(Po) +

Роае

Р°ь

+ Mi^2(l - — )(1 - m)|Mj|eV а 4). pi

Из того, что А > 0, В > 0, следует, что Д > 0, ^ > 0. Поэтому

° -| Д(СЖ У Д(С К

-'■<£>=<в++/0(х)е ° ^°

«

Для функции (1 — ве(£)) из (27) находим

d( 1 — s£) df~

- Ri(1 - s£) = -Qi,

где

R

Роае

1 - se

+ Д^(£)(1_4)(1_т)|4|еумГ{)>о,

1 - se

Pi

Qi = -----(|c|(to(A — B) + m ß)+gr^i^2+

Рояе

+ ^i^2(Po) +M2^i(l - т)1мз leV A > o.

Тогда

1 - se(£) = (1 - s++

x e

о -J Ri(C)dC J Ri (CK

+ J Q1(x)e о dx)eо

> 0,

e

что и завершает доказательство.

Лемма 1 позволяет доказать существование решения задачи (28) на любом конечном интервале, в том числе на [£1, 0]. Предельный переход при е ^ 0 проводится как и в работе [6].

Лемма 2. Пусть в(£) - решение задачи (28), и выполнено условие У1(-я-)7(5) < щ, в € [0,1]. Тогда существует точка £* < £1 такая, что в(£) = 0 при всех £ < £*. Если в1 =0 и дополнительно

;^Т£1^(5)|8=о=0’ т0 =^'

Доказательство. Из (28) следует

в

^ + В1(в, в) = £>2(в,6>), и = J а°^ ¿С- (31)

Здесь

Di(s,e) = (~~~^^2^/{Ро)~ ~т Ь s РоАс

(1 — т)\и3\еУ А {_ _ _ Рз .

Н Р\!-Р2 ~ М2^1 + Mi^2— ,

Ро V Pi/

fi = 62(0 - 0-) > 0,

1

D2(s,e) = —(\с\т A+g—Lp2+'rl}—LLp2l{p'0) + i^-)-Ро s s Ас

Согласно [6, с. 90]

¥>i(s)

-fi.

>0 D2(s, в) > \с\т Amin — min(l, а, 7г„) = _D2 > 0,

- • в,в Ро

где о. = min ^ > 0, в £ \в~, 0+1, s € [0,11.

В,в

Используя представление (26) для 0(£) €

[0-,#i], получаем

5i

J тем < ^d°

где

=-^62(6> 1-6» )max(—У’1^')у27(ро) )<

,в Ро s

< —ь2(в1-в-)

-3

1

c

о

k

x

e

c

о

k

c

Ас = ас + bc(p0m )2,

А+ = ас + bc(p0m- + рз(1 - m-))2.

Интегрируя уравнение (29) по £ от произвольного значения £ до £i, получаем

1

|u+|

u(s(tl)) + > £2°(£ 1 - О + «(*(£))•

(32)

Здесь u(s(£1)) = 0 при s(£1) =0 и u(s(£1)) <

Тогда из определения и(в) следует, что и(в(£)) = 0 при £ < £*.

Пусть в(£1) = 0, У1д8^7(а)|8_0= 0 (в этом случае в(£) = 0 удовлетворяет первому уравнению в (28)). Если в(£) - решение (28), то в силу леммы 1 функции и(£), в(£) непрерывны по £. Рассмотрим малую окрестность точки £1, предположив, что в точке £ = £1 — 6, 6 > 0 имеет место неравенство в(£) > 0. При £ € [£1 — 6, £1] из уравнения (29) получаем

^ п0 • ///\— f1

->D2- mm ((ро) —

d£ s,e poA,

I ар(0

° ^

дится в силу предположений леммы 2, поэтому и(в(£)) < 0 при всех £ < £*, где £* удовлетворяет условию

¿С при в(£1) > 0. Последний интеграл схо- за счет соответствующего выбора 6. Тогда 0 =

м(в(£1)) > ^2^ + м(в(0)) т- е- м(в(£)) < 0 и, следовательно, в(£) = 0. Повторяя процесс, на к-м шаге получаем в(£к) =0, £к = £1 — к6, к > 1. При достижении значения к, при котором выполняется неравенство Д° < АСД°к6, используя (31), получим в(£к) =0, £ € (—то,£1]. Лемма доказана.

Таким образом, решение построено на всем интервале (—то, 0].

1

1мз1 f ao(z)

-D2C* — -D2C1 — д+^-------------' г— ~ I

коз J

А 0

Библиографический список

1. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физикоматематические основы фильтрации воды. — М., 1971.

2. Кучмент Л.С., Демидов В.Н., Мотови-лов Ю.Г. Формирование речного стока. Физикоматематические модели. — М., 1983.

3. Трофимова Е.Б. Математическая модель снежного покрова как многофазной среды // Тру-

ды IV Всесоюзного гидрологического съезда. — М., 1976. — Т. 6.

4. Sellers S. Theory of water transport in melting snow with a moving surface // Cold Regions Science and Technology. — 2000, N: 31.

5. Gray J.M.N.T. Water movement in wet snow // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. — 1996.

6. Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. — Барнаул, 2009.