Движение тела на наклонной плоскости с продольными колебаниями. (Общий случай) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г. Д. Терское:

»

«

/

Движение тела на наклонной плоскости с продольными колебаниями. (Общий случай).

ВВЕДЕНИЕ.

*

Процесс движения тела на наклонной плоскости с продольными колебаниями оЧень часто используется в уборочных и зерноочистительных машинах для транспортирования и сортирования зерна и других продуктов обмо- 4 * лота. Так например, для^передани продукта от одного рабочего органа ' к другому в молотилках, комбайнах и зерноочистительных установках применяются так называемые скатные доек и—гладкие деревяннйе • или железные щиты, поставленные под некоторым углом к горизонту. В целях уменьшения общеИ высоты машины угол наклона делается небольшим (во всяком случае меньше угла трения), а для того, чтобы дви- . жение тела вниз по плоскости все-таки было возможно, скатную доску приводят в колебательное движение. В некоторых машинах, например, в молотилках „Адванс-Румели*, применяются ступенчатые скат-н ы е дос к1и, по которым обрабатываемый продукт транспортируется от-одного рабочего органа к другому, переходя с одной ступени на другую, с общим подъемом кверху. *

Точно также для очистки зерна от'посторонних примесей и дЛя*его сортирования применяются так называемые грохота, си!а и реше-т а, представляющие собой металлические листы с пробитыми на них отверстиями и расположенные в большинстве случаев под небольшим углом наклона к горизонту. В данном случае для получения относительного движения продукта также необходимо сообщать плоскости колебательное движение. *

В отдельных случаях задача транспортирования продукта вверх по наклону#объединяется с задачей сортирования. В таких случаях (зерноочистительная установка „императбр14 фирмы Егрр) сита делают.ся ступенчатыми и продукт, прднимаясь с одной ступени на другую, попутно очищается от более мелких примесей или зерен, проваливающиеся в отверстия сита.

При конструировании всех перечисленных выше рабочих органов приходится разрешать, вопрос о том, каким образом вообще можно обеспе- * чить движение продукта и кроме этого стремиться к тому, чтобы характер движения, обеспечивал наилучшее выполнение тех операций, которые выполняются на данном рабочем органе или же на следующих за ним.

Отсюда следует, что _ для полного разрешения задачи необходимо знать, какой характер движения вообще может иметь место на наклонной плоскости с продольными колебаниями и каким образом этот характер движения может изменяться в зависимости от тех или иных факторов; кроме того необходимо знать, какой из возможных * на наклонной плоскости' видов движения лучше всего способствует выполненкю поставленной перед данным рабочим органом агротехнической зада'чи.

Данная статья имеет своей задачей разрешение первой части вопроса, а именно: исследовать с точки зрения теоретической прикладной механики характер движения тела на наклонной плоскости, выяснить," какие

✓

виды движения вообще возможны и, наконец, выявить влияние механических факторов на характер движения. Ввиду большого разнообразия в конструктивном оформлении подобных устройств и связакно-й с этим трудностью разрешения поставленой задачи в общем виде, предполагается, что колебательное движение плоскости осуществляется при' помощи ша-тунно-кривошипного механизма с бесконечно длинным шатуном и притом так;, что плоскость двигается параллельно самой себе, а траектория любой точки плоскости есть отрезок прямой, равный удвоенной длине кривошипа. Кроме этого коэфициент трения тела о плоскость считается величиной постоянной, и не принимается во внимание сопротивление воздуха. # 1

%

1. Возможность начала относительного движения.

Представим себе, что плоскость, наклоненная к горизонту под углом Э, приводится в колебательное движение при помощи шатунно-кривошипного И(Ди эксцентрикового механизма таким образом, чтс^ плоскость двигается параллельно самой себе, а направление колебаний образует угол ^ с плоскостью.

Если считать шатун бесконечно длинным и отсчитывать углы поворота кривошипа а от левого (рис. 1а) его положения, совпадающего с направлением колебаний, а 4оси координат расположить так, как показано

/оризош

"О

Рис. 1-а

Рис. 1-Ь.

на чертеже, то движение любой точки плоскости будет определяться уравнениями

. i reos a COS ас; у г sitl а COS а. (1)

Если кривошип вращается равномерно с угловой скоростью coj то

а = ш t и —

Скорость точки М определится выражения^

— torcos-Sin a; uv ^ — шг sin з sin а, ' (2)

a ускорение—слагающими

,У* = ^ ■ г cos a cos я; — ю-' г sin з cos а (3)

Если какое-либо тело лежит неподвижно на плоскости в точке М, то его движение такж<? будет определяться выражениями (1)—(3), * потому на тело будут действовать силы инерции

4 Jх — як**2 г cos з cos ot; Jy~moi> r sin j cos %

Если кривошип находится в первом и четвертом квадрантах, :то ;сила инерции Jx стремится сдвинуть тело вниз по плоскости (рис. 1-Ь), а сила трения будет противодействовать этрму. Для того, *1тобы тело могло сдвинуться вниз, необходимо наличие условия

т<а2 г cos с! cos <х -f- mg sin p > / (mg cos p — mw? r sin a cos a). Отсюда, после соответств^ощих преобразований, получим условие, обес-

I

Ф

. ' (5)

печивающее телу возможность сдвинуться вниз, в виде

rcosa>g*

Sin (9 — р)

СОЭ (<р — о)

I

Левая часть этого неравенства будет иметь максимум при а = 0, поэтому, очевидно, что тело йобще может сдвинуться вниз только в том случае, когда

. 9 . эш (ср — р) 4 ч

ё —, (5а)

^ , СОв (9 —а)

т

А *

и если это условие выполнено, то сдвиг тела вниз может произоити только при положениях кривошипа между ;

а3 = 2тг — argcos

g sin (<Р — Р)'

и

«о

arccos

* Lo)2r cos (9 — о) g sin (9 — p)

(1)¿

Г COS (9 — а)

(6)

(7)

Если кривошип находится во втором и третьем квадрантах, то сила ицерции Jx стремится сдв'инуть тело вверх, а сила трения будет препятствовать этому. Для того чтобы тело могло сдвинуться вверх, необходимо наличие условия ' * -

— /яш2 г cos a cos а — mg sin р > f{mg cos р — /яа>2г sin а cos а).

Отсюда*, после соответствующих преобразований, получим условие, обеспечивающее телу возможность сдвинуться вверх, в виде

- . sin (9 -4~ р)

со2 г COS а g-VT 1 г/ М

COS (ср —|— сз) "

* (8)

Левая часть этого неравенства будет иметь максимум при а—тг, поэтому, очевидно, что тело ворбще может сдвинуться вверх только в том случае, когда

• (8 а),

COS (9 -+- а)

и если\это условие выполнено, то сдвиг тела вверх возможен только при положениях кривошипа между

ы

«j = тс — arccos

а2 = те -j- arccos

>2 Г cos (9 -f- а)

8 sin (9 -f- ft) а2 Г COS(<p-f~°).

(9) (10)

Из рис. í-b .видно,- что сила инерции 1У стремится оторвать тело от плоскости. Очевидно, что-отрыв тела будет возможен только тогда, когда

\

Г sin o cos a > mgCQS?. Отсюда—условие, обеспечивающее возможность отрыва, будет иметь вид

. cosß

to2 ГCOSa >§•-

siri a

(И)

Левая часть -неравенства будет иметь максимум »при а—0, поэтому вообще отрыв тела от плоскости возможен только в том случае,' когда

0)2—

cosß

(11а)

Sin a

и если это условие'выполнено, то'при полсркенйях кривошипа между

cos¡3~. ¿

ot' •= 2тг — aireos

arccos i

g

g X- •

Sin q

cos ß sin 5

(12) (13)

Ú. Скольжение тела только вниз.

Предположим, что тело так или иначе разделяло движение плоскости до тех пор, пока крицошип не занял положения, определяемого углом аг; в этрт момент под влиянием силы инерции ]х тело начнет скользит вниз по плоскости с начальной абсолютной скоростью *

го-ъ = и3 =

arcosa SinQC3

Процесс движения тела по плоскости будет связан с появлением силы трения , ' ,

F —f{mg cos ¡3 — ты2 г sin a cos а) ,

В связи с этим при скольжении тела вниз будет иметь место ускорений, направленное вдоль гАоскости вверх. •

]н

F—mg sin ft т

sin (у — ß) COS ф ,

Ш'

г fsin a cos л

(14)

Поэтому абсолютная скорость тела при скольжении вниз будет изменяться по закону

JJ. sin (ф-Í0 /-t ^ V t

WH — WZ— I ]н dt~ — U)/-C0SC¡ Sina3 — g —VT--~ +

P-

COS Ф

ч

+ ü>r/sina (sina — sinot3); а относительная скорость определится выражением /

vH — wH — «V —---"--| шгsina3g ———U) — sin a

eos (<p — о) Г . ' sin (cp — ß)

чт —7 I tor Sin 0C3 -f- g VT ■

COSf

COS (cp — a)

(15)

(16)

Первый член в скобках выражения (16) есть величина постоянная и притом отрицательная, второй ^лен равномерно увеличивается, а послед-, ний—изменяется по зако'ну синуса; поэтому через некоторое время относительная скорость тела станет равной нулю. Положение ^ривошйпа а4, этому моменту соответствующее, найдется из условия 0 или из выражения

cor sin х>

sinfr —р)

COS (ср—а)

(¿4 — ¿:1) ™ — «>Г Sin а.

(17)

Решить это выражение проще всего графически следующим образом: строим кривую и — — шг sin а и находим точку 3 этой кривой, соответствующую положению кривошипа а3, из точки 3 проводим наклонную ли? нию 3—4 под углом—> к оси абсцисс,' причем

tg7.

sin {о -COS (ср

•о) mv

(18)

где /л*—масштаб времени по оси абсцисс, а т0—масштаб скорости по оси ординат, точка 4'пересечения этой прямой с кривой и=—югэш а определит собой искомое положение кривоищпа а4~ш£4 4 На рис. 2 Для (о2г~ - 5,13; при ,/=0,4; 3 = 12*;" 12°; г =

* м!сек

кривая и ——шгвтсс построена в масштабе ти~0,01

--; mt= 0,00667—;

Мм мм

момент а4 =2ъ.-\-162° опре-при котором относительная

= 1,15; «3 = 288° 30'; = 7Г30'; деляет собай положение кривошипа, скорость станет, равна нулю, и тело окажется неподвижно лежащим на -плоскости. В' дальнейшем^в силу того что я4 находится вне зоны, в которой возмодаю начало скольжения вниз, тело будет разделять движение плоскости до тех пор, пока кривошип снова не займет положения, определяемого углом а3, а затем процесс^пе-вторится снова и т. д. *

Разобранное здесь движение тела относится к такому \ случаю, когда тело, уже находящееся на плоскости, почему-либо разделяло движение плоскости до а3. Аналогичными рассуждениями можно также дЪказать, что тело, упавшее на плоскость, при любом положении кривошипа в конце концов станет двигаться точно таким же образом. , 4

Относительный *туть, проходимый телом за каждый период скольжения (или, что то же самое, за каждый обррот кривошипа), будет очевидно равен

-'К—-- - ¿0

' J¡6opfce*tte /н&ю не ñfiochoctm толЬко tw при с/ f=Q,4; 6*f2*i £ = Г-SO*у m=Q>Of; щ* 0,00667.

Рис. 2.

Sn=J vH<ít~

COS

COS Ф

шг sin OÍ J (/4

eos (cp—a) 2

-)-r(cósa4—cosa3)

(19)

В нашем примере a3 ==288° 30'; а4 по формуле (19) найдем' ,5К—L3&JMI.

522°; ¿3 = 0,481 сек; й=0$7() сек

/

«

Можно найти ♦ 5« графическим путем,, д^я этого необходимо сплани-метрировать площадь FH между прямой 3—4 и кривой и — — «r sitia (заштриховано на фиг-2). В таком случае

cos(<p — a)

= rH.mv.mt.

(19а)

В нашем примере

FH —1920 мм?-,

COS ср eos (22°'—12°)

1,06

соэ22р

5« =1920.0,00667.0,01.1,06 = 0,135 м = 135 им

т. е, почти то же самое.

Посмотрим теперь, как будет дело обстоять в том же случае, когда

í02r^>g- ---

С08(ф-{-з)

В этом случае, как выше было доказано, будем иметь возможность начала скоьлжения вниз от <х3 до а0 (рис. 3) и возможность начала

• скольжения вверх от аг до а2. Предпо-

ложим, что при а3 тело начало скользить вниз. Прекращение скольжения вниз, вообще говоря, может произойти при трех различных положениях кривошипа а4. Если а4<>ь (а/ на рис. 3), то тело будет разделять дщи&ение плоскости ог а/ до аь а затем начнет скользить вверх Если а1<а4<а2 (а4 на фиг. 3), то тело в момент остановки при а4" начнет скользить вверх. Если 2(а/" на рисГ*3), то тело будет разделять движение плоскости до а3, а затем начнет скользить вниз. В этом случае, несмотря на возможность начала скольжения вверх, эта возможноГгь окажется неиспользованной, т. к. при положениях кривошипа от ол до а2 тело находится в процессе скольжения вниз. ,

Таким образом выходит', что возможность скольжения вверх может быть обеспечена только в том случае, когда а4<^3 или, иначе говоря, когда прямая 3—4 пройдет под точкой 2. Для такого случая выражение (17) примет вид

Рис. 3.

— cor sina3 — g

• cos(©

Sin (cp — p)

(¿2 + T— t3) < — tor sin (2тг -f- a2

Отсюда,* посЛе' соответствующих преобразований, найдем условие, обеспечивающее возможность скольжения вверх, в виде

ct)2 r<Cg

или, что то же самое,

sin (cp — р) (2u -f а2 — g3) eos (cp — a) (sin a2 — sin a3)

siua3 — sin a3

cosa«>

2lí 4~ a2-a3

(20)

(20a)

Выражение (20) решается только путем подбора и требует затраты большого к^еличества времени, поэтому можно иметь в виду,.что если

чо2/- имеет такое значение, которое превращает выражение (8 а) в равенство, а прямая 3—4 при этом значении пересекает ось абсцисс при а — *:, то условие (8 а) обеспечит возможность скольжения вверх. В этом случае будем иметь а2 = те и вместо условия (20 получим

«>2г< — g

sin (cp -

COS (<p

¡3) Зтс — Q o) sin а*

отсюда, учитывая (8а), после соответствующих 'преобразований получим условие, обеспечивающее возможность скольжения вверх в виде

- -f- arccos

~ sin (cp— (3) COS (cp _

_ cos (cp — a) sinj(cp P)

«V

Sin (cp — ft) CQS(cp+g)11 J COS (cp — a) sin (cp —j— (3) J

Решая это выражение- путем подбора, найдем окончательно

<о-г

sin (cp — ft) cos (y -I* о) COS (cp — a) sin (cp -j— ft)

0,22

(20 b)

Таким образом, если выполнен^ условие (20 b), то возможность скольжения вверх определяется формулой (8 а), в противном случае скольжение вверх может быть только в том случае, когда имеет место, выражение (20) или (20 а).

Для иллюстрации вышеизложенного на рис. 4 показан-график изменения wV, . обеспечивающего возможность -скольжения вверх для частного случая при /=0,4 и a = (f.

' i

' 3. Скольжение тела и вверх и вниз.

Если выполнены условия (8а) и (20), то в'конце скольжения вниз,% при положении кривошипа а4, тело начнет скользить вверх с начальной абсолютной скоростью = — шг cos a sin a4.1 Процесс скольжения тела по плоскости вверх будет* связан с наличием Силы трения F, поэтому будет ¿Гметь место ускорение, направленное вниз по плоскости

__ Z7-}-wig-sin^ _ sin (cp-f-p)

m

OJ

eos o

2г/sin a cosa

(21)

Аб£Олютная скорость тела, при скольжении вверх, будет изменяться по закону

wt

— Wi -f- j jedt-^ — wrcosa sina4-(-g

Sin (cp + ft)

COS cp

a),

r/sina(sina— sin a4), а относительная скорость определится уравнением

ve

We —Ux =

cos (у a) cos©

torsina4

COS(<p + a)

V-U)

U)

<*r sin

in« J (23)

Момент а5, когда относительная скорость станет равной нулю и тело

окажется неподвижным на плоскости, определится рз условия ve ~ О

или - . /

. sin (ф -4-0) , V • /ои\

О)Г sinа4 -f- ^ --— v^-^ (4 —Л) — —^ Sin а5. (24)

COS (© + о)

Графически это уравнение разрешится, если (рис. 5) из точки 4 на кривой и = —tur sin а (соответствующей положению кривошипа <х4) провести прямую 4—5, наклоненную к оси абсцисс под углом причем

ДЗижвиое те,яо на V\ плоскости о 88ерх,uitna Л с остонобкоми.

tg

Sin (у + Р) rtlt cos (<р -f- a) mi

..(25)

(¿r*-t2¿i f'OJi £'/2°; Г--50РМ;

■ Точка 5 пересечения этоЦ прямой с кривой —ил sin а определит со-•вбой искомое положение кривошипа а5 = ¿í5#

Относительный путь, пройденный телом за время скольжения вверх, будет равен • '

S, — I vi dt

cos (<Р + g)

COS cp

■ „ ■ sin (<p —j— P) (ér> —

COS (Ф -j- а) ч 2

или же

Se~Fe.mv.mt

-f-r(cosa5 — cosa4) cos (<p-f"0)

(26)

:os cp

(26 а)

где Fe — площадь, заключенная между прямой 4—5 и кривой и — — Sin а.

Суммарный путь, проходимый телом вниз по плоскости, будет- очевидно, равен ' ^

. , S = S* + S,. На фиг. 5 для: ,

12,5;/ = 0,4; ?=12°; з = \2°) 0,02; m, = 0,00 445

4 9

таким образом, найдено

FH — 2370 мм*; Fe = 60 мм*\ 5« = 225 мм. 5 мм. S— 225—5 = 220

* Йз рис. 5 видно, что* а2 < а5 < а3, поэтому посЛе añ тело будет разделять движение плоскости до а3, а.затем процесс повторится снова и т. д. Таким образом, в рассматриваемом случае имеет место скольжение и вв^рх, и вниз с остановками. ■

, Если обозначить через /п0 —масштаб углов а по оси абсцисс и через Г, период колебания, то масштаб времени по оси абсцисс определится выражением

' Т ш0 2 к ' /íVT.

mt = /к0 = — ~ ♦ —*—...........(27)

- 360° 360° ш v 1

Отсюда видно, что по мере увеличения числа оборотов кривошипа (и-следовательно угловой скорости ш) пц будет уменьшаться, а это в свою очередь значит, чта по мере увеличения ш (и следовательно а>2.г) углы ?е и Тк будут уменьшаться. Очевидно также, что увеличение <о2г будет сбли* жать точки 3 и 5 5, ц при некотором достаточно большом зна-

чении ш2г эти точки совпадут, а. тело в. момент, соответствующий окончанию скольжения вверх, снова цачнет скользить вниз. Таким образом, увеличивая ш2г, можно, добиться такого положения, ког^а будет иметь место скольжение тела по плоскости и вверх и вниз без остановок.

В самом де'ле, если, например, взять шЧ — 21,8, то при г™50 мм / = 0,4; ¡3=12°; а—,12°, будем иметь: о> = 20,9; wr = 1,04; п = 200 o6¡müh. а'о = 85°30'; а/ = 107°40'; а2 = 252°2 0'; а3 = 274°35/ (рис. 6)í Предположим, напр., что тело так или иначе разделяло движение плоскости до аг; в таком случае при в] тело начнет скользить вверх, а момент остановки определится точкой 2; затем телр будет скользить вниз до- момента, определяемого точкой 3, затем снова будет Iскольжение вверх до момента, определяемого точкой 4; в дальнейшем скольжение вверх и вниз будет непрерывно повторяться, причем точки, в которых скольжение вверх переходит в скольжение вниз и наоборот, будут приближаться к некоторым точкам А и В, по достижении которых движение станет,, вполне установившим--ся,—скольжение вверх и скольжение вниз будут следовать друг за другом без остановок. Р /

Проведем аналитическое исследование этого движения. Прежде всего из выражений (17) и (24) следует ,

sin (ф — 8)

— ш/ Sin 7-в — g-—-™ (ÍA

9 COS (<р — а)

. sin (ср 4-ft)

— ЮГ 91H ал -f g-\LJ-n. (tB

COS(cp-|-a)

,Обозначим\ для дальнейших выводов:

— tor sin ав = Ubi sin аА = UA\ tB — tA — te\ tA — tB — tH,

где /«- время, в течение которого происходит скольжение вниз, te — время, в течение которого происходит скольжение вверх. В такрм случае из выражений (Г7а)*и (24 а) найде1И

/¡боженое тело но плоскости a SSepxr о бниэ остановок. ^

Г* 50 мм i mt =0,02i mt ^0,00333. Рис. 6.

tAy

wr sin йА.....(17 a)

tor sin olb

. . . .(24a)

COS (ср— о) COS(<p-f a)

а отсюда найдем соотношение

tH ^ Sin (<P 4- ft) ' cos(y —g) te sin (<p ~ ft) * COS (fp*"-f" o) * * ' Кроме этого очевидно, что

Jn + te=T.........

(28)

.(29) , (30).

Решая совместно (29) и (30), найдем

Г

tH=T

sin (<р — р) cos (ср о)

sin (ср — P)C0S (<р + а) + s*n (? ~f~ Р) cos (? — а) sin (ср + Р) COS (ср — с5 *

sin (ср — ¡3) COS (ср -f- а)-|~ sin (ср + Р) COS (ср — о)'' подставляя (31) и (32) в (28), будем иметь

Uв — Ua= Tg------------- sin(cp-P) Sin(? + W---------------

sin (ср — Р) COS (ср -f о) + sin (ср Р) COS (ср — а) ^водя условные обозначения

А= sin (ср — Р) COS (ф + a)í sin(<p-j-f$)cos(cp'— а);

(32)

(33)

оудем иметь

поэтому,

А + В

С — sin (ср — Р) sin (ср + р), В

tH=T-

А + В

■ Uв — Ua — Tg ——

А-\-В

а д — <Site — 2^

Кроме этого

и В — Uа — — sin (а А -¡- ШГ sin at а откуда v

о.а — arceos

(34)

•V,

(35)

2corcos \аА

<га

sin

Ub-Ua

и следовательно

= тс —j— arccos

2шг sin — 2

Ub-Ua

о • ' ««

2шг sin —

2

+

(36)

(37)

Преобразовывая ф-лы (19) и (26) применительно к рассматриваемому случаю, найдем, что полный относительный путь тела за каждый оборот кривошипа будет равен

8Ш((р —р)

S — Su —(-■ sb

coscp Д

l

cos (ср — <з) 2

-j- Г (cos aA — cos aB) I —I _(J Aie —g sin(T + P) V

cos Ф

C0s(cp-|-a) 2 + 2r/tga(cosaB — cos aA) i

+

4 Подставляя сюда соответствующие значения, найдем ,

1 & л + s / • .с

S = 2irrcos a ¿eos

/ v ^

. 2

-1--/tgasin

А+Я

А+В V .

)+

Если известны /, р, а и ш2г, то по ф-ле (38), не трудно подсчитать путь, пройдейный телом: напр., при /=0,4; р = 12°; а =12°

2кг

если со2 =21,8, то при г = 50 мм

0,978 ¡0,8(1+0,05)^0,032}

i/

52_ .

(«)2 Г)2 '

2тгг

0,852 ]/1 —0,109 =0,8

5 = 0,8. 2тг50 = 251 «л*.

Таким образом, при установившемся движении тела по плоскости без остановок путь, проходимый телом, будет тем больше, чем больше г и

5

W

■г, причем отношение

пределу •

Smax = 2^/\COS О |cOS

2тг г тгА

при увеличении со2г быстро приближается к

А + В

. . В —А \ . 2 .

i+/tgq . . „ +- /tg'sm

Л + 5

A4-S

(39)

Посмотрим теперь, какие условия обеспечивают возможность скольжения тела вверх,и вниз по плоскости без остановок. Из всег(Т*выше-изложен^ого ясно, что такая возможность будет иметь место только в том случае, когда <хз^><*з или, учитывая выражения (6) и (37), когда

2 ti — arceos

g sin (у — p) O)2 r eos (f— а)

+ arccos

2wrsin — 2

+

1^

___ f

Отсюда, после ^соответствующих преобразований, можно ^айти ^условие, обеспечивающее возможность скольжения и вверх, и1 вниз без остановок в виде ' ' •

Лл- х

sin-

' А+В

■кС

(А~\-В) sin

тгА

А+В]

2,sin2(? — Р) 2 кС

~1--г, — , ~г

sin (ср — Э)

COS'fo-*) (А+В) cos(?__¿)tg

кА (Щ А+В.

Напр., при / — 0,4, 12°, о= 12° а>г/->14,3 м/сек3 обеспечивает возможность скольжения тела по плоскости и вверх,"и вниз без остановок.

4. Движение тела при наличии отрыва, а. Пди отсутствии скольжения.

Для того, чтобы уяснить себе сущность процесса движения тела при наличии отрыва, разберем предварительно более простдй случай, когда в момент отрыва тело- неподвижно на плоскости (и вообще на данной плоскости скольжение невозможно).

Bjjuie было доказало, что момент отрыва характеризуется положением кривошипа для которого из ф!лы (11) имеем

g cosp . , / ( g cosp\2 '

% eos <x — s--x ; Sin a = ]/ 1 — .--J (41)

íO" Г sin O \ , \(1)2 r sin aj

До момента отрыва тело разделяло движение плоскости, а потому в момент отрыва абсолютная скорость тела будет равна скорости плоскости

g COSpy ; • v/ i (s cospx2

—. —— ; «у/= —orsino 1/ 1

>2 r sin а / ' ^ \

Положение тела в, момент отрыва, очевидно, ^определится координатами

g C0SP . g

*WX — — м>Г COS а

i/

(42)

У

. eos Р

(43)

г1 о)2 tg а у»'-

С момента отрыва на тело будет действовать только одна сила тяжести, поэтому скорость тела при полете будет определяться выраже-

• - • («)

<ьят

w

m

g eos § {t t'\ . уравнениями движения

у^у'+Wy' (t-f)— gcosp

ниями , . . . .,

a>JC = wx'-\-g$ln$(t — tly,

а траектория, описываемая телом,-

4- wj.it —+ ;

2 - 2

Так как скорость тела по оси У постепенно уменьшается, то момент наибольшего подъема /V определится из условия ^ = ^-¿сойВу,' --?) = (),

откуда время, затраченное на подъем, определится выражение^

согэТпа ,

-----------V

^под — 11 — t

Wx

g COS P \2

(46)

Подставляя (46) в (45), ,можно найти координаты тел^ в момент наибольшего подъема.

После момента наибольшего подъема тело, опускаясь, начнет приближаться к плоскости и в некоторый момент ¿-/ упадет на нее; в этот момент (ррд»наты тела и плоскости будут равны, а потому положение кривошипа .а>2 = о>Р', соответствующее моменту падения тела, найдется из условия -

—-------— =*= Г81П0С08Ш и

2 "

у+ (t; — f)—g cosP

К

\

(47)

а* Ы

Определение ксмехто падения тело по плоскость.

\

Рис. 7.

Проще всего разрешить 3)то уравнение, если построить по тйчкамлфцвые, соответствующие правой и левой части, и найти точ^су пе-ресеченияэтих кривых.Иолу-ченная таким образом точка определит собой искомое положение кривошипа (фиг. 7).

__15

1 •.......

Зная ou'- и t2\ нетрудно определить дальность полета тела по формуле

* г_2 х

5 = Х1е.ча — Хплоск = Xf + Wx' (t2' — t') -f ^SinP ———Г COSACOS а/ (48)

Траектория полета тела может быть построена (рис. 8) по точкам при помощи ур-ния (45); таким образом, все факторы, характеризующие полет тела в вФздухё, могут .быть определены.

хш полета тела при отсутствии /3

снаяожения.. _ __

SO- fi* J2°: (Г-Ж ... У I \

^j^m^f-jf/[ ' ¡ * /ори&онт

2 í; \\

sfiity' \ --V""' Vf ; ^ j /

\ / / \

y- % ____y

/

Рис. 8.

Особо интересным является случай, когда в момент падения тело снова будет подброшено. ТакЭе положение будет иметь место т-олько в том случае, когда

^ «'-f-2* или t2'-t'= 2lz .........(49)

* ' ^ ' ^ ' ■

Подставляя (49) и (43) в (47), найдем условие, обеспечивающее непрерывное подбрасывание, в виде ^ 4

= (50)

sin а ' sina

«

• Таким образом, если ш2г CQS^ ; т0 при отсутствии скольжения тело • sino

будет отрываться от плоскости при а', полет тела будет продолжаться до тех пор, пока кривошип не займет положения,' определяемого углом a2'¿ если ос2' находится вне зоны a'-—а", то посДе падения тело будет разделять движение плоскости до a, а затем процесс повторится снова; если же то тело тотчас же будет снова подброшено и,до-

летит по той же траектории, что и в первЖ раз; если а/ будет нахо: диться внутри зоны a—а", то *гело будет подброшено кверху, а траектория определится положением кривошипа в момент отрыва.

.6. При наличии скольжения». «

Предположим, что тело так или иначе разделяло двшкение плоскоСти до as (начало возможности скольжения вниз), при а3 тело начнет сколь-

)

зить вниз, причем движение по его оси К будет одинаково с движением плоскости, а по оси X абсолютная скорость определится выражением (15). г

Если бы отрыва не было, то, методом,- изложеным выше, можно найти, что тело прекратит скольжение при ос4 = 2тг -(- 230° (фиг. 9) для ш'-г=з40, /=0,4, 12°; 8~20° и относительный путь, пройденый телом, был бы равен 5 = 302 мм.

тш.. Однако, благодаря возможности отрыва тело будет скользить только

до 314°90', а затем' оторвется и будет совершать свободный полет. В процессе скольжения абсолютная скорость zvx в соответствии с формулой (15) изобразится на фиг. 9 отрезком кривой АВ, а при полете в соответ-| ствии с формулой (44), wx изобразится прямой ВС. при чем гих' найдется из ( (25) при Падение тела на пло-

скость, так же, как и при отсутствии скольжения, произойдет в момент/ определяемый положением кривошипа ос2' = 2*Х 139° [определяется по ур-нию .(47)]. В момент падения, по направлений оси X, тело, очевидно, буДет иметь скорость w2'x [находится из (44)-при ¿ = а потому в дальнейшем опять будет иметь' место скольжение тела вниз по плоскости, причем скорость тела будет "определяться выражением.

COS

юл/sin s(sin а — sin а2') . (50)

Построив кривую CD на фиг. 9, по этой формуле находим ;гочку 4' ее пересечения с кривой tbx = — wr eos a sin а. Положение кривошипа а4' — 2тг-|~30г°, соответствующее этой точке,, определит собой мо-

мент, когда абсолютная скорость тела станет равна скорости плоскости и скольжение вниз прекратится. Если «4/>а2, то в дальнейшем теЛо будет разделять движение плоскости до 3t3, а затем процесс повторится снова'. Если а(4<^ос2, то тело' начнет скользить вверх, «положение кривошипа, соответствующее моменту прекращения скольжения вверх, найдется методом, разобранным выше; при этом возможны два случая: или скольжение вверх прекратится раньше, чем кривошип займет положение в этом случае тело будет разделять движение плоскости до а3, а ^атем процесс повторится снова, или же скольжение вверх прекратится после «з (как на фиг. 9)—в этом случае в момент прекращения скольжения вверх снова начнется скольжение вниз с начальной скоростью несколько меньшей, чем в первый ц^з; поэтому линия ABCD пройдет'.несколько ниже чем в первый раз. Через несколько оборотов'движение будет установившимся.

Таким образом в зависимости от значения а4' (иначе говоря в-зависимости от га2г) могут иметь место различные движения:

► а) скольжение вниз^полет—скольжение вниз—остановка; % б) скольжение вниз—полет—скольжение вниз—скольжение^ вверх— остановка;

в) скольжение вниз—полет—скольжение вниз скольжение вверх.

Дбижение тела при наличии отрЫоо.

Л 0,г * óOmns mw ~0t02¡ mt* 0,02248-, 5620мм*? ''

Рис. 9.

wx-=.w«* —Vi?"

/

Путь, пройденный телом за период скольжения вниз, определится площадью, заключенной между линией АВСО и кривой их — — юг сод® внм., В рассматриваемом на рис. 9 случае эта площадь равна 5620 мм, поэтому путь будет равен 5 = 5620.0,02.0,0,00248 = 0,280 м = 280 мм.

Из вышеизложенного следует, что при увеличении <о2г угол а1 уменьшается, а угол а?2 увеличивается; поэтому, по мере увеличения ш2г точки О и А на рис. 9 будут сближаться и, следовательно, при достаточно большом значении ш2г скольжение вниз и полет будут следовать друг За другом, а остановки и скольжение вверх совсем не будут кметь места.Такое положение очевидно будет иметь место только в том случае, когда кривая СО пройдет через точку А или же выше ее, а для этого в свою очередь необходимо, чтобы имели место условия

w

г*

g

Sin(<p —S) COS 9

(4 —1'2) 4 0)Г/ s*n c (sin a3 — sin ®2') ^ — i«r cos о sin аз

(О

m

Подставляя сюда w{x, а затем zvx\ после соответствующих преобразований получим необходимое для.движения тела без остановок и скольжений вверх условие в виде

(а2' — а') sin у cos¡3 — 2тс sin (9 — р)

Sincp sin а (sin а/— sina')

Так напр., при ш2г~ 40 правая часть 5,05, поэтому остановки и скольжение вверх будут иметь место. Наоборот, при a>2r = 55 правая часть будет равна 89. Следовательно движение будет происходить 'по схеме „скольжение вндз—полет".

Рассмотрим подробнее этот случай: на рис. 10 показан rpá(J>HK изменения скорости тела в направлении, параллельном оси X для ш2г = 55; /=0,4; 3= 12°; а = 20°; г = 50 мм.

Как и следовало ожидатьг в этом случае нет ни скольжения вверх, ни остановок тела на плоскости; сначала тело скользит вниз (кривая АВ,) затем •совершает полет (прямая ВС), затем снова скользит вниз (кривая СВХ) дс> ai снова севершает полет (прямая ¿JjC,), снова скользит вниз (кривая С2Л2) и т. д. При этом с каждым оборотом кривошипа абсолютная скорость тела увеличивается на некоторую величину А®;*. Величина Awx может быть определена на основании следующих соображений: во время полета wx уве-личается на величину Аzox = gsn¡3(/2' — tf)

(см. ф-лу 44), а во время скольжения уменьшается на величину

:Р)

COS<p

поэтому

Awx = kwxr — Дя/Лск

тренное движение тела налиш/и отрыва.

fa т f-0,4-, Г-- 50wm, т^0М> Щ* 0,002Н.

Рис. 10.

А®ЖСК = g -Sin ^

[Г+f —1'2] — шг/sin о (sin а' — sin а/) ;

g

COS <p J

-j- шг/sin o (sin a' — sin aa')

иэш. ТИН. т. 56, в. IV*

Таким образом движение тела по плоскости получается ускоренным, величина ускорения (условно) очевидно будет равна

&WX Г, о я/ —Sin (ф — В)1 , 0)2 Г, . ' , . . , . /со.

Уусд = —— = g /cosp-^----—^—^ /sm*(sma'—sina/) (53)

T L , 2тс COS cp J 2тс •

При увеличении u>2r может наступить такой случай, когда »

a2' = 2ic-|-a';

в этом случае скольжение тела вниз исчезает совсем (участок кривой СВи СХВ2 и т.д. на графике будет отсутствовать), и будет иметь место непрерывное подбрасывание тела. Из ф-лы (53) для такого случая найдем, как и следовало ожидать, ф

Лсл — gsin|3 (53а)

5. Движение тела по ступенчатой плоскости. ,

Выше было доказано, что тело, скользящее, и вверх, и вниз по наклонной плоскости, в результате всё-та]<и "сползает вниз, между тем при конструировании зерноочистительных машин приходится сталкиваться с такими случаями, когда приходится осуществлять транспортирование обрабатываемого продукта вдоль машины с одновременным "подъемом его вверх.

Выполнение такой задачи возможно только в том случае, когда так или иначе уничтожается возможность скольжения вниз. Для этого моэкно, напр., наклонную, плоскость сделать ступенчатой (рис. 11); этим самым тело предохраняется от возможности скольжения вниз и, следовательно, будет, разделять движение плоскости до тех пор, пока кривошип не займет положение, определяемое углом аи При at тело начнет скользить вверх, конец скольжения вверх определится точкой а пересечения прямой 1-я, проведенной из точки 1 под углом Чв к оси абсцисс (рис. 6) с кривой и = — шг sina. Путь, пройденный телом, определится ф-лой (26), которая для данного случая примет вид

_ cos (у -f- о)

COS ср V

• // /ч Sin(<p + P) {ta—txY ( 0)Г sin fltj (ta — t\) — g'-----— -{-

COS(cp+a) 2

+ r(C0Sae— COSftj)

(54)

После о.а тело будет4 разделять движение плоскости до тех пор, пока кривошип снова не займет положение аи а затем процесс повторится снова. Длина уступа должна быть, очевидно, равна или несколько меньше для того чтобы за каждый оборот кривошипа тело перемещалось по плоскости на один уступ. Само собой разумеется, что использование ступенчатой плоскости для транспортирования, или сортйрования продукта с подачей его вверх будет возможно только в'том случае, когда выполнено условие (8а).

В некоторых случ.аях конструкторской практики может встретиться необходимость использования ступенчатой плоскости для подачи продукта вниз. Это может быть или потому, что наклонная плоскость для увеличения прочности делается, ступенчатой (грохот у больших молотилок)

шли же потому, чтЪ нежелательно истиранив транспортируемой продукта, а скорость перемещена требуется настолько большая, что на гладкой плоскости тело могло бы скользить и вверх и вниз (рис. 12).

(Упупенчотоя плоскость для ло&т продукта 68ерх.

Рис. 11.

Ступенчотля плосНостЬ для подачи продушо бг/оз.

Рис. 12.

В таком случае применимы все рассуждения, изложенные вы1ие, с той только разницей, что скольжение будет начинаться при ав и кончаться при <хА (см. рис. 5», а пройденный путь определится формулой (19).

На рис. 13 изображен график, показывающий изменение Se и S* для

Лугь. проходимый телом но стулем/отод лри г^ЗОмм.

Рис^ 13.

ступенчатой плоскости, в частном случае—при а>2г = 35; г = 50;/ = 0,4 Из этого графика следует, что

a) будет тем Дольше, чем меньше £ и чем <з ближе к—ф;

b) 5„ будет тем больше, чем больше (3 и чем а ближе /е + Ф- % *

* * *

4 6. Вывады.

Ъсновной 'вывод из всего вышеизложенного заключается в том, что характер движения тела на плоскости с продольными колебаниями может быть весьма разнообразным и зависит от: центростремительного ускорения кривошипа о>2г, коэфицяейта трения / тела о плоскость, угла наклона р плоскости к горизонту и угла о между направлением колебаний, и плоскостью

блиянизаключайся в том, что:

1. Тело совсем не будет двигаться по плоскости, если

ш2 r<Cg

sin (у — ¡3)

COS (<р — а)

2. Тедр двигаться по плоскости только вниз, если

COS (<Р — о) cos (ср о) COS (<Р — о) sin (ср -f р)

или

при

sin(<p-^p) to2 r <gsin — «в)

cos(tp — о) Л cos(<p — a) (sino2—sinaj)

si д (y — p) cos (y + q) ^ 0^22 eos (cp — o) sin (<p + P) '

3. Тело будет скользить по плоскости и вверх и внлз с оста ковками, если ч>2г будет больше, чем в предыдущем случае, И:

<о2Г<

g

sin

ñ'A

■х

X

/

\

i4 4-B

uC

(Л+ 5) sin

ít/4

Л + Я

2 . sin2 (cp — p) -Г

2jtC

sin (<p p)

■RA

cos«X?-e) Л + Я cos(?_a)tg

* I

4. Тело будет скользить по плоскости и вверх и вниз без остановок, если

g

sin

ir А

■X

X

/

тсС

(Л-f- 5) sin

it Л

Л + £ *

sin (ср — pj

2 . sin2 (ср — р) __

cos2(ср- в)" A-**' cos(

VT ' 6 Л-ffi

^ „ i cos 8 Sin'O

<

5. Тело будет в процессе скольжения вниз отрываться от плоскости и совершать полет, при этом могут иметь место остановку и скольжение вверх, если

i у со&р («/ — «;) sin ср cos p — 2u sin (9 —Р)

sino . sin ср sin о (sinoía'— sina')

.Цело бу;д&т скользить вниз ^и совершать полет без о q т qk н^ й^оскости, если

(а\- a!) sin ср cos р - 2u sin (ср - > r <gcos¿y-qr, sin <Р sin о (sin a2'— sin a') sin a

7. Тело будет Непрерывно подскакивать *) по плоскости б.^з остановок и скольжений вниз, если только

•>2 г

gcosp sin о

1) Общее движение тела буде\, направлено вниз и будет равномерным для случаев 1—&

и ускоренным для случаев 6—7.

/

Влияние угла наклона р плоскости к горизонту видно из рис. 14 к заключается в том, что:

1. Увеличение угла р уменьшает значение <оV, необходимое для возможности скольжения вниз, и увеличивает значение со* г, необходимое для возможности скольжения вверх, особенно когда Р близко к ср.

ф

/рафик дпя определения хароктеро движений тепа при

Рйс. 14.

2, Увеличение угла р уменьшает значение необходимое для возможности отрыва, причем это уменЬшеййе не особенно вея^о.

3. Увеличение угла р уменьшает зй£*Щние необходимое для ускоренного движения; при Р><р ускоренное движение %удет при отсутствии колебаний, а* при р = 0 ускоренное движение вообще невозможно.

Влияние угла о между направление^ колебаний и плоскостью также видно из рис. 14 и заключается в тЬм, ,*гго:

1. Изменение о незначительно отражается на Значении ОбёбЖбШ-Ъающем возможность скольжения вниз; минимальное значение ш*г получается при о = —1~ <р.

2. Увеличение в увеличивает значение «Л*, необходимое для возможности скольжения вверх, и уменьшает значение «¿г, необходимое дйк возможности отрыва; минимальное значение, обеспечивающее вбзмойс-ность скольжения вверх, получаемся, йри о = — <р; минимальное значение

* 1С

«2г, обеспечивающее возможность отрыва, будет при а==— а при <з = 0

*отрыв вообще невозможен. Увеличение угла 1фе*шй ^ ййЭЫб^ ние значений «2г, обеспечивающих возможность скольжения вниз и вверх. • Ш возможность отрыва угол «р» н£ В|Лййет< I