ДВИЖЕНИЕ ФРОНТА В ЗАДАЧЕ "РЕАКЦИЯ-АДВЕКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ" С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Движение фронта в задаче «реакция-адвекция-диффузия» с периодическими

коэффициентами

Е. И. Никулин1, а

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2

Поступила в редакцию 24.03.2022, после доработки 21.06.2022, принята к публикации 05.07.2022.

В работе показано существование и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решений с движущимся внутренним слоем (фронтом) в краевой задаче для сингулярно возмущенного параболического уравнения реакция-адвекция-диффузия с условием периодичности по времени. Кроме того, доказано существование решений указанного типа для соответствующей начально-краевой задачи и предложено достаточное условие для их притяжения к периодическому решению. Для каждой задачи построено асимптотическое приближение решения и доказаны теоремы существования и единственности решения с построенной асимптотикой, основанные на асимптотическом методе дифференциальных неравенств.

Ключевые слова: периодические решения, реакция-адвекция-диффузия, фронт, асимптотическая устойчивость, метод дифференциальных неравенств, верхнее и нижнее решения, внутренний переходный слой, малый параметр. УДК: 517.9. РЛСБ: 72.20.-i.

ВВЕДЕНИЕ

Во многих системах, описываемых уравнениями типа «реакция-адвекция-диффузия» и обладающих двумя устойчивыми положениями равновесия, возникают резкие переходные слои между этими положениями при условии, что коэффициент диффузии мал по сравнению с коэффициентом реакции. Такие уравнения являются сингулярно возмущенными и имеют малый параметр при старшей производной. Они возникают во многих прикладных задачах, в частности в физике полупроводников: при моделировании распределения поля и концентрации носителей внутри полупроводника [1] (см. работу и ссылки к ней). Отметим, что задача, которая будет поставлена в разд. 2, возникает при поиске распределения напряженности электрического поля внутри полупроводника, обладающего отрицательной дифференциальной проводимостью, с использованием дрейфо-диффузионной модели (см. [2], § 2 п. 10).

Задача движения переходного слоя в сингулярно возмущенных уравнениях типа «реакция-диффузия» и «реакция-адвекция-диффузия» исследована во многих работах [3-5, 7, 8]. Последние результаты, по сведению автора, относящиеся к пространственно-неоднородным задачам с коэффициентами, периодически зависящими от времени, содержатся в работах [5, 7].

В работе [6] показано существование устойчивого периодического внутреннего слоя в задаче «реакция-диффузия» с периодическими коэффициентами, где при производной по времени, в отличие от исследуемого в данной работе уравнения (1), стоит коэффициент е2. Известно также (см. [5]), что в соответствующей уравнению из [6] начально-краевой задаче, в которой фронт в начальный момент

времени уже сформирован и находится на конечном расстоянии от устойчивого периодического фронта, скорость притяжения этого фронта к периодическому на порядок превосходит скорость периодического движения последнего. Такие два движения в работе [5] названы «быстрым» и «медленным».

Оказывается, что для уравнения (1) движение слоя происходит со скоростью, порядок которой в любой момент времени совпадает с порядком скорости движения периодического слоя, т.е. происходит только «медленное» движение. Кроме того, указанный переход к другому временному масштабу приводит к существенному изменению условия асимптотической устойчивости периодического решения (ср. неравенство в требовании У3 в [6] и условие (А4) настоящей работы).

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В настоящей работе нас будут интересовать решения следующей сингулярно возмущенной краевой задачи:

du

du

E-mail: nikulin@physics.msu.ru

N11 := т — е—--ьА(х, 1, е)—--{{и, х, I, е) = 0,

дх2 81 к 'дх к '

х е (-1,1),

ди . , . „ ди ., .

- ,.,. 0.

(1)

которая будет рассматриваться при г е М и условии периодичности по времени

и(х, г, е) = и(х,г + Т, е), х е [-1,1], г е М,

или при г > 0 с начальным условием

и(х, 0, е) = и00(х, е), х е [-1,1].

Здесь е е (0,е0], е0 > 0 — малый параметр.

2

а

Мы предполагаем, что выполнены условия: (А1) Функции А(х, е), / (и, х, е) являются Т-периодическими по £ и достаточно гладкими в своих областях определения.

(А2) Пусть вырожденное уравнение / (и, х, 0) = 0 имеет ровно три Т-периодических по £ решения и = ^>(±,0)(х, £), причем для любых (х, £) € [-1, 1] х М выполнены неравенства:

^(-)(х,£) < ^(0)(х,£) < ^(+)(х,*), /и(^(±)(х, £), х,£,0) > 0, /и(^(0)(х, £), х,£,0) < 0.

Нас будут интересовать решения, обладающие подвижным резким внутренним переходным слоем вблизи некоторой точки х = х(£, е), который происходит с корня <^>(-)(х, £) вырожденного уравнения к корню <£>(+)(х,£). Такие решения называются контрастными структурами типа «ступенька».

Прежде всего выясним условия существования периодических решений, асимптотически устойчивых по Ляпунову.

2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Постановка задачи в периодическом случае имеет вид

„2

д^и дх2

ди

ди

— е—--ьА(х, 1, г)—--{{и, х, I, е) = О

д^ дх 4 у

(х, £) € = (-1, 1) х М,

ди, . „ „ ди ., . „ т

—(—г) = 0, — = 0, * е м,

дх дх

(2)

и(х,е) = и(х,£ + Т, е), х € Б 2.1. Построение формальной асимптотики решения

Асимптотика решения задачи (2) ищется в стандартном виде ([9, 10]):

и(±)(х, *, е) = и(±)(х, е) + д(±)(е,е)+ + Д(±) (п(±), е) , (х, е) € Б± х (0, е0]. (3)

Здесь Бг

и(±)(х,е)

[-1, х] х М, Б

(+)

.-7(±)

(х)

+ ем1[±)(х) +

[х, 1] х М,

регулярная часть разложения, функции д(±) (е, е) = д0±) (е, ь, е) + ед(±) (е, е) + ... описывают поведение решения в окрестности

/\ / \ ^ ("ъ, е ) точки перехода х(г,е), 4 = - —

растянутая переменная переходного слоя; функции Д(п(±),е) = Д (п(±),+ еЙ1 (п(±),+ ... описывают поведение решения в окрестностях граничных точек отрезка [—1;1], = —

растянутые переменные, соответственно, вблизи точек х = ±1.

Отметим, что функции «¿(х, £), Д(п(±), определяются стандартно (см. [9])), причем и0±)(х, £) = ^(±)(х, £), Д (п(±), г) = О(е) в силу краевых условий Неймана, т.е. возникает слабый пограничный слой.

Положение внутреннего переходного слоя определяется из условия С 1-сшивания асимптотических

представлений и( )(х,е) и и(+)(х,е) в точке перехода х(£, е) :

и (±) (х(£, е), е) = ^•'(х^, е),

(4)

я я

= (5)

дх дх

Точку перехода х = х(£, е) будем искать в виде разложения по степеням малого параметра е :

х(£, е) = х0 (£) + ех1 (¿) + ...

(6)

Коэффициенты данного разложения будут определены в процессе построения асимптотики. Отметим, что мы не будем вначале раскладывать по степеням е точку перехода х(£, е) в асимптотике решения, в отличие от подхода, изложенного, например, в работе [8]. Это упростит алгоритм построения асимптотики.

Задачи для функций д0 ) (е, е) имеют вид

де2

+

V д^

- А(х(^ е), ¿, 0)

(±)

де

= /(^(±)(х(*, е), *) + д0±), х(*, е), í, 0), (7) д0±) (0, е) + ^(±) (х(*, е), *) = ^(0) (х(*, е), *), д0-) (±то, е) = 0.

Введем оператор Б, который действует по следующему правилу:

Б.т := - А(Х$,£)Л0). (8)

д^

Введем функции

7.(±)

(е, X, *)= ^(±)(х(*, е),*) + (е,е)

■;(±)

(е, х, ¿) =

(е, х,í), е € [0, ±ТО).

(9)

Задачи (7) в обозначениях (9) принимают вид

д2и(±) Г1„дй(±) г,_(±) А

!(±)(0, X,*) = ^(0)(X, í), й(±)(±то, X,í) = ^(±)(х,í).

(10)

Наряду с задачами (10), рассмотрим задачу

д2и тт,ди

(0)

(11)

и(0, X,= ^(0)(X,¿), и(±то, X,-¿) = ^(±)(X,-¿).

Задача (11) подробно изучена в [3], и мы приведем необходимый нам результат в виде леммы.

0

Лемма 1. Для любых х е (-1,1), г е М существует единственная величина Ш такая, что задача (11) имеет единственное гладкое монотонное решение и(£, х,г), удовлетворяющее оценке

|и(£,х,г) - ^(±)(х,г)| < Сехр(-к|£|),

где С и к — некоторые положительные постоянные. При этом функция Ш(х, г) определяется следующим выражением:

Ш (х, г)

/ / (и, х, г, (х,г)

/ ч 2 .

Гладкость функции Ш(х, г) совпадает с гладкостью функции /(и, х,г,0) относительно аргументов (х,г).

Очевидно, в силу Т-периодичности по г функций / и А функция Ш тоже обладает этим свойством. Пусть выполнены следующие требования. (А3) Пусть задача

лх

— = \У{х,г)+А{х,г,0),

лг

х(г) = х(г + Т)

(12) (13)

имеет решение х = х0(г): -1 < х0(г) < 1 при г е М. (А4) Пусть х0(г) удовлетворяет условию

лг < 0. (14)

= Ж0(0

Хорошо известно, что неравенство в условии (А4) гарантирует асимптотическую устойчивость по Ляпунову периодического решения х0(г).

Обозначим через (10.а) задачи (10), в которых везде х заменено на х0(г), или, другими словами, в которых положили е = 0. Из Леммы 1 и условия (А3) следует единственная разрешимость задач (10.а), так как выполнено условие )х0(г) = Ш (х0 (г), г). При этом

~ ^(.0, хоШ) = 0, * е М.

В силу предполагаемой гладкости коэффициентов /, А (см. условие (А1)) задачи (10) являются регулярным возмущением задач (10.а), а потому также единственно разрешимы. Отметим, что, в силу представления (6), имеем теперь ^.(0, ¿(*,£),*) - г), £) = О(е).

Таким образом, построение функции переходного слоя в нулевом порядке завершено. Функции переходного слоя первого и следующих порядков находятся по стандартному алгоритму (см. подробнее, например, [8]), и их построение здесь не приводится.

2.2. Асимптотическое приближение положения фронта

Неизвестные коэффициенты х»(г), г = 1,2... разложения определяются из условий сшивания (5)

производных асимптотических разложений. Введем функцию

тт, ^ /ли (+> . ли ( —>

Н{е,1) := е —-—(ж, е)---—(ж, е)

лх лх

= Н)(е, г) + еН (е, г) + е2Н2(е, г) + ..., (15)

где

Я0(М) = - Щ-{0,±,е),

Г

тт , ^ . —> ,

лх

+

лх

д£

д£

и т. д. Условие С1 сшивания (5) выражается равенством Н(х, г, е) = 0. В силу Леммы 1 и условия (А3) с учетом разложения точки перехода (6) это равенство выполнено в порядке е0.

Анализ задач (10), (11) показывает, что функция Н0 может быть представлена в виде:

1

Яо(£, *) = (Ш- - Щж, *)) ——— х

г>(0, х, г)

х у 52(е,х,г)е(вх)«ле+о(е2). (16)

Как следует из разложения (15) и представления (16), члены х,(г), г ^ 1 высших порядков в (6) могут быть найдены из следующих линейных периодических задач:

сЫ

+

д_

дх

Ш (х, г) + А(х, г,0)

х»(г) = х» (г + Т),

хДг) = = ^(г), (17)

(18)

где С»(г) — известные функции. Разрешимость этих задач гарантируется условием (А4).

2.3. Обоснование формальной асимптотики

Положим Хп(1,е) = ^£гХг{1), £ = ——_ ¿=0 _ е Кривая Хп(г, е) разделяет область В г на две

подобласти ))) : (х, г) е [-1, Хп(г, е)] х М

и )): (х,г) е [Хп(г, е), 1] хМ. Определим функции

иП±) (х, г, е) =

п

= Е е» (и,(±) (х, г) + д(±) (е, г, е) + Д(±) (п(±), г)) ,

¿=0

(х, г) е В(±),

х

где х(£, е), входящие в выражения для функций переходного слоя, заменены на Х^,е). Обозначим

Г иП-)(х, е), (х, *) € Б и„(х, е) = " (19)

[и(+)(х,е), (х,*) € Б^.

Для доказательства существования решения вида движущегося фронта используем асимптотический метод дифференциальных неравенств (см. [11]). Зададим функцию хв(¿, е) = Х^^, е) - е"^1^), где положительная функция £(£) > 0 будет определена ниже. Будем строить верхнее решение вп(х, е) в каждой из областей Б) : (х, ¿) € [-1, хв(¿, е)] х М и Б: (х, ¿) € [хв(¿, е), 1] х М. Введем растянутую

* х —жд(г,е)

переменную =-

Построим верхнее решение задачи (2) в виде:

вП±) (X, е) = иП±1 + е"+1 (м + ?(±) (ев, ^ е)) +

(±

Чв

-114в

+ е"+1(вК0^' + е—К0П '), (х,*) € Б(±). (20)

Под мы понимаем функции и^'(х, е),

в которых заменен аргумент е у функций переходного слоя на ев, а Х„+1 на хв. Функции д(±) (ев, е) нужны для устранения невязок, которые возникают при действии оператора на верхнее решение и определяются стандартно ([8]).

Нижнее решение а(±)(х,е) строится аналогично.

Все необходимые условия для верхнего и нижнего решений проверяются стандартно, аналогично работам [6, 8]. Проверим здесь лишь условие скачка производной. Имеем

дх

х = хв

1>(0,х0,Ъ \дх\ );с=;сот) ЦхоЛ)]

где ^ (х0, £) = м

0

/и±) (х0, ^ ! й(±) (а, х0, *) в(Вх°)ст¿а

«х0,()=/ б»«.,.*™«> 0.

Определим функцию £(£) как решение задачи

+

х=х0(г)

Ь(х0,

од = + т),

а, (22)

(23)

(21)

I-

Теорема 1. При выполнении условий (А1)-(А4) существует Т-периодическое по £ решение ир(х,е) задачи (2), для которого справедлива оценка

|ир(х, е) - ип(х,е)| = 0(е"+1).

Кроме того, решение ир(х,е) является асимптотически устойчивым по Ляпунову с областью устойчивости ширины О(е), а следовательно, единственным в этой области.

+

е

+

где а — достаточно большая положительная величина. Как нетрудно показать, из условия (А4) следует, что решение этой задачи существует и всюду положительно. Таким образом, выражение в правой части равенства (21) отрицательно за счет а > 0 при достаточно малых е.

Итак, основываясь на известных теоремах сравнения из [12], можно утверждать, что существует Т-периодическое по £ решение задачи, удовлетворяющее неравенству ап(х, е) ^ и(х, е) ^ вп(х, е). Используя метод сжимающих барьеров (см., например, [13]), нетрудно доказать, что это решение является асимптотически устойчивым по Ляпунову с областью притяжения по крайней мере [«1(х, 0, е); в1 (х,0,е)], ширина которой составляет О(е). Таким образом, верна

3. ДВИЖЕНИЕ ФРОНТА В НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

Следующее исследование начально-краевой задачи представляет собой непосредственное развитие результатов работы [8] на случай наличия адвекции и периодической зависимости коэффициентов реакции и адвекции от времени.

Будем считать выполненными условия (А1)-(А4) и исследуем движение сформированного фронта при наличии периодических решений, указанных в Теореме 1. Нас будут интересовать те решения, которые притягиваются к найденному в предыдущем разделе периодическому решению ир(х,е) при £ ^ то.

Постановка начально-краевой задачи имеет вид:

2 д2и ди ди

N'11 := £~ —-г — £ —--£А[х, I, £)—--Т(и, X, 1, £) = 0,

дх2 дг v удх ^ у

х е (-1,1), г> 0,

= Ьм,е) = о, * > о,

дх дх

и(х,0,е) = и00(х,е), х е [-1, 1].

(24)

Асимптотика решения задачи (24), для которой мы введем обозначение ип(х, г, е), имеет такой же вид, как и асимптотика ип(х, г, е) для периодического решения ир(х, г, е), но в которой координата переходного слоя уже определяется по-другому: х(г) = х0(г) + ех1 (г) + е2х2(г) + ... Пусть выполнено условие

(А5) Пусть задача

и(х, г, е) е [а(х, г, е), /3(х, г, е)], х е [-1,1], г ^ 0, е е (0, е0]. Кроме того, в силу условия (А5) и неравенства (26) существует такое г1, что при г ^ г1 справедливы неравенства: «1(х, г1, е) < а2(х, гь е) ^ и(х, г1, е) ^ /?2(х, г1, е) < < в1(х,г1, е), означающие, что функция и(х,г^ е) лежит в области влияния устойчивого решения ир(х,г,е). Таким образом, справедлива

Теорема 2. При выполнении условий (А1)-(А6) существует единственное решение и(х, г, е) задачи (24), обладающее внутренним переходным слоем, для которого для которого справедлива оценка

|u(x, t, е) - Un(x, t, е)| = O(en+1).

Кроме того,

lim |u(x, t, е) — up(x, t, е)| = 0.

— = T-F(x,í) + A(x,í,0), x(0) = xoo e ( — 1,1)

(25)

имеет решение x = Xo(t): —1 < Xo(t) < 1 при t ^ 0, причем lim (Xo(t) — xo(t)) = 0.

Предельное соотношение в (25) представляет собой требование принадлежности xoo области влияния асимптотически устойчивого периодического решения xo(t).

Функции x.j(t), i = 1,2,... определяются как решения линейных задач Коши для уравнения (17), в котором произведена замена xo(t) на xo(t), с начальным условием x.j(o) = o.

Обозначим через an(x,t, е) и /3„(x,t, е) соответственно нижнее и верхнее решения для задачи (24). Определение верхнего и нижнего решений для задачи (24) дается аналогично определению, использующемуся в предыдущем разделе, основное отличие состоит лишь в замене требования T-периодичности по t на условие

(А6) Пусть выполнено неравенство a(x, o, е) ^ uoo(x, е) ^ /3(x, o, е), x € [—1,1], е € (o, eo].

Последнее условие означает, что в начальный момент времени фронт уже сформирован.

Верхнее решение определяется выражением(20), в котором: 1) функции xj(t) заменены на x.j(t), 2) функция ¿(t) заменена на функцию ¿(t), определенную как решение задачи Коши для уравнения (22), в котором произведена замена xo(t) на xo(t), с начальным условием ¿(o) = ¿o, где ¿o > o — некоторая постоянная. Можно показать, что в силу выполнения условий (А3)-(А5)

¿1 < <5(t) < ¿0, t > 0,

(26)

где ¿0, ¿1 — некоторые положительные константы.

Нижнее решение а(х, г, е) имеет аналогичную структуру. Можно убедиться, что все условия, фигурирующие в определении верхнего и нижнего решений для задачи (24), для функций а(х, г, е) и /3(х, г, е) выполнены. Из известных теорем сравнения (см. [14]) следует существование единственного решения начально-краевой задачи (24)

4. ПРИМЕР

Рассмотрим задачу

-ё - еж + '' = -1) («- '0 •

х е (-1,1), г е М;

ди ди

и(х,г, е) = и(х, г + 2п, е), х е [-1,1], г е М.

(27)

Для асимптотики нулевого порядка имеем выражение:

du

du

СЦз(ж, t, е) = u(£, x0(t), t)

C (x, t) =

С(жо,*)ехр(л/2£) - 1 C(xQ,t) exp(\/2£) + 1' (0)(

1 +yW(x,f) 1

Задача для определения точки перехода х0(г), соответствующей периодическому решению ир(х, г, е), имеет вид

^ = - Щ)х, I е М, (28)

x(t) = x(t + 2п).

(29)

Положим = -7= sini, b = const < \/2, тогда

задача (28) примет вид

— + ВДж = bsiní, í G R, dt

(30)

x(t) = x(t + 2n). (31)

Решение задачи (30), (31) выписывается явно:

2п

Mt) := Ф(*> 1 — Ф(27Г) / о

Ф-1(в)6 sin sds, Ф(£)=ехр( ~J k(s)ds I .

0

0

-1.0 -0.5

a - t=0 u

1.0

■Г7

б - t=i u

1.0

в - t=2 u

г - t=3

д — t=4 e

Рисунок. На рисунках a-e изображена зависимость решений периодической задачи (27) и соответствующей начально-краевой задачи от координаты x при разных значениях t c шагом, равным 1. Пунктиром и штрихпунктиром обозначены численные решения соответствующей начально-краевой задачи, притягивающиеся к решению с внутренним переходным слоем. Сплошная кривая — асимптотика нулевого порядка для периодического решения up(x, t, е). На рисунке e изображены соответствующие решения уравнения (12) с условием периодичности по времени (сплошная кривая), с начальным условием x(0) = 0.9 (штрихпунктирная кривая) и x(0) = -0.9 (пунктирная кривая)

2п

/ £ щмнлом.о)

Пусть 2п-периодическая функция к(£) выбрана так, чтобы было выполнено неравенство

2п

Л = - / ОДА < 0.

х=х0^) 0

В частности, если выбрать к(£) = 1, то имеем .г'о(^) = -75 эт^ — 7г/4). Очевидно, условия (А1)-(А4) выполнены, следовательно, для задачи (27) справедливо утверждение Теоремы 1.

Теперь рассмотрим соответствующую задаче (27) начально-краевую задачу с начальным условием

u(x, 0,е) =

x - xoo

е

,xoo, 0 ) , x G [-1,1], (32)

где x00 = xo(0) + Д, Д = const. В силу линейности задачи (30) и выполнения условия (A4), ее периодическое решение xo(t) глобально устойчиво, а значит, выполнено и условие (A5) (при этом условие —1 < Xo(t) < 1 достигается за счет выбора достаточно малого Д). Условие (A6), очевидно, тоже выполнено. Таким образом, для начально-краевой задачи, соответствующей задаче (27), с начальным

условием (32) справедливо утверждение Теоремы 2. Движение слоя показано на рисунке (выбраны ВД = 1, = ^т*).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследования доказаны теоремы существования асимптотически устойчивого периодического решения с внутренним переходным слоем и нестационарного решения такого же типа. Выявлены условия, обеспечивающие наличие асимптотически устойчивого периодического слоя, условия притяжения к нему решения в виде внутреннего слоя для соответствующей начально-краевой задачи. Дальнейшее развитие исследования этих задач может состоять в изучении задачи генерации слоя, а также в переходе к многомерному случаю.

Автор выражает благодарность профессору Н. Н. Нефедову за плодотворные обсуждения.

Работа поддержана грантом РНФ 21-71-00070.

u

u

x

x

-1.0

-0.5

-0.5

x

x

-0.5

-0.5

x

x

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белянин М.П., Васильева А.Б., Воронов А.В. , Тихо-нравов А.В. // Матем. моделирование. 1989. 1, № 9. C. 43.

2. Кадомцев Б. Б. // Коллективные явления в плазме. 2-е изд., испр. и доп. М.:, Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

3. Fife P.C., Hsiao L. // Nonlinear Analys. Theory Methods Appl. 12, N 1. P. 19.

4. Nefedov N., Sakamoto K. // Hiroshima Mathematical Journal. 2003. 33, N 3 P. 391.

5. Nefedov N.N., Radziunas M., Schneider K.R., Vasil'e-va A.B. // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 2005. 45, N 1. P. 41.

6. Нефедов Н.Н. // Дифференц. уравнения. 2000. 36, № 2. С. 262.

7. Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., Шнайдер К.Р. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2005. № 1. С. 9.

8. Божевольнов Ю.В., Нефедов Н.Н. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. 50, № 2. С. 276.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. // Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

10. Нефедов Н.Н. // Журн. вычисл. матем. и матем. 2021. 61, № 22. С. 2074.

11. Нефедов Н.Н. // Диффер. уравнения. 1995. 31, № 4. С. 719.

12. Hess P. // Periodic-parabolic boundary value problems and positivity. Pitman research notes in mathematics series. 1991.

13. Nefedov N.N., Nikulin E.I., Recke L. // Russian Journal of Mathematical Physics. 2019. 26, № 1. P. 55.

14. Pao C. V. // Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press. New York. 1992.

The Motion of the Front in the Reaction-Advection-Diffusion Problem with Periodic Coefficients

E. I. Nikulin

Department of Mathematics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia E-mail: nikulin@physics.msu.ru

This paper shows the existence and asymptotic Lyapunov stability of solutions with a moving inner layer (front) in a boundary value problem for a singularly perturbed parabolic reaction-advection- diffusion equation with the periodicity condition in time. In addition, the existence of solutions of this type for the corresponding initial boundary value problem is proved and a sufficient condition for their attraction to a periodic solution is proposed. For each problem, an asymptotic approximation of the solution is constructed and the existence and uniqueness theorems for such a solution with the constructed asymptotic behavior based on the asymptotic method of differential inequalities are proved.

Keywords: periodic solutions, reaction-advection-diffusion, front, asymptotic stability, method of differential inequalities, upper and lower solutions, internal transition layer, small parameter. PACS: 72.20.-i. Received 24 March 2022.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2022. 77, No. 5. Pp. 747-754.

Сведения об авторе

Никулин Егор Игоревич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-48-59, e-mail: nikulin@physics.msu.ru.