Движение двуногого шагающего робота Текст научной статьи по специальности «Математика»

The movement of the biped walking robot

Sholanov K.1, Mukhidinov T.2 (Republic of Kazakhstan)

Движение двуногого шагающего робота

Шоланов К. C.1, Мухидинов Т. М.2 (Республика Казахстан)

Sholanov K., Mukhidinov T. (Republic of Kazakhstan) The movement of the biped walking robot / Шоланов К. C., Мухидинов Т. М. (Республика Казахстан) Движение двуногого шагающего робота

1Шоланов Корганбай Сагнаевич / Sholanov Korganbai - доктор технических наук, профессор;

2Мухидинов Толеген Махмутдинович / Mukhidinov Tolegen - магистрант,

кафедра роботетехники и технических средств автоматики,

Казахский национальный технический университет имени К. И. Сатпаева,

г. Алматы, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматриваются виды движений, которыми может перемещаться двуногий шагающий робот (ДТТТР) Затем описывается цикл симметричной ходьбы. Для структуры модели исполнительного механизма дан перечень параметров, которые конкретизируются для исследуемого ДТТТР Затем рассматриваются параметры ходьбы и производится их связь c параметрами ДТТТР

Abstract: the article discusses the kinds of movements that can be moved two-legged walking robot (DSR). It describes the cycle of the symmetric walk. For the structure model of the actuating mechanism is given the list of parameters that are specified for the investigated DSR. We then consider the options of walking, and their relationship is c parameters DSR.

Ключевые слова: двуногий шагающий робот, кинематическая схема, двуногая ходьба, опорно-двигательный механизм.

Keywords: biped walking robot, the kinematic scheme, bipedal walking, locomotor mechanism.

Походка робота определяется траекториями таза (основного движения, но зависимого) и стоп (вспомогательных, но вынуждающих движений) робота. Основное движение осуществляется за счет перемещения ног робота вспомогательных движений. Схема строения опорно-двигательного механизма двуногого шагающего робота (рис. 1) содержит систему твердых тел и имеет вид соединенных c корпусом замкнутых кинематических цепей, c вращательными и поступательными кинематическими парами. На рисунке кинематические пары, в которых относительные движения звеньев осуществляются c помощью приводов, снабжены дополнительными двухсторонними стрелками. Механизм каждой ноги имеет 6 степеней подвижности. Учитывая функции ноги и фазы движения, схема строения выбрана так, что одни и те же приводы выполняют несколько функций [1]. На рисунке 1 показана стопа (опора) 1, которая c помощью приводов A1, F1 вращательного движения соединена c голенью 2. Приводы A1, F1 дают возможность вращения стопы относительно сагиттальной и продольной оси при необходимости адаптации к рельефу поверхности и при переносе ноги. Условное бедро представлено звеньями 3-6. Эта кинематическая цепь содержит замкнутый механизм c двумя приводами В1, C1 поступательного движения. Параллельные направляющие 5, 4 и верхняя часть бедра 6 образуют неизменяемую в пространстве конструкцию. Указанный механизм управляется двумя приводами В1, C1, так, что имеется возможность изменять угол наклона стопы (угол атаки при адаптации стопы) в сагиттальной плоскости.

Рис. 1. Схема строения ОДМ двуногого робота

Тазобедренная часть ноги представлена кинематической цепью из звеньев 7, 8, 16. Верхняя часть бедра 6 образует с тазом 16 шаровое соединение. Приводная кинематическая пара (КП) 01 позволяет выполнять вращение ноги относительно корпуса. Привод поступательного движения Е1 с двумя КП вращательного движения (6-7) и (8-16) позволяет раздвигать ноги. Опорная циклограмма движения может быть отображена диаграммой Вильсона [3] (рис. 2). С ее помощью удобно производить анализ ритмики передвижения.

Простейшие ритмические движения описываются тремя временными параметрами: Т - период движения (через который конфигурация устройства периодически повторяется), ТО - время опоры на каждую ногу,

т* - запаздывание (время между началом опоры на первую ногу и началом опоры на другую).

Правая \УУУУУУУУУУУУУУУ\ \УУУУУУУУУ/УУУУУ|

Левая ШУУУХУУУУ)УУУ\ УУУУУЛУУУУкУУУХ УУУУУУУ\

0 Л т* То Т Т + Л Т + т* Т+То 2 Т

Рис. 2. Диаграмма Вильсона

Всякое движение может составляться из трех элементов:

одноопорного,

двуопорного,

безопорного движений.

Л

г

Л

г

Составим разности, отображающее времена опоры на каждую из ног: Д = Т - (Т - ТО) - (Т - т*) = ТО + т*- Т 5 = ТО - т*

Если 5 < 0 или Д < 0, то существуют участки безопорного движения (рисунок 3, 4, 6), а если 5 > 0 и Д > 0, то участков безопорного движения нет (рис. 5).

П р а в а я

УУУУУУУ\

\УУУУУУУУУУУГ

Левая УУУУУУУУУУГ

\УУУУ)^УУУУУУ\

\УУУУУУУУУЛ

Л Тот Т Т+Л Т+То Т+т 2Т

Рис. 3. Скакание с левой ноги

Правая УУУУУУУУУ\

| г

Левая <УУУА

Л уууууууу\ \ г ! ! Л

\ *\ !'

о г Т

о т

Т Т + г Т+То Т + т* 2Т

Рис. 4.Скакание с правой ноги

Правая ^^ \УУУУУУУУУУУУУУУ\ \УУУУУУУУУУУУУУУ\

Левая уууууу;<уууу;<уууа \ууууууууууулууул \yyyyyyj, 3

0 Л т* То Т Т + Л Т + т* Т+То 2Т (

г

г

Л

Л

о

г

г

Л

Л

Рис. 5. Ходьба

Правая |

I

0 6 То

Т Т+6 Т+То Т+т 2Т

Рис. 6. Бег

6

6

а

А

Левая

т

Введены следующие определения характера движения:

ходьба (рисунок 5) - чередование одноопорных и двуопорных движений (5 > 0, Д > 0);

бег (рисунок 6) - чередование одноопорных и безопорных движений (5 < 0, Д < 0);

скакание (рисунок 2, 3) - чередование одноопорных, двуопорных и безопорных движений (5 < 0, Д > 0

или 5 > 0, Д < 0).

Также существует одно определение правильной или симметричной походки: правильная походка, если Д = 5. Для правильной походки т* = ^2. Существует единственная одноопорная походка, промежуточная между ходьбой и бегом. Ей отвечают значения параметров т* = ^2, ТО = ^2.

В работах [2] проводится анализ различных видов походок. Здесь следует дать несколько широкоупотребительных определений, касающихся важных особенностей походок:

Правильная походка - запаздывание движений одной ноги аппарата относительно другой ноги составляет половину периода ходьбы. (Д = 5, т* = ^2, где T - период ходьбы).

Однопериодическая походка - средняя скорость движения ДШР за любой шаг постоянная и равна v = Lш/Tш,

Комфортабельная походка - определенная точка корпуса аппарата движется равномерно и прямолинейно. Эту точку называют точкой комфортабельности. Полная комфортабельность - весь корпус аппарата движется поступательно, равномерно и прямолинейно.

Теперь будем рассматривать только правильные однопериодические и в основном комфортабельные походки для которых Tш = ^2. Важной локомоторной функцией любого существа (или механизма), имеющего ноги (педипуляторы), является ходьба. Двуногая ходьба представляет разновидность передвижения, при котором происходит циклическая смена одноопорных периодов (опоры на одну из ног и переноса другой ноги) и двуопорных периодов между ними (перемещения тела с опорой на обе ноги). На каждом последующем шаге маховая нога становится опорной, а опорная становится маховой. Существует четыре фазы ходьбы (рис. 7). В локомоциях человека фаза опоры составляет 58...80% от длительности одиночного шага, а фаза переноса остальные 42.20%. Наивероятнейшее соотношение при нормальной ходьбе составляет 66% и 34% (или по 33 и 17 от полного двигательного цикла).

1. Одноопорная - перенос ноги совместно с движением торса при опоре на другую ногу.

2. Двухопорная - движение торса с опорой на обе ноги.

Рис. 7. Фазы цикла ходьбы (фазы движения ДШР)

В процессе ходьбы ДШР происходит последовательная смена фаз (рис. 7):

1) правая нога: перемещение корпуса и правой ноги с опорой на левую ногу;

2) правая нога: перенос тяжести корпуса с левой ноги на правую ногу с опорой на обе ноги;

1) левая нога: перемещение корпуса и левой ноги с опорой на правую ногу;

2) левая нога: перенос тяжести корпуса с правой ноги на левую ногу с опорой на обе ноги.

Принцип комфортабельности [2] формулируется как оптимизационное условие ходьбы со следующим критерием качества: движение двуногого локомоционного механизма осуществляется так, чтобы его центр

масс испытывал наименьшее среднее ускорение, т. е. стремился к равномерному и прямолинейному движению.

Пусть имеется плоское одноопорное движение антропоморфного механизма, описываемое уравнениями

М ^г = P + R , — = Rxr + m (1)

dt2 ' dt v '

при m = 0. Введем в рассмотрение безразмерные величины е= —, R0= — =(R0x ,0,R°)*, (2)

мд' мд v х 2' ' v '

р° = = (X , О, Z)* , К0 = = (0 , К0 , 0 ) *,

F дТ2 Мд2Т3 v ' '

где безразмерные координаты сохранили обозначения x, y, z. Время t также считается безразмерным, a за единицу времени взята величина T, где 2T - длительность шага.

Ниже потребуется вспомогательная переменная п, которая задается уравнением

^ = К 0. (3)

dt v '

Добавим к безразмерной системе (1), (3) краевые условия р0 (- 1 ) = Ар0 ( 1 ) = р0 = (Xo,0 ,Zo) *, (4)

где A = diag. (-1, 1, 1). Написанные условия (4) обеспечивают непрерывность координат, скоростей и кинетического момента, a также гарантируют периодичность положения при смене опорной ноги и не накапливаемость кинетического момента.

Возьмем вектор реакции R0 за управление. Надо найти R0x, R0z, удовлетворяющие критерию комфортабельности, при которых минимизируется функционал J = £ | р° | 2 dt = £[ (R0X)2 + (R0 - 1)2 ] dt (5)

c ограничением на управление: R0(-1) = R0(1) = 0, когда реакция равна нулю в моменты отрыва и постановки ноги. Отметим, что при J ^ min движение центра масс минимально отклоняется от равномерного и прямолинейного движения.

Задачу (1), (2) - (5) будем решать c помощью принципа максимума для функции Понтрягина: Н = xjjlVx + « + xjj3vz + xjj4(R° - 1) + xjj5K° + 4>6(R°x - R°xz) -

- (R°°)2-(R°-1)2.

Запишем далее систему (2) - (5) и сопряженную систему: X = vx , i = - ip6R° , vx = R° , ip2 = -ipi, Z = vz , ipз = p6R° , Vz = R° - 1 , p>4 = -p>3, К0 = R° X - R°z , i = 0 , ] = K0 , ip6 = -ips. (6) Из условия максимума функции Н получим:

FIM

; = iP2-ieZ - 2 R0 = 0 ,

г) И

1^ = iP4 + iP6x-2 (R0-1 ) = 0 (7)

Решение нелинейной оптимальной задачи (6), (7) сводится к интегрированию линейной системы: R0 = C,x + Сз , R0 = C,j+C01)- C±Z + Сг,

d^+Clz = 2(^1+^) + C2,^-C1x = Сз, (8) где C0,C1,C2,C3 - постоянные интегрирования.

Ограничение на управление имеет место, если C1 Ф 0. Тогда, решая систему (8), получим:

х = D1sin2T — D2cos2t — D3ETsim + D4Etcost — -DSE_tsinT + D6E_тсоst - C3/ C1,

z = D1cos2t + D2sin2r + D3Etcost + D4Ersim + +D 5E_ гс о st + D6E_ ts inT + C2 / C1,

Rx = C, [—D,sinlT + D2cos2t — D3ET{\ibcosT + sim) — D4ET{\ibsim — cost) + DzE_T{\ibcosT — sim) + +D 6E _ T (yf3s inT + с о st) ] ,

R°z = C, [—D, cos2t — D2sin2T — D3Er(^f3sinT — cost) + D4Et{\T3cost + sim) + DzE_T{\ibsinT + cost) —

- D 6E _ T (■s/Зс о st - s inT) ] + 3 / 2 , (9) где введены обозначения:

г7з г7з

T = C-^t, C1 = C-^, E t = E _T = е_

2 2 '

D1, ..., D6 - произвольные постоянные.

Можно показать, что УС1Ф 0 функции X(t), z(t), R0 (t), K0(t) четны, а функции x(t), Z(t), R0(t) нечетны. Кроме того,

C0 = C3 = 0, D3 = D5, D4 = -D6, (10)

и тогда из системы (6) c учетом соотношений (9), (10) будем иметь:

К0 (t) = xZ-zX + ^+C4.

ci

Краевые условия (4) выполняются при выборе постоянной C4 :

Г1

С4 = — (xz - zx + —)dt

J-1 Ci

и в силу свойств четности решений задачи. Отметим здесь же, что локальному (расчетному) минимуму функционала J будет отвечать и соответствующая комфортабельная локально минимальная длина шага L

[4].

Таким образом, в статье описан опорно-двигательный механизм двуногого робота, позволяющий переносить стопу c шестью степенями свободы. И были описаны виды движений ДШР, которые обеспечивают реализацию искусственной двуногой ходьбы со статической устойчивостью.

Литература

Шоланов К. C. Опорно-двигательный механизм ноги двуногого робота. Иннов. патент № 277727, БИ № 12, 2013 г.

Белецкий В. В. Двуногая ходьба, 1989. - 440 с.

Vukobratovic M., Borovac B., Surla D. Scientism fundamentals of robotics: Biped locomotion. Springer,1990. -T. 7. - 415 p.

Витензон A. C. Динамические фазы цикла ходьбы, 1994. - 189 c.